2024年新高考数学一轮复习-空间向量及其应用（学生版）

专题45空间向量及其应用

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

4.理解直线的方向向量及平面的法向量.

5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关

系的一些简单定理.

【考点预测】

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相瑾或重合的向量

(或平行向量)

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a,b(b丰0月a〃人的充要条件是存在实数3使得a=Xb.

⑵共面向量定理：如果两个向量a,6不共线，那么向量。与向量a,6共面的充要条件是存在唯二的有序

实数对(x,y),使p=xa+yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数

组｛x,y,z｝,使得°=xa+yZ>+zc,其中，｛a,b,c｝叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

⑴两向量的夹角：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点。，作应=a,OB^b,则乙4如叫做向量a与

b的夹角，记作〈处6〉，其范围是［0,兀］,若〈a,b>=—,则称石与，互相垂直,记作

(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b)叫做a,6的数量积，记作a•b,即a・b

=||引cos〈a,6〉.

⑶空间向量数量积的运算律

①结合律：(几a)•6=4(a•6)；

②交换律：a•b=b•a；

③分配律：a•(6+c)=a•b+a•c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设3=(si,az,Hz)»b=(b\,bzibi).

向量表示坐标表示

数量积a•b劭一+己2—+&63

共线a=入b(bWO,4£R)-i=-,改=人民,

垂直a•b—O(a^O,bWO)乃[6]+&益+为公=0

模a\卜—+渴+•

_________a61+

夹角(a,6〉(aWO,bWO)COS\d,fU/1~~S-------S--------9/—9-------9--------9

弋&+为+己3•yjbi+k+b3

5.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线L平行或重合,则称此向量a为直线

，的方向向量.

(2)平面的法向量：直线AL。，取直线/的方向向量a,则向量a叫做平面。的法向量.

6.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

U/12U\〃&0Ui=几&

直线心的方向向量分别为a,s

711；2U\_L泣•泣=0

直线/的方向向量为〃，平面a的法向量1//a9n=0

为n7±Q〃〃〃=〃=

。〃£771//Z?2<=>A=4刀2

平面a,£的法向量分别为〃,1〃2

a_L£Z7i_Ln20nl•检=0

【常用结论】

1.在平面中，A,B,C三点共线的充要条件是：应=*励+族(其中x+y=l),。为平面内任意一点.

2.在空间中，P,A,B,C四点共面的充要条件是："疝+y应+z无(其中x+y+z=l),。为空间中任

意一点.

【方法技巧】

1.用基向量表示指定向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形.

⑵将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

2.证明空间四点P,M,A,6共面的方法

⑴痂=扬+丽

(2)对空间任一点。，OP^OM+xMA+yMB^

(3)对空间任一点0,屏x应+应l+z为(x+y+z=l)；

⑷而〃诵(或不〃症或无〃血.

3.由向量数量积的定义知，要求a与6的数量积，需已知|a|,|引和〈a,b),a与6的夹角与方向有关,

一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a•6计算准确.

4.利用向量法证明平行问题

①线线平行：方向向量平行.

②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直.

③面面平行：两平面的法向量平行.

5.利用向量法证明垂直问题的类型及常用方法

线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零

直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定

线面垂直问题

理转化为证明线线垂直

两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明

面面垂直问题

线面垂直

二、【题型归类】

【题型一】空间向量的线性运算

【典例1】在空间四边形/四中，若茄=(-3,5,2),为=(—7,-1,—4),点反尸分别为线段6G

的中点，则标的坐标为()

A.(2,3,3)B.(-2,—3,-3)

C.(5,-2,1)D.(—5,2,—1)

【典例2］正方体ABCD〃中，点E为上底面4G的中心.若向量则实数x,y

的值分别为()

1

A.x=\,y=iB.x=\,尸5

111

C.x=~,y:D.x=~,y=l

2

【典例3】在三棱锥。回中，M,"分别是以，8c的中点，G是的重心，用基向量近，~0B,应表示

⑴痂；⑵泳

【题型二】共线、共面向量定理的应用

【典例1】已知4B,C三点不共线，对平面/回外的任一点。，若点〃满足应=:(而+应+应).

0

⑴判断荡，MB,该三个向量是否共面;

(2)判断点〃是否在平面ABC内.

【典例2】如图所示，已知斜三棱柱45G,点弘“分别在阳和上，且满足赢=/花，BN=kBC

(0WZ1).判断向量疏是否与向量恭，筋1共面.

【典例3］已知4B,。三点不共线，对平面/8C外的任一点。，若点〃满足永=；(应+应+击.

⑴判断荡，MB,庇三个向量是否共面；

(2)判断点〃是否在平面ABC内.

【题型三】空间向量数量积的运算

【典例1］如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点£,F,G分别是/属AD,CD

的中点，计算：

⑴珍♦BA.

⑵求异面直线AG和方所成角的余弦值.

C

【典例2]已知腑是正方体内切球的一条直径，点户在正方体表面上运动，正方体的棱长是2,则加•庄的

取值范围为()

A.[0,4]B.[O,2]C.[1,4]D.[1,2]

【典例3】如图所示，在四棱柱/比如以。〃中，底面为平行四边形，以顶点/为端点的三条棱长都为1,

且两两夹角为60°.

(1)求/G的长；

(2)求证：AQLBD-,

⑶求被与4c夹角的余弦值.

【题型四】利用向量证明平行与垂直

【典例1]如图，已知加」平面/8GBBJ/AA„AB=AC=3,BC=2y[5,AAi=y/7,

25，点£和尸分别为比'和4c的中点.

(1)求证：鳍〃平面4瓦必；

(2)求证：平面平面比B.

【典例2]如图，正方形463的边长为2dL四边形&麻是平行四边形，BD与AC交

于点G,。为GC的中点，F0=^3,且平面/为缪.

(1)求证：/£〃平面比F；

(2)求证："平面/哥:

【典例3]在底面是矩形的四棱锥产一/8⑦中，24,底面点£,户分别是尸C,阳的中点，PA=AB=1,

BC=2.求证：

(1)用〃平面PAB-,

(2)平面处〃1平面PDC.

三、【培优训练】

【训练一】(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体46切-48其中，以顶点/为端点的三条棱

长都相等，且它们彼此的夹角都是60°,则下列说法中正确的是()

A.(筋1+诵+筋)2=2(而2

B.花•(AB-AI))=0

C.向量瓦当筋1的夹角是60°

D.勿与AC所成角的余弦值为摩

【训练二】如图，已知四棱柱被力一4多G"的底面461G。为平行四边形，E为棱AB

的中点，AF-^AD,花=2面，阳与平面河交于点〃，则整=________.

J27C1

【训练三】已知。点为空间直角坐标系的原点，向量应=(1,2,3),应=(2,1,2),OP

=(1,1,2),且点0在直线8上运动，当应•标得最小值时，式的坐标是.

【训练四】如图，圆锥的轴截面弘8是边长为2的等边三角形，。为底面中心，〃为S。中点，动点尸在圆

锥底面内(包括圆周).若4aM则点尸形成的轨迹长度为.

【训练五】如图，棱柱加切一46Kq的所有棱长都等于2,N/6C和/42C均为60°,

平面Z4GC_L平面ABCD.

(1)求证：BDkAAv,

⑵在直线笫上是否存在点户，使外〃平面物1G?若存在，求出点户的位置，若不存

在，请说明理由.

【训练六】如图，在底面为直角梯形的四棱锥门力6切中，AD//BC,//g90°,如，平面相切，AD^\,

AB=^i,BC=4.

（1）求证：BDLPC；

⑵设点£在棱/T上，强=入我,若班'〃平面用6,求1的值.

四、【强化测试】

【单选题】

1.已知向量a=（l,1,0）,6=（T,0,2）,且4a+6与2a—6互相垂直，则4的值是（）

75

A.7B.2C.-D.1

53

2.如图，在平行六面体/a7?一，B'CD'中，AC与BD的交点、为0,点、M在BC'上，且，则

下列向量中与砌目等的向量是（）

A.-\AB-\-~AD~\-~AA'

263

B.

263

C.金+J通+编7*

263

D.金一通+9犷

263

3.在空间四边形/宛9中，荔•乃+曲•施+通•瓦等于（）

A.-1B.0C.1D.不确定

4.如图，在大小为45°的二面角/一如〃中，四边形45阳。2跖都是边长为1的正方形，则8,〃两点

间的距离是（）

A./B.72C.10.^3-^2

5.已知空间任意一点。和不共线的三点4B,C,若OP=xOA+yOB+zOC（x,y,z£R）,则“x=2,y=—3,

z=2”是“P,A,B,。四点共面”的（）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6.已知空间向量a=(1,0,1),b=(1,1,n),且a,6=3,则向量a与6的夹角为()

7.如图，在大小为45°的二面角力一第一〃中，四边形Z"碗F都是边长为1的

正方形，则6,。两点间的距离是()

B.小

C.1D.、3一小

8.如图，正方形465与矩形如所在平面互相垂直，AB=y[2,AF=1,〃在如'上,且/〃〃平面顺:则〃

点的坐标为()

A.(1,1,1)B.

C.D.

坐I

【多选题】

9.已知空间三点2(1,0,3),以一1,1,4),C(2,-1,3),若茄〃反；且|苏|=/，则点户的坐标为()

A.(4,-2,2)B.(—2,2,4)

C.(—4,2,—2)D.(2,—2,4)

10.已知空间中三点/(0,1,0),皮2,2,0),以一1,3,1),则下列结论正确的有()

A.法与应是共线向量

B.与初线的单位向量是(1,1,0)

c.诵与应夹角的余弦值是一年

D.平面/6C的一个法向量是(1,-2,5)

11.下面四个结论正确的是()

A.向量a,6(aW0,6W0),若a_Lb,则a•/?=()

B.若空间四个点RA,B,C,则4B,。三点共线

3

C.已知向量a=(1,1,x),b=(—3,x,9),若水正，贝|〈a,6〉为钝角

D.任意向量a,b,c满足•c=a•(b•c)

12.给出下列命题，其中为假命题的是()

A.已知Z7为平面。的一个法向量，力为直线/的一个方向向量，若刀_1_印,贝U/〃4

2JIJI

B.已知〃为平面a的一个法向量，力为直线/的一个方向向量，若〈口，"〉=不~，则/与。所成角为

3b

C.若两个不同的平面a,£的法向量分别为〃，%且"=(1,2,-2),r=(-2,—4,4),贝1J。〃£

D.已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量夕，总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+z。

【填空题】

13.如图所示，在四面体中，M=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点，E为AD的中点，则应=

(用a,b,C表示).

14.若a=(1,1,0),b=(—1,0,2),则与a+6同方向的单位向量是—

15.已知/(I,-2,11),6(4,2,3),CUp,15)三点共线，则灯=.

16.如图，已知四棱柱抽力一46心"的底面4AG〃为平行四边形，£为棱四的中点，善=!砺，花=2成I,