高等数学下册向量代数与空间解析几何期末复习题

第七章空间解析几何

一、选择题

1.在空间直角坐标系中，点(1,-2,3)在[D]

A.第一卦限B.第二卦限

C.第三卦限D.第四卦限

2.方程2/+V=2在空间解析几何中表示的图形为[C]

A.椭圆B,圆C.椭圆柱面D.圆柱面

x-1_y+1_z+1—x+y—1—0

3.直线4：与4："-,的夹角是[C]

423x+y+z-2=0

n

B.D.0

4.在空间直角坐标系中,点(1,2,3)关于xoy平面的对称点是[D]

A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)

C.(-1,-2,3)D.(1,2,-3)

5.将xoz坐标面上的抛物线z2=4x绕z轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B]

A.z2=4(x+y)B.z2=x2+y2

C.y~+z2-4xD.y2+z2—±4x

6.平面2x-2y+z+6=0与xoy平面夹角的余弦是[B]

7.在空间直角坐标系中，点(1,2.3)关于yoz平面的对称点是[A]

A.(-1,2,3)B.(1,-2,3)

C.(-1,-2,3)D.(1,2,-3)

22

8.方程=+}=2?表示的是[B]

ab

A.椭圆抛物面B.椭圆锥面C.椭球面D.球面

9.已知之二{0,3,4},b=[2,1,-2}，则/0»=[C]

1

A.3B.--C.-1

3

10.已知。力为不共线向量，则以下各式成立的是D

A.a2b2=4B.a2xb2=(axb)2

C.(〃・b)2=(ax/?)2D.(a•b)2+(axZ?)2=a2b2

x+y+z=Ox+y+z=0

11.直线的方程为<,直线4的方程为,则4与

31x-30y-29z=030x-31y-30z=0

12的位置关系是D

A.异面B.相交C.平行D.重合

12.已知A点与B点关于X0Y平面对称，B点与C点关于Z轴对称，那么A点与C点是C

A.关于X0Z平面对称B.关于Y0Z平面对称

C.关于原点对称D.关于直线％=y=z对称

13.已知A点与B点关于Y0Z平面对称，B点与C点关于X轴对称，那么A点与C点C

A.关于X0Z平面对称B.关于X0Y平面对称

C.关于原点对称D.关于直线x=y=Z对称

14.下列那个曲面不是曲线绕坐标轴旋转而成的C

A.x2+y2+z2-1B.x2+y2+z-1C.x2+y+z-1D.x+y2+z2-1

15.已知。力为不共线向量,则下列等式正确的是C

A.\a\a=a1B.=a°bC.a.(b・b)=ab"D.a2b2-(a»b)2

16.已知向量a=(l,2,l),人=(—3,4,—3),那么以a1为两边的平行四边形的面积是B

B.10A/2D.5A/2

x+2y+3z=0

17.已知直线/方程1/与平面九方程-x+z+2=0,那么/与%的位置关系

3x+4y+5z=0

是C

A./在万内B./垂直于万C./平行于乃D.不能确定

77

18.两向量所在直线夹角一，ab<0,那么下列说法正确的是B

4

A.a,b夹角上reB.。力夹角3二7rC.。力夹角可能37二r或T々CD.以上都不对

4444

19.已知|a|=l,|b|=0,且(a,b)=生,则|a+b|=(D).

4

(A)1(B)1+V2(0)2(D)V5

,x+3y+2z+l=0

20.设有直线)及平面万：4x—2y+z—2=0,则直线£(C)。

2x-y-10z+3=0

(A)平行于九(B)在万上(C)垂直于"(D)与"斜交

fx2z21

--------------=l____

21.双曲线45绕z轴旋转而成的旋转曲面的方程为(A).

。=0

2,2222,2

工」+z=i

(A)—=1(B)

4545

(y+Z)2

⑹^±211⑻------------二1

445

22.点（a,A,c）关于y轴对称的点是（D）.

(A)(—a,-瓦一c)(B)(tz,-Z?,—c)(C)(a,b,—c)(D)(-a,b,-c)

23.已知a={4,—3,4},b={2,2,1},则尸以(a)=(A).

（C）6

(A)2(B)-2击(D)

屈

24.必一y2=l在空间表示（口）.

（A）双曲线（B）双曲面（C）旋转双曲面（D）双曲柱面

25.设a与b为非零向量，贝Uaxb=O是（C）.

（A）a=b的充要条件（B）a_Lb的充要条件

（C）a〃b的充要条件（D）a〃b的必要但不充分条件

26.设平面方程为Ac+Q+D=O,其中AC,。均不为零，则平面（B）.

（A）平行于x轴（B）平行于y轴（C）经过x轴（D）经过y轴

27.已知等边三角形AABC的边长为1,且3C=a,CA=b,AB=c,则

ab+bc+ca=(D).

1(B)f_1_3_

(A)7(C)(D)2

28.点M（2,-3,1）关于坐标原点的对称点是（A)

(A)(-2,3,-1)(B)(-2,-3,-1)

(C)(2,-3,-1)(D)(-2,3,1)

29.平面2x-3y-5=0的位置是(B)

(A)平行于X0Y平面(B)平行于z轴

(C)平行于YOZ平面⑻垂直于z轴

30.点A(-2,3,1)关于Y轴的对称点是(D)

(A)(2,-3,1)(B)(-2,-3,-1)

⑹(2,3,-1)(D)(2,-3,-1)

31.过点（0,2,4）且与平面x+2z=1和y-3z=2都平行的直线方程是（0）

z—4C2—4

x=-----y—2=-----

2-3

[y=z%=0

(A)(B)

%_j-2_z-4

(C)-2-3-1(D)-2X+3(^-2)+Z-4=0

32.二个平面乙+2+4=］和2x+3y-4z=1位置关系是(A)

234

(A)相交但不垂直(B)重合

(C.)平行但不重合(D.)垂直

%—2y+4z—7=0

<

33.过点(2,0,-3)且与直线13"+5y—2z+l=°垂直的平面方程是(卜)

⑷-16(x-2)+14()；-0)+ll(z+3)=0

⑻(x—2)—2(y—0)+4(z+3)=0

⑹3(x-2)+5(y-0)-2(z+3)=0

(D)-16(%+2)+14(y+0)+H(z—3)=0

34.向量。4H与三坐标轴的夹角分别为外△/,则々的方向余弦中的

cos%(A)

b±b±b

(B)Ja+b+c(C)Ja+b+c

35.已知曲面方程z-.-+-^-r-（马鞍面），这曲面与平面z=h相截，其截痕是空间

ab

中的(B)

A.抛物线；B.双曲线；C.椭圆；D.直线。

36•点(3,1,2)关于X0Z平面的对称点是(B)

(A)(-3,1,2)(B)(3,-1,2)

⑹(3,1,-2)(D)(-3,-1,2)

4x2~9y2=36

<

37.曲线7“二0u绕X轴旋转一周，形成的曲面方程是（C）

42242222

(A)(x+z)-9y-^36⑻(x+z)~9(y+z)=36

422222

(C)x-9(y+z)=36①)4x-9y=36

38.准线为XOY平面上以原点为圆心、半径为2的圆周，母线平行于Z轴的圆柱面方程是

（B）

22X2+>2=4

(A)x+y=o(B)

(C)X2+y2+4=0⑻X2+y2+Z2=4

39.球面¥+丁+22=42与x+z=a的交线在XOY平面上的投影曲线方程是(

D)

](a-zp+J+z2f2

(A)—zRK葭2(b)|z=0

2222

2<x+y+(a-x)=k

(C)，+y2+(a—x)2=/⑼V=0

40.向量a={4，Ay,4}、B={3x,历,3z}垂直的充分必要条件是(A)

(A)a-p=0(B)aXp二0

4_Ay_Az_

Bx

(C)ByBz(D)a-3=0

二、填空题

1.同=3网=4,卜+,=7,则\a-b\=1

22

2.有曲面方程才一+二=2z,当pq<0时，方程表示的曲面称为双曲抛物面

PQ

3.母线平行于x轴且通过曲线<+丁；+z；=；的柱面方程是3y2—z2=16

一一一一3

4.已知五，B,亍都是单位向量，且满足万+B+E=o,则之名+石1+3万二——

2

5、XOZ平面内曲线炉=2绕*轴旋转，所得曲面方程为X4=y2+z2

6.已知向量。4=(1,2,3),向量08=(2,3,4),那么三角形。钻的面积是-y

7、已知平面"1:x+2_y+2+3=0与〃2：-3x+y-z+l=0,则其夹角为arccos^^-

522

8.点(―1,2,0)在平面上x+2y—z+l=0的投影为

9.设有直线小.=普=中与叫"的夹角吗

10.已知|a|=2,|b|=2,(a,b)=f,则u=2a—3b的模|u|=

11.已知向量a=3i+2j+k与b=2i-3j,贝ij(2a}-(3b}=0；3x3=

3i+2j-l3k

x—1v+1z—2

12、平面x+2y-z+3=0和空间直线^—=--=——的位置关系是直线在平面上

3-11

13.过点(2,-3,6)且与Y轴垂直的平面为y=—3,此点关于XOY平

面的对称点是(2「3「6),它与原点的距离为—7

三：计算与证明

1.求过点M(3,1-2)且通过直线土心=)土^=三的平面方程

解：设N(4,-3,0),s=(5,2,1),由已知,

MN=(1-4,2)是所求平面内的向量

又设所求平面的法向量是五，取k=2Wxj,

即：n=1-42=—8:+9]+22l

521

故，所求平面的方程为：-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0

即：-8x+9y+22z+59=0

2.求与直线4：9=9=三相交且与直线乙2：土叫=工土[=三相交，与直线

231541

.X+2V—1Z—3士心.

L3：-----=——=-----平行的直线万程

871

解：将人,々分别化为参数方程：

x=2t-3x=52+10

<y=3r+5,<y=42-7

对于某个t及几值，各得瓦,L2上的一点,分别记为Mt,

则向量加/"/1=[(21：-3)-(5/1+10)"+[(3{+5)-(4/1-7)])+仕-；1汴

(2t-52-13)i+(3t-42+12)j+(t-2)k

令向量平行于上，即有

2t-52-133t-42+12t-2

871

256525.

解得t=——,于是(-28,--,----)

222

6525

coyH---ZH------

故所求直线为：五"=_2_=2

871

y—2z—6

3.直线L过点M(2,6,3),平行于平面71:x-2y+3z-5=0且与直线4:

-8~~2~

相交，求L的方程

解：过点M平行于n的平面方程为(x-2)-2(y-6)+3(z-3)=0

即：x-2y+3z=0

再求它与直线，的交点，将4写成参数方程:

x=2-5t,y=2-8t,z=6+2t

代入上述平面方程得：t=T

所以交点为P(7,10,4),又L过M,P两点

x-2y-6z-3

故：L的方程为

7-210-6-4^3

x-2y-6z-3

5―丁一丁

VZ口丁,_丁士3%V2+1出4丁=,工口

4.求过直线2口-=一,且平行于直线一=上=——的平面万程。

21-121-2

2a+b-c-Q

解：设平面法向量(Q,瓦C),则有方程＜

2a+b-2c=0

c=0

解得,，于是可取法向量(-1,2,0)

2a+b=Q

所以平面方程为—(%—1)+2y=0

5、设。力是平面上两个不共线的非零向量，c=+为已知非零向量，求％〃

"ac_4a2_|_Qb

解：方程两边同与。力作数量积得a，解此两元一次方程组，得

b・c=九+/ub

acaba1ac

beb2abbe

-2°

a2abaab

abb2abb2

2%+y+z+l=0,

6.求直线7在平面3%—y—z+3=0上的投影

x-2y-2z+2=0

解：设平面束方程为2(2x+y+z+l)+〃(x-2y-2z+2)=0

其法向量为(22+〃,X——2〃)，于是由题意有

3(22+〃)一(2一2〃)一(X—2〃)=0,即44+7〃=0

3x-y-z+3=0

取2=—7,〃=4。直线方程为

-10x-15y-15z+l=0

x+2y+3z+4=0

7.求原点到直线/：《的垂线与垂足，垂线要求参数方程。

2x+3y+4z+5=0

解：设乃为过原点且垂直于/的平面,则万的一个法向量与/的方向一致。

233112

/的方向：()=(-l,2,-l)o

34'4223

万的方程一x+2y-z=0

214

将其与/方程联立，解得垂足坐标

2

x=一t

3

1

于是垂线参数方程y=——t

3

4

z=——t

3

2x-3y-z+4=0

8.已知直线一般方程为N-6；+5z-1=。,求其点向式方程。

解：两平面法向量分别为(2,—3,—1),(4,—6,5),故直线方向为

-3-1-122-3

)=(-21,-14,0)

-65'54'4-6

-3y-z+4=0199

令x=0,<7,得直线上一点(0,上,三)

—6y+5z—1=0217

199

y-----z-------

故点向式方程为上=-~=—L

-21-140

x+y—z=1

9.在直线,上求一点A,使得它与原点所决定的直线与I的夹角为

x-z=0

瓜

arccos——

3

解：直线/方向(1,1,-1)x(1,0,-1)=(-1,0,-1)

设直线上一点A(x,l,x),则。4=(x,l,x),据题意有解

A/2/+13

此方程得％=±1。

故A点坐标为(1,1,1)或(―1,1,—1)。

io.证明：直线/]：=2=四=三a及直线42y=i共面。

*3-262\y+z=-2

证明：的方向向量%={1,2,0}x{0,1,1}={2,—1,1}(2分)，/1的方向向量

叫={3,-2,6}(2分)。点A=(2,—1,3)€/1，5=(1,0,—2)W/2，AB={—1,1,—5},由于这三

个向量两两不平行，且

3-26

(Hjxn2)-AB=2-11=0(4分)，

-11-5

所以与12共面(因为由上式知ri2,A3三向量共面)。

证法2：4与4有交点：M(-l,l,-3),故人与6共面。

11.求通过直线/]:三口===£11及直线4J"+2'=1的平面方程。

*2-112[*=_2

解：4的方向向量为%={1,2,0卜{0,1,1}={2,—1,1}〃11「,所以乙与4平行(3分)。

点Mi=(—1,—2,l)e/i，且易知河2=(1,0,—2)e4，不在直线4上Q分)。故所求

平面就是两相交直线4与MM确定的平面。它的法向量可取为

ijk

n=nxn=21

iM1M,-1=i+8j+6k(3分).

22-3

又A/1=(-1,-2,1)为已知平面上的点，所求平面的点法式方程为

(x+l)+8(y+2)+6(z—1)=0,即x+8y+6z+U=0(2分)。

12.已知AABC的两边构成的向量A5=2i+j—k,5c=3i+2j+k,求AABC的面积。

解：5小因=；1.><80]=^|45><30|（2分），

ijk

而A3x3C=21-1=3i—5j+k（2分），

321

所以|A5X3C|=A,从而庄（2分）・

x=z+2

13.求直线\在平面x+y-z=O上的投影方程。

y=2z—4

x=z+2

解：过