北京朝阳区2024届中考数学模试卷含解析

北京朝阳区第十七中学2024学年中考数学模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.某微生物的直径为0.000005035m,用科学记数法表示该数为（）

A.5.035x106B.50.35x105C.5.035xl06D.5.035x105

2.如图，AABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（-2,3）,先把AABC向右平移6个单位得到

△AiBiCi,再作△AiBiCi关于x轴对称图形△A2B2c2,则顶点A2的坐标是（）

A.（4,-3）B.（-4,3）C.（5,-3）D.（-3,4）

3.如图所示，△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=BC=2,正方形DEFG边长也为2,且AC与DE在同一

直线上，AABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x,△ABC

与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

4.自2013年10月总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来.各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度.全国脱贫人口数

不断增加.仅2017年我国减少的贫困人口就接近1100万人.将1100万人用科学记数法表示为（）

A.1.1x103人B.1.1x107人C.1.1x108人D.11x106人

5.下列运算正确的是（）

A.x2+x3=x5B.r+%3=%6C.（炉）'=15D.（X2）3=X6

6.如图，。。的直径48=2,C是弧A3的中点，AE,BE分别平分N3AC和NA3C,以E为圆心，AE为半径作扇

形E45,兀取3,则阴影部分的面积为（）

A.?应-4B.7夜-4

C.6--A/2

4

7.下列各式中计算正确的是（）

A.x3*x3=2x6B.（xy2）3=xy6C.2=a5D.t10-rt9=t

8.如图，直线AB与半径为2的。O相切于点C,D是。O上一点，且NEDC=30。，弦EF〃AB,则EF的长度为（）

A.2B.273C.力D.272

9.囱的值是（）

A.±3B.3C.9D.81

10.如图，从边长为“的正方形中去掉一个边长为，的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能

验证的等式是（）

A.(a+b)(a—b)=a'—bB.(a—b)~=cT—2ab+b

C.（a+b）2-a2+lab+b2D.优+ab=a（a+b）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.将一副三角板如图放置，若NAOD=20，则/BOC的大小为

12.亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起,

就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于.O，，

13.如图，在正方形ABCD中，ABPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连结BD、DP,BD

与CF相交于点H,给出下列结论：@ADFP~ABPH；②&=空=走；③PD2=PH・CD；④=避匚

PHCD3S正方形.CD3

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）.

15.若点（a,b）在一次函数y=2x-3的图象上，则代数式4a-2b-3的值是

16.小青在八年级上学期的数学成绩如下表所示.

平时测验期中考试期末考试

成绩869081

如果学期总评成绩根据如图所示的权重计算，小青该学期的总评成绩是分.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)菱形ABC。的边长为5,两条对角线AC、瓦)相交于。点，且A0,80的长分别是关于x的方程

炉+(2nz-l)x+根？+3=0的两根，求，〃的值.

18.(8分)如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是

x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线1交抛物线于点Q,交直线BD于点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)已知点F(0,I),当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似？若存在，求

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

19.(8分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后，把手AM的仰角a=37。，此时把手端点

34

A、出水口B和点落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头的相关数据如图2.(参考数据：01137。=cos37°=j,

3、

tan37°=-)

4

⑴求把手端点A到BD的距离;

⑵求CH的长.

20.（8分）先化简厂I”；1+（三二；—X+1）,然后从一0Vx〈G的范围内选取一个合适的整数作为x的值代

入求值.

21.（8分）某街道需要铺设管线的总长为9000根，计划由甲队施工，每天完成150M.工作一段时间后，因为天气

原因，想要40天完工，所以增加了乙队.如图表示剩余管线的长度》（加）与甲队工作时间x（天）之间的函数关系图

象.

（1）直接写出点3的坐标；

（2）求线段所对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）直接写出乙队工作25天后剩余管线的长度.

22.（10分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（l<x<90）天的售价与销售量的相关信息

如下表：

时间X（天）l<x<5050<x<90

售价（元/件）x+4090

每天销量（件）200—2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元［求出y与x的函数关系式；问销售该商品第几天时,

当天销售利润最大，最大利润是多少？该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结

果.

23.（12分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD,过点D作DE_LAF,垂足为点E.求证：DE=AB；

以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G,若BF=FC=L试求易的长.

24.如图，在自动向西的公路I上有一检查站A,在观测点B的南偏西53。方向，检查站一工作人员家住在与观测点B

124

的距离为7rkm,位于点B南偏西76。方向的点C处，求工作人员家到检查站的距离AC（参考数据：sin76o^—,

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解题分析】

试题分析：0.000005035m,用科学记数法表示该数为5.035xl（f6,故选A.

考点：科学记数法一表示较小的数.

2、A

【解题分析】

直接利用平移的性质结合轴对称变换得出对应点位置.

【题目详解】

如图所示:

B

顶点A2的坐标是（4,-3）.

故选A.

【题目点拨】

此题主要考查了轴对称变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键.

3、A

【解题分析】

此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可.

【题目详解】

解：设CD的长为x,_ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为Y

当C从D点运动到E点时，即时，y=—x2x2——(2—x)x(^2—x^=——X"+2x.

当A从D点运动到E点时，即2<x44时，y=1-x[2-(x-2)]x[2-(x-2)]=1-x2-4x+8,

y=-^x2+2x(0<x<2)

，y与x之间的函数关系《由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.

1,

y=-x-4x+8(2<x<4)

故选A.

【题目点拨】

本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围.

4、B

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中K|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【题目详解】

解：1100万=11000000=1.1X107.

故选B.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中10a|VlO,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

5、D

【解题分析】

根据塞的乘方：底数不变，指数相乘.合并同类项即可解答.

【题目详解】

解：A、B两项不是同类项，所以不能合并，故A、B错误，

C、D考查哥的乘方运算，底数不变，指数相乘.（/）3=%6,故D正确；

【题目点拨】

本题考查塞的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键.

6、A

【解题分析】

VO的直径AB=2,

.*.ZC=90°,

是弧AB的中点，

•*-AC=BC，

.*.AC=BC,

/.ZCAB=ZCBA=45°,

VAE,BE分别平分/BAC和NABC,

；.NEAB=NEBA=22.5。，

1

.,.ZAEB=180°-y(ZBAC+ZCBA)=135°,

连接EO,

,/ZEAB=ZEBA,

/.EA=EB,

VOA=OB,

AEO±AB,

Z.EO为RtAABC内切圆半径，

11

ASAABC=-（AB+AC+BC）-EO=-AC-BC,

22

AEO=V2-1.

.*.AE2=AO2+EO2=12+（V2-l）2=4-2V2，

扇形EAB的面积=135万（4—2血）=9（2—应）,4ABE的面积=^AB-EO&T,

36042

弓形AB的面积=扇形EAB的面积-△ABE的面积=2二电1,

4

二阴影部分的面积=工。的面积-弓形AB的面积=巨-（21电2）=电1-4,

2244

故选：A.

7、D

【解题分析】

试题解析：A、%3.%3=%6,原式计算错误，故本选项错误；

B、（孙2）3=%3,6,原式计算错误，故本选项错误；

C、（/）2=。6,原式计算错误，故本选项错误；

D、严+产=/,原式计算正确，故本选项正确；

故选D.

点睛：同底数塞相除，底数不变，指数相减.

8、B

【解题分析】

本题考查的圆与直线的位置关系中的相切.连接OC,EC所以NEOC=2ND=60。，所以△ECO为等边三角形.又因为

弦EF//AB所以OC垂直EF故NOEF=30。所以EF=73OE=273.

9、C

【解题分析】

试题解析：•••次=3

二79的值是3

故选C.

10、A

【解题分析】

由图形可以知道，由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式.

【题目详解】

解：大正方形的面积-小正方形的面积=/一加，

矩形的面积=(a+b)(a-b),

故(a+/?)(a-/7)=/-b~,

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、160°

【解题分析】

试题分析：先求出NCOA和NBOD的度数，代入NBOC=NCOA+NAOD+NBOD求出即可.

解：VZAOD=20°,ZCOD=ZAOB=90°,

/.ZCOA=ZBOD=90o-20°=70°,

.,.ZBOC=ZCOA+ZAOD+ZBOD=700+20o+70o=160°,

故答案为160°.

考点：余角和补角.

12、1

【解题分析】

本题主要考查了三角形的内角和定理.

解：根据三角形的内角和可知填：1.

13、①②③

【解题分析】

一FPDF

依据NFDP=NPBD,NDFP=NBPC=60。，即可得到△DFPsaBPH；依据△DFPsaBPH,可得——=——=—,

PHBP3

ppnFnpj-fpj~)

再根据BP=CP=CD,即可得到二-=——=*乙；判定ADPHSACPD,可得——=——，即PD2=PH・CP,再根据

PHCD3PDPC

CP=CD,即可得出PD2=PH-CD；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面

q巧

积-2kBCD的面积，即可得出PP。二七一

3正方4

【题目详解】

VPC=CD,ZPCD=30°,

/.ZPDC=75°,

/.ZFDP=15°,

VZDBA=45°,

AZPBD=15O,

.\ZFDP=ZPBD,

VZDFP=ZBPC=60°,

.*.ADFP^ABPH,故①正确;

VZDCF=90°-60°=30°,

...tan/DCF嗡邛,

VADFP^ABPH,

eFP_DFy/3

**PH--V

VBP=CP=CD,

:.&=空=立，故②正确;

PHCD3

VPC=DC,NDCP=30。，

/.ZCDP=75°,

又；ZDHP=ZDCH+ZCDH=75°,

/.ZDHP=ZCDP,而NDPH=NCPD,

/.△DPH^ACPD,

PHPD,

——=——，即anPD2=PH«CP,

PDPC

XVCP=CD,

.,.PD2=PH»CD,故③正确；

如图，过P作PM_LCD,PN1BC,

设正方形ABCD的边长是4,ABPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16,

，ZPBC=ZPCB=60°,PB=PC=BC=CD=4,

/PCD=30。

:.PN=PB*sin60°=4x旦二26,PM=PC-sin30°=2,

2

■:SABPD=S四边形PBCD-SABCD=SAPBC+SAPDC-SABCD

111

=—x4x2A/r3+—x2x4-----x4x4

222

=473+4-8

=473-4,

.sBPD故④错误,

3正方形ABC。4

故答案为：①②③.

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活运用相关的性质

定理与判定定理是解题的关键.

14、a(a-1)

【解题分析】

直接提取公因式a,进而分解因式得出答案

【题目详解】

a2-a=a（a-1）.

故答案为a（a-1）.

【题目点拨】

此题考查公因式，难度不大

15、1

【解题分析】

根据题意，将点（a,b）代入函数解析式即可求得2a・b的值，变形即可求得所求式子的值.

【题目详解】

•・,点（a,b）在一次函数y=2x・l的图象上，

.\b=2a-l,

2a-b=l,

4a-2b=6,

:.4a-2b-l=6-l=l,

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

16、84.2

【解题分析】

小青该学期的总评成绩为：86X10%+90X30%+81X60%=84.2（分），故答案为：84.2.

三、解答题（共8题，共72分）

17、m——3.

【解题分析】

由题意可知:菱形ABC。的边长是5,则4。+8。2=25,则再根据根与系数的关系可得：4。+3。=-（2m-1）,4。40=/+3；

代入40+802中，得到关于,"的方程后，即可求得加的值.

【题目详解】

解：•••A0,80的长分别是关于%的方程产+（2根—1K+机2+3=0的两根，

设方程的两根为国和4，可令。A=%,OB=x2,

•.•四边形ABC。是菱形,

：.AC±BD,

在Rt496中：由勾股定理得：OA2+OB2=AB2,

2

•*.x；+x2=25,贝！](石+/J—2xrx2=25,

2

由根与系数的关系得：%+々=一(2加一1),Xj-%2=m+3,

/.[-(2/n-l)]2-2(m2+3)=25,

整理得：m2-2m-15—0>

解得：叫=5,m2=-3

又：/>(),

(2m-l)2-4(m2+3)>0,解得根<—,

m=—3

【题目点拨】

此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及

代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.

13

18,(1)y=-yx2+-x+2；(2)m=-1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；(3)点Q的坐标为(3,2)或(-

1,0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似.

【解题分析】

分析：(1)待定系数法求解可得；

1131

(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=—x-2,则Q(m,--m2+-m+2),M(m,-m-2),由QM〃DF

2222

且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的方程，解之可得；

DOMB1

(3)易知NODB=NQMB,故分①NDOB=NMBQ=90。，利用△DOBsaMBQ得====彳，再证

(JB2

D1VL—=----------------_

△MBQsaBPQ得不二=一，即2123c，解之即可得此时m的值；②NBQM=90。，此时点Q与

点A重合，△BODs^BQM，，易得点Q坐标.

详解：(1)由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),

将点C(0,2)代入，得：-4a=2,

解得：a=-1,

2

.113

则抛物线解析式为y=-—(x+1)(x-4)=--x2+—x+2；

222

(2)由题意知点D坐标为(0,-2),

设直线BD解析式为y=kx+b,

将B(4,0)、D(0,-2)代入，得：

4k+b=Q_

,解得：<

b=-2

b=-2

直线BD解析式为y=；x-2,

；QMJ_x轴，P(m,0),

131

•*.Q(m,--m2+—m+2)>M(m,—m-2),

222

r,1,31、1,

则QM=-万m2+万m+2-(z—m-2)=-—m2+m+4,

VF(0,-),D(0,-2),

2

5

；.DF=一,

2

；QM〃DF,

••.当-』m2+m+4=—时，四边形DMQF是平行四边形，

22

解得:m=-l(舍)或m=3,

即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；

(3)如图所示:

；QM〃DF,

NODB=NQMB,

分以下两种情况：

①当NDOB=NMBQ=90。时，△DOBsaMBQ,

DOMB2\

贝!I---=----=-=-，

OBBQ42

VZMBQ=90°,

，/MBP+/PBQ=90。，

VZMPB=ZBPQ=90°,

/MBP+NBMP=90°,

/.ZBMP=ZPBQ,

.•.△MBQs/XBPQ,

14—m

BMBP-=-------------------

---------，即2123_,

BQPQ—5"，+5771+2

解得：mi=3、012=4,

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

，m=3,点Q的坐标为(3,2)；

②当NBQM=90。时，此时点Q与点A重合，△BODsaBQM，，

此时m=-L点Q的坐标为(-1,0)；

综上，点Q的坐标为(3,2)或(-1,0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似.

点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、

相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用.

【题目详解】

请在此输入详解！

19、(1)12；(2)CH的长度是10cm.

【解题分析】

(1)、过点A作AN皮)于点N,过点乂作又。，AN于点Q,根据RtAAMQ中a的三角函数得出得出AN的长

度；

(2)、根据AANB和小AGC相似得出DN的长度，然后求出BN的长度，最后求出GC的长度，从而得出答案.

【题目详解】

解：(1)、过点A作AN于点N,过点M作MQ_LAN于点Q.

3

在RtAAMQ中，AB=10,sina=—.

.AO_3

••—―,

AB5

3

:.AO=—AB=6,

5

:.AN=12.

(2)、根据题意：NB//GC.

.•・AAA®〜AAGC.

.BNAN

"GC~^G'

VMQ=DN=3,

:.BN=DB—DN=4.

.4_12

,,GC-36'

：.GC=12.

.*.07=30-8-12=10.

答：的长度是10cm.

点睛：本题考查了相似三角形的应用以及三角函数的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测

量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模,

引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题.

1

20、一

2

【解题分析】

根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从-石的范围内选取一个使得原分式有意义的整数作

为x的值代入即可解答本题.

【题目详解】

2

解：(口-X+l)

X2-lx+1

;(xT)2.xT-(xT)(x+l)

(x+l)(x~l)x+1

_(xT)2.x+1

2

(x+l)(x-l)\-l-x+l

_(x-l)2x+1

(x+1)(x-l)x(l-x)

=--1-,

X

当x=-2时，原式=---=—.

-22

【题目点拨】

本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

21、(1)(10,7500)(2)直线BC的解析式为y=-250x+10000,自变量x的取值范围为10WxS40.(3)1250米.

【解题分析】

(1)由于前面10天由甲单独完成，用总的长度减去已完成的长度即为剩余的长度，从而求出点B的坐标；(2)利用

待定系数法求解即可；(3)已队工作25天后，即甲队工作了35天，故当x=35时，函数值即为所求.

【题目详解】

(1)9000-150x10=7500.

点B的坐标为(10,7500)

(2)设直线BC的解析式为y=kx+b,依题意，得：

解得：

二直线BC的解析式为y=-250x+10000,

•乙队是10天之后加入，40天完成，

二自变量x的取值范围为10<x<40.

(3)依题意，当x=35时,y=-250x35+10000=1250.

...乙队工作25天后剩余管线的长度是1250米.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的应用，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键.

-2x2+180x+2000(1<x<50)

22、(1)y=\；(2)第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；(3)41.

-120%+12000(50<x<90)

【解题分析】

(1)根据单价乘以数量，可得利润，可得答案.

（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案.

（3）根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于48000,可得不等式，根据解不等式组，可得答案.

【题目详解】

（1）当lgxV50时，y=（200—2x）（x+40—30）二—212+180%+200,

当50<x<90时，y=（200-2%）（90-30）=-120%+12000,

,（~2x2+180x+2000（1<x<50）

综上所述：y=[i20x+12000（50WxW90）,

（2）当1金<50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45,

当x=45时，y最大=-2x452+180x45+2000=6050,

当50<x<90时，y随x的增大而减小，

当x=50时,y最大=6000,

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.

（3）W-2x-+180x+2000>480