北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试题（教师版）

顺义区2022-2023学年度第二学期期末质量监测高一数学试卷考生须知1．本试卷总分150分，考试月时120分钟．2．本试卷共6页，分为选择题（40分）和非选择题（110分）两个部分．3．试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.在平面直角坐标系中，，则向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用起点和终点坐标求向量坐标.【详解】依题意，，.故选：B2.在以下4项调查中：①调查一个40人班级的学生每周的体育锻炼时间；②调查某省的一种结核病的发病率；③调查一批食品的合格率；④调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例；适合用全面调查的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】A【解析】【分析】根据全面调查的定义判断即可.【详解】根据全面调查的定义可知，①适合用全面调查，②③④适合用抽样调查.故选：A3.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.【详解】，故对应的点为，位于第二象限，故选：B4.已知向量，若，则实数（）A. B. C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平面向量垂直的坐标公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为向量，且，则，则.故选：C5.某中学高一年级有280人，高二年级有320人，为了解该校高一高二学生对暑假生活的规划情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高一年级应抽取的人数为（）A14 B.16 C.28 D.32【答案】C【解析】【分析】根据抽样比即可按比例求解.【详解】高一年级应抽取人，故选：C6.若是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分，必要条件的定义，结合几何关系，数形结合，即可判断.【详解】必要性：如图，，平面与平面交于，平面交平面交于，，，平面是相交平面，所以与，与是相交直线，所以与是异面直线，且，，所以，同理，所以满足必要性，充分性，若异面直线平移至点，成为相交直线，当直线都与平面平行时，则所确定的平面都与平行，此时，所以“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的充分条件，由以上可知，“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的充分必要条件.故选：C7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.【详解】因为，所以，为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个单位长度.故选：A.8.已知非零向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，结合模长公式以及数量积公式得出夹角.【详解】因为，所以，，即与的夹角为.故选：C9.如图，圆锥的底面直径和高均是2，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据圆锥和圆柱的体积公式即可求解.【详解】设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，，剩下几何体的体积．故选：D10.已知半圆的直径为圆心，圆周上有两动点满足．设弦与弦的长度之和与的关系为，则最大值为（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分别表示出，得到函数关系式，然后换元，由二次函数的最值即可得到结果.【详解】由题意可得，，且，做于点，于点，则，，则，令，因为，则，所以，所以，，对称轴，则.故选：B第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上．11.______.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式，以及特殊角的正弦值，可得结果.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查诱导公式，属基础题.12.已知是复数的共轭复数，，其中是虚数单位，则________．【答案】【解析】【分析】由共轭复数的定义结合模长公式计算即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：13.在中，，则________．【答案】或【解析】【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得,由于,所以或，故答案为：或14.为了解某小区6月份的用电量情况，近过随机抽样获得其中300户居民的月用电量（单位：度），发现都在之间．将所有数据按照分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图．则________；该小区居民6月份用电量的分位数大约是________．【答案】①.0.0044②.175【解析】【分析】根据频率和为1求；再根据百分位数公式，结合频率分布直方图，即可求解.【详解】根据频率分布直方图可知，，得，设小区居民6月份用电量的分位数，.故答案为：；15.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，有以下四个说法：①可能与相交；②与不可能平行；③与是异面直线；④三棱锥的体积为定值；其中，所有正确说法的序号是________．【答案】①③④【解析】【分析】分别取和的中点，可证得平面平面，从而可得点的轨迹是线段，再逐一判断即可.【详解】如图：分别取和的中点，连接，则，，因为平面，平面，所以平面，同理得平面，又，平面，所以平面平面，又因为平面，所以点的轨迹是线段.对于①，连接交于，当在点处时，与相交，故①正确；对于②，当在的中点处时，，故②错误；对于③，假设与不是异面直线，则与共面且相交，因为，，所以由和可确定平面，由和可确定平面，显然平面与平面不是同一平面，这与三条两两相交直线（不交于同一点）确定一个平面矛盾，所以假设不成立，即与异面直线，故③正确；对于④，由，平面，平面，所以平面，三棱锥的高为到平面的距离，又因为在线段上运动，所以等于点到平面的距离，为定值，又底面三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故④正确.故答案为：①③④三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）求方程的解集．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦型函数的周期公式即可得到结果；（2）根据题意，由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】最小正周期.【小问2详解】∵在上单增，∴令，∴，∴的单增区间为.【小问3详解】令即，∴或，∴或，∴方程解集是或17.某球员在8场篮球比赛的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12214客场1186主场21512客场2135主场3228客场3217主场42317客场41815（1）从上述比赛中随机选择一场，求该球员在本场比赛中投篮命中率超过0.5的概率；（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求该球员的投篮命中率一场超过0.5，另一场不超过0.5的概率；（3）记是表中8场命中率的平均数，是表中4个主场命中率的平均数，是表中4个客场命中率的平均数，比较的大小．（只需写出结论）》【答案】（1）0.5（2）（3）【解析】【分析】（1）统计8场比赛中的投中率，即可求解，（2）根据独立事件的概率公式即可求解，（3）由平均数的定义即可结合表中数据求解.【小问1详解】根据投篮统计数据，在8场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的有4场，分别是主场1，主场2，主场4，客场4．∴在随机选择的一场比赛中，该球员投篮命中率超过0.5的概率是0.5．【小问2详解】设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，该球员的投篮命中率超过0.5”事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5”．则相互独立．根据投篮统计数据，．故∴在随机选择的一个主场和一个客场中，该球员的投篮命中率一场超过0.5，一场不超过0.5的概率是．【小问3详解】，理由：根据表中数据可知主场的4场比赛中，投篮命中率的平均数显然高于客场的，所以，由于，所以.18.已知平面直角坐标系中，等边的顶点坐标为，点在第一象限，点是平面内任意一点．（1）若四点能构成一个平行四边形，求点的坐标；（写出所有满足条件的情况）（2）若点为线段边上一动点（包含点），求的取值范围．【答案】（1）或或（2）【解析】【分析】（1）根据四点能构成一个平行四边形，分类讨论或者或者，根据向量相等的概念求解即可；（2）根据题意设，得到，进而求得取值范围即可.【小问1详解】∵等边的顶点坐标为，点在第一象限∴点的坐标为又∵若四点能构成一个平行四边形∴或者或者设，则由可得即∴由可得即∴由可得即∴∴D的坐标为或或【小问2详解】∵点为边上一动点（包含点），∴可设∴∴∴当时，的最大值为4，当时，的最小值为2．∴的取值范围是19.在中，．（1）求；（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：边上的高为．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和二倍角的余弦公式化简即可得解；（2）选①②，先利用正弦定理求出边，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可得解.选①③，先根据边上的高求出边，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可得解.选②③，先根据边上的高求出边，再利用正弦定理求出角，即可得解.【小问1详解】在中，，∴∴，即，∵在中，，∴；【小问2详解】选择①②，则，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵在中，，∴，∴.选择①③，∵边上的高为，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵在中，，∴，∴.选择②③，∵边上的高为，∴，∵，∴，∵在中，，∴或，此时不唯一．20.如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：；（3）若平面，求实数的值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据线线平行即可求证，（2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直,（3）根据线面垂直得到线线垂直，进而根据边角关系即可求解.【小问1详解】∵平面,平面∴平面【小问2详解】∵为等边三角形，为的中点，∴又∵平面平面，平面平面，平面∴平面，又∵平面，∴【小问3详解】延长文于点,∵平面,平面，∴,∴,即，∵,∴，∵，∴，∴，又为的中点，，∴，∵在中，，∴，∴在中，，∴即，21.设集合为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．（1）若，求的一个二阶划分，使得；（2）若．求证：不存在的二阶划分满足；（3）若为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据二阶划分的定义，结合第一问的条件，即可求解；（2）首先假设存在的二阶划分满足，再计算，即可推出矛盾，即可证明；（3）根据二阶划分的定义，并结合奇数集合和偶数集合，即可推理求解.小问1详解】中所有元素之和为中所有元秦之和为且∴∴，即可知∵∴【小问2详解】假设存在符合条件的一个二阶划分满足，则，从而是3的倍数又∴∵55不是3的倍数∴假设不成立∴不存在的二阶划分满足【小问