2022-2023学年高二数学下学期期末模拟试卷(选修+必修)(解析版)

绝密★考试结束前

2022-2023学年高二下学期期末数学模拟试卷

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

姓名班级考号

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其

他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求.

1.（2023春・湖南长沙•高二望城一中校考期末）已知集合4="|-24》<7},B={x\->1},则

An（]B）为（）

A.{x\-2<x<7]B.{x|-2或2Vx<7}

C.{兀|-2或2Vx<7}D.{%|-2或2V%<7}

【答案】C

2

【解析】因为2={x|—2」}={x|0<xV2},则[B={x]xW0或x>2},

所以AC(CR8)={X[—2Vx<7}c{x|尤W0或无>2},={x|—2WxWO或2<x<7}.故选：C

2.(2023秋・湖北恩施•高二校联考期末)已知a=(sina,l),^=(l,2cosa),若乙人则

A.-3C.-1

【答案】D

【解析】因为2_1_丑所以有sina+2cosa=0,即tana=—2,

3.（2023秋•江西萍乡•高二统考期末）从某班包含甲、乙的5名班干部中选出3人参加学校的

社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（）

【答案】A

【解析】令事件A为甲被选中的情况，事件B为乙被选中的情况,

故尸⑷吟|,P(即n

故P(B|A)=筮故选：A.

4.(2022春.山东德州.高二校考期末)已知某8个数的期望为5,方差为3,现又加入一个新数

据5,此时这9个数的期望记为E(X),方差记为D(X),则

A.E(X)=5,D(X)>3B.E(X)=5,D(X)<3

C.E(X)<5,D(X)>3D.E(X)<5,D(X)<3

【答案】B

2

【解析】根据题意可知，E(X)=T^=5,n(x)=3x8+(5-5)=|<3>故选B.

5.(2023秋•山东滨州•高二统考期末)如图，二面角A-EP-C的大小为45。，四边形AME、

都是边长为1的正方形，则8、。两点间的距离是()

【解析】因为四边形48/花、所都是边长为1的正方形，则AED,DE1EF,

又因为二面角A-EF-C的大小为45。，即NAEZ)=45。，则(丽，丽)=45。，

因为丽=历+丽+而=立-而+而，由图易知而_L丽，AB1ED，

所以，|砺卜^EA-ED+AB^2=^EA+ED2+AB2-2EA-ED+2EA-AB-2ED-AB

=Vl+l+l-2xlxlxcos450+0-0=^3-42•：B.

6.(2023秋•广东深圳•高二校考期末)已知定义域为R的函数“X)满足〃3x+l)是奇函数,

是偶函数，则下列结论错误的是()

A.的图象关于直线--1对称B.“X)的图象关于点(1,0)对称

C./(-3)=1D.的一个周期为8

【答案】C

【解析】由题意知〃3尤+1)是奇函数，BPf(-3x+l)=-f(3x+l),.-.f(-x+l)=-f(x+1),

BP/(-x+2)=-f(x),即/(x)+/(-x+2)=0,

故的图象关于点(1,0)对称，B结论正确；

又是偶函数，^/(-2x-l)=/(2x-l),;./(-x-l)=/(x-1),

即故的图象关于直线4-1对称，A结论正确；

由以上可知〃X)=〃-X—2)=T(T+2),即〃X-2)=-〃X+2),

所以/(x+4)=-〃x),则/(x+8)=-/(x+4)=/(x),

故的一个周期为8,D结论正确；

由于〃-3x+l)=-"3尤+1),令无=0,可得/⑴二一/⑴,.•"(1)=0,

而“X)的图象关于直线产-1对称，故〃-3)=0,C结论错误，故选：C

7.(2023秋•陕西西安・高二长安一中校考期末)已知函数的定义域为1其导函数

是((x).有:(x)cosx+〃x)sinx<0,则关于x的不等式<2/用85苫的解集为()

儿MB.借C院,々D.。高

【答案】A

【解析】构造函数心鉴,其中"-崎，则条(上

所以，函数g(x)在卜:，上单调递减，

由〃x)<2d1]cosx可得上1

因为XC则cosx>0,

I”COSX

即g(x)<g|jj,所以,，解得六X音，

因此，不等式〃x)<2/代>。SX的解集为.故选：A.

8.(2023春•山东济南•高二统考期末)双曲线C的两个焦点为£，鸟,以C的实轴为直径的圆

记为。，过耳作圆。的切线与C的两支分别交于M,N两点，且/用明=45。，则C的离心率

为()

B,也

C.V7D.V3

2

【答案】D

22

【解析】如图，设双曲线的方程为3-与=1,则|叫=也

ab

设切线MN与圆。相切于点A,

过点尸2作名BLMN,垂足为B,则A。///?/"

所以，有跚=黑4所以幽=2|回=2".

又/£叫=45。，F2B1MN,所以口居BN为等腰直角三角形,

所以忸时=忸周=2〃，|.|=1|明「+忸甘=2也7,

根据双曲线的定义可得，|N耳卜质|=2%所以|N周=2缶+2°.

在△耳N鸟中，由余弦定理可得，闺居「=”耳「+加周2_2加剧.|叫屈/耳叫.

所以，4c2=（2行4+2〃）+倒行一2义修行4+2〃卜2行"^^二12〃2,

所以，c2=3a2,c=6a.

所以，C的离心率e=£=6.故选：D.

a

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2022春•河北石家庄•高二统考期末）下列说法正确的是（）

A.甲、乙、丙、丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有C；A；种排法

B.3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有A：A；种

C.3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有A：A；种

D.3名男生和4名女生站成一排,3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296

种

【答案】ACD

【解析】对于A：先排最左端，有C；种排法，再排剩余3个位置，有A：种排法，

则共有C；A；种排法，故A正确；

对于B：3名男生相邻，有A；种排法，和剩余4名女生排列，

相当于5人作排列，有A；种排法，所以共有A；A；种排法，故B错误；

对于C：先排4名女生，共有A：种排法，且形成5个空位，再排3名男生，

共有A；种排法，所以共有A：A；种排法，故C正确；

对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，

则3名男生互不相邻的排法共有A：A；种排法，

若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有A；A：种排法，

所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有A：A；-AX=1296种，

故D正确.故选：ACD

10.（2022春.湖北孝感.高二统考期末）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且

%=29+i=2S,+2（〃eN*）,下列说法正确的有（）

A.数列&｝是等比数列B.%=2X3"T

C.数列｛%｝是递减数列D.数列｛%｝是递增数列

【答案】ABD

【解析】由%M=2S“+2,贝lJ%=2Se+2（〃22）

两式相减可得%+i-勾=2。“，即%+i=3a„（n>2）

由题意外=2S]+2—2q+2=6,1两足a2=3q

所以。同=3a,（"eN*）,所以数列｛““｝是等比数列，故选项A正确.

则%=qqi=2x3”一,故选项B正确.

n

又a„+l-an=2x3-2x卡=4x3"—＞0,所以数列｛叫是递增数列

故故选项C不正确，故选项D正确.故选：ABD

H.（2022春.山东泰安•高二统考期末）对两个变量＞和x进行回归分析，得到一组样本数据

（看,%卜（%,%）,…，（%，%）则下列结论正确的是（）

A.若求得的经验回归方程为y=o.6x-o.3,则变量＞和X之间具有正的线性相关关系

B.若这组样本数据分别是（1,1）,（2,1.5）,（4,3）,（5,4.5）,则其经验回归方程处费+6必过点（3,2.25）

C.若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为g=1.同学乙根据这组数据得到

的回归模型2的残差平方和为&=2.1,则模型1的拟合效果更好

D.若用相关指数R2来刻画回归效果，回归模型3的相关指数后=041,回归模型4的相关指

数用=0.91,则模型4的拟合效果更好

【答案】ACD

【解析】对于A：因为回归方程为、=。6.0.3,0.6＞0,

所以变量＞和x之间具有正的线性相关关系，故A正确；

对于B：样本数据。#，（2,1.5）,（4,3）,（5,4.5）的样本中心点为（3,2.5）,

且经验回归方程$=常+&必过样本中心点，但（3,2.25）不是样本中心点，故B错误；

对于C：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C正确；

对于D：相关指数R2越接近1,说明关系越强，拟合效果越好，D正确；故选：ACD

12.（2023秋・湖南衡阳•高二衡阳市八中校考期末）已知函数=-4x,则（）

A.x=l是的极小值点B.有两个极值点

C.的极小值为1D.〃尤）在［0,2］上的最大值为2

【答案】ABD

【解析】因为/'（尤）=上+，/-4「,所以析（力=3f+彳-4=（彳-1乂3彳+4）,

当xe1=0,-：卜（1,+8）时，f（x）＞0；当xe（-时，f（x）＜0,

故小）的单调递增区间为和…），单调递减区间为■“，

则/（x）有两个极值点，B正确；

且当x=l时，取得极小值，A正确；

且极小值为〃1）=-1C错误；

又"0）=0,"2）=2,所以〃x）在［0,2］上的最大值为2,D正确.故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.(2023秋・河南南阳•高二统考期末)若卜一展开式的二项式系数和为32,则展开式中

的常数项为.(用数字作答)

【答案】40

【解析】因为二项式系数和2"=32,因此，7=5,

又心=c仁广Cc(一2”。一“，

令1=2,常数项为C；(-2)2=40.

故答案为：40.

14.(2022春•河北邯郸高二大名县第一中学校考期末)已知sin4-x)=1,且0<x<》贝U

34o

sin(1+尤)-cos("+x)的值为__________.

o3

【答案】"

2

【解析】令贝！］：+犬=：r,4+犬=兀­

3623

Vsin(--x)=sinr=-,则cos/二五

344

.「兀)(in\.(it\/x_V7

sin—Fx—cos-----F%|=sin----1—cos(7i—。)=2cost------

(6JI3)12)I'2

故答案为：立.

2

15.(2022春.湖北•高二统考期末)某地区调研考试数学成绩X服从正态分布N(95,4),且

P(X<70)=0.15,从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩

在［70,120］的人数为随机变量乙贝I"的方差为.

【答案】2.1

【解析】由正态分布知，均值〃=95,且P(X<70)=0.15,所以尸(X>120)=0.15

每个人的数学成绩在［70,120］的概率为P(70<X<120)=2x(0.5-0.15)=0.7,

所以10名学生的数学成绩在［70,120］的人数J~8(10,0.7),

所以£>0=10x0.7x0.3=2.1.

故答案为：2.1.

16.(2022春・山东临沂•高二统考期末)若对任意的小马式出+⑹，且当占〈尤之时，都有

则根的最小值是.

【答案】3

【解析】由于当羽时，都有1丫1方>三,

ll-ii3(x.-x2)33cmi3.3

以In%—Inx2<--------------,艮In玉H—<Inx2H,

XxX2x2玉%x2

3

令/(x)=lnx+—,所以当任意的国,尤2e(〃7,+8),且当为<々时，都有了(为)</(%)，

X

所以/(X)在(肛+00)上递增,

13r-3

因为由f'(x)=----2=~2~>0，得X>3,

尤尤尤

所以“X)在(3,+00)上递增，所以机23,所以打的最小值是3,

故答案为：3

四.解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(2023春•福建福州•高二校联考期中)已知数列｛4｝的前〃项和%满足%＞0,且见,S”#

成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)若也｝为等比数列，且，＞0,她也=64,求数列｛%。｝的前〃项和

【答案】(1)4=3"；(2)-2用+6

【解析】(1)因为〃,足,#成等差数列，故2s,=4+#,

故2S,I，所以2a“=%-a,T+；(片-"3)，

整理得到：an+a,-=如；-＜i)=|(«„-«„-1)(«„+«„-i)，

而见+%-1＞。，故4-4一1=3,所以｛外,｝为等差数列，

_12

乂2al-ax>0,故q=3,故=3+3("-1)=3”.

(2)因为也｝为等比数歹(］且为々=4=64,故6；=64,而&＞。，故么=8,

故等比数列的公比4满足q=?=8,故q=2,

O

3

故6“=&x2-=2",故a„-bn=3nx2",

所以(=3*2+6*22+--+3”2”,故27；=3x2,+6x2^+…+3〃x2-i,

1_2n

故-北=3x2+3x2?+…+3x2"-3"x2"i,=6x-----3〃x2"”=(3-3〃)2用一6,

1—2

所以Z,=(3〃-3)2'M+6.

18.(2022春.广东广州.高二统考期末)已知二项式(weN*)的展开式，给出下列

条件：

①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②所有偶数项的二项式系数之和为256；③展开

式中第4项为常数项.

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题：

（1）求展开式中X-3的系数；

（2）求展开式中二项式系数最大的项

【答案】（1）18；（2）答案见解析.

【解析】（1）二项式+的展开式的通项公式为：（2x）r.

选条件①：第二项与第三项的二项式系数之比是1：4,

所以"J，即4〃=吗』，解得："=9；

选条件②：所有偶数项的二项式系数之和为256,所以2"一=256,解得：n=9.

（1\n-39-n

选条件③：展开式中第4项为常数项，即4=C［亡］（2x）3=23C%〒为常数项,

所以〃=9.

所以二项式19+2,的展开式的通项公式为：7；+1=C；^（2x）'=2，C；x*.

要求展开式中一的系数，只需令殍一3,解得：r=l.

所以系数为2c=18.

（2）当“=9时，展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项.

3x4-933x5-9

所以n=2支丁丁=2016x5，"=25c3==4032V•

19.（2023春・江苏镇江•高二扬中市第二高级中学校考期末）如图，四棱锥S-ABCD的底面是直

角梯形，AB//CD,48AD=NAOC=90。S3,平面ABC。，M是SA的中点，AD=SD=CD=2AB=2.

（1）证明：DM，平面SAB；

（2）求二面角A-S5-C的大小；

（3）线段SC上是否存在一点E,使得直线SA〃平面&5E.若存在，确定E点的位置；若不存

在，说明理由.

【答案】（1）见证明；（2）135°；（3）见解析

【解析】（1）因为SZ〃平面ABC。D4,DCu平面ABC。.

所以SUM,SD±DC,XOA1DC.

如图，以。为原点建立空间直角坐标系.

由题意得。（0,0,0），4（2,。,0）1（2,1,0）,C（0,2,0）,5（0,0,2）,加（1,0,1）

所以两=（1,0,1）,丽=（2,0,-2）,通=（0,1,0）.

所以两.豆=0,次?.丽=0,

所以。M_LSA,DM_LAB,

所以DM_L平面S4B.

（2）设平面SBC的法向量为*=（x,y,z）,

因为豆=（0,2,-2）,阮=（-2,1,0）.

SC-^=02y-2z=0

所以即

BC-n[=0,-2x+y=0

令尤=1,则y=2,z=2.于是4=(1,2,2).

因为。平面SAB,所以两为平面SAB的法向量，

____yi.DAf

又两=（1,0,1）.所以cos5,。M〉=#后而=方.

阿即|2

因为所求二面角为钝角，所以二面角A-S8-C大小为135。.

（3）SE=A,SC=（0,22,-2A）.（Ae[0,1]）,

DE=DS+SE=(O,22,2-2A),丽=(2,1,0),SA=(2,0,-2).

设平面BDE的法向量%=(%,%,z0),

则=即12几%+2(1.川z°=0,

、[丽.点=0，12无()+%=0

A[c24T曰-个24)

令%o=l，%=-2,z=-一于是〃2=1，-2,^―-,

01—X\i-Z)

如果直线SA〃平面ME,

那么S4%=。，解得“=；•

所以，存在点E为线段SC靠近S点的三等分点，使得直线SA//平面瓦圮.

20.（2022春.湖南•高二校联考期末）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解

市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表：

年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

频数551015105

赞成的人数3491073

（1）请估计该市市民对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（同一组数据用该区间

的中点值作代表）

（2）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年龄在

[45,55）的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为鼻求

随机变量J的分布列和数学期望；

（3）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记〃为所发到的20人中赞成“车辆

限行”的人数，求使概率P（n=左）取得最大值的整数h

4

【答案】（1）0.72,47；（2）见解析，E偌）=§；（3）笈=14

3+4+9+10+7+3

【解析】（1）赞成率为

50

112321

平均年龄为20x—+30x—+40x—+50x—+60x—+70x—=47；

101010101010

(2)4的可能取值为0,1,2,3,4,

因为年龄在［45,55)的市民不赞成“车辆限行”的频率为g,所以

所以=:Q］（左=0,1,2,3,4）,

所以。的分布列为：

J01234

1632881

p

8181278181

E^=np=i

（3）这50被调查者中，有36人赞成，14人不赞成,

Pk020—女

所以尸(〃=%)=谭齐(左=6,7,8,…,20),

。50

［尸（"左）2尸（〃=1）ws725<777

由，尺〃=左〃尸［77=左+0'解传52一一52，

因为左eZ,所以％=14.

21.（2022春.湖北武汉.高二统考期末）已知动圆”过定点4（2,0）,且在y轴上截得的弦长为

4,圆心M的轨迹为曲线L

（1）求L的方程；

（2）已知点8（-3,-2）,C（2,l）,P是L上的一个动点，设直线尸3,PC与L的另一交点分别为

E,F,求证：当P点在L上运动时，直线ER恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.

【答案】（1）y2=4x；（2）证明见解析，定点im；

【解析】（1）设圆心c（x,y）,圆的半径为R,

则7?2=22+x2=（x-2）2+（y-0）2,整理得y2=4x.

所以动圆圆心的轨迹方程为丁=4x.

⑵证明：抛物线的方程为丁="设?打］,”号'为>

则直线所的方程为‘一%=^^（龙—），

44

得y=^—+%=」^+—+-2--

%+%MM+%7i+%

又才=4再，所以直线所的方程为安丁丁丁+笠(