2024高考数学小题核心考点精练-立体几何（解析试卷）

小题核心考点精练03立体几何冲刺2024年高考（解析试卷）

1.设圆柱底面半径为，高为〃，球的半径为R,

贝1）尺2=川+/,S=K7?2,S］=2b〃,P=*114就3=）2水3匕=,

二匚［、［S成2%2+尸2kr

所以一=---=-----=—+—>21,

52jtrh2rh2r2h

当且仅当r=”时等号成立，此时及=母厂,

所以4行.

2

匕nrhTV2-r3

故选：A

2.由题意可知：/BCD为菱形，且PA=PB=PC=PD,知顶点?在底面/BCD内的投影为

四边形的外心，

所以ABCD为正方形，即四棱锥尸-ABCD为棱长为4的正四棱锥，

则四棱锥尸-ABCD的高为"一（2再=2五，

设球O的半径为厂，则:*16乂2后=]16+4乂94义4乂目厂，解得厂=&_行.

33122J

故选：B.

3.如图，连接/C,8。交于点。，连接。尸，

取8c的中点E,连接O£,PE,

因为/3=机,所以CM=O2=OC=OO=JM,

2

_________5

OP=ylAP2-OA2=—m,

2

由BE=CE,可得5C_LOE,BC1PE,OE,PEu平面POE,

且OEcPE=E,所以5C/平面尸OE,

过。作O〃_LPE,

因为5cl平面尸OE,OHu平面POE,所以

且3clPE=E,BC,PEu平面PBC,所以平面尸BC,

所以。”为该正八面体结构的内切球的半径，

在直角三角形尸OE中，OP=^^m,OE=—m,PE=^-m>

222

由等面积法可得，-xOPxOE=-xPExOH，解得OH=®m,

22，6

</7V

?2

所以内切球的表面积为4TIX3m=—m,

Q

故选:D.

4.如图，取3c的中点为E,3。的中点为尸，所以尸为△BCD的外心，

连接NE,EF,设的外心为G,

因为4B=3C=/C=2,即“3C为等边三角形，

所以点G在4E上，且设球心为。，连接OG,OF,

贝l]OG_L平面48C,O尸_L平面BCD,

因为平面N8C工平面BCD,所以。G_LOb,

因为AA8C为等边三角形，£为3c的中点，所以/E_L3C,

因为平面NBC工平面BCD,平面/BCc平面3CD=BC,/Eu面/3C,

所以N£_L平面8cD,则4E〃。尸，又所u平面BCD,所以4E_LE尸，

同理所上平面48C,所以所〃OG,故四边形OGM是矩形.

由8C_LCD,可得AD=YIBC2+CD2=272，故DF=&，

又OF=EG=-AE--ABsin60°=—,

333

7

设球O的半径为R,则R2=OD2=OF2+FD2=-,

所以球。的表面积S=47尺2=半.

故选：C.

5.因为平面/3C工平面BCD,AB=BC=AC=CD=23C1CD,

所以可将四面体力-BCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示:

则四面体/-3co的外接球即直三棱柱的外接球,

因为底面三角形N8C的外心到三角形N8C的顶点的长度为gx"二「=等,

所以直三棱柱的外接球的半径

28兀

贝1J球。的表面积S=4“2=4X7TX

故选：A.

6.根据题意可将三棱锥尸补形成长、宽、高分别为4,2,2的长方体4与Cf

中，

以A为坐标原点，AD,AB,/4所在直线分别为x,z轴建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),5(0,4,0),C(2,4,0),尸(2,0,2),

则W(l,2,l),N[2,1,|J,故方=(2,0,2),加=

2x1+0x(—1)+2x—nz

所以cos〈Q,疝〉=--------------12=V

V22+02+22xJl2+(-l)2+1

所以异面直线MV与尸/所成角的大小为45。.

故选：B.

7.如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，

设/尸=彳/4乂€[0』，不妨设/B=2,

则1(2,0,0),C(0,2,0),。(1,1,0),0(0,0,2),耳(2,2,2),

故/=(-2,2,0),西=(-2,0,2),

PQ=AQ-AP=AQ-UB^1,1,0)-2(0,2,2)=91,1-22-2/1),

设平面NC。的法向量为"=(x,y,z),

nAC——2x+2y=0

则一—可取为=(1,1,1),

n-ADX=-2x+2z=0

|-1+1-2A-22|

则sin归cos用和42

22

^1+(1-22)+(-22)X^-42+2

所以cos。=Jl-sin?6=1———一/弘8储

\VV3-V8A2-4A+2)1242—64+3

当4=0时，cos3=1,

CI,8万8

当2e(O,l］时，CM——12公一6X+3

12-I+F

当;=1,即4=1时,(cos^)min=1)

7lJ

综上所述，cos。的最小值是;.

故选：A.

8.以点。为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为无轴、V轴、z轴建立空间直角

则易得。(0,0,0),尸(1.0),吕(1,1,1),

UULL____

则。尸=(l,a,0),DS,=(1,1,1),设平面PD瓦的一个法向量为为=(x,y,z),

贝/竺1="+即=°,令尤=。，得平面PZ目的一个法向量为或+1),

-n=x+y+z=0

易得平面的一个法向量为丽=(o,i,o),

由图易得平面PDB、与平面ADDM所成的二面角为锐角，设其为6,

rr

cos9=|cos(n,mn-mIT_i

222-

则1771•|m|yja+(-l)+(-a+l)J21a~1：+3，

当；=0即q=g时，卜+g取最小值［cose取最大值丰，

此时。取最小值，且cosa=(cos。)

\/max3

故选：D.

9.以。为原点，分别以DC,。尸所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz,

则0(0,0,0),/(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1)6(0,4,3),

LILILIL____1,

/C1=(_2,4,3),=(0,4,1).

设溢为平面/EC/的法向量，〃=(x/,z),

h-AE=04y+z=0

由，—，得

-2x+4〉+3z=0'

n-ACt=0

又反;=(0,0,3),

|CQ-n|4733

.••点C到平面AECiF的距离d=

M11

故选：C.

10.在正三棱锥尸-4BC中AABC为等边三角形，顶点尸在底面的射影为底面的重心，所以

PA=PB=PC,

又PA=l,48=也，所以PT+PB?=4^2,所以尸/1PB,同理可得P/_LPC、PCVPB

即R4,PB,PC两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的

外接球，

正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径玉=,々+12+12=.,又

22

如图建立空间直角坐标系，则5(0,1,0),c(o,o,i),

umi___»------»(111A

所以=(-1,1,0),AC=(-1,0,1),^<^=1I,

,,,,-/、元.4B=-x+y=0-/、

设平面4SC的法向量为〃=("/),则［_,，令x=y=z=l,所以〃=(1,1,1),

nAC=-x+z=0

〃

则点。到平面皿的距离\与n-A=O"\7所以

11.对选项A：根据对称性知NG与三条直线的夹角相等，则与NG平行的直线都满足条件,

有无数条，错误;

对选项B：根据对称性知平面48。与三条直线所成的角相等，则与平面48。平行的平面

都满足条件，有无数个，错误;

对选项C：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体边长为1,"(1,0,0),5(1,1,0),。与上

一点P(a,a,a),则48=(0,1,0),PA=(a-l,a,a)

点尸到直线N8的距离为

22

同理可得P到直线C。和R4的距离为^a-l)+a,故。目上的点到三条直线N8,CG，94

的距离都相等，故有无数个，错误;

G

对选项D：。片上的点到三条直线48,cq,24的距离都相等，故有无数个，正确;

故选：D

12对于A,当〃?//a,〃?||万时，两平面，可能平行可能相交，所以A错误;

对于B,a【/3,a±y,两平面/，/可能平行可能相交，所以B错误；

对于C,当an/=〃?，a1/,时，

设£口7="P^y=c,在7取一点。，过O分别作=3,OC_Lc=C,

则OB_La,OCL/3,因为（/|"|。=加，

所以加ua,mu°,所以08"L"z,OCIm,

因为08noe=。，。尻。Cu平面，，所以加，人所以C正确；

对于D,当tzn〃=加，“uy,n//a,〃〃6时，

可得机〃7或加uy,所以D错误，

故选：C.

13.对于A,若/u6，m^a,l±m,则a,6相交或平行，故A错误;

对于B,若///a,IHP,aC\/3=m,

由线面平行的性质可得〃/%,故B正确；

对于C,若。口£=加，PC\y=n,yca=l,

当a,民/两两相交时，"〃，/两两相交，故C错误；

对于D,若比则〃//a或“ua,故D错误.

故选：B.

14.若机//a,〃//a,则机〃〃或m与〃相交或血与"异面，故A错误;

若mue,〃u〃，能〃"，则a//£或。与夕相交，故B错误；

若用_La,nlla,由直线与平面垂直的性质可得加_L〃，故C正确；

若mue,“ua,mlip,〃///?,当加与〃相交时，有a〃?，否则，a与万不一定平行,

故D错误.

故选：C.

15.对于A,如下图所示，连接/。，/4，

因为点p是线段4。的中点，所以点尸也是线段g的中点,

所以平面PBR即为平面4BR.

根据正方体的性质，4。，平面4。＜\/吕，平面48C,

所以/0,4C,/8i，4C,

又因为4D]c/8]=/,4D[u平面/々A,/吕匚平面/吕。，

所以4CL平面所以E与C重合时，平面尸瓦口，故A正确;

对于B,如下图所示，取8c的中点M,

根据E,M分别为CG,8c的中点，易得EM//ADX,

所以四点共面,

所以截面为四边形ZAffiQ,且该四边形为等腰梯形.

又因为ME=6,ADI=26.,AM=ED[=#),

所以等腰梯形的高为PT*?=孚，

所以截面面积为々亚+2出)x£l=2故B错误；

222

对于C,如图建立空间直角坐标系，

由图可得，8(2,2,0),2(0,0,2),所以西=(-2,-2,2),

^E(0,2,m)(0<m<2),所以丽=(-2,0,加)，

所以"7=1时，距离最小，最小为冷，故C正确；

对于D,如图所示，取的中点G,连接EG,GP,PE,

2

1:

，

AB

易得G£_L平面A4QQ，

又因为GPu平面/4A。，所以GELGP,

所以GPAPE^-GE?={(2回2_22=2,

71

则点尸在侧面44Q。内的运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为

7T27r

所以点P的轨迹长度为三、2=?,故D正确.

故选：ACD.

16.选项A,连接正方体中易知

己"分别是。自1°中点，贝！］/W〃CQ,所以PN//A/,即4，P,N,B四点共面，当。与4重

合时满足3,N,P,。四点共面，A正确；

选项B,如图，取4A中点为。，连接尸。,。河，4£,

因为监N分别是中点，则A.M与GN平行且相等，A£NM是平行四边形,

所以初v〃4G，又尸是CQ1中点，所以尸。〃4£,所以尸O〃MV,

MNu平面BMN,尸QU平面8AW,所以尸。〃平面BMN,B正确；

选项C,正方体中，分别是/&CG中点，则MW/4G///C,

0在42上，如图，作0E交GA于E，连接EN,延长交DC延长线于点K,

连接。“延长交D4延长线于点T,连接7X交A8于点G,交3C于点尸，

QENFGM为所过M,N,Q三点的截面，

由正方体的对称性可知梯形QENM与梯形户GMN全等，

由面面平行的性质定理，TKIIQE,从而有TK//4C,由正方体性质，

设。©=x,0<x<2,则。iE=2Q=x,CXE=2-x,

N是cq中点，CXNHCK,贝！］CK=GE=2—x,所以CF=CK=2—x,同理

AG=2—x,BG=BF=x,

QE=42x,MN=2日EN=^l2+(2-x)2=yJx2-4x+5,

梯形QENM是等腰梯形，高为h=卜靖_产产^=百一2x+3,

截面面积S=2x；(QE+MN)h=VX4-6X2+8X+24,

f(x)=~6x2+8x+24,xe［0,2］,f'(x)=4x3-12x+8=4(x-l)2(x+2)>0,

/(x)在［0,2］上递增，%)而="2)=32,/^=/(0)=24,

所以C错;

选项D,取84中点。，。。中点「，连接MV,MU,NV,NU,则MU7V/-48CD是正四棱

柱（也是长方体），

它的外接球就是过8,C,W,N四点的球，所以球直径为J2?+22+F=3,半径为火=5,表面

积为5=4成2=9兀，D正确.

故选：ABD.

17.对于A,连接/C,AD,则5D_L/C,

因为_L平面48CD,BOu平面48CD,所以441_L3D,

又/4c/C=/,/4，/Cu平面N/C,所以平面4/C,

又4Cu平面4/C,所以4CL8。，

同理可得4CLCQ,

又CQcBD=D,C{D,BDu平面BCQ,所以4C，平面BCXD,

因为4Cu平面尸4C,所以平面上41C,平面8CQ,故A正确；

对于B,如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

设尸(x,O,z)(O<x<l,O<z<l),

所以8(1,0,0),C(u,0),4(0,0,1),

由A选项可知平面BCQ的一个法向量为4C=(1,1,-1),

_I4C-API昌_1一|

又8尸=(x-1,0,z),所以点尸到平面BCQ的距离为d=I国I=11,

所以当x=0,z=l时，4nax=半，故B错误；

对于C,连接G。，因为且/D=gG，所以四边形是平行四边形,

所以427/CQ,

则当点尸在线段/用上时，

异面直线AP与BC,所成的角即为异面直线ABX与8G所成的角，即NBQD,

7T

因为ABCQ为等边三角形，所以/8CQ=m，

即异面直线4P与Bq所成的角为g,故C正确；

对于D,当三棱锥尸-BCQ的体积最大时，点P到平面3CQ的距离最大，

由B选项可知当点P与点4重合时，

三棱锥P-5G。为正四面体4-8G。，且其棱长为也,

其外接球即为正方体N3CO-44GA的外接球,

2

所以外接球的半径为直，所以球。的表面积为5=4兀

=3兀，故D错误.

故选：AC.

18.解析：对于A：连接3G64,如图，由正方体的结构特征知，忸G|=|48|=|4G|,

即V43C]为正三角形.又因为瓦尸分别为BCCG的中点，则或"“5G，

因此直线AB与EF所成的角即为直线4B与BQ所成的角，即//RG或其补角，

又/43G=60°,所以直线43与E厂所成的角的大小为60。，A正确；

对于B：因为跖〃3G，所以40]〃所,401</平面。防,^^平面。石尸，

故直线/"//平面DE厂，B正确；

对于C：取E尸的中点为M,连接DM,显然。叫=。刊，跖的中点为M,则。/，跖,

假设平面。口，平面BCCd,而平面。斯c平面BCCE=EF,

于是DM上平面8CC4,又。C_L平面8CC圈，则。河〃DC,与。“口。。=。矛盾，C

错误;

DiG

对于D:不妨设正方体的棱长为2a,则正方体的体积为匕=8.3,又因为四面体C-。斯

的三条侧棱CE,CF,CD两两垂直，则它的外接球即为以CE,CF,CD为棱的长方体的外接球,

于是球的直径2R=yja2+a2+(2a)2=瓜a,

体积为匕=3忒3==&血3,于是匕：匕=，^£,D正确，

故选：ABD.

19.A：假设存在点M使得CM_L平面尸由尸/_L平面/BCD,尸/u平面P48,

得平面PAB1平面ABCD,又平面PAB「平面ABCD=AB,CM<=平面ABCD,

则Q7_L四，又CBLAB,CM,C8u平面/6CD,所以CM,C8重合，

即点M落在C8上，由知点M落在以A为圆心，以/8=1为半径的圆面内(不含

圆)，

这与点M落在C2上矛盾，故A错误；

B：以/为原点，AB,AD,AP所在直线为x,修z轴建立空间直角坐标系，

PA±平面ABCD,则NPCA即为PC与底面ABCD所成的角,

^LtanAPCA=—=—,而/C=0，所以尸4=1,

AC2

_.-------.11

则尸(0,0,1),3(1,0,0),所以尸2=(1,0,-1),结合A的分析,^AM=(-,-,0),

__!

；PB,AM21-----------JI

所以C0SP5/Ma=|而||第7厂—T=5,又尸8，/Me(0，R，

附.叫"也22

2

7TTT

所以直线PB与41/所成角为即存在点M使得直线网与所成角为故B正确；

i3

C：当4M=-时，当A/■位于A4的延长线时，△BCA/的高最大为一,

22

1Q31al

此时面积取得最大值31勺=4,所以三棱锥P-BCN的体积最大值为了"J1,故C正确;

D：当时，PM=*)2+12=*

以P为球心，为半径的球面与四棱锥尸-/BCD各面的交线

是以P为圆心，如为半径的圆与侧面展开图的交线，如下图丽，

2

由PB=®PC=6,PC2=PB2+BC2,则P8_L8C,

万1

所以tanZAPF=--tanZBPC=',贝！］ZAPF=Z.BPC,NAPF+ZFPB=-,

2414

TT

所以ZFPC=ZBPC+ZFPB=根据对称性有NFPC=NCPE,

4

所以=故前?的长为,2兀当=当，

又球与底面/BCD的交线是以P为圆心，"为半径的的四分之一圆，其长度为

2

1、6也

—•271=71,

424

故尸为球心，为半径的球面与四棱锥各面的交线长交土诿兀，故D正确.

4

故选：BCD

20.对于A,因为4BCD为正方形，连接BZ)与/C,相交于点。，连接。尸,

则OD,OC,0P两两垂直，

故以｛而，反，9｝为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，

C(2V2,0,0),N(-2a,0,0),Z>(0,2V2,0),5(0,-272,0),P(0,0,272),

N为PD的中点，则"(。，后,、勿.

当“为ND的中点时，M(-42,42,0),砺=(也,0,五)，PC=(2A/2,0,-2^2),

设异面直线MN与尸C所成角为0,

I----►—-\MN,PC14+0-4|兀兀

cos61=cosMN,PC\=,,,,=-----=(,6>e(0,—],故夕=一,A正确；

।\MN\PC\2X422

对于B,设0为DC的中点，N为