2024年四川省绵阳市游仙区中考数学模拟试卷（含解析）

2024年四川省绵阳市游仙区中考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.实数2的相反数是（）

1

A.-2B.2C.±2D.1

2.下列手机中的图标是轴对称图形的是（）

3.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上用科学记数法表示

1300000是（）

A.13x105B.1.3x105C.1.3x106D.1.3x107

4.将一直尺和一块含30。角的三角尺按如图放置，若乙CDE=40。，则乙BFA

的度数为（）

A.40°

B.50c

C.130°

D.140°

5.某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如表:

年龄/岁12131415

人数S23■■

由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（）

A.平均数、众数B.众数、中位数C.平均数、中位数D.中位数、方差

6.设优=屈，则对于实数m的范围判断正确的是（）

A.4<m<5B.5<m<6C.6<m<7D.7<m<8

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7.班长邀请4B,C,。四位同学参加圆桌会议.如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④

四个座位，则4B两位同学座位相邻的概率是（）

8.图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示.相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背

驮“洛书”，献给大禹.大禹依此治水成功，遂划天下为九州.洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填

入3x3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等.图3是一个不完整的幻

方,根据幻方的规则,由已知数求出x-y的值成为（）

CXXXXXXJOO

9.关于x的方程好+2、，底1%+2攵=0的两实根异号，则k满足的条件是（）

A.k<1B.-l<fc<lCMVOD.-1<k<0

10.对称轴为直线x=1的抛物线y="2+旅+c®6c为常数，且QH0）如图所

示，小明同学得出了以下结论：①abc>0,（2）b2>4ac,③4a+2b+c>0,

（?）3a+c>0»⑤Q+bWm（（nn+b）（m为任意实数），⑥当％<-1时，y随工的增

大而减小.其中结论正确的个数为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

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11.如图，点2是函数丫=；。>0）的图象上的一点，OP的半径为",当

OP与直线y=x有公共点时，点P的横坐标X的取值范围是（）

A.1<x<V2

B.1WxWV2

C.V2-1<X<1

D.A/2—1<x<5/2+1

12.如图，在矩形48。。中，AB=13,BC=8,E为48上一点，BE=8,P为

直线CD上的动点，以PQ为斜边作/?£△2/）（2,交直线4D于点Q,且满足

PQ=10,若尸为PQ的中点，连接CE,CF,则当NECr最小时，tanzEC尸的值

为（）

B*

c焉

D•看

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

13.多项式Hi2-%m2+m-6的公因式是―

14.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，

N40B==30。，04=2,将△AOB绕点。逆时针旋转90。，点8的对应点

夕的坐标是

15.如图，某水库堤坝横断面迎水坡力B的坡比是1：邪,堤坝高BC=60米，则迎

水坡面AB的长度为米.

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16.如图，在扇形408中，NAOB=105。，半径。4=8,将扇形A0B沿

过点B的直线折叠，点。恰好落在⑪上的点D处，折痕交。4于点C,则

图中阴影部分的面积是_____.（结果保留笈）

17.字母。从-2,-1,0,1,2,3这6个数中选出使关于工的不等式组°6:2有解，且使关于工的方程

（2x-l<2a

一2=有唯一的解的数，Q有______.

18.如图，正方形488中，M、N分别是AD、8C边上的点，将四边形

4BNM沿直线MN翻折，使得点4、B分别落在点4'、夕处，且点夕恰好为

线段CD的中点，A'B'交AD于点G,作。PLMN于点P,交A'B'于点Q.若

AG=4,则PQ=_____.

三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.（本小题16分）

（1）计算：（7T-2O24）0+4cos30。+|代一4|.

（2）先化简，再求值：（1一芝淳，其中

20.（本小题12分）

网络直播教学是特殊时期常见的教学方式，顺德区为了解九年级教师使用线上授课软件情况，在12月份某

天随机抽查了若干名老师进行调查，其中4表示“抖音直播”，8表示“腾讯会议”，C表示“腾讯课

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堂”，。表示“QQ群课堂”，E表示“钉灯直播”，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表:

组别使用人数(人)占调查人数的百分率

A35%

B1220%

Ca35%

D15C

Eb15%

请根据图表中的信息解答下列问题：

(l)b=—,并将频数分布直方图补充完整；

(2)已知该区共有九年级老师500人，请你估计该区使用“QQ群课堂”有多少人？

(3)该区计划在A组随机抽取两人了解使用情况，已知力组有理科老师2人，文科老师1人，请用列表法或树

状图法求出抽取两名老师都是理科的概率.

21.(本小题12分)

某快递公司为了提高工作效率，计划购买4、8两种型号的机器人来搬运货物，已知每台力型机器人比每台

B型机器人每天多搬运20吨，并且3台力型机器人和2台8型机器人每天共搬运货物460吨.

(1)求每台4型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

(2)每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购两种型号的机器人共20台，必

须满足每天搬运的货物不低于1800吨，根据以上要求，设所需费用为w元，力种型号机器人的采购量为m

台，当m为何值时所需费用最低？最低费用是多少？

22.(本小题12分)

己知，如图，/-ABM=60°,BA=2,G为射线上的一动点，4P为484G的角平分线且交于点P,以

4P为边在乙4BM内部作菱形4PCD,使得乙4PC=60。，DP交4G于点E,连接CE并延长交48于点F.

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(1)求正：AAEP^ACEP-

(2)判断CF与的位置关系并证明；

(3)若△府/的周长为3,求菱形4PCD的周长.

B

23.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点力(％y),我们把点8(53)称为点8的“倒数点”.

(1)写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标______;

(2)点P是反比例函数y=¥(%>0)图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；

(3)如图，矩形。COE的顶点C为(3,0),顶点E在y轴上，函数y=>0)的图象与。£交于点4若点8是点A

的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，求AOBC的面积.

24.(本小题12分)

如图，△4BC内接于。0,BC是。。的直径，tan/ACB=2,过点A作4。1BC,交。。于点E,点尸是检

上一点，连结EF交BC于点G,连结CF交4。于点H.

(1)求证：△AFC^△HFE；

(2)若8c=10,C尸=8,求EF的长；

(3)设呼=%,煞=丫，求y关于％的函数表达式.

t/C/iZx

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A

B

25.(本小题14分)

如图，抛物线y=Q*2+故+2也(QH0)与y轴相交于点C,且经过4(1,0),B[4,0)两点，连接AC.

(1)求效物线的解析式；

(2)点P为抛物线在%轴下方图形上的一动点，是否存在点P,使NPBO=22&4。，若存在，求出点P坐标;

若不存在，说明理由；

(3)若物物线顶点为M,对称轴与工轴的交点为N,点Q为x轴上一动点，以Q、历、N为顶点的三角形与

△AOC相似.请直接写出点Q坐标.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：根据相反数的表示的方法，实数2的相反数为-2.

故选：A.

根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解决此题.

本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的表示方法是解决本题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：A不是轴对称图形，故此选项不合题意；

8.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C是轲对称图形，故此选项符合题意：

。不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴

对称图形，进行判断即可.

本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键.

3.【答案】C

【解析】解：1300000=1.3x106,

故选：C.

科学记数法的表示形式为axl(P的形式，其中1式间＜10,〃为整数.确定九的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，九的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值N10时，n是正数；当原

数的绝对值VI时，九是负数.

此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,"为整

数，表示时关键要正确确定Q的值以及n的值.

4.【答案】D

【解析】解：・.・DE〃A凡

•••Z.CDE=Z.CFA,

vzCDE=40°,

Z.CFA=40°,

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."BFA=1800-Z.CFA=140°.

故选：D.

先求/CF4的度数，再求乙8凡4的度数.

本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟练运用平行线的性质.

5.【答案】B

【解析】解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而12岁的有5人，

13岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是13岁，因此中位数是13岁，不会受14

岁，15岁人数的影响；

因为13岁有23人，而12岁的有5人，14岁、15岁共有22人，因此众数是13岁；

故选：B.

根据众数、中位数的定义进行判断即可.

本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提.

6.【答案】C

【解析】解：•♦・回〈屈〈回，

:.6<747<7,

即实数m的范围是6Vm<7.

故选：C.

估算出6〈质<7,再找出选项即可.

本题考查了估算无理数的大小，能估算出质的范围是解此题的关键.

7.【答案】A

【解析】【分析】

画树状图展示所有24种等可能的结果数，再找出48两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求

解.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结臭n,再从中选出符合事件4或

B的结果数目?n,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

【解答】

解：列表为：

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ABCDABDCACBDACDBADBCADCB

BACDBADCCABDCADBDABCDACB

BCADBDACCBADCDABDBACDCAB

BCDABDCACBDACDBADBCADCBA

4个人中每个各有6种等可能的结果数，共有24种等可能的结果数，其中4B两位同学座位相邻的结果数为

12,

故48两位同学座位相邻的概率是另，

故选：A.

8.【答案】A

【解析】解：设第二行第一个数字为a（a为常数），

根据题意得：x+a+6=a+3+y,

•••x—y=—3.

故选：A.

设第二行第一个数字为a（a为常数），根据每一横行、每一竖列上的数字之和相等，可列

出关于％,y的二元一次方程，变形后，即可求出％-y的值.

本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】解：由题知，

因为关于%的方程%2+2、低了1%+2々=0的两实根异号，

所以4=（2d+1尸_4x1x2fc>0且华<0,

解得々V0.

又因为女+120,

所以攵之一1,

综上所述，k满足的条件是：-lWkvO.

故选：D.

由方程的两实数根异号，可得出两根之积小于零，再利用二次根式的被开方数非负及4>0即可解决问题.

本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键.

10.【答案】C

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【解析】解：①由图象可知：Q>o,c<0,

♦•♦对称轴为直线：*=-*=1,

:.b=-2a<0,

abc>0,故①正确：

②抛物线与％轴有两个交点，

:.b2-4ac>0,

b2>4ac,故②正确；

③。••对称轴为直线％=1，则%=0与％=2的函数值相等，

当％=2时，y=4a+2b+cV0,故③错误；

④当父=-1时，y=a—b+c=a—(—2a)4-c>0,

3a+c>0,故④TF确：

⑤当x=l时，y取到最小值，此时，y=a+b+c,

2

而当x=m时，y=am+bm+cf

2

所以Q+b+C<am+bm+ct

故a+bWam?+bm,即a+bWm(a/n+b),故⑤正确，

⑥当KV-l时，y随工的增大而减小，故⑥正确，

综上，正确的是①②④⑤⑥共5个，

故选：C.

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断①，然后根据对

称轴及抛物线与4轴交点情况判断②，根据对称性求得％=2时的函数值小于0,判断③；根据％=-1时的

函数值，结合b=-2a,代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数,=。炉+6%+«。。0)系数符号由抛物线开口方向、对

称轴和抛物线与y轴的交点确定，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键.

1L【答案】D

【解析】解：如图所示，P1P2即为。P与直线y=%有一个公共点的情况，,片、

点P只有在线段p$2上，即符合题意，(1VlJ产X

根据图象的对称性可知，△Hp』2是等腰直角三角形，'粉

V©尸的半径为#,、

,pm=2#,\~，

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AP}=AP2=2,

设Pi（K），*），贝伊2（*十2,5-2），

人u人U

则AP]P2的中点M在直线y=%上，

•,MQo+x+1=^--1,

人0040

解得：Xo=V2-1,&=一/一1（不合题意，舍去），

・••Pl的横坐标是也一I,P2的横坐标是小+1，

**•,\/2—1<x<-\/2+1,

故选：D.

如图所示，P1P2即为OP与直线y=x有一个公共点的情况，点P只有在线段P$2上，即符合题意，根据图

象的对称性可知，△AP1P2是等腰直角三角形，求得AP1=4P2=2,设PI（&，4）,则22（祀+2,；-2）,

则4P]P2的中点M在直线y=x上，得到+一1）,解方程得到配=淄-1,%0=-#一1（不合题

五0

意，舍去），于是得到结论.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作

出辅助线是解题的关键.

12.【答案】D

【解析】解：连接。凡延长CF与DQ交于点M,连接EM,过E点作ENJLC严于点N,

F是PQ的中点，/.PDQ=90°

DF=-PQ=-X10=5,

当C尸为以。为圆心，5为半径的圆相切时，々ECF最小,

此时.OFICF,

:.CF=yjCD2-DF2=“132-52=12,

VLCDM=乙CFD=90°,乙DCF=乙MCD,

:ACDFs4CMD,

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器=踪即焉=告

169

2s

MF=CM-CF=

:.DM=弋DF“+M。-

:.AM=AD-DM=8-1|=||,

vBE=8,

.".AE=13—8=5,

SMEM=S矩形/jBCD_S^/iEM-SacDM-SA/jcE=13x8-1x5x||-1x13x|j-^x8x8=-^-

1,91an1K,169E-M91

7CrtMJI-ECNh=―,即彳x-—EN=—

,EN爷

•••CE=啊2+BE?=8疆

：.CN=ylCE2-EN2=^-

aLD

.EN56、,137

.-.tan£FCF=—=-x—=-.

故选：D.

连接DF,延长CF与DQ交于点M,连接EM,过E点作£N_LCF于点N,由直角三角形斜边上的中线定理可知

点F点始终在以。为圆心，5为半径的圆上，故当CF为以。为圆心，5为半径的圆相切时，匕ECF最小，求出

此时的EN和GV的长度便可解决问题.

本题是矩形的一个综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形的面积公式，圆的

性质，本题难度，关键是确定NECF最小时尸点的位置，计算量也大，对计算能力要求较高.

13.【答案】m-2

【解析】解："m2-4=(m+2)(m-2),m2+m-6=(m+3)(m-2),

多项式后一4,m24-m-6的公因式是Qi-2)：

故答案为：m—2.

根据公因式定义，对多项式m2-4,7n2+7n-6进行整理，然后即可选出有公因式的项.

此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；(2)

字母取各项都含有的相同字母；(3)相同字母的指数取次数最低的.在提公因式时千万别忘了“-1”.

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14.【答案】（-唬3）

.•.48=04=2,血10=60。，

AD-1,BD-W，

0D=0A4-AD=3,

的，

.•・将△A0B绕点。逆时针旋转90。，点B的对应点夕，

：.B，C=BD=®0C=AD=3,

.•・夕坐标为：（-A/3,3）.

故答案为：（一々,3）.

过点B和B'作8D1%轴和B'Cly轴于点0、C,根据题意可得3（3,召），进而可得点8的对应点口的坐标.

本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质.

15.【答案】120

【解析】解：•.•堤坝横断面迎水坡48的坡比是1：5

,西=叵

''AC~~3*

vBC=60m,

:.AC=60V3m,

AB=yiAC2+CB2=120m,

故答案为：120.

根据题意可得第=*,把BC=60m,代入即可算出4c的长，再利用勾股定理算出4B的长即可

此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度/I和水平宽度，的比.

16.【答案】等一16-160

第14页，共28页

【解析】解：连接0D,

CPD由△CBO翻折而成,

•••CD=CO,BD=BO,

OD=OB,

是等边三角形.

•••乙BOD=60°>

"408=105。，

•••"OD="DO=45°,

・•.△OCD是等腰直角三角形.

0A=OD=OB=8,

...0。=乎0。=4或，

••,S阴影=S扇形=10^^8-1x4*x4^/2-1x8x*x8=粤-16-164

首先连接0D，由折叠的性质，可得CD=CO,BD=BO,乙DBC=M)BC,则可得△08。是等边三角形,

△OCD是等腰直角二角形，故可得出0C的长，再根据S阴影=S国形S^oc。一即可得出结论.

此题考查的是扇形面积公式，在解答此题时要注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法.

17.【答案】4个

【解析】解：；使关于工的不等式组［箕］二2有解的a满足的条件是Q

(2x-l<2a2

使关于工的方程^一2=有唯一的解的Q的Q*3,

•・•使关于x的不等式组河二二5有解，且使关于工的方程=有唯一的解的数a的值为-1,0,

2x—1<zax»xj

1,2四个数，

故答案为：4个.

分别求得使关于”的不等式组；7二二二有解，且使关于x的方程旨-2=随有唯一的解的a的值满足的

条件，进而即可求得。的个数.

本题考查了解一元一次不等式组以及解分式方程的解等知识，解题的关键是首先确定满足条件的Q的值，

难度不大.

18.【答案】竽

第15页，共28页

【解析】解：•四边形ABCD是正方形，设AB=BC=CD=4D=2a,

.­.2.ABC=zC=AADC=乙4=90°,

由翻折可知，BN=NB',设BN=NB'=K,

•:CB'=DB'=a,

在Rt△CNB'中，•••CN2+B/C2=B'N2,

(2a—x)4-a2=x2,

5

x--a>

4

•••乙NB'G=乙GDB'=ZC=90°,

NCNB'+乙CB'N=90°,Z-CB'N+乙DB'G=90°,

:•乙CNB'=^DB'G,

.-.ANCR'sAB'DG,

,CN_CB1_NB'

••而一市一而’

Ar

.•.DG=2Q,GB'=2

so

'：AG+DG=AD，

•••44--a=2a,

••a=6,

.•.AB=AB'=12,DG=8,GB'=10,4G=2,

设AM=MA'=y,

在RtZM'MG中，则有y2+22=(4-y)2,

解得y=I，

321

:.DM=AD-AM=12-1=y,

连接3夕，延长。户交AB于7,则四边形是平行四边形，过点8'作B'H1DQ于H,

/.Z.TBB'=Z.TDB1,DT//BB',

:•乙DQB'=^QB'B,

ALB'DQ=乙B'QD,

：.B'D=B'Q=6,

♦.•B'HLD。,

第16页，共28页

:.QH=HD,

•."CBB'+，TBB'=90。,zMDP+=90°,ND4H+=90。，

:.乙CBB'=Z.MDP=乙DB'H,

•••sinLCBBr=sinzMDP=sin乙DB'H=绦=率,

BB5

••.PM=DMX*=/5DP=2PM=DH=*x6=唔

...DQ=

...PQ=PD-DQ=21^-12^=您.

555

故答案为竽.

四边形4BCD是正方形，设48=BC=CD=4O=2Q,利用相似三角形的性质，求出OG(用a表示)，构建方

程求出a,再想办法求出PD,DQ即可解决问题.

本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解

决问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

19.【答案】解：(1)原式=1+4乂乎+4-2收

=1+2&+4-2&

=5；

(2)原式=(累一缶)•咛驾产

2(x+2)(x-2)

-x+2'x(x-2)

=_2

X,

当％=衽时，

原式=5=咨

【解析】(1)根据a0=l,cos3(r=乎及绝对值的性质求解即可得到答案；

(2)先通分计算括号里的，再因式分解约分，约到最简代入求解即可得到答案.

本题主要考查实数的混合运算，分式的化简求值，锐角三角函数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关

键.

20.【答案】(1)9；

完成频数分布直方图如下：

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人数

(2)500x1|=125(A),

答：估计该区使用“QQ群课堂”有125人;

(3)把理科老师记为M,文科老师记为N,

画树状图如图：

开始

MNMNMM

由树状图知共有6种等可能的结果，其中抽取两名老师都是理科的结果有2种，

••・抽取两名老师都是理科的概率为1=

o5

【解析】【分析】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和频数分布直方图.列表法或画树状图法可以不重

复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况

数之比.

(1)由A的人数除以所占百分比得出本次调查的人数，即可解决问题；

(2)由该区九年级老师总人数乘以使用“QQ群课堂”的九年级老师所占的比例即可；

(3)画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两名老师都是理科的结果有2种，再由概率公式求解即

可.

【解答】

解：(D本次调查的人数为3+5%=60(人)，

•••a=60x35%=21,6=60x15%=9,

故答案为9，

第18页，共28页

完成频数分布直方图见答案.

(2)(3)见答案.

21.【答案】解：(1)设每台4型机器人每天搬运货物工吨，每台8型机器人每天搬运货物y吨，

(x-y=20

(3x+2y=460,

解得仁郡，

每台4型机器人每天搬运货物100吨，每台B型机器人每天搬运货物80吨；

(2)设：4种机器人采购m台，B种机器人兴购(20-m)台，总费用为w(万元)，

100m+80(20—m)N1800.

解得：m>10.

w=3m+2(20-m)

=m+40.

v1>0,

•••w随着m的减少而减少.

二当m=10时，w有最小值，w小=10+40=50.

.•・4、3两种机器人分别采购10台，10台时，所需费用最低，最低费用是50万元.

【解析】(1)题目中的等量关系是：①每台4型机器人比每台8型机器人每天多搬运20吨，②3台力型机器人

和2台8型机器人每天共搬运货物460吨.

(2)题目中的不等关系是：每天搬运的货物不低于1800吨，等量关系是：总费用=4型机器费用+B型机器

费用，极值问题来利用函数的递增情况解决.

考查了二元一次方程组的应用及一次函数应用.解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求

的量的等量关系.列出对应的方程组，极值问题来利用函数的递增情况解决

22.【答案】(1)证明：•••四边形4PC。为菱形，

PA=PC,Z-APD=Z.CPD,

在△NEP和△CEP中；

(PA=PC

/.APD=乙CPD

,PE=PE

•••△AEPg△CEP(SAS)；

(2)解：CF与8M的位置关系是：CF//BM.证明如下：

•••LABM=60°,

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••/BAP+Z.BPA=180。一乙48M=120°,

••4PC=60。，

:.LCPM+LBPA=180°-Zi4PC=120°,

/.BAP=乙CPM,

由(1)可知：4AEP@4CEP,

Z.PAE=Z-PCEt

•••4P为血G的角平分线，

Z.PAE=Z.BAP,

:,乙PCE=LCPM,

ACF//BM；

(3)解：在PM上截取PN=84=2,连接CN,过C作CH〃艮4交BM于H,连接PA,如图所示:

由(2)可知：乙BAP=^CPN,

在△BAP和中，

(PN=BA

Z-BAP=乙CPN

PA=PC

•••△BAP出△CPN(SAS),

•.BP=CN,ZB="NP=60。,

•••CHUBA,

vZ.AHN=^B=60。，

••.△AHN为等边三角形,

CN=CH=HN=BP,

由(2)可知：CF“BM,

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四边形BHC广为平行四边形，

•.BH=CF,CH=BF,

CN=CH=BF=BP,

:PN=PH+HN,HN=BP,

PN=PH+BP=BH=CF=2,

由。）可知：△AEPgZkCEP,

•••AE=CE,

•••△AEF的周长为3,

••.AE+EF+力尸=3,

即CE+EF+A尸=3,

.•.C尸+｛尸=3,

vCF=2,

=1,

•••BA=2,

'.BF=BA-AF=1,

：.BF=AF=BP=1,

••.△BPr为等边三角形，

；.BF=BP=PF=AF=I,

:.乙BFP=LBPF=60。,£.FAP=£.FPA,

VZ.BFP=Z.FAP+Z.FPA,

•••乙FAP="PA=3U",

Z.BPA=乙BPF+Z.FPA=90°,

在RSBPA中，AB=2,BP=1,

由勾股定理得：PA=^BA2-BP2=V3,

:.菱形APC。的周长=4PA=473.

【解析】⑴根据菱形的性质得P4=PC，乙4Po="PO,据此可依据“SAS”判定△力EP和△CEP全等；

（2）先由乙48M=60°得乙BAP+Z.BPA=120°,再由乙4PC=60°得4CPM+Z.BPA=120°,则

28AP=NCPM,由（1）的结论得=然后根据”为MAG的角平分线得=据此可

得"CE="PM,据此可判定CF与BM的位置关系；

⑶在PM上截取PN=B4=2,连接CN,过C作交BM于H,连接P凡先证△B4P和△CPN全等得

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BP=CN,NB=4CNP=60。，进而得△AHN为等边三角形，^]CN=CH=HN=BP,再证四边形8HCF

为平行四边形得=C凡CH=BF,由此可得PN=BH=C忏=2,然后由△4E尸的周长为3,得

AE+EF-^-AF=CE+EF+AF=3,据此得4F=1,则8尸=4尸=BP=1,则△BP/为等边三角形，进而

可证/BP4=90°,最后在Rt△8PA中求出PA即可得出菱形4PCD的周长.

此题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和

性质，理解菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判

定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形和平行四边形是解决问题的难点.

23.【答案】（-1,-1）

【解析】解•：（1）根据倒数的规定，在第三象限，只有-1的倒数是它本身，所以第三象限内“倒数点”是

本身的点的坐标（一1,一1）,

故答案为：（一1,-1）；

（2）•.•点P是反比例函数y=>0）图象上的一点，

二点P（%y）的“倒数点”Q满足的坐标是弓3），

•••xy=孝，

7=痣

（3）设A点坐标为（m,弓）

•・•点B是点4的“倒数点”，

•••B（总会，

•••点B的纵横坐标满足M3=今

・••点3在、=1的图象上，且点B不会在坐标轴上，只能再边ED或CD上，

①点8在边ED上时，点48纵坐标相同，畔=*,

.•.加=2或771=-2（舍去），点B的纵坐标为1,

13

.・.S△OBC=/3x1=1，

②当点B在C。上时，点B的横坐标为3,点B的纵坐标为去

Q1O11

3X=

SMBC=7X64,

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综上所述，三角形OBC的面积为割*

(1)在第三象限，只有-1的倒数是它本身，所以第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标

(2)点P(%y)的“倒数点”Q满足的坐标是CJ)据此可得点Q满足的函数表达式；

(3)设从点坐标为(m,•则点8的纵横坐标满足5号=寺，根据反比例函数的性质可知点B在

y=方的图象上，且点B不会在坐标轴上，只能再边ED或CD上，分情况讨论即可得到三角形08C的面积.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握纵横坐标之积是定值是解答本题的关键.

24.【答案】(1)证明：•••BC是。。的直径，ADLBC,

X-SX-X

•••AC=CE,

•••Z-AFC=乙CFE,

Z*-Z*-

vAF=AF

:.乙4CF=LFEA,

"Cs△HFE；

(2)解:连接B凡

••,8C是。。的直径，

•.4BAC=90。，

tan^ACB=2,

AB=2AC,

在RtAABC中，8C=10,

.•,AC=26

vAD1BC,

.•ZDC=90°,

tan乙4cB=2,

AD=2CD,

在RtzXACD中，AD2+CD2=AC2,则CD=2,AO=4,

:.ED=AD=4,

•••8C是。。的直径，

."FC=90。，

•••BC=10,Cr=8,

第23页，共28页

BF=6,

••zPFC=z/7DC=90°,乙FCB=ADCH,

BFCs△HDC,

BFCF

:.----=-----,

DHCD

3

:.HD=

••.HE=ED+HD=M

•••△AFCSAHFE,

ACCF

HEFE

.EF=22^.

5

(3)解：设OC=r,贝iJBC=2r,

tan^ACB=2,

.'.AD=2CD,BD=2AD,

24

CD=-r,AD=-r,

①当点G在线段OD上时，

•3―

,oc~x,

0G=xr,CG=(1—x)r,8G=(l+%)r,

过点G作GMJ.C尸交于点M,

...4GMF=90。，

v/.ADC=90°,Z.CAE=Z.CFE,

Z-FGM=Z.ACB,

•••tanLFGM=tanz.ACB=2,

"M=2GM,

-£GMC=£BFC=90°,

:.GM//BE,

.CGCM

'•~GB=而

CGCM印［2CGCM

GB2GMGBGM

第24页，共28页

CM_CD

~GM=而'

.CD_2CG

'HD=

(1+x)r

...DH=5(1)

，AH=AD-HD=^r

.AH__3-5x

・，~AD=4-4x*

3-5x

②当点G在线段08上时，同理可得、=汩翕；

综上所述：当点G在线段00上时，y=冷：当点G在线段08上时，y=注苧.

【解析】⑴根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等，能够推导出乙4FC="FE,^ACF=^FEA,即可证

明三角形相似；

(2)连接BF,由题意可得48=24C,在山△4BC中，利用勾股定理求出4C=2&,再由tan乙4cB=2,得

到4D=2CD,在中，利用勾股定理求出CD=2,AD=4,则E0=H0=4,证明△RFCs

△HOC,求得H0=,,则"£=£0+〃。=争再由△"CS2KH尸E,求出£尸=岑5；

(3)设OC=r,则8c=2r,CD=|r,AD=^r,分两种情况讨论：①当