湖北省监利县2024届中考数学四模试卷含解析

湖北省监利县重点名校2024届中考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.小宇妈妈上午在某水果超市买了16.5元钱的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄的价格降低了

25%，小宇妈妈又买了16.5元钱的葡萄，结果恰好比早上多了0.5千克.若设早上葡萄的价格是x元/千克，则可

列方程()

16.5…16.516.5八<16.5

A------+0.5=-----------—B——+0.5=----------

x(l+25%)xx(1-25%)x

16.5…16.516.5…16.5

c--------U.5=----------r-n--------0.5=---------；—

X(l+25%)xx(1-25%)x

2.把多项式x2+ax+b分解因式,则a、b的值分别是()

A.a=2,b=3B.a=-2,b=-3

C.a=-2,b=3D.a=2,b=-3

3.共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分,某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据,

并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样

可保证不少于50%的骑行是免费的.制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

4.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O,且AO=BD=4,AD=3,则△BOC的周长为（）

A.9B.10C.12D.14

5.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积等于（）

A.llncm2

B.ISitcm2

C.247rcm2

D.307tcm2

6.若一组数据2,3,4,5,x的平均数与中位数相等，则实数x的值不可能是()

A.6B.3.5C.2.5D.1

7.下列计算正确的是()

A.x2+x2=x4B.x8-rx2=x4C.x2»x3=x6D.(-x)2-x2=0

8.在直角坐标系中，已知点P(3,4),现将点P作如下变换：①将点P先向左平移4个单位，再向下平移3个单位

得到点Pi;②作点P关于y轴的对称点P2；③将点P绕原点O按逆时针方向旋转90。得到点P3,则Pi,P2,P3的坐

标分别是()

A.Pi(0,0),P2(3,-4),P3(-4,3)

B.Pi(-1,1),P2(-3,4),P3(4,3)

C.Pi(-1,1),P2(-3,-4),P3(-3,4)

D.Pi(-1,1),P2(-3,4),P3(-4,3)

9.如果a=2b(o,8均为非零向量)，那么下列结论错误的是()

A.allbB.a-2b=0C.b=—aD.|«|=2|z?|

10.将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若/1=40。则N2的度数为()

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.甲乙两人8次射击的成绩如图所示(单位：环)根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是(填“甲”

或“乙”)

个成绩环

012345678

12.若关于x的一元二次方程x?+2x-n?-m=0(m>0),当m=l、2、3、…、2018时，相应的一元二次方程的两个

111111

根分别记为otl、Pl,(X2、02,…，</2018、02018,贝!J：一+方"+—+万+…+----+~R—的值为

tZ]a2A*20201802018

13.若关于x的二次函数y=ax2+a2的最小值为4,则a的值为.

14.如图，矩形ABC。中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点。落在点处.则重叠部分AAFC的面积为

15.如图，已知正方形ABCD中，ZMAN=45°,连接BD与AM,AN分别交于E,F点，则下列结论正确的有

①MN=BM+DN

②aCMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；

③EFi=BE】+DFi；

④点A到MN的距离等于正方形的边长

⑤AAEN、△AFM都为等腰直角三角形.

(§)SAAMN=1SAAEF

⑦S正方形ABCD:SAAMN=1AB：MN

16.如图，E是口ABCD的边AD上一点，AE=/ED,CE与BD相交于点F,BD=10,那么DF=_.

17.如图，每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点，则NABC的正弦值为

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格

是多少？

请解答上述问题.

19.(5分)已知抛物线y=*2-(2/n+l)x+m2+m,其中，”是常数.

(1)求证：不论，〃为何值，该抛物线与z轴一定有两个公共点；

(2)若该抛物线的对称轴为直线x=之，请求出该抛物线的顶点坐标.

2

20.(8分)如图，直线y=-x+2与反比例函数y="(k^O)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点，过点A作

龙

AC，x轴于点C,过点B作BD，x轴于点D.

b的值及反比例函数的解析式;若点P在直线y=-x+2上,且SAACP=SABDP,

请求出此时点P的坐标；在x轴正半轴上是否存在点M,使得AMAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐

标；若不存在，说明理由.

21.(10分)如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，NBAF的平分线交。O于点E,交。O的切线BC于

点C,过点E作EDLAF,交AF的延长线于点D.

D

①求生的值；②若点G为AE上一点，求

求证：DE是。O的切线若DE=3,CE=2.

AE

3

22.（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=5,cosA=—.求底边BC的长.

23.（12分）在矩形ABC。中，AB=6,4。=8,点E是边4。上一点，EM_LEC交A3于点点N在射线M3上,

且AE是AM和AN的比例中项.

求证：ZANE=ZDCE；

如图2,当点N在线段MB之间，联结AC,且AC与NE互相垂直，求MN的长；连接AC,如果与以点E、

M、N为顶点所组成的三角形相似，求OE的长.

24.（14分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度V（米）与登山时间x（分）之间的函数图象

如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在4地时距地面的高度b为米；

（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度V（米）与登山

时间x（分）之间的函数关系式.

（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、B

【解题分析】

]6S16.5

分析：根据数量=年存，可知第一次买了二丁千克，第二次买了(TS%L根据第二次恰好比第一次多买了0.5

千克列方程即可.

详解：设早上葡萄的价格是x元/千克，由题意得，

16.516.5

------+0.5=1-------------k

x(1-25%卜

故选B.

点睛：本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找出列方程所用到的等量关系.

2、B

【解题分析】

分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.

详解：(x+1)(x-3)

=x2-3x+x-3

=x2-2x-3

所以a=2,b=-3,

故选B.

点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.

3、B

【解题分析】

根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.

【题目详解】

因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，

所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，

故选B.

【题目点拨】

本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列

的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。

4、A

【解题分析】

利用平行四边形的性质即可解决问题.

【题目详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC=2>,OD=OB^-BD=2,OA=OC=4,

2

:.△OBC的周长=3+2+4=9,

故选：A.

【题目点拨】

题考查了平行四边形的性质和三角形周长的计算，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对

角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分.

5、B

【解题分析】

由三视图可知这个几何体是圆锥，高是4cm,底面半径是3cm,所以母线长是"内7=5(cm),...侧面积=7tx3x5

=15TT(cm2),故选B.

6、C

【解题分析】

因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到

大(或从大到小)排列在中间；结尾；开始的位置.

【题目详解】

(1)将这组数据从小到大的顺序排列为2,3,4,5,x.

处于中间位置的数是4,

...中位数是4,

平均数为(2+3+4+5+x)+5,

：.4=(2+3+4+5+x)+5,

解得x=6；符合排列顺序;

(2)将这组数据从小到大的顺序排列后2,3,4,x,5,

中位数是4,

此时平均数是(2+3+4+5+x)+5=4,

解得x=6,不符合排列顺序；

(3)将这组数据从小到大的顺序排列后2,3,x,4,5,

中位数是x,

平均数(2+3+4+5+x)+5=x,

解得x=3.5,符合排列顺序；

(4)将这组数据从小到大的顺序排列后2,x,3,4,5,

中位数是3,

平均数(2+3+4+5+x)+5=3,

解得x=l,不符合排列顺序；

(5)将这组数据从小到大的顺序排列后x,2,3,4,5,

中位数是3,

平均数(2+3+4+5+x)+5=3,

解得x=l,符合排列顺序；

；.x的值为6、3.5或1.

故选C.

【题目点拨】

考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往

对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整.注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和

偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数.

7、D

【解题分析】

试题解析：A原式=2x2,故A不正确；

B原式=x，，故B不正确；

C原式=x5,故C不正确；

D原式=x2-x2=0,故D正确；

故选D

考点：1.同底数塞的除法；2.合并同类项；3.同底数幕的乘法；4.塞的乘方与积的乘方.

8、D

【解题分析】

把点尸的横坐标减4,纵坐标减3可得Pi的坐标；

让点P的纵坐标不变，横坐标为原料坐标的相反数可得P2的坐标；

让点P的纵坐标的相反数为P3的横坐标，横坐标为P3的纵坐标即可.

【题目详解】

•.•点尸（3,4）,将点尸先向左平移4个单位，再向下平移3个单位得到点Pl,...Pl的坐标为（-1,1）.

•••点尸关于y轴的对称点是尸2,，尸2（-3,4）.

••,将点尸绕原点。按逆时针方向旋转90。得到点尸3,，尸3（-4,3）.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了坐标与图形的变化；用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加，上下平移只改变点的纵坐

标，上加下减；两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；（a,b）绕原点。按逆时针方向旋转90。得到的

点的坐标为（-b,a）.

9、B

【解题分析】

试题解析：向量最后的差应该还是向量.a-2人=。故错误.

故选B.

10、C

【解题分析】

如图，根据长方形的性质得出EF〃GH,推出NFCD=N2,代入NFCD=N1+NA求出即可.

【题目详解】

VEF/7GH,/.ZFCD=Z2,

,/ZFCD=Z1+ZA,Nl=40°,ZA=90°,

.*.Z2=ZFCD=130°,

故选c.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、甲

【解题分析】

由图表明乙这8次成绩偏离平均数大，即波动大，而甲这8次成绩，分布比较集中，各数据偏离平均小，方差小,

则S2甲＜S2乙，即两人的成绩更加稳定的是甲.

故答案为甲.

4036

12、

2019

【解题分析】

利用根与系数的关系得到ai+(h=-2,aiPi=-lx2；a2+(h=-2,«2P2=-2x3；...a2ois+P2oi8=-2,a2oi8P2ois=-2O18xl.把原式变

形，再代入，即可求出答案.

【题目详解】

x2+2x-m2-m=0>m=l,2,3,…，2018,

...由根与系数的关系得：ai+Pi=-2,aiPi=-lx2；

a2+02=-2,a202=-2x3；

a2018+P2018=-2,a2O1802O18=-2O18xl.

.rjzt-p.%+A1%+尸21a3+四I1=2018+仅2018

••原式=1Ir••--r

°2018尸2018

2

—+2+工+…+

1x22x33x42018x2019

=2x(1-、」+」+...+」--------)

2233420182019

1

=2x(1-

2019

4036

2019

辽田山位4036

故答案为工7777

2019

【题目点拨】

hc

本题考查了根与系数的关系：若xi,X2是一元二次方程ax?+bx+c=O(a#0)的两根时，xi+x2=-—,xiX2=—.

aa

13、1.

【解题分析】

根据二次函数的性质列出不等式和等式，计算即可.

【题目详解】

解：•.•关于X的二次函数y=ax1+a1的最小值为4,

•*.a1=4,a>0,

解得，a=l,

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键.

14、10

【解题分析】

根据翻折的特点得到AA。/二ACB尸，=C尸•设3尸=x,则/C=”=8-％.在对ABCb中,

BC-+BF2=CF\即42+尤2=(8—域，解出X,再根据三角形的面积进行求解.

【题目详解】

•.•翻折，二AT>=AD'=5C=4,ZD'=ZB=90%

又：ZAFD，=/CFB,

：.AAD'F^ACBF,

:.AF=CF.设BF=x,则FC=AF=8—x.

在RtMCF中,BC2+BF2=CF2,即4?+尤2=(8—域，

解得x=3,

：.AF=5,

—x5x4=10.

SA.A.FCr=—2AF-BC=2

【题目点拨】

此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知翻折的性质及勾股定理的应用.

15、①②③④⑤⑥⑦.

【解题分析】

将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得至!]△ADH.证明△MANgAHAN,得到MN=NH,根据三角形

周长公式计算判断①；判断出BM=DN时，MN最小，即可判断出⑧；根据全等三角形的性质判断②④；将AADF绕

点A顺时针性质90。得到△ABH,连接HE.证明△EAH之4EAF,得到NHBE=90。，根据勾股定理计算判断③；根

据等腰直角三角形的判定定理判断⑤；根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断⑥，根据点A到

MN的距离等于正方形ABCD的边长、三角形的面积公式计算，判断⑦.

【题目详解】

将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH.

则NDAH=NBAM,

,••四边形ABCD是正方形，

/.ZBAD=90°,

VZMAN=45°,

.,.ZBAN+ZDAN=45°,

.,.ZNAH=45°,

在^HAN中，

AM=AH

<NMAN=NHAN,

AN=AN

.,.△MAN也△HAN,

；.MN=NH=BM+DN,①正确；

•/BM+DN>1y]BM•DN»（当且仅当BM=DN时，取等号）

；.BM=DN时，MN最小，

1

2

1

VDH=BM=-b,

2

；.DH=DN,

VAD±HN,

1

ZDAH=-ZHAN=11.5°,

2

在DA上取一点G,使DG=DH=^b,

2

；.NDGH=45。，HG=72DH=—b,

VZDGH=45°,ZDAH=11.5°,

.\ZAHG=ZHAD,

,\AG=HG=-b,

2

:.AB=AD=AG+DG=^b+-b=巫±1b=a,

222

-==272-2,

aV2+1

/.->2V2-2,

a

当点M和点B重合时，点N和点C重合，此时，MN最大=AB,

即：-=1,

a

b

•,-2V2-2<-<b⑧错误；

a

VMN=NH=BM+DN

/.△CMN的周^=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD,

/.△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍，②结论正确；

,/△MAN^AHAN,

...点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长AD,④结论正确;

H

如图1,将△ADF绕点A顺时针性质90。得到△ABH,连接HE.

VZDAF+ZBAE=90°-ZEAF=45°,ZDAF=ZBAE,

AZEAH=ZEAF=45O,

VEA=EA,AH=AD,

.•.△EAH^AEAF,

AEF=HE,

■:ZABH=ZADF=45°=ZABD,

:.ZHBE=90°,

在RtABHE中，HE^BH'+BE1,

VBH=DF,EF=HE,

VEF^BE'+DF1,③结论正确；

•.•四边形ABCD是正方形，

/.ZADC=90°,ZBDC=ZADB=45°,

VZMAN=45°,

ZEAN=ZEDN,

:.A、E、N、D四点共圆，

:.ZADN+ZAEN=180°,

ZAEN=90°

...AAEN是等腰直角三角形，

同理AAFM是等腰直角三角形；⑤结论正确；

•••AAEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形,

.•.AM=0AF,AN=®AE,

如图3,过点M作MPJ_AN于P,

在RtAAPM中，NMAN=45。，

.,.MP=AMsin45°,

11

•SAAMN=一AN«MP=-AM«AN«sin45°,

22

1

SAAEF=一AE・AF・sin45。，

2

：•SAAMN:SAAEF=1,

SAAMN=1SAAEF,⑥正确；

•••点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长,

S正方形ABCD：SAAMN=1—=1AB：MN,⑦结论正确.

-MNxAB

2

即：正确的有①②③④⑤⑥⑦，

故答案为①②③④⑤⑥⑦.

【题目点拨】

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解本题

的关键是构造全等三角形.

16、4

【解题分析】

VAE=^ED,AE+ED=AD,/.ED=2AD,

23

•.•四边形ABCD是平行四边形，/.AD=BC,AD//BC,

/.△DEF^ABCF,

ADF；BF=DE：BC=2：3,

VDF+BF=BD=10,

；.DF=4,

故答案为4.

17、叵

2

【解题分析】

首先利用勾股定理计算出AB?,BC2,AC2,再根据勾股定理逆定理可证明NBCA=90。，然后得到NABC的度数，再

利用特殊角的三角函数可得NABC的正弦值.

【题目详解】

解：

连接AC

AB2=32+l2=10,BC2=22+12=5,AC2=22+12=5,

.\AC=CB,BC2+AC2=AB2,

.\ZBCA=90°,

/.ZABC=45°,

AZABC的正弦值为YZ.

2

JI

故答案为：

2

【题目点拨】

此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理逆定理，关键是掌握特殊角的三角函数.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、共有7人，这个物品的价格是53元.

【解题分析】

根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.

【题目详解】

解：设共有X人，这个物品的价格是y元,

m8%-+3=iy,解得I%=7,

。=53,

答：共有7人，这个物品的价格是53元.

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程的应用.

______51

19、（1）见解析；（2）顶点为（一，-：）

【解题分析】

（1）根据题意，由根的判别式△=b2-4ac>0得到答案；

b

（2）结合题意，根据对称轴工=-丁得到帆=2,即可得到抛物线解析式为y=“2-5x+6,再将抛物线解析式为y=

2a

51

x2-5x+6变形为j=x2-5x+6=（x--）2-即可得到答案.

24

【题目详解】

2

(1)证明：a=l9b=-(2m+l),c=m+mf

...△=加-4ac=[-(2FW+1)]2-4xlxCm2+m)=l>0,

・••抛物线与x轴有两个不相同的交点.

22

(2)解：•・，=x-(2/n+l)x+m+mf

b-(2m+1)_2m+1

・••对称轴x=

2a2x12

•.•对称轴为直线x=3

2

.2加+1_5

••,

22

解得》i=2,

抛物线解析式为J=x2-5x+6,

,5,1

\"y=x2-5x+6=(x-----)2------,

24

51

二顶点为(一，—).

24

【题目点拨】

本题考查根的判别式、对称轴和顶点，解题的关键是掌握根的判别式、对称轴和顶点的计算和使用.

3

20、(1)y=-二；(2)P(0,2)或(一3,5)；(3)M(-1+^23＞。)或(3+曲，0).

x

【解题分析】

(1)利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a,b,最后用待定系数法求出反比例函数解析式;

(2)设出点P坐标，用三角形的面积公式求出SAACP=5x3x|n+l|,SABDP——xlx|3-n|,进而建立方程求解即可得

出结论；

(3)设出点M坐标，表示出MA2=(m+1)2+9,MB2=(m-3)2+l,AB2=32,再三种情况建立方程求解即可得

出结论.

【题目详解】

k

(1)•.•直线y=-x+2与反比例函数y=—(片0)的图象交于A(a,3),B(3,b)两点，.♦.—a+2=3,-3+2

X

=b,

.\a=­1,b=—1,

A(—1,3),B(3,—1),

k

・・,点A(-1,3)在反比例函数y=—上，

x

Ak=-lx3=-3,

3

・・・反比例函数解析式为y=——；

x

(2)设点P(n,—n+2),

VA(-1,3),

：.C(-1,0),

VB(3,-1),

AD(3,0),

11,11

SAACP=—ACx|xp-XA|=~x3x|n+l|,SABDP=-BDX|XB-XP|=—xlx|3—n|,

22

":SAACP=SABDP,

11

/.—x3x|n+l|=—xlx|3-n|,

.,.n=0或n=-3,

：.P(0,2)或(-3,5)；

(3)设M(m,0)(m>0),

VA(-1,3),B(3,-1),

,*.MA2=(m+1)2+9,MB2=(m-3)2+l,AB2=(3+1)2+(-1-3)2=32,

VAMAB是等腰三角形,

J①当MA=MB时,

(m+1)2+9=(m-3)2+l,

.,.m=0,(舍)

②当MA=AB时,

/.(m+1)2+9=32,

.•.m=T+755或(舍)，

AM(-1+V23,0)

③当MB=AB时，(m-3)2+l=32,

；.m=3+庖或m=3-庖（舍）,

：.M(3+庖，0)

即：满足条件的M（-1+V23-0）或（3+后，0）.

【题目点拨】

此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的求法，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问

题是解本题的关键.

2

21、（1）证明见解析（2）①一②3

3

【解题分析】

（1）作辅助线，连接OE.根据切线的判定定理，只需证DELOE即可;

（2）①连接BE.根据BC、DE两切线的性质证明△ADEs^BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相

等求得△ABEs/\AFD,所以生=C£=2；

AEDE3

②连接OF,交AD于H,由①得NFOE=NFOA=60。,连接EF,贝！］AAOF、AEOF都是等边三角形，故四边形AOEF

是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM±OE于M,则GM=-EG,OG+^EG=GF+GM,根据两点之间线段最

22

短，当F、G、M三点共线，OG+4EG=GF+GM=FM最小，此时FM=3.故OG+^EG最小值是3.

22

【题目详解】

(1)连接OE

VOA=OE,/.ZAEO=ZEAO

VZFAE=ZEAO,ZFAE=ZAEO

；.OE〃AF

；DE_LAF,.*.OE±DE

；.DE是。O的切线

(2)①解：连接BE

,直径ABZAEB=90°

•圆O与BC相切

ZABC=90°

■:ZEAB+ZEBA=ZEBA+ZCBE=90°

ZEAB=ZCBE

:.ZDAE=ZCBE

,:ZADE=ZBEC=90°

/.△ADE^ABEC

.BCCE2

"AE-DE-3

②连接OF,交AE于G,

由①，设BC=2x,贝！|AE=3x

BCCE

VABEC^AABC

ACBC

•2x_2

3x+22x

解得：xi=2,x=--（不合题意，舍去）

22

；.AE=3x=6,BC=2x=4,AC=AE+CE=8

.•.AB=45ZBAC=30°

，ZAEO=ZEAO=ZEAF=30°,/.ZFOE=2ZFAE=60°

.*.NFOE=NFOA=60。,连接EF,贝！］△AOF、△EOF都是等边三角形，,四边形AOEF是菱形

由对称性可知GO=GF,过点G作GM±OE于M,则GM=-EG,OG+^EG=GF+GM,根据两点之间线段最短，当F、

22

G、M三点共线，OG+^EG=GF+GM=FM最小，此时FM=FOsin600=3.

2

故OG+^EG最小值是3.

2

【题目点拨】

本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质.比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答.

22、275

【解题分析】

3

过点3作在AABD中由cosA=§可计算出AD的值，进而求出8。的值，再由勾股定理求出BC的值.

【题目详解】

解：

过点3作垂足为点。,

在RtAABD中,cosA=-----,

AB

43

":cosA=—,AB=5,

5

.3

..AD=AB-cosA=5x—=3,

：.BD=4,

VAC=5,

:・DC=2,

:.BC=2下.

【题目点拨】

本题考查了锐角的三角函数和勾股定理的运用.

499

23、(1)见解析；(2)―；(1)DE的长分别为大或1.

242

【解题分析】

AMAE

(1)由比例中项知---=--,据此可证△AMEs/\AEN得NAEM=N4NE,再证NAEM=NOCE可得答案；

AEAN

DEDC97

(2)先证N4VE=NEAC,结合NANE=NOCE得NOCE=NEAC,从而知——=——，据此求得AE=8--=一,

DCAD22

_1_、加„„,AMDE-21,„AMAE49

由(1)^ZAEM^ZDCE,据此知——=——，求得一,由求得——=——MN=一；

AEDC8AEAN24

(1)分NENM=/E4C和NENM=/EC4两种情况分别求解可得.

【题目详解】

解：(1)是AM和AN」的比例中项

.AM_AE

"AEAN'

VZA=ZA,

：./\AME^/\AEN,

：.ZAEM=ZANE,

•.•/£)=90。，

ZDCE+NOEC=90。,

"：EMLBC,

：.ZAEM+Z£)£C=90°,

:.NAEM=NDCE,

:.NANE=ZDCE,

（2）；AC与NE互相垂直，

，ZEAC+NAEN=90。，

'：ZBAC=90°,

ZANE+NAEN=90。，

，ZANE=ZEAC,

由（1）得NANE=NDCE,

：.ZDCE=ZEAC,

•*.tanZDCE—tanZDAC,

•DE_DC

''~DC~~AD'

'：DC=AB