山东省菏泽市2023-2024学年高一年级下册数学4月月考数学模拟试题（含答案）

山东省荷泽市2023-2024学年高一下学期数学4月月考数学

模拟试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.已知向量”=（Tx）,B=0,2）,若方石共线，则x的值为（）

A.一2B.-1C.1D.2

]

2.若复数z=/T+a+l）i（aeR）是纯虚数，则不的虚部为（）

22.22.

-----------1———1

A.5B.5C.5D.5

y/3,A=-,BC=y/13,,

3.已知O8C的面积为3，则+ZU=（）

A.13B.14C.17D.15

4.如图，正方形"BCD中，M、N分别是8C、CO的中点，若元=彳孤+〃就，则

彳+〃=（）

868

A.2B.3c5D,5

5.已知向量流B满足同=1,W=3,且。在5方向上的投影向量的模与B在己方向上的投影

向量的模相等，则卜一可等于（）

A.丽B.石C.4D.5

2万

ZACB=———.__

6.在"Be中，AC=1,BC=2,3，点M满足CA/=C5+2C4,则

MA-MB=（）

A.0B.2C.2cD.4

7.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作

《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到

一座建筑物AB,高约为37m,在地面上点C处（B,C,N三点共线）测得建筑物顶部A,

鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45。，在A处测得楼顶部M的仰角为15。，则鹳雀楼的高

度约为（）

A.64mB.74mC.52mD.91m

cJ

8.已知锐角“5C,AB=2^,3,则NB边上的高的取值范围为（）

A.（°，3]B.（0,3）c.（MlD.（2,3）

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.己知i为虚数单位，复数Z满足Z（2-i）=i202。，则下列说法错误的是（）

1_2_1，

A.复数z的模为二B,复数z的共轨复数为551

1.

-1

C.复数z的虚部为5D.复数z在复平面内对应的点在第一象限

UUlUULUULIUI

10.已知点O为所在平面内一点，且40+208+3℃=0,则下列选项正确的是

（）

iun।uuu3111a

AO=-AB+-AC

A.24

B.直线/。必过3c边的中点

C.:SAOC=3:2

IULUI|ULIUiILU।.—

\OB\=\OC\=\,777;\OA\=V13

D.若I〔II,且081.。。，则II

II.在“8C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且ccos3+6cosC=/,则下列说法

正确的是（）

V3

A.若B+C=2A,则0BC面积的最大值为彳

-兀

B.若Z=4,且只有一解，则b的取值范围为（Z°闺

C.若C=2A,且为锐角三角形，则c的取值范围为0'6）

D.。为“8C的外心，贝ij2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.与向量。=(12,5)平行的单位向量的坐标为.

13.河中水流自西向东流速为10km/h,小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的3点,

并使它的实际速度达到每小时l°6km,该小船行驶的方向为，小船在静水中的速度

为.

14.如图，点州，N在无法到达的河对岸，为测量出N两点间的距离，在河岸边选取

A,B两个观测点，测得1/用=加，NMAN=NNAB=30。,ZABM=60。,/MSN=45。，则

M,N两点之间的距离为(结果用m表示).

M

AB

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知"0Z,B=(I，T).

⑴若2)+5与笳-5垂直，求k的值；

⑵若e为y+B与1加勺夹角，求0的值.

16.设复数z=-5)+(病+5加+4],m为实数.

(1)当m为何值时，z是纯虚数；

(2)若加=2求的值;

(3)若复数三在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围.

17.在aABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,^S=^AB-CB(其中s为4

ABC的面积).

(1)求B；

a+c

(2)若aABC为锐角三角形，求b的取值范围.

18.设Z,Z2均为复数，在复平面内，已知工对应的点的坐标为(用2-4加+3,机-1),且Z2对

应的点在第一象限.

(1)若复数4为纯虚数，求实数m的值;

-1

⑵若"1=6,且Z2是关于X的方程，一2如+/+1=0(”R)的一个复数根，求z2.

19.如图，设中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,为BC边上的中线，已

而

知6=c+3sinA-(a2+b2-c2^)=SabsinC-2abcosAsinCcosZBAD=^-

(1)求边b、c的长度；

(2)求“3C的面积；

AG=-AD

⑶点G为上一点，3,过点G的直线与边/8、AC(不含端点)分别交于£、

AG-EF^沁

F.若6,求S.ABC的值.

1.A

【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求次的值.

【详解】因为°=(Tx),B=(L2),落[共线,

所以—1x2-lxx=O,所以x=-2,

故选：A.

2.A

(a2-l=0

【分析】根据纯虚数的概念可知10+1N°即可求。，进而计算可得结果.

[a2—1=0

【详解】由题意知：，可得。=1,

J_，=_Ti」2]12

所以z+"1+21(1+21)(1-21)5§,根据虚部的概念，可得z+a的虚部为5.

故选：A

3.C

【分析】先根据三角形的面积公式求出/CZ3,再利用余弦定理即可得解.

S=-AC-AB-sinA=^

【详解】"3C的面积2,所以工。/8=4,

,AC2+AB2-BC21

cos74=________________=_

由余弦定理得一2AC-AB2,因此2笈+/。2=w.

故选：C.

4.D

【分析】利用平面向量基本定理选择而和而作为一组基底，表示出就，根据

AC=AD+AB列出方程组即可求解.

【详解】由己知可得

就“而+〃丽”@+萧)+〃g函产"+g回+〃[而一；回

s

=口-3+9+〃”

4-乂=12

2

%_i

—.—►—►—卜〃二1

由图可知=+所以12,解得

A+//=—

所以5,

故选.D

5.A

【分析】设向量扇6的夹角为a°e［O,兀］,由题意可得小在=0,再由向量的模长公式求解即

可.

【详解】设向量13的夹角为兀］,

所以］在B方向上的投影向量的模为恸c°seHc°se|,

7f|区|cosO|=|3cos6|

6在4方向上的投影向量的模为11।11,

所以|COSM=3|COSM,则|COS0|=0,所以展B=0,

所以归_可=折+庐_2鼠石=

故选：A.

6.A

【分析】用CN,CB,表示忘和砺，最后代入进行数量积运算即可。

［详解］由题可得：MA=CA—CM=CA—(CB+2CA)=—CB—CA

MB=CB-CM=CB-(CB+2CA)=-2CA

所以疝•痂=(-CB-04)(-204)=2CB-CA+2CA

ZACB=-TT

由于NC=1BC=2,3

ULTUH.ULTi.ULT,27r

C5-G4=C5-G4.cosZ^C5=lx2xcos—=-lCA=\C^=\

则I门I3

——«2

MB=2CB-CA+2CA=—2+2=0,

故选：A

关键点点睛：本题以三角形为背景，把平面向量的线性运算以及数量积运算巧妙的结合在一

起，用基底CN,CB,表示疝和话是解题的关键，属于中档题.

7.B

【分析】首先在中求NC,再在中，求角，并利用正弦定理求MC,最后

「△MNC中，即可求解MV.

【详解】因为中，ABBC,^5=37m,44c8=30°,

所以4c=2AB=74m,

因为Rt△跖VC中，NCLMN9ZMCN=45°9

6

MN=MCsm45°=—MC

所以2

由题意，^MAC=45°fZMCA=180°-45°-30°=105°,

贝ljZAMC=180°-105°-45°=30°,

MC_NCMC_74

在△4CM中，由正弦定理得sin/A£4CsinZAMC,即sin450sin30°,

AS74sin45°,.rr

MC=------------=74J2m

故sin30°,

=—x74V2=74m

故2.

故选：B

8.C

四</<乌h=2sin|2A--j+1

【分析】设边上的高为〃，根据题意得62,再结合条件得I6J,再

分析求值域即可.

C=-

【详解】因为05c为锐角三角形,3,设边上的高为

2714V兀Jin

u<_-<A<-

所以132,解得62

ab_c2G4

sin/sinBsinCy/3

由正弦定理可得，2

1,.71

S=-ch=—absm—

所以Q=4sin4,b=4sin8因为223

6,

—ab271J^=4sin^f—cos^+-sin^

n=f-=4sinZsin

所以2622)

=2A/3sinAcosA+2sin2/=VJsin24+1—cos24=2sin[24—己)+1

71

It,Tt71一，715兀

—<A<—-<2A-—<一—<sin|224--<1

因为62,所以666,所以26

一己

2<2sin]24+1<3

所以,所以N8边上的高的取值范围为(2,3].

故选：C.

9.ABC

【分析】直接利用复数的运算，复数的模，复数的共辗，复数的几何意义判断A、B、C、D

的结论.

_(i2)1010_1_2+i

/C-2020Z=-------=-----------

【详解】解：复数Z满足Z(2T)=I,整理得2-i2-i5

21.

z=—+—1|z|=

对于A：由于55,故,故A错误;

21.-2

2=—+—1z-------1

对于B：由于55,故55,故B错误;

1

对于C：复数z的虚部为5,故C错误；

对于D：复数z在复平面内对应的点为故该点在第一象限内，故D正确;

故选：ABC.

10.ACD

UUUUL14UUIU

【分析】根据题设条件，化简得到4/°=+2/B+3NC,可判定A是正确的；根据向量的线

性运算法则，化简得到"C=-2(O8+℃)=-40D,可判定B不正确；根据就=-4无，得

BE3

到正一5,结合三角形的面积公式，可判定c正确；根据向量的数量积和模的运算公式,

可判定D是正确的.

UUUJULUUUQJ|

【详解】如图所示，点O为08C所在平面内一点，且/0+208+3℃=0,

可得器+2法一2拗+3浣一3%+5%乩即加=2@电>3便一砌,

uun1ULU3uun

———,AO=-AB+-AC

即440=245+3/0,所以24,所以A是正确的；

在中，设。为8c的中点，

UUUnULIU|LOUULIUULUUUUI

由/O+2O3+30C=0,可得（/0+0。）+2（03+0。）=0,

所以NC=-23+OC）=-4OZ）,所以直线/。不过8c边的中点，所以B不正确;

由就=一4历，可得%C|=4|°4且NC//OD,

空一变」DE-^ECEC3c些_3

所以ECAC4,所以4,可得5,所以EC2

。-ADxBEsinZAEBDE,o

SAAOB=2=-=-

S^oc-ADxECsmZOECEC2

所以2,所以c正确；

UUHIULUUUUIUUULUULIU

由/0+20B+30C=0,可得CM=2Q6+3OC

IULUIIUUUI

\OB\=\OC\=1775,7^7;

因为III।，且。8，。。，

iULr.2Ium山口2ULU,mnuunujn2

\0A=2OS+3OC=40B+12OBOC+9OC=13

可得IIII,

Q=V13

所以I।,所以D是正确的.

故选：ACD.

本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运

算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是

解答的关键，着重考查推理与运算能力.

11.ACD

【分析】对于A,由正弦定理可得。，根据3+C=2/求出A,再由余弦定理、基本不等式

和三角形面积公式可判断A；由正弦定理得2,利用sin8=l可判断B；求出

B*3A,利用O8C为锐角三角形得A的范围，由正弦定理得C=2COSN,求出c的范围

可判断C；做,8C交2C于点。点，则。点为8c的中点，设9080=a可得

BD

cosa=_..

B。,利用505。数量积公式计算可判断D.

【详解】对于A,由正弦定理可得sinCcos3+sinBcosC=sin"=asin/,

因为。<4<兀，所以sinZwO,所以。=1,

A=1

若B+C=24,且5+C+Z=TI,所以3,

兀+c2-a1ZJ2+c2-1

cosA-cos—=-----------=----------

由余弦定理得32bc2bc,

由6>0,c>0,可得从+c?=6c+1，2bc,即6cM1,

4csm/JxyM必

则OBC面积2224,所以面积的最大值为4,故A正确;

b_1

,兀sin5-7i

A=—sin—

对于B,若4,且。=1,由正弦定理得4,

sinB=bsin—==1

所以42,当sm8=l时即2,所以6=七r时有一解，故B错误;

对于C,若C=2A,所以8=兀-A-2A-71-34,且小3c为锐角三角形,

八/兀

0<A<—

2

<0<2A<-

2

0<兀-3/〈四

1<J4<-cosAe

所以12解得64,所以

acIxsinCsin2^4,4K仄、

----=-----c=-------=------=2cos/£（。2,，3I

由正弦定理sin/sinC得sin/sin/'7,故C正确;

对于D,如图做,BC交8C于点。点，则。点为BC的中点，且BC=1,

BD

一八cosa=

设B08D=a,所以BO,

BC-BO=\BC\-\BO\coscr=网环||啊网臼呵

所以4故D正确.

故选：ACD.

12.信

【分析】设单位向量坐标为a，y）,根据向量共线公式及求模公式，化简计算,即可得答案.

【详解】设与向量£平行的单位向量的坐标为（、/）,

由题意得112y=5x,解得卜13或产一13,

故Gi部卜土制

13.北偏西3。°方向20km/h

【分析】利用平面向量来进行求解，结合特殊角的三角函数值得到答案.

【详解】如图所示，方的方向代表水流方向，且口”卜1°,

历的方向即为小船行驶的方向，且方+赤=砺，口@=1。石，OB_LOAt

10_V3

tanZ.OBA=----

-ZOBA=-

则OB10A/33故6,

7T

ZBOP=ZOBA=-

故6,小船行驶的方向为北偏西30。方向,

1—1|词

OP=」一匚=20

且।1cos30。，即小船在静水中的速度为20km/h.

故北偏西30°方向，20km/h-

V2yflm

m-

14.2----##2

【分析】先分别求出现"।和1N吊，在△儿/BN中，利用余弦定理即可解得.

【详解】因为乙忆4乂=/儿45=30。，所以NMzfB=NM4N+NM<8=60。

因为//8"=60。，所以乙4儿必=60。，所以为等边三角形，所以M同=|八第=".

在AABN中，ZABN=NABM+ZNBM=60°+45°=105°,ZNAB=30°,

所以N4A®=180°-105°-30°=45°.

也1=.3=地\NB\=^m

由正弦定理得：sinNANBsinNN4B,gpsin45°sin30°,解得2

A-mAm

在八MBN中，ZMBN=45°；l®lTJ®l=，由余弦定理解得:

\MN\=yJ\NBf+\MBf-2\NB\-\MB\'cosZMBN

V2

=----m

2

V2

—m

故2

15.(1)左=°；

e=-

⑵4

【分析】（i）利用向量线性运算的坐标表示，结合垂直的坐标表示求解作答.

（2）利用向量夹角的坐标表示计算作答.

【详解】⑴因为"=&2）,3=（D,则2。+刃=（3,3）,坂=（"1,2左+1）

依题意，（2〃+可•（左。—5）=3（左一1）+3（2左+1）=9左=0,解得左二0

所以左=°.

(2)由(1)知，2a+B=(3,3),Q—B=(0,3),则12a+司=<3、+3、=3桓,\a-b\=3

八3x0+3x39V2

CS

°~\2a+b\\^-b\372x3~~T而。40，句,

0=-

所以4

16.(1)5

⑵屈

⑶（-1,5）

【分析】（1）根据复数的相关概念列式求解；

（2）根据复数的模长公式运算求解；

（3）根据共轨复数的概念以及复数的几何意义列式求解.

[m2-4m-5=0

【详解】（1）若Z是纯虚数，则1/+5"+4*0,解得加=5,

所以当”=5时，z是纯虚数.

（2）若％=-2,贝尸=7-2i,

所以比步+（一2）;后.

（3）因为复数一.-5）-耐+5机+4）i,对应的点为（（苏-4机-5）,-3+5加+4））,

若复数3在复平面内对应的点在第三象限，

m2-4m-5＜0

则〉（丁+5%+4）＜。，解得_]＜加＜5,

故实数m的取值范围为（T，5）,

B=-

17.（1）3

⑵（❷2]

【分析】（1）利用向量的数量积公式和三角形的面积公式求解；

a+c

（2）利用正弦定理边化角将b转化为三角函数，利用三角函数的性质求解.

【详解】⑴因为2s=6相而，

贝”acsinB=COSB,

71

所以tan8=g,又840,兀），则=§；

B=-

（2）由AABC为锐角三角形及3,

C=--^e(0,-)

得32,且五％，所以62-

abc

由正弦定理sinZsinBsinC,

a+csin力+sinC~^=(sinA+sinC)

得bsin8J3

2.../2兀八r

=-j=[rsmA+sin(--A)]

、

sin/+cos/=V3sin+cosA-2sin(7l+

76

7171TtTt271A/3..7t

Ae<A+—<——,——<sinZ(^+—)<1

因为6236326

所以“＜2sm（/+d）V2,即一厂的取值范围是（62.

18.(1)加=3

⑵-"

【分析】（1）根据均为纯虚数可得其实部为零，虚部不为零，从而可求参数的值;

--i

（2）用实数。表示Z?,根据其模长可求。，再根据复数的除法可求z°.

【详解】⑴由题可知4=病-4加+3+（*1）,其中加丹

,•,复数均为纯虚数，.•.俏2-4相+3=0,且m-lwO,

...加=3.

（2）.-X2-2ax+a2+1=0.（%-。）=-1.x-a=±i

.•・关于X的方程x2-2ax+a2+l=0的两根分别为a+i,a-i,

・一2对应的点在第一象限，.-2="+＜且。＞°,

...㈤二6，=J。'+F=[,

...a=V2,或a=一枝,

z-

...a>0,Aa=41,A2=叵+i,z?=6i

.一ia一2i伊一方厚一i）

Z23

19.(1)6=4,。=1

⑵百

]_

⑶9

【分析】（1）利用余弦定理结合正弦定理化简得出b=4c,再结合b=c+3可求得边6、c的

长度；

—►1—►1—►

AD=-AB+-AC

（2）设NA4c=8,由题意可得22,利用平面向量数量积的运算性质结合

V21

cosZBAD=--八八.八

7可得出关于cos＜的等式，解出cos。的值，进而可得出sin£的值，利用三角形

的面积公式可求得MBC的面积；

（3）设通=几万，万=〃冠，其中几、〃e（°，l）,根据E、F、G三点共线可得出

11/F—5

—I—=6A.G,EF——

2〃，再利用平面向量数量积的运算性质结合6可得出18〃-3彳=5,然后利

□△AEF

用三角形的面积公式可求得S^ABC的值.

【详解】（D解：因为sm/«2+。2）=SabsinC-2abcosAsinC

..a2+b2-c2..

sinA---------------=4smC-cosAsinC

所以，2abgpsinAcosC+cosAsinC=4sinC,

所以，sin(/+C)=4sinC,即sin8=4sinC,即b=4c

又因为6=c+3,所以。=1,b=4c=4.

（2）解：设NBAC=e,因为ND为8c边上的中线,

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB}=-AB+-AC

所以，22lJ22

则方=+就)=曰方『+曰方H%kos6=2cose+g

,1»2、

+AC+2ABACJ

=；J阿2+附+2网|就卜se=gjl+16+8cose=山+