2024年新高考数学一轮复习-复数（学生版）

专题35复数

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解复数的基本概念.

2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法及其几何意义.

4.能进行复数代数形式的四则运算.

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

【考点预测】

1.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a+历(a,力GR)的数叫做复数，其中且是实部，2是虚部，i为虚数单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+6i(a,6GR)

［实数(6三0),

［虚数(右壬0)(其中，当a三0时为纯虚数).

(3)复数相等：

a+bi=c+<A<=>a=cJ!Lb=d{a,b,c,deR).

(4)共粗复数：

a+6i与c+di互为共辗复数0a=c,b=一d(a,b,c,deR).

⑸复数的模：

向量。的模叫做复数z=a+%的模或绝对值，记作|a+历|或|z|,BP|z|=|a+bi\=yja+lj(a,6GR).

2.复数的几何意义

一一对应

(1)复数z=a+历(a,6GR)----"复平面内的点Z(a,6).

_______,、一一对应—,—

⑵复数z=a+历(a,6GR)=='平面向量。Z

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),贝!］

①加法：zi+zz=(a+历)+(c+di)=(a+c)+(6+初i；

②减法：Zi—Zz=(a+6i)—(c+di)=(a—c)+(6—d)i；

③乘法：Zi•z2=(a+Z)i)•(c+di)=(ac-bd)+(ad+6c)i；

_,Zia-\-bi(a+6i)(c——由)ac-\~bdbc-ad,、

④除法s：7^=^TT+^T^i(c+di=0).

Z2c+<71(c+<71)(c—<71)C+<7C+a

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形必怒可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即龙=龙+龙，存=龙一成.

【常用结论】

1.i的乘方具有周期性

•4/2t♦4。+1•♦4〃+21♦4〃+3••4/7।•4n+li♦4〃+2i♦4〃+3八,—

1=1,1=1,1=—1,1=—1,1+1+1+1=0,

/“2.1+i.1—i.

2.(l—i)=—2i'—=i；Y+i=~i-

3.复数的模与共软复数的关系

z,Z=Iz|2=I

【方法技巧】

1.解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为

代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a+历(a,6dR)的形式，以确定实部和虚部.

2.复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.

3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共软复数.

4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时

可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

二、【题型归类】

【题型一】复数的概念

【典例1]如果复数Z詈(6GR)的实部与虚部相等，那么b=()

A.-2B.1C.2D.4

9

【典例2](多选)若复数2=中，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是()

A.z的虚部为一1

B.1z=<

C./为纯虚数

D.z的共软复数为一1一i

【典例3】（多选）设Z2是复数，则下列命题中的真命题是（）

A.若IZ1—Z2I=0,则Z1=Z2

B.若zi=Z2,则zi=Z2

C.若IziI=IZ21,贝！！zi•zi=@%

D.若=|0|,则z?=Z2

【题型二】复数的四则运算

【典例1】（多选）设％,Z2,Z3为复数，下列命题中正确的是（）

A.若|z21=|z3|,贝”Z2=±Z3

B.右Zi勾=ZiZ3,贝!]Z2—Z3

C.若Z2=Z3,贝HZ1Z2I=IZ1Z3I

D.若zi勿=|zi/，贝U4=为

ab2+i

【典例2】在数学中，记表达式初一历为由7所确定的二阶行列式.若在复数域内，z1=l+i,Z2=L：

cdl-i

1

则当

i时

-ZZ1-2--

Z3Z3Z4的虚部为

•2023

1--------

【典例3】若~r,则|z|=______________；z+z=________.

1—1

【题型三】复数的几何意义

【典例1]己知i为虚数单位，则复数燃房的共轨复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【典例2】设复数幻，及在复平面内的对应点关于虚轴对称，©=2+i（i为虚数单位），贝|幻幻=（）

A.-5B.5

C.-4+iD.-4-i

【典例3】已知复数为=—l+2i,Z2=l—i,Z3=3—4i,它们在复平面内对应的点分别为4B,C,若亦=

几OA~\~〃OB（X，〃£R）,贝4+〃的值是

三、【培优训练】

【训练一】在复数列｛aj中，已知a=—i,a〃=a〉i+i522,〃GN*）,则念。相

&十&十…十020

b2+i

【训练二】在数学中，记表达式ad—6c是由,所确定的二阶行列式.若在复数域内，k-kF，

C

Z\01,

Z3=Z2,则当=3—i时，Z4的虚部为________

Z3Z4乙

【训练三】(2022•青岛模拟)已知复数z满足|z—1—i|WL则|z|的最小值为(

A.1B.72-1C.72D.72+1

【训练四】已知复数2=x+yi(x,HR),且满足|z—21=1,贝/的取值范围是一

【训练五】已知复数2满足z?=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三象限.

(1)求复数z；

(1+z、

(2)设aGR,且+@=2,求实数a的值.

1十z

【训练六】若虚数Z同时满足下列两个条件：

5

①z+-是实数；

Z

②z+3的实部与虚部互为相反数.

这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.

四、【强化测试】

【单选题】

1.设z=—3+2i,则在复平面内Z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

0批后将ra

2.右用数/-]+十1为纯虚数，则实数a=()

A.12B.-1

C.1D.2

3.已知复数z=(l+2i)(l+ai)(aGR),若zGR,则实数a=()

11

--

2B.-2

C.2D.12

4.如图，已知复数z在复平面内对应的向量为应。为坐标原点，贝1？|为(

A.1B.小

C.y/3D.2

5.在复平面内，复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称，则z等于（）

A.1+iB.—1-i

C.-1+iD.1-i

6.若复数2满足z（l—i）=1l—i1+i,则z的实部为（）

A.木21B.^/2—1

c.i冷

7.已知i是虚数单位，则“a=i”是“£=—1”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.在复数范围内，已知夕，°为实数，1—i是关于x的方程/+内+0=0的一个根，则夕等于（）

A.2B.1C.0D.-1

【多选题】

9.已知i为虚数单位，复数z=V-,则以下说法正确的是（）

乙-1

A.z在复平面内对应的点在第一象限

,-7

B.z的虚部是一^

5

C.|z|=3y[5

D.若复数团满足k-z|=L则|幻|的最大值为1+迎^

10.若复数z满足（1+i）-z=5+3i（其中i是虚数单位），贝|（）

A.z的虚部为一i

B.z的模为平

C.z的共轨复数为4—i

D.z在复平面内对应的点位于第四象限

9

11.下面是关于复数2=^^的四个命题，其中真命题的是（）

一1十1

A.|z|=2B.z=21

C.z的共辆复数为1+iD.z的虚部为一1

12.在复平面内，下列命题是真命题的是（）

A.若复数z满足工GR,则zGR

Z

B.若复数z满足R,则zGR

C.若复数zi,Zz满足ziZzGR,则zi=zz

D.若复数zGR,则TeR

【填空题】

13.设复数z满足；=[1—i|+i（i为虚数单位），则复数z=.

4+21

14.已知复数z=（i+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x—2y+/=0上，则m=.

4i

15.当复数z=（勿+3）+（力一1）i（m£R）的模最小时，一=.