北京市景山校2024届中考数学全真模拟试卷含解析

北京市景山校2024学年中考数学全真模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.2017年“智慧天津”建设成效显著，互联网出口带宽达到17200吉比特每秒.将17200用科学记数法表示应为（）

A.172xl02B.17.2X103C.1.72xl04D.0.172xl05

2.如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF/7CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

3.如图：将一个矩形纸片ABC。，沿着跳折叠，使C、£＞点分别落在点G，"处.若NG3A=50°,则/钻£的度

数为（）

70'/

%-------%

A.15°B.20°C.25°D.30°

4.如图，电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设NCAB=a,那么拉

线BC的长度为（）

DB

sinacosatanacota

5.如图，直线a〃b,一块含60。角的直角三角板ABC（NA=60。）按如图所示放置.若Nl=55。，则N2的度数为（）

6.下列算式的运算结果正确的是()

A.m3»m2=m6B.m5-rm3=m2(m/0)

C.(m2)3=m-5D.m4-m2=m2

7.(-1)°+|-1|=()

A.2B.1C.0D.-1

8.下表是某校合唱团成员的年龄分布.

年龄/岁13141516

频数515X10—九

对于不同的x,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A.众数、中位数B.平均数、中位数C.平均数、方差D.中位数、方差

9.下列说法中，正确的是（）

A.两个全等三角形，一定是轴对称的

B.两个轴对称的三角形，一定是全等的

C.三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形

D.三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形

10.（3分，）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）

1

&43

2布店

"2亚3而

...♦♦♦•••••

A.2屈B.向C.572D.751

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.已知关于x的方程£+2=白有解，则k的取值范围是.

12.一个正多边形的每个内角等于150，则它的边数是—一.

13.将一个含45。角的三角板ABC,如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点C顺时针旋转75。，点B的对应点8’恰

好落在轴上，若点C的坐标为(1,0),则点8'的坐标为.

14.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为.

15.如图，正方形ABCD中，AB=3,以B为圆心，』AB长为半径画圆B,点P在圆B上移动，连接AP,并将AP

3

绕点A逆时针旋转90。至Q,连接BQ,在点P移动过程中，BQ长度的最小值为.

16.已知|x|=3,y2=16,xy<0,则x-y=

abcib

17.有下列等式：①由a=b,得5-2a=5-2b；②由a=b,得ac=bc；③由a=b,得一=—；④由一=一，得3a=2b；

cc2c3c

⑤由a?=b2,得2=1>.其中正确的是.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，△ABC是。。的内接三角形，点D在上，点E在弦AB上(E不与A重合)，且四边形BDCE

为菱形.

(1)求证：AC=CE；

22

(2)求证：BC-AC=AB«ACS

(1)已知。。的半径为1.

AR5

①若tK=W，求BC的长；

21.3

②当年为何值时，AB・AC的值最大？

oc

19.(5分)在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,点P是△ABC内一点，且NPAC+NPCA=一，连接PB,试探究PA、

2一

PB、PC满足的等量关系.

(1)当a=60。时，将4ABP绕点A逆时针旋转60。得到△ACPr,连接PPS如图1所示.由4ABP丝AACP，可以证

得AAPP，是等边三角形，再由NPAC+NPCA=30。可得NAPC的大小为度，进而得到^CPP，是直角三角形，

这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为；

(2)如图2,当a=120。时，参考(1)中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；

20.(8分)网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对

其有

，，好评，，、“中评”、“差评，，三种评价，假设这三种评价是等可能的.

(1)小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图.

利用图中所提供的信息解决以下问题：

①小明一共统计了个评价；

②请将图1补充完整；

③图2中“差评”所占的百分比是;

(2)若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一

个给“好评,，的概率.

21.（10分）计算:-22-^2+11-4sin60°|

11

OzvA—ha—A2

22.（10分）先化简再求值：（a-）+巴二其中a=l+>/2，b=l-夜.

aa

23.(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(0,1),点C(1,0),正方形AOCD的两条对角线的交点

为B,延长BD至点G,使DG=BD,延长BC至点E,使CE=BC,以BG,BE为邻边作正方形BEFG.

4R

(I)如图①，求OD的长及言的值；

(II)如图②，正方形AOCD固定，将正方形BEFG绕点B逆时针旋转，得正方形BETO记旋转角为a(0°<a

<360°),连接AG，.

①在旋转过程中，当NBAG，=90。时，求a的大小；

②在旋转过程中，求AF，的长取最大值时，点F，的坐标及此时a的大小(直接写出结果即可).

24.（14分）如图，RtAABC中，ZC=90°,AB=14,AC=7,D是BC上一点，BD=8,DE±AB,垂足为E,求线段

DE的长.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【题目详解】

解：将17200用科学记数法表示为1.72x1.

故选C.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|V10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

2、A

【解题分析】

【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.

【题目详解】；E是AC中点，

VEF/7BC,交AB于点F,

.,.EF是AABC的中位线，

；.BC=2EF=2x3=6,

二菱形ABCD的周长是4x6=24,

故选A.

【题目点拨】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.

3、B

【解题分析】

根据折叠前后对应角相等可知.

解：设NABE=x,

根据折叠前后角相等可知，ZClBE=ZCBE=50°+x,

所以50°+x+x=90°,

解得x=20°.

故选B.

“点睛”本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠

前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.

4、B

【解题分析】

根据垂直的定义和同角的余角相等，可由NCAD+NACD=90。，NACD+NBCD=90。，可求得NCAD=NBCD,然后在

4CD〜CDh

RtABCD中cosZBCD=——，可得BC=---------------=---------.

BCcos/BCDcosa

故选B.

点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键.

5、C

【解题分析】

如图，首先证明NAMO=N2,然后运用对顶角的性质求出NANM=55。；借助三角形外角的性质求出NAMO即可解决

问题.

【题目详解】

如图，对图形进行点标注.

1•直线a〃b,

.\ZAMO=Z2；

VZANM=Zl,而/1=55°,

.,.ZANM=55°,

N2=NAMO=NA+NANM=600+55°=115°,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

6、B

【解题分析】

直接利用同底数塞的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案.

【题目详解】

A、m3»m2=m5,故此选项错误；

B、m5-rm3=m2（m/0）,故此选项正确；

C、（nr?）3=m-6,故此选项错误；

D、m4-m2,无法计算，故此选项错误；

故选：B.

【题目点拨】

此题主要考查了同底数幕的除法运算以及合并同类项法则、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键.

7、A

【解题分析】

根据绝对值和数的0次塞的概念作答即可.

【题目详解】

原式=1+1=2

故答案为：A.

【题目点拨】

本题考查的知识点是绝对值和数的0次募，解题关键是熟记数的0次塞为1.

8、A

【解题分析】

由频数分布表可知后两组的频数和为10,即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个

数据的平均数，可得答案.

【题目详解】

由题中表格可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10,则总人数为3+15+10=30,故该组数据

14+14

的众数为14岁，中位数为------=14（岁），所以对于不同的x,关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数,

2

故选A.

【题目点拨】

本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方

差的定义和计算方法是解题的关键.

9、B

【解题分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：A.两个全等三角形，一定是轴对称的错误，三角形全等位置上不一定关于某一直线对称，故本选项错误；

B.两个轴对称的三角形，一定全等，正确；

C.三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形，错误；

D.三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形，错误.

故选B.

10、B

【解题分析】

根据三角形数列的特点，归纳出每一行第一个数的通用公式，即可求出第9行从左至右第5个数.

【题目详解】

根据三角形数列的特点，归纳出每n行第一个数的通用公式是，山?）+1，所以，第9行从左至右第5个数是

,9（；1）+]+（5_1）=历.

故选B

【题目点拨】

本题主要考查归纳推理的应用，根据每一行第一个数的取值规律，利用累加法求出第9行第五个数的数值是解决本题

的关键，考查学生的推理能力.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、时1

【解题分析】

试题分析：因为£+2=±,所以Lx+2（x・2）=・k,所以l・x+2x-4=・k,所以x=3-k,所以x=3-Z,因为原方程有解,

所以x=3-上/2,解得

考点：分式方程.

12、十二

【解题分析】

首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360。除以外角度数即可.

【题目详解】

•.•一个正多边形的每个内角为150°,

，它的外角为30。，

3600+30°=12,

故答案为十二.

【题目点拨】

此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角.

13、(1+72,0)

【解题分析】

先求得NACO=60。，得出NOAC=30。，求得AC=2OC=2,解等腰直角三角形求得直角边为0,从而求出卬的坐标.

【题目详解】

解：VZACB=45O,NBCB，=75°,

.,.ZACBr=120°,

/.ZACO=60o,

.,.ZOAC=30°,

/.AC=2OC,

•点c的坐标为(1,0),

/.OC=1,

/.AC=2OC=2,

,/△ABC是等腰直角三角形，

AB=BC=42

BC=AB'=V2

OB'=1+^2

.•:，点的坐标为(1+应,0)

【题目点拨】

此题主要考查了旋转的性质及坐标与图形变换，同时也利用了直角三角形性质，首先利用直角三角形的性质得到有关

线段的长度，即可解决问题.

14、0或一1。

【解题分析】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况：

当k=0时，函数y=2x-l是一次函数，与x轴仅有一个公共点。

当后0时，函数y=kx?+2x-1是二次函数，若函数与x轴仅有一个公共点，则kx2+2x-1=0有两个相等的实数根,

即A=22—4-k-(—l)=0=>k=—1o

综上所述，若关于x的函数丫=心2+2*-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或一1。

15、372-1

【解题分析】

通过画图发现，点。的运动路线为以。为圆心，以1为半径的圆，可知：当。在对角线80上时，30最小，先证明

△PAB^AQAD,则。£>=尸5=1,再利用勾股定理求对角线80的长，则得出的长.

【题目详解】

如图，当。在对角线50上时，3。最小.

连接5P,由旋转得：AP^AQ,NR4Q=90。，AZPAB+ZBAQ-900.

:四边形A5C£)为正方形，：.AB=AD,ZBAD=9Q°,：.ZBAQ+ZDAQ=90°,：.ZPAB=ZDAQ,：./\PAB^/\QAD,

；.QD=PB=1.在RtAABO中，'：AB^AD^2),由勾股定理得：BD=d¥转=3拒,：.BQ=BD-QD=342-h即

50长度的最小值为(3夜-1).

故答案为3&-1.

【题目点拨】

本题是圆的综合题.考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点。的运动轨迹是本题的关键，通过证明

两三角形全等求出30长度的最小值最小值.

16、±3

【解题分析】分析：本题是绝对值、平方根和有理数减法的综合试题，同时本题还渗透了分类讨论的数学思想.

详解：因为|x|=l,所以x=±L

因为y2=16,所以y=±2.

又因为xy<0,所以x、y异号，

当x=l时,y=-2,所以x-y=3；

当x=-l时,y=2,所以x-y=-3.

故答案为：±3.

点睛：本题是一道综合试题，本题中有分类的数学思想，求解时要注意分类讨论.

17、①②④

【解题分析】

①由a=6,得5-2a=5-28根据等式的性质先将式子两边同时乘以-2,再将等式两边同时加上5,等式仍成立,所以本选项正

确，

②由。=仇得加=儿,根据等式的性质，等式两边同时乘以相同的式子，等式仍成立，所以本选项正确，

nh

③由“斗，得一=—，根据等式的性质,等式两边同时除以一个不为。的数或式子，等式仍成立，因为C可能为0,所以本选项

CC

不正确，

nh

④由一=一，得3a=2方，根据等式的性质，等式两边同时乘以相同的式子6c,等式仍成立，所以本选项正确，

2c3c

⑤因为互为相反数的平方也相等，由金眄得的4或.=也所以本选项错误，

故答案为:①②④.

三、解答题(共7小题，满分69分)

3

18、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(1)①BC=4&；②a

【解题分析】

分析：(1)由菱形知ND=NBEC,由NA+ND=NBEC+NAEC=180。可得NA=NAEC,据此得证；

(2)以点C为圆心，CE长为半径作。C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,贝！|CF=CG=AC=CE=CD,证

BEBG

△BEFs^BGA得一=——，即BF・BG=BE・AB,将BF=BC-CF=BC-AC>BG=BC+CG=BC+AC代入可得；

BFBA

(1)①设AB=5k、AC=lk,由BC2-AC2=AB«AC知BC=2«k,连接ED交BC于点M,RtADMC中由DC=AC=lk、

MC=yBC=V6k求得DM=y]cD2-CM2=k,可知OM=OD-DM=1-J^k,在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2

可得答案.②设OM=d,则MD=l-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,继而知BC2=(2MC)2=16-4d\AC2=DC2=DM2+CM2=

(1-d)2+9-d2,由(2)得AB・AC=BC2-AC2,据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案.

详解：(1)二•四边形EBDC为菱形，

/.ZD=ZBEC,

四边形ABDC是圆的内接四边形，

；.NA+ND=180°,

XZBEC+ZAEC=180°,

.\ZA=ZAEC,

.*.AC=CE；

(2)以点C为圆心，CE长为半径作。C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG,

A

D\/

....

由(1)知AC=CE=CD,

/.CF=CG=AC,

•••四边形AEFG是。C的内接四边形，

/.ZG+ZAEF=180°,

XVZAEF+ZBEF=180°,

/.ZG=ZBEF,

VZEBF=ZGBA,

/.△BEF^ABGA,

BEBG

，——=——，n即nBF・BG=BE・AB,

BFBA

VBF=BC-CF=BC-AC,BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,

/.(BC-AC)(BC+AC)=AB«AC,BPBC2-AC2=AB»AC；

(1)设AB=5k、AC=lk,

VBC2-AC2=AB«AC,

；.BC=2"k,

连接ED交BC于点M,

•••四边形BDCE是菱形，

ADE垂直平分BC,

则点E、O、M、D共线，

在RtADMC中，DC=AC=lk,MC=；BC=#k,

DM=7CD2-CM2=瓜>

.\OM=OD-DM=1-Gk,

在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2得(1-6k)2+(76k)2=12,

解得：k=^8或k=0（舍）,

3

，BC=2«k=4后；

②设OM=d,贝!|MD=l-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,

/.BC2=(2MC)2=16-4d2,

AC2=DC2=DM2+CM2=(1-d)2+9-d2,

由(2)#AB«AC=BC2-AC2

=-4d2+6d+18

44

3381

...当d=—,即OM=一时，AB・AC最大，最大值为一,

444

,27

,\DC2=—,

2

.•・AC=DC=^^,

2

._9V6„AB3

••AAIRS------------此时——=-

4AC2

点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角

形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.

19、(1)150,PA2+PC2=PB2(1)证明见解析(3)4PA2sin2-+PC2=PB2

2

【解题分析】

(1)根据旋转变换的性质得到A为等边三角形，得到NPPC=90。，根据勾股定理解答即可；

(1)如图1,作将AAB尸绕点A逆时针旋转110。得到AACP,连接PP,作AOLPP于O,根据余弦的定义得到尸产

=gPA,根据勾股定理解答即可；

(3)与(1)类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可.

试题解析：

【题目详解】

解：⑴•.,△ABP^AACPS

：.AP^AP',

由旋转变换的性质可知，ZMPr=60°,P'C=PB,

.•.△MP，为等边三角形，

，NAPP'=60°,

VZPAC+ZPCA=-X6O°=30°,

2

:.NAPC=150。，

；.NPPC=90°,

.♦.PW+PCfCi,

.'.PA^PC^PB1,

故答案为150,EV+PCi=P)；

(1)如图，作NQ4P'=120。，使A^=AP,连接FF，,.过点A作AO,于。点.

■:NB4C=NK4P=120。，

即ZBAP+ZPAC^ZPAC+ZCAP',

:.ZBAP^ZCAP1.

'：AB=AC,AP=AP,,

；._BAP丝CAP'.

BC

ion_/pApr

PC=PB,NAPD=ZAP'D=——=30°.

2

\'AD±PP',

：.ZADP^0°.

也

:,在RtZ\APD中，PD=AP-cosZAPD=—AP.

2

:.PP'=2PD=43AP.

••,ZR4C+ZPC4=60°,

AZAPC=180-ZPAC-ZPG4=120

/.ZP'PC^ZAPC-ZAPD=90°.

:.在Rt_P'PC中，P'P2+PC2=P'C2.

3PA2+PC2=PB2?

(3)如图1,与(1)的方法类似,

作将AABP绕点A逆时针旋转a得到△ACP',连接PP',

作AD_LPP于O,

由旋转变换的性质可知，ZPAP'^a,FC=PB,

a

：.ZAPP'=9Q°——，

2

a

ZPAC+ZPCA=—,

2

a

.\ZAPC=180°——，

2

aa

：.ZP'PC=(180°——)-(90°——)=90°,

22

：.PP'1+PC1=P'C1,

a

,/NAPP'=90°—一,

2

,a、a

..PD=PA*cos(90°——)=E4»sin一,

22

a

.,.PP'=LB4・sin—,

2

(X

.♦.4协，1一+PCi=P3i,

2

Qf

故答案为4协isin1一+PC1=PB1.

2

【题目点拨】

本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵

活运用类比思想是解题的关键.

20、(1)①150；②作图见解析；③13.3%；(2)

9

【解题分析】

(1)①用“中评”、“差评”的人数除以二者的百分比之和即可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好

评”的人数，补全条形图即可；③根据“差评”的人数+总人数X100%即可得“差评”所占的百分比；

(2)可通过列表表示出甲、乙对商品评价的所有可能结果数，根据概率公式即可计算出两人中至少有一个给“好评”

的概率.

【题目详解】

①小明统计的评价一共有：(40+20)+(1-60%=150(个)；

②“好评”一共有150x60%=90(个)，补全条形图如图1：

③图2中“差评”所占的百分比是：^xl00%=13.3%；

(2)列表如下：

好中差

好好，好好，中好，差

中中，好中，中中，差

差差，好差，中差，差

由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评”的有5种，

二两人中至少有一个给“好评”的概率是.

考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法.

21、-1

【解题分析】

直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案.

【题目详解】

=-4-273+273-1

=-1.

【题目点拨】

此题主要考查了实数运算以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键.

22、原式=巴心=0

a+b

【解题分析】

括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.

【题目详解】

tz2—lab+b1a

原式=

a(〃+b)(a-b)

_(a_b)a

a(