2024年高考数学考点复习

2024年方考破等总复0方频考支会套要R

席真（精华版）

第一部分：函数

一、考试内容及要求

1.集合、简易逻辑

考试内容：集合：子集、补集、交集、并集；逻辑联结词，四种

命题，充要条件.

考试要求：⑴理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解

空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关

的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

⑵理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及

其相互关系，掌握充要条件的意义.

2.函数

考试内容：映射，函数，函数的单调性；反函数，互为反函数的

函数图像间的关系；指数概念的扩充，有理指数幕的运算性质，

指数函数.；对数、对数的运算性质，对数函数.函数的应用举例.

考试要求：⑴了解映射的概念，理解函数的概念.

⑵了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的

方法.

⑶了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一

些简单函数的反函数.

⑷理解分数指数幕的概念，掌握有理指数塞的运算性质，掌握指数函

数的概念、图像和性质.

⑸理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、

图像和性质.

⑹能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简

单的实际问题.

二、重要知识、技能技巧（省略的部分自己填写）

1.函数是一种特殊的映射：f：A-B（A、B为非空数集），

定义域：

‘自然定义域给解析式常涉及分母开方,指数幕，对数或三角函数复合函数

'限定定义域:应用条件的限制或有附口条件的制约

解决函数问题必须树立“定义域优先”的观点.

2.函数值域、最值的常用解法

⑴观察法；⑵配方法；⑶反表示法；如y=*或尸包q

ax+b2-cosA

⑷△法；适用于经过去分母、平方、换元等变换后得到关于y的

一元二次方程的一类函数；⑸基本不等式法；⑹单调函数法；⑺

数形结合法；⑻换元法；⑼导数法.

3.关于反函数

⑴求一个函数y=f(x)(定义域A,值域D)的反函数步骤；(略)

⑵互为反函数的两函数的定义域、值域、图象间关系；

⑶分段函数的反函数分段求解；

⑷有关性质：定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；单调

函数必有反函数，且两函数单调性相同；奇函数的反函数仍为奇

函数；

周期函数不存在反函数;fT(a)=bof(b)=a.

4.函数奇偶性

⑴判断

’定义域关于原点对称

①解析式.尸x)钉(x)=0、

f(x)=/(-X)物(-X)=-F(x)—/(-%)=±+1l,r/(x—)^0n

〔IJ

②图象(关于y轴或坐标原点对称)

⑵性质：如果f(x)是奇函数且在x=0有定义，则f(0)=0；常数函

数f(x)=0定义域(一7,刀既是奇函数也是偶函数；在公共定义域

上，两个奇、偶函数的运算性质.(略)

5.函数单调性

⑴定义的等价形式如：(x1-^)[f(X1)-f(x2)]>0

X]-x2

⑵判断：①定义法；②导数法；③结论法(慎用).

奇偶函数在对称区间上的单调性；互为反函数的两函数单调性;

复合函数的单调性(同增异减)；常见函数的单调性(如y=x+Ja

X

WR).

6.函数周期性

⑴f(x)=f(x+a)对定义域中任意x总成立,则T=a.如果一个函数是周期

函数,则其周期有无数个.

⑵f(x+a)=f(x—a),则T=2a.(3)f(x+a),则T=2a.

/(x)

⑷f(x)图象关于x=a及x=b对称,aWb,则T=2(b—a).

⑸f(x)图象关于x=a及点(b,c)(bWa)对称，则T=4(b—a).

7.函数图象的对称性

⑴若f(a+x)=f(a—x)或[f(x)=f(2a—x)],则f(x)图象关于x=a

对称，特别地f(x)=f(—x)则关于x=0对称；

⑵若f(a+x)+f(b—x)=2c,则f(x)图象关于("2,c)中心对称,

2

特别地f(x)+f(—x)=0,则关于(0,0)对称；

⑶若f(a+x)=f(b—x),则y=f(x)关于x=巴心对称；

2

(4)y=f(x)与y=f(2a—x)关于x=a对称；y=f(x)与y=—f(x)+2b关

于y=b对称;y=f(x)与y=-f(2a—x)+2b,关于(a,b)对称.

⑸y=f(a+x)与y=f(b—x),关于x="^对称.

2

8.⑴要熟练掌握和二次函数有关的方程不等式等问题，并能结合

二次函数的图象进行分类讨论；结合图象探索综合题的解题

切入点。

⑵抽象函数未给出函数解析式，但给出函数的一些性质来探讨

它的其他性质，这样的题目常以具体的函数为背景，处理时要用

广义的定义、性质、定理去处理，不能用具体函数去论证.

9.指数对数函数

⑴对数恒等式a10g^=x(a>0且aW1,x>0).

⑵对数运算性质(M>0,N>0,peQ)

①logs(MN)=logaM+logaN；②loga—=logaM—logaN；③

N

p

logaN=plogaN.

⑶y=logaX与y=logix；y=ax-^y=(-)x；y=ax-^y=bx(a>b)

«a

y=logaX与y=logbx图象间关系：(略)

10.逻辑联结词，四种命题

⑴且、或、否可理解为与交、并、补对应.

⑵非p即「p是对p的否定，而p的否命题，则是否定条件，否定

结论.

例：p：如果x=l,那么X?—1=0；则-1p：如果x=l,那么一一1

W0.

而命题P的否命题是：如果xWl,那么x'—lWO.

⑶原命题和它的逆否命题、逆命题与否命题都互为逆否命题，互

为逆否的两个命题真假性一致，因此一个命题的真假性难以判断

或一个命题难以证明时，可以判断或证明它的逆否命题.

11.充要条件

⑴充分条件，必要条件，充要条件的等价叙述，如，P是q的充分

条件o若P，则qopoqoq的一个充分条件是p.

⑵关于充要条件的几个结论：

①“定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充

分条件.

②在aABC中，A>Boa>b.

③"曰=|川’是⑤=%”的必要不充分条件

④“{an}既是等差，又是等比数列”是“{aj是常数数列”的充

分不必要条件.

⑤“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0"是"该方程表示圆方程”的必要不充

分条件.

⑥『（x）=0是x为极值点的必要不充分条件.

⑶证明充要条件的命题要证明两个方面，首先必须找准一个命题

的条件和结论..

12.反证法

反证法就是假设命题的结论不成立，从这个假定出发，经过推理

证出其矛盾，然后推翻假设肯定原来命题正确。推出矛盾常见以

下几种：

⑴与公理、定理、定义矛盾；

⑵与熟知的事实矛盾；

⑶与已知矛盾；

⑷与不同方向推出的其他结论矛盾。

以下情形适宜用反证法证明：

⑴难以甚至无法由已知条件直接证明结论的；

⑵“至多”、“至少”型问题；

⑶唯一性的证明；

⑷问题的结论本身以否定形式给出的；

⑸要证命题的逆命题是正确的。

注意若命题结论的反面情况有多种，则必须将每一种反面情况都

驳倒。

13.解答函数应用题的基本步骤为：

⑴审题：审题是解题的基础，它包括阅读、理解、翻译、挖掘等，

通过阅读，理解问题的类型、内涵、实质，以及应建立的数学模

型；

⑵建模：在细心阅读，深入理解题意的基础上，引进数学符号，

将题目中的非数学语言转化成数学语言，然后，根据题意，列出

数量关系一一建立函数模型，注意字母为取值范围应符合实际事

实。

⑶解模：通过函数的有关性质的运用，进行推理、运算，使问题

得到解决；

⑷还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，对于理论的推导结

果，要代入原问题中进行检验、评价，判断是否符合实际情况。

分析、解决应用问题的思维过程：

还原

（检验、评价）

三.易错点提示

⑴多变量问题注意主元与辅助元的转换

如p£(±4)时，不等式px+l>2x—p恒成立，可看成关于p的函

4

数g(p)=(x+l)p+l—2x>0,在(L4)上恒成立训(等号不同时

4

[g⑷20.

取)

⑵单调函数要与区间对应.

⑶关于范围的结论的书写注意端点的“开闭”

⑷丫=竺±£的中心(a,b),渐近线x=a,y=b,单调区间(-8,a),(a,+

x-a

8)(ab+cWO)

⑸图象信息题注意观察:对称性、特殊点、升降情况、图象位置、变

化率、最高、最低点等.

如：丫=普图象则a>c>b.

X+C

y=ax3+bx2+cx+d则a>0,b>0,c<0.

⑹复合函数要注意定义域的作用

2

如求y=log2(X—3x+2)的单调区间，已知f(x+U=x2+±,求f(x)

xx

均须考虑定义域.

⑺解决映射的有关问题，注意分类讨论.

如乂=1,丫，z},N={1,0,-1},f：M-N满足f(x)—f(y)=f(z)的映

射个数(7).

⑻注意代表元素的不同对集合意义的影响。如{y|y=x2}>{x|y=x2}>

{(x,y)1y=x2}就表示完全不同的三个集合，它们分别表示[0,+8

),R两个数集及抛物线y=x2上的点集。避免如下错误：{y[y=x2}n

{y|y=2x}={(2,2).(4,4)}。

⑼用列举法表示集合时，元素既不能遗漏，又不能违反互异性原则,

如方程(x—(x+2)=0的解集表示为{1,1,—2}是错误的，作为集

合只能表示为“，一2}.另外注意(1,2),{1,2},{(1,2)}的区别.

⑩一般来说图象直观不能代替代数论证.

四.自我查找

请结合你自己学习函数这部分内容的实际情况，列举你自己认为

的易错点、难点、疑点.

第二部分：导数

一、考试要求：

1、了解导数概念的实际背景。

2、理解导数的几何意义。

3、掌握函数丫=力(n£N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。

4、理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多

项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最

小值。

5、会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中

的某些简单实际问题。

二、知识与方法

1、导数的定义

设函数y=f(x)在点X。及其近旁有定义，当自变量x在X。处有增量(或

称改为量)△*,那么函数y相应的有增量(或称改变量)Ay,

△y=f(xo+Ax)—f(x0)

比值包就叫做函数y=f(x)在x。到xo+Ax之间的平均变化率.

Ax

Ay+Ax)-/(x。)

AxAx

如果当△x-O时，包有极限，我们就说函数y=f(x)在x。处可导，

Ax

并把这个极限值叫做函数f(x)在X。处的导数(或称变化率)，记作金

(Xo)或y'|x=Xo或(x)|x=Xo.即：

f'(X0)=lim'=也必上^2

人—0AxAx

这里须指出：f'(X。)是函数y=f(x)在x。点的导数值，瞬时速度也就

z

是位移函数s(t)在点t。处的导数,即：S(t0)=匕。

2、求函数y=f(x)在X。点处的导数的步骤

⑴求函数的增量(xo+Ax)—f(x0)

⑵求平均变化率：包=/(/+©—.

AxAx

⑶取极限，求函数在X。点的变化率，即导数：e(X°)=lim包.

Axf08

3、“函数f(x)在点X。处的导数”、“导函数”及“导数”的概念间的

区别与联系：

⑴函数在一点处的导数，就是在该点的函数增量(xo+Ax)—f(x0)

与自变量的增量之比的极限。它是一个常数，不是变量。

⑵如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点处均可导，这时称y=f(x)

在区间(a,b)内可导，对于区间(a,b)内一个确定的值x。，都对应着一

个确定的导数f'(X。)，这样的对应就构成了以区间(a,b)为定义域的

一个新函数，称为函数f(x)的导函数，简称导数，所以函数的导数

是对某一区间内任意一点x而言的。

⑶y=f(x)在x=x()处的导数f'(xo)就是导函数f'(x)在x=x()处的函数

值，

即即(x)|(X。)，值得注意的是:fz(xo)#[f(xo)]/

4、导数的几何意义

⑴函数f(x)在点X。处有导数,则函数f(x)的曲线在该点处必有切线,

且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点X。处有切线，函

数f(x)在该点处不一定可导。如f(x)=正在x=0有切线，但不可导。

⑵函数y=f(x)在点Xo处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点

P(xo,f(xo))处切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x(),f(X。))处的切线

的斜率是f'(xo),切线方程为y—f(x())=f'(x())(x—Xo)

5、常见函数的导数公式

(DC7=0(C为常数)⑵(Xy=nxn-1(nGQ)

6、可导函数四则运算法则

设函数f(x)、g(x)都是可导函数,则：

(f(x)土g(x))'=f'(x)±gz(x)

三、导数的应用

1、利用导数判断函数的单调性

设函数y=f(x)在某区间内可导，并且在该区间内，『(x)>0,则f(x)

在该区间内为增函数；若在该区间内，f'(x)〈0,则f(x)在该区间

内为减函数.

指出：若可导函数只有某区间的个别点处导数等于零，不影响函数在

该区间内的单调性，如y=x3,在(—8,+8)内,y=3x220(只在x=0

处y'=0)不影响y=x，在(-8,+co)内为单调增加.

2、求可导函数f(x)单调区间的一般方法和步骤如下：

⑴确定函数f(x)的定义区间；

⑵求函数f(x)的导数『(x)；

⑶令金(x)>0,所得x的范围(区间)为函数f(x)的单调增区间；

令尹(x)〈0,得单调减区间.

3、利用导数求函数的极值

⑴极值的定义：设函数f(x)在点X。附近有定义，如果对X。左右近旁

的所有x值，都有

f(x)<f(Xo)

我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y(xo),

如果对x。左右近旁的所有x值，都有f(x)>f(x。)

我们就说f(x0)是f(x)的一个极小值，记作y极小(Xo)

极大值、极小值统称为f(x)的极值.

指出：一个函数在给定区间上的极小值不一定小于极大值.(即极小值

可以大于或等于极大值)；极值是函数的局部性质，它仅与左右近旁

的函数值进行比较；极值点一定是区间的内点。导数为零的点是该点

为极值点的必要条件，不是充分条件。

⑵极值的判定方法。

当函数f(x)在X。处连续时，判别f(x。)是极大(小)值的方法是：

①如果在X。在左侧近旁广(Xo)>o,右侧近旁广(x0)<0,那么f(x。)

是极大值；

②如果在X。在左侧近旁*(x0)<0,右侧近旁f'(x°)>0,那么f(x。)

是极小值.

⑶求函数的极值的步骤：

①求函数的定义域

②求导数f'(X)

③求导数f'(x)=0的根.

④检查f'(x)在方程#(x)=0的根的左右的符号，如果左正、右负，

那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个

根处取得极小值.

4、函数的最大值与最小值

⑴闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值.(开区间上的连续函

数不一定有最大值和最小值).

⑵求闭区间［a,b］上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤：

①求f(x)在(a,b)内的极值；

②将f(x)的各极值与端点函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个

是最大值，最小的一个是最小值.

⑶如果函数f(x)在开区间(a,b)或(一8,+8)内可导且有惟一的极值

点x。,那么当f(xo)是极大值时,f(xo)就是f(x)在该区间上的最大值；

当f(X。)是极小值时，f(X。)就是f(x)在该区间上的最小值.

⑷对于实际问题，如果连续函数f(x)在区间(a,b)内只有一个点使

fz(x)=0,而且实际问题本身又可以知道f(x)在(a,b)内必定取得最

大值或最小值，则f(x。)就是所求的最大值或最小值，这时也就无须

判断是极大值还是极小值.

第三部分三角函数

一、重点突破

1、关于任意角的概念

角的概念推广后，任意角包括、正角、负角、零角；象限角、轴上角、

区间角及终边相同的角

2、角的概念推广后，注意“0°到90°的角”、“第一象限角”、“钝角”

和“小于90°的角”这四个概念的区别

3、两个实用公式：弧度公式：1=\ar,扇形面积公式：S=1ar2

2

4、三角函数曲线即三角函数的图像，与三角函数线是不同的概念

5、利用任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式，诱导公式

可以解决证明、化简、求值问题，而求值有“给角求值”、“给值求值”、

“给值求角”三类。

6、应用两角和与差的三角函数公式应注意：

⑴当a,B中有一个角为王的整数倍时，利用诱导公式较为简便。

2

⑵善于利用角的变形，如6=(a+6)—a,2a=(a+6)+(a—B),巴

2

+2a=2(a+与等

4

⑶倍角公式的变形一一降幕公式：sin2a=3必，cos2a=3四，

22

sinacosa=1sin2a应用十分广泛.

2

7、三角函数的图像和性质，重点掌握：，

⑴周期性的概念；出丫=人$性（3*+0）的图像是由y=sinx的图像经过

怎样的变换得到

⑶五点法作图.

8、三角求值问题的解题思路：

⑴三种基本变换：角度变换、名称变换、运算结构的变换

⑵给值求角问题的基本思路

①先求出该角的一个三角函数值；②再根据角的范围与函数值定角，

要注意角的范围对三角函数值的影响。

9、注意活用数学思想方法：方程思想、数形结合，整体思想、向量

方法

二、注意点

㈠三角函数y=Asin（3xW中）（A,。>0）的性质

1、奇偶性：当（p=k“+'时是偶函数，当（p=kn时是奇函数，当廿与

时是非奇非偶函数（k£Z）

1兀

1K71H-------（D

2、对称性：关于点（旦土，0）中心对称，关于直线x=―」（ke

33

Z）轴对称.

㈡任意角三角函数

1、当a为第一象限角时，sina+cosa>1

2、当ae(一变+2kn,4+2k”)，kWZ时，sina—cosa<0(点在

44

X—y=0下方)

当ae(4+2kn,羽+2kn),k£Z时，sina—cosa>0(点在x

44

—y=0上方)

总之，可归纳为“成上大于0,成下小于0”.

第四部分平面向量

一、知识方法与技巧

㈠向量的概念及运算

1、向量的有关概念向量一既有大小又有方向的量

向量的长度(模)一向量的大小

平行向量(共线向量)一方向相同或相反的非零向量,并且规定零向

量与任何向量均平行.

相等向量一长度相等且方向相同的向量。

2、向量运算

⑴加法运算

加法法则：①三角形法则；②平行四边形法则

平面向量的坐标运算:设l=3,yi),b=(x2,y2),贝Fl+各=(x]+x2,yi+y2).

⑵减法运算

减法法则，平面向量的坐标运算：

设。=(xi,yj,b-(x2,y2),则a—B=(Xi—X2,yi—y?).

设A、B两点的坐标分别为(xi,yj,3,y2),AB=(X2—xby2—yj.

⑶实数与向量的积

定义：A,a,其中人>0时，入a与a同向，|入a|二A.|a|;

当人〈0时，人[与「反方向，|人5|=|人||)].0,«=6

平面向量的坐标运算：设J=(x,y),则:入联=入(x,y)=(入x,Ay).

3、向量的几何运算和坐标运算

向量的几何运算是向量知识的基础，本类题是向量加减法、数乘的运

算定义和运算法则的基本练习，以向量运算图或向量运算式给出，并

通过图解或式解来完成，设问形式有求解、作图、化简、证明等，解

题方法比较直接。

向量的坐标运算包括直接利用坐标法运算法则计算向量的和、差、数

乘积。

4、两个向量平行的充要条件

a//ba=b；设a=(xi,yj,b=(x2,yz)>则a〃BoXiy?—x2yi=0.

㈡平面向量的数量积

1、平面向量的数量积

定义：a•b=\a\\bcos0(aW6,bW6,0°<9<

几何表示

180°)6•«=0

坐标表示

a•b=XiX2+yiy2

a9b-b•a(aa)9b-a•(入Z?);(a+Z?)•c-a•b

运算律

+右•c

2、平面向量数量积的重要性质

⑴a=yla-a=yj\a\2(2)cos9=f(3)a•ZWa

\a\\b\

几何表示

b\

(1)|a\=收+y；(2)cos。=+

"G+y；•丘+W

坐标表示

⑶|xix2+yiy21<Jx；+y；•h+义

3、两个向量垂直的充要条件

a±b<^>a•b=0（a>3均为非零向量）设屋（Xi,yj,b=（x2,y2）,则

aJ_ZoXiX2+yiy2=0.

4、常用的模的等式和不等式

或％=后;|«-b\^\2\-\b\;\a\2-\b\2=Q+b）Q

—b）

\a+b\=\a2+b2+2\a\-\b\cos0（。为a、b夹角）.\\a\—±

b\^\a\+\b\.

特别是242及其变式应用最为广泛.

㈢线段的定比分点及平移

1、线段的定比分点及平移的基础知识

⑴线段的定比分点

当+AX2

线段的定比分点坐标公式：<1+/[Pl（X1,yi）,P2（x2,y2）,P（X,y）,

、,=%+仅

1+2

P^P=人丽］

X,+x

X=---?,

中点坐标公式：,2三角形重心坐标公式：设4ABC的三

2

个项点为A(xi,%),B(x2>y2),C(x3,y3),则重心G(x,y)的坐标为：x=

占+9+W、，—M+%+%

3'y~~3—

⑵图形变换公式

平移公式：若点P°(x,y)按向量5=(h,k)平移至P(x，,1),则

x'=x+h,

yf=y+k.

2、平移公式的三类运用

⑴已知平移前后的解析式，求平移向量；⑵已知平移向量及解析式,

求平移后的解析式;

⑶已知平移向量及平移后的解析式，求平移前的解析式.

说明：三类问题主要是运用平移公式及待定系数法.

㈣正余弦定理的运用

1、关于三角形边、角的主要关系式

⑴三角形内角和等于180°

⑵三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

⑶三角形中大边对大角，小边对小角.⑷正弦定理，二=一一=—

sinAsinBsinC

=2R.

⑸勾股定理c2=a?+b2(其中c为直角三角形的斜边)

⑹余弦定理c2=a?+b2—2abcosC；cosC=fl+b~c-.

2ab

⑺射影定理：a=bcosC+ccosB.

⑻三角形的面积公式：S4=Lah(其中h是a边上的高).SA=-absinC.

22

⑼由A+B+C="，易推出

①sinA=sin(B+C),cosA=—cos(B+C),tanA=—tan(B+C)

C2jsm—=cos---,cos—=----，tan—=cot----.(10)a〉b=A〉Bo

222222

sinA>sinB.

⑪锐角4ABC中，A+B>-,A>--B,sinA>cosB,cosA<sinB,a2+b2>c2,

22

同样可类比锐角AABC中结论.

2、利用正、余弦定理判断三角形的形状

由已知，利用三角形中的主要知识点，特别是角的关系和边角关系，

推出满足题设条件的三角形的形状。

3、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解三角形.

⑴正弦定理反映了三角形的边角关系，它可以用来解决两类解斜三角

形的问题.

①已知两角和一边，求其他边和角.

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(可进一步求出其他

的边和角).

⑵余弦定理也反映了三角形的边角关系，它是勾股定理的进一步推广,

它可以解决以下三类有关斜三角形问题.

①已知三边，求三个角.②已知两边和它们的夹角，求第三边和其

他两个角.

③已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，此类问题需

要讨论.

二、易错点提示

1.向量的数量积不满足结合律，即G%).三屋

2.零向量与任何向量的数量积等于0,故平行向量不具有传递性即

a.ll~b^bll不必〃c.

3.平面向量数量积的消去律不成立，即若2是非零向量，且黑2=并

不能得到a=b,

只可得到5、B在七上的投影相等.

4.a2=a•a=\a\\a\cos0=a|2.故/是一■个实数.

f

5.a>B的夹角为锐角,一a>B的夹角为钝角

a-b^\a\\b\

a-b<Q

oj一一一一

a-b-\a\\b\

6.向量而、而不共线，OP=mOA+ndB,则A、P、B三点共线的充

要条件是m+n=l.

7.在应用正弦定理解决“已知两边和其中一边的对角，求解三角形”

时应注意解的个数.

8.在应用平移公式"时，一定要分清P(x,y)为平移前的点，

y=y+k

P'(x，)为平移后的点，〉=(h,k)为平移向量，否则会出现方向

性错误.

第五部分：数列

考试要求

⑴理解数列的概念，了解数列通项公式的意义。了解递推公式

是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

⑵理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前几项和

公式，并能解决简单的实际问题。

⑶理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和

公式，并能解决简单的实际问题。

二、知识方法与技巧

1.根据数列的前几项写出它的通项公式时，其通项公式不唯

n=l

例如：1,2,4,.通项廿2L1或a］；2

n>2

1.数列通项公式an=f（n）,其图象是y轴右侧的坐标为（n,aj

的一系列孤立点.

2.由于数列是特殊的函数，所以判断数列的单调性与判断函数

的单调性方法基本是相同的，只需比较须与am的大小即可.

①利用递推公式或者为与Sn的关系式解题时，一般要验证初

始值n是否适合所求的式子，即为=［匹〃=1；

-S“_1n>2

②涉及an—或Sn—时，应分n=l和n22两种情况考虑；

③等比数列求和时，要考虑公比q是否为L

3.若三数成等差数列，则可设三数为a—d,a,a+d；若三数成

等比数列，则可设Ja,aq.

q

4.证明数列｛4｝是等差数列（等比数列），必须根据等差数列

（等比数列）的定义加以证明.

证明数列｛%｝不是等差数列（等比数列），只须说明aba2,a3

不成等差数列（等比数列）即可.

5.数列｛aj为等差数列的充要条件的几种表示（即等差数列的

=

判定方法）：①an+i—an=d（常数）;（2）2an+ian+an+2;③aikn+b（k、

b为常数），其中公差d=k.④S/Ar+Bn.

数列｛a』为等比数列的充要条件的几种表示（即等比数列的判

=

定方法）：①=q（常数）；（2）an+ranan+2；③an=aq"（aqW0,且a、

an

q为常数）

6.当公差dWO时，等差数列的前n项和Sn方可表示为关于n

的不含常数项的二次函数，且二次项系数的2倍就是公差.

11.求等差数列前n项和Sn最值的方法：⑴可转化为二次函数，

求最值；⑵应用以下结论：①当公差d<0时，Sn最大oanNO

且a.iWO；②当公差d>0时，Sn最小oanWO且an+120.③利用

f（n）=Sn的抛物线特征解小题（dWO）.

12.①等比数列的任一项及公比都不能为0；②常数数列不一

定是等比数列；③G?=ab是a、G、b成等比数列的必要条件而非

充分条件.

13.①若｛aj是等差数列,则｛*｝是等比数列（aWO的常数）；

②若②J是等比数列,且a，0,则｛logaaj是等差数列（a为

常数）.

14.求数列｛aj的最值常见方法：①利用通项公式力的本身特

征求解；②若｛%｝是单调数列，则可利用单调性求解；③若对一

切n£N*都有，an>0(an<0),则a0最大为最小o

a“>%

T.

a”<«„+i

15.求数列｛a』前n项和Sn,关键是根据通项a”的特征，去寻

求求和的方法，常见几种方法：⑴通项裂项法；⑵错位相差法;

⑶累加(累乘)法；⑷逆项相加法.

16.分期付款中，要弄清商品售价到贷款全部付清时增值到多

少；各期所付款额到贷款全部付清时分别增值到多少；如何利用

分期付款中的有关规定列出方程；解方程时，如何利用等比数列

的知识进行有关计算。

17.an-ai+(&2-ai)+(as-a2)+…+(an—an-i)>an-aiX—x—X•••

a】a2

"(aJO)

等比中项

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么

G叫做a与b的等比中项.

如果G是a与b的等比中项，那么9=2,即G?=ab,因此，

aG

G=±4ab

G是a,b的等比中项的充要条件是G2=ab(或G:土猴),其中

ab>0,条件ab>0不能少，如果ab=0,a,b中至少有一个为0,

那么a,g,b就不为等比数列，只有同号的两个数才有等比中项,

等比中项有两个，它们互为相反数，这一点与等差中项不同.

一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）

是它的前一项与后一项的等比中项。

2.等比数列性质

⑴若首项aDO,公比q>l,或首项aWO,公比0〈q〈l,则数列

为递增数列；若首项ai>0,公比0〈q〈l或首项ai<0,公比q>l,

则数列为递减数列；公比q=l,数列为常数列；公比q〈0,数列

为摆动数列，公比不等于零是一大特色.

⑵有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等

于首末两项之积；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方，

即：

=="=

a，i,an-a2•an-1&3,&n-2**.

⑶若m,n,p,k£N*,且m+n=p+k,贝（Jam•an=ap,ak,其中am,

an,ap,ak是数列中的项，特别地，当m+n=2p时，有a9•a-a；

类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标

和相等，也应要求等式两边作积的项数应是一样多的.

⑷若数列｛a』与｛bj均为等比数列,则｛m・a”・bn｝与|"士|仍为

等比数列，其中m是不为零的常数.

⑸等比数列列通项公式an=a「・广二旦♦十,则切可表示为

q

a/c•q",其中C=幺，q为公比.

⑹等比数列｛aj的前n项和Sn=98=---0(qW1),则

1-q1-q\一q

Sn可表示为Sn=k—k•q、其中q为公比，qWO,qWl,k=-^-.

i-q

等差中项

任意两个数a,b有且只有一个等差中项，即人="1

2

A=…是a,A,b成等差数列的充要条件，因此，两个数的等差

2

中项就是这两个数的算术平均数.

在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除

外)，都是它的前一项与后一项的等差中项.

2、等差数列的性质

⑴若公差d>0,则此数列为递增数列；若d〈0,则此数列为递

减数列；若d=0,则此数列为常数列.

⑵有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且

等于首末两项之和；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2

倍，即

ai+aFaz+an-i=a3+an-2=…=2a中

⑶若m,n,p,k£N*,且m+n=p+k,贝！Jam+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak,

是数列中的项，特别地，当m+n=2p时，有am+an=2ap.

这条性质，还可以推广到有三项、四项……等情形，使用该性

质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边和的项

数应是一样多的.

⑷在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,

构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列

不一定是等差数列.

⑸等差数列中连续几项之和构成的新数列仍然是等差数列.

⑹若数列｛a』与｛bj均为等差数列，则｛man+kbj仍为等差数列,

其中m,k均为常数.

⑺等差数列列J通项公式an=ai+(n—1)d=dn+(ai—d),则an可

表示为：an=kn+b,(其中k为等差数列的公差，它可以是任意实

数).

⑻等差数列的前n项和S=+^(n-l)d=^n2+(-^),则S,

nnai22ai2

2

表示为：Sn=an+bn,其中a,b也可以是任意实数，常数项为0是

一大特色.

另外，等差数列中还有以下性质须注意：

⑼等差数列｛aj中，若an=m,am=n,(mWn)则a"。.

⑩等差数列｛aj中，若Sn=m,Sm=n,贝ljSm+n=—(m+n).

(11)等差数列列n｝中,若Sn=Sm(mWn),则Sm+n=O.

⑫若｛an｝与｛b』均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S：,则

二加_02加一1

bm

(13)项数为偶数2n的等差数列｛aj,有S2n=n(ai+a2n)=•••

=

二n(an+dn+i)(an与@n+i为中间的两项)；S偶一S奇二nd；・项数

3偶an+l

为奇数(2n—1)的等差数列｛aj,有S2n1=(2n—l)aKan为中间项)；

＞Q奇—》Q偶_—Hn；S—奇—=H7.

S偶n-1

S奇、s偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.

等差数列｛为｝的一些性质

⑴对于任意正整数n,都有am—a0=a2—a]

(2)｛an｝的通项公式：an=(a2—ajn+(2ai—a2)

⑶对于任意正整数p、q、r、s,如果p+q=r+s,JU!)ap+aq=ar+as

⑷对于任意正整数p、q、r,如果p+r=2q,则有ap+a「=2aq

⑸对于任意正整数n〉l,有2an=an—+an+i

⑹对于任意非零实数b,数列｛ban｝是等差数列，则数列⑶｝是

等差数列

⑺已知数列｛0｝是等差数列，则｛为土酬｝也是等差数列

⑻人」，｛a2n-i｝>｛a3n-i｝｛a3n-2｝等都是等差数列

(9)S3m=3(S2m-Sm).

⑩若Sn=Sm(lllWn),则Sm+n=O

QD若Sp=q,Sq=p,则Sp+q=—(p+q)(pWq)

G2)Sn=an2+bn,反之亦成立.

等比数列

⑴定义：-q(常数q为公比)(2)通项公式：a/ad-

a„

na｛q=l

n

⑶前n项和公式Sn=<a^-q")⑷通项公式推广：an=am,q

1-q

等比数列｛aj的一些性质

⑴对于任意正整数n,均有，=虫

a„«i

⑵对于任意正整数p、q、r、s,只要满足p+q=r+s,则ap•aq=ara

⑶对于任意正整数p、q、r,如果p+r=2q,则ap•ar=a；

⑷对任意正整数n>l,有*=an-i•a.

⑸对于任意非零实数b,｛baj也是等比数列

⑹已知｛bn｝是等比数列，则｛anbn｝也是等比数列

第六部分：不等式

一、知识结构

二、知识要求

㈠不等式的证明

比较法：作差一一分解因式、配方等一一判断符号一一结论（也

可作商与比较）

综合法：利用不等式性质、定理证明不等式

分析法：从欲证不等式出发，寻找它成立的充分条件.注意书写

的规范性，否则可能不得分。

反证法：反设一推出矛盾一否定假设一得出结论

㈡不等式的解法

重点是一元一次、二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解

1.一元一次不等式：一般形式ax>b；

若a=0,则当b〈0时，xGR；当b20时，x£0.

2.一元二次不等式ax2+bx+c>0

若a>0,A<0,则x£R若a<0,A<0,贝!Jx£0

注意点：⑴二次项系数a是否大于0；

⑵若没有强调是二次函数，则需考虑a=0的情形.

3.分式不等式和高次不等式：^>0^f(x)g(x)>0.

g(x)

注意：/w^o^|f(x)-g(x)-°.

g(x)[g(x)#O

㈢基本不等式

a+b

在用基本不等式求极值时，注意：⑴“正数”，二“定值”,

相等”

⑵等号是否取到，若不能取到，常常应用函数的单调性求解；

⑶注意挖掘应用问题中变量的范围。

⑷如果连续运用基本不等式时要注意取等号时的情况也就

是所有取到等号时，极值点相同.

三、能力要求

1、正确理解和应用不等式的性质，注意到性质中条件减弱和加

强时，条件和结论之间的关系。掌握判断已给不等式是否成立，比较

大小，判断不等式中条件和结论之间充分性的方法。

2、证明不等式要根据待证不等式的结构特点，灵活地选用恰当

的方法。

3、熟练掌握有理不等式的解法，这是解不等式的基础。对含参

数的不等式的求解，要充分理解为什么要分类，这是探索分类的标准

和正确分类的前提。

4、对于不等式的应用，要掌握把实际问题转化为函数式、代数

式的处理方法，提高实际问题数学化的能力。这类问题大致上可以分

为两类：一类是建立不等式，解不等式；另一类是建立函数式求最大

值或最小值。利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、

定值和相等”三个条件缺一不可。

4、本章内容较多地体现了四种数学思想，即“等价转化”的思

想；“分类讨论”的思想；“数形结合”的思想；“函数与方程”的思

想。

四、易错点提示

1、不等式的解一般都要用解集表示：特别是填空题。

2、在解不等式的过程中要注意，自变量的约束范围要准确表示

区间的开闭。

3、在不等式的传递过程中，要注意的传递性。

放缩中：如果是“放"<<<……

如果是“缩”222……

4、在分离变量的变形过程中，两边同乘除以一个因式要注意被

除因式的符号

例：

“3._2,_3_2

—M+ax,+x—cix1<।/.\/1

!!999

—------=----—x--XiX2—x；+a（xi+x2）<1

%]-x2

当Xi+x2>0时，a〈+后+1

X]+x2

当X1+X2〈O时，a〉x；+x；+1

xx+x2

用分离变量恒成立是常见的求范围的方法

第七部分：立体几何

一.直线与平面

1.空间直线：

⑴判定空间两直线是异面直线的常用方法是反证法；⑵对异直线

所成的角的问题，要注意：①异面直线所成角的范围为：（0,卷；②

求异面直线所成的角的大小问题通常分为：找角（证角）、求角两步，

而找角通常是利用直线的平移把角纳入平面图形中，利用平几及代数

知识求解；⑶异面直线间距离是通过异面直线上两点间所有线段的长

度的展个值.

2.直线与平面平行、垂直

判定定理是由低一级的位置关系判定高一级的位置关系，而性质

定理往往是高一级的位置关系推出低一级的关系，如对直线与平面平

行的判定，就可以通过直线与直线，直线与平面，平面与平面的三个

不同层次予以考虑.也可以通过计算来证明垂直.

3.三垂线定理

三垂线定理及逆定理实际上是线面垂直的简化模型，主要作用是:

⑴证明异面直线垂直；⑵求二面角的平面角；⑶确定点到面的距离.

4.平面与平面平行

两平行平面间的距离，除了求夹在平行平面间的垂线段这一方法

外，还可转化为求线面距离、点面距离.

5.平面与平面垂直

⑴利用平面与平面垂直的条件，通常在一个面内作棱的垂线，转

化为线面垂直.进而利用解三角形解决空间角、距离、面积、体积的

计算.⑵两个平面互相垂直，3个平面两两互相垂直的常用模型是长

方体（正方体），因此与3个平面两两垂直有关的问题，可通过构造

长方体的相交于同一顶点的3个面来处理.

6.空间角

⑴求空间角大小的一般步骤是“作、证、求”，三种角都是转化

为相交直线所成的角或所夹的角，计算过程中要注意角的范围.也可

用空间向量来求.

⑵二面角的大小是通过其平面角来度量的，求二面角时首先搞清

（或作出）棱，求作二面角的平面角常见的方法有：①定义法；②垂

面法：过棱上一点0作棱的垂面Y，与两个半平面的交线为AO、B0,

则NAOB就是二面角的平面角；③利用三垂线定理及逆定理作角；④

利用面积射影法：cos。=二，其中。是二面角的大小，S是在其中一

个面上图形的面积，S，是该图形在另一个半平面上的射影的面积.

⑤用空间向量来求.

7.空间距离

常见的求空间距离的方法有：⑴直接法.按“一作、二证、三计

算”的步骤完成，⑵转化法.在直接法不易求解时，可考虑以下转化

法：①点面距离、线面距离、面面距离间的互相转化；②利用三棱锥

的等积变换.

点、面线、面面、面

---------------——：----------------►1----------------

◄-------◄----------

It

8.平面图形的翻折

⑴在平面图形翻折中，位于棱的两侧的同一半平面内的元素相对

位置关系和数量关系在翻折前后不变，尤其是垂直于棱的直线翻折后

仍垂直于棱；⑵不变量一般是结合原图形来求、证；变化了的量应在

折后的立体图形中来求、证，注意将空间问题转化为平面问题；⑶多

面体表面上两点间最近距离常转化为表面展开图上距离.

二.简单几何体

1.柱体、锥体

⑴定义及性质；⑵特殊的多面体：直棱柱、平行面体、长方体、

正方体；⑶正方体的体对角线与不相交的面对角线互相垂直；⑷长方

体的体对角线与棱长关系；⑸几种特殊三棱锥的顶点在底面上的射影;

正棱锥侧=!(^

⑹侧面积：①S直棱柱侧二c•1;②S11/斜棱柱侧=c直

2

/;其中h，为斜高，/为侧棱长；⑺平行于棱锥的底面的截面积与底

面积之比等于对应高的平方米，对应边的平方比，对应侧棱的平方比.

2.⑴球既是中心对称，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆,

且过球心的截面是大圆也是轴截面，因此球的问题经常转化为圆的有

关问题来解决.⑵球的任一截面为圆，圆心与球心的连线垂直于该平

面，且球半径R,截面半径r,球心到截面的距离d满足：；

⑶求球面上两点A、B间的距离的步骤为：①求线段AB长；②求A、

B到球心。的张角，即NAOB；③计算球大圆在A、B两点间所夹的劣

弧长；⑷长方体的对角线长是它外接球的直径.

3.体积

⑴对三棱锥注意顶点与底面的转换，常用换顶点方法求体积；

⑵体积法可以用来求点到面的距离，多面体内切球半径；

⑶较复杂的几何体的体积可分为一些较简单的柱体、锥体求体

积.

第八部分