湖南省邵阳市邵东市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

湖南省邵阳市邵东市2024届九年级下学期中考一模数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一,单选题

1.在-2024,-——,0,1这四个有理数中，最小的数是（）

2024

A.-2024B.———C.OD.1

2024

2.如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（）

/正面看

3.芯片是指内含集成电路的硅片，在我们日常生活中的手机、电脑、电视、家用电器

等领域都会使用到，它是高端制造业的核心基石.目前我国的芯片制造工艺已经达到了

14nm（纳米），已知lnm=lxl（T'm,将14nm用科学记数法可表示（）m.

A.14xl0-9B.1.4x10-9C.1.4x1010D.1.4xl0-8

4.下列计算正确的是（）

A.x2-%3=x6B.（-3x）2=6x2

C.8x42x2-4x2D.（x-2y）（x+2y）=*-2/

5.如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示

意图如图2所示，它是以点。为圆心，分别以Q4,05的长为半径，圆心角

NO=120。的扇面.若Q4=6m,OB=4m,则阴影部分的面积为（）

/s®民主文明赢、.____、

/白由平等公正法治\'''X

Z爱国敬业诚信友善\\

~~~AB'、、',^c

w

ffll图2

A.12兀m2B.一Jim2C.8m2D.一m2

33

6.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4

米，宽为L4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8:13,且四周边衬的宽度相

等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）

,1.4—x81.4+%8C1.4-2.x8口1.4+2x8

A.---------=—B.---------=——

2.4-x132.4+x13,2.4-2%-13-2.4+2%-13

7.伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我

可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值.“杠杆原理”在实际生产和生

活中，有着广泛的运用.比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”.已

知阻力片（N）和阻力臂L/m）的函数图象如图，若小明想使动力B不超过150N,则动

力臂4（单位：m）需满足（）

A.0<12<4B.L2<4

8.如图，AB是0。的直径，PA与。相切于点A,NP=40。，0C的延长线交

于点P,则NABC的度数是（）

A.250B.350C.400D.5O0

9.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。

的光线相交于点P,点R为焦点.若Nl=155。，Z3=55°,则N2的度数为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

10.如图，E是线段A5上一点，△ADE和△BCE是位于直线同侧的两个等边三

角形，点P,尸分别是CD,的中点.若AB=4,则下列结论错误的是（）

A.Q4+Pfi的最小值为3月B.PE+PF的最小值为23

C.△（?£）£周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为36

二、填空题

11.分解因式：x2y-4y3=.

12.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某老

师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天

的平均睡眠时间是一小时.

睡眠时间8小时9小时10小时

人数62410

13.如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等

腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形.一只体型微小的小虫在七巧板上随机停

留，则刚好停在6号板区域的概率是.

14.已知关于x,y的方程组[x-y=k-3的解满足x+y=2,则左的值为___.

[3x+5y=2k+8

15.如图，矩形ABCD中，AB=4,AO=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点

C作CFL正，垂足为点R则5户的长为.

16.关于x的一元二次方程炉+陵+。=0有两个相等的实数根，则

b~-2(1+2c)=.

17.如图，将面积为7的正方形Q4BC和面积为9的正方形。。EF分别绕原点。顺时

针旋转，使。1,0D落在数轴上，点A,。在数轴上对应的数字分别为a、b,则

b-a=.

18.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD

于点EF,连接30、DP,5。与b相交于点给出下列结论：

@AE=-FC；

2

②NPDE=15。；

qi

③=

°ABHC乙

@DE1=PFFC.

其中正确的为.(填序号)

I)

fi

三、解答题

19.计算：（2024—兀）。—卜—四+（—；）—瓜.

20.先化简，再求值：fl+—K-r-4x+4,其中x=&+2.

Ix-5J2x-10

21.如图，在等边△ABC中，点。，E分别在边BC,AB上，且=AD与

CE交于点R求证：AD=CE.

22.1996年，国家卫生部、国家教育部、团中央、中国残联等12个部委联合发出通

知，将爱眼日活动列为国家节日之一，确定每年6月6日为“全国爱眼日”.2022年6月

6日，某中学在全校七、八年级共1200名学生中开展“全国爱眼日”知识竞赛，并从

七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生竞赛成绩（竞赛成绩均为整

数，满分10分，6分及以上为合格）.相关数据统计、整理如下：

八年级抽取的学生的竞赛成绩：5,5,5,5,6,6,7,7,7,7,7,8,8,8,9,

9,9,10,10,10.

七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图

七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数7.47.4

中位数ab

众数7C

合格率85%80%

根据以上信息，解答下列问题:

(1)填空：a=,b=,c=；

(2)估计该校七、八年级共1200名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；

(3)根据以上数据分析，你认为两个年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩谁更优异.

(一条理由即可)

23.党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”.某校为响应二

十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳

光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课

间，，和学生社团活动.已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓

球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量一样.

(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；

(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球

拍数量的2倍，求最多购买乒乓球拍多少副.

24.2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点

火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入中国空间站.如图，在发射的

过程中，飞船从地面。处发射，当飞船到达A处时，从位于地面C处的雷达站测得仰

角为30。；5s后飞船到达5处，此时从C处测得仰角为45。.已知飞船从A处到3处的

平均速度为300m/s,求雷达站C到飞船发射点。的距离。C.(结果精确到0.1km,

凤1.73)

自

25.如图，以边△ABC的边A3为直径作圆。，交于。，E在弧3。上，连接

AE.ED、DA,^ZDAC=ZAED.

(1)求证：AC为。切线；

(2)求证：AC2^CDBC；

(3)若点E是弧的中点，AE与BC交于点F,当BD=5,CD=4时，求。尸的

长.

26.定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形”的内部，或在图形M上，且

点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形"的“梦之点”.

(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是4(-1,2),5(-1,-1),C(3,-l),

D（3,2）,在点2（1,1）,M（2,2）,乂（3,3）中，是矩形A3CD“梦之点”的是；

（2）如图②，已知点A,3是抛物线y=-5/+工+1上的“梦之点”，点C是抛物线的

顶点.连接AC,AB,BC,判断△ABC的形状并说明理由.

（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点。为平面内一点，是否存在点P、

Q,使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点

坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

1.答案：A

解析：」|-2024|=2024,|———1=^-,

20242024

又2024>,

2024

-2024<———,

2024

在-2024,上,0,1这四个有理数中,

2024

-2024<———<0<1,

2024

二最小的数是-2024,

故选：A.

2.答案：A

解析：从正面看，底层是长方形，上层的右边是一个小正方形.

故选：A.

3.答案：D

解析：由题意得

IO"在1前面有9个①

二10x10-9在1前面有8个0,

14nm=1.4x10x1x109m=1.4x108m.

故选：D.

4.答案：C

解析：/.%3=》5,故A选项不符合题意;

(-3力2=9小,故B不选项符合题意;

2

8x44-2X2-4X,故C选项符合题意;

(x-2y)(x+2y)=x2-4y2,故D选项不符合题意.

故选：C.

5.答案：B

解析：如图是以点。为圆心，分别以Q4,05的长为半径，圆心角NO二120。的扇

面，且OA=6m,OB=4m,

..0阴=S扇形。04—S扇形80。

12071X6212071X42

12兀---71

3

・•・阴影部分的面积为不m，

故选：B.

6.答案：D

解析：设边衬的宽度为x米，根据题意，得

1.4+2%8

2.4+2%-13,

故选：D.

7.答案：D

解析：阻力片(N)和阻力臂4⑺)的函数关系式为耳=人,

L、

•点(0.5,1200)在该函数图象上，

k

.-.1200=——，

0.5

解得上=600,

二阻力耳(N)和阻力臂L/m)的函数关系式为耳=眄,

L、

FJi=600,

FL-F-jL-y-600,

二当工=150时，J=4,

二小明想使动力工不超过150N,则动力臂以(单位：m)需满足4之4,

故选：D.

8.答案：A

解析：PA与。相切于点A,

:.OAYAP,即NQ4P=90°,

ZP=40°,

ZAOC=90°-ZP=90°-40°=50°,

ZABC=-ZAOC=1x50°=25°,

22

即NABC的度数是25。.

故选：A.

9.答案：B

解析：光线平行于主光轴，

.-.Z1+ZOFP=180°,又4=155°,

Z.OFP=180°-Zl=180°-155°=25°,

Z3=ZFOP+ZOFP=55°,

ZFOP=Z3-ZOFP=30°,

Z2=ZFOP=30°,

故选：B.

10.答案：A

解析：如图所示，

延长AD,BC,

依题意NQAD=ZQBA=60°,

.•.△ABQ是等边三角形，

P是C。的中点，

：.PD=PC,

ZDEA=ZCBA,

EDUCQ,

APQC=APED,ZPCQ=ZPDE,

:./\PDE^/\PCQ,

PQ=PE,

：.四边形DECQ是平行四边形，

则P为EQ的中点

如图所示，

设AQ,3Q的中点分别为G,H,

则GP」AE,PH=-EB,

22

.•.当E点在AB上运动时，尸在GH上运动，

当E点与R重合时，即=

则Q,P,R三点共线，P尸取得最小值，止匕时AE=EB=；(AE+E3)=2,

则△ADEgAECfi,

C,。到A3的距离相等，

则CDHAB,

此时「尸=且4。=6

2

此时△ADE和△BCE的边长都为2,则AP,PB最小，

:.PF=旦乂2=有,

2

PA=PB=^22+(>/3)2=V7

:.PA+PB=2近,

或者如图所示，作点5关于GH对称点则PB=PB，，则当A,P,?三点共线

时，AP+PB=AB',

止匕时AB'=yjAB2+BB'=J42+（273）2=2不

故A选项错误，

根据题意可得P,Q,R三点共线时，最小，止匕时PE=PF=百，则

PE+PF=26，故B选项正确；

△CDE周长等于CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4,

即当CO最小时，△€»£周长最小，

如图所示，作平行四边形GDMH,连接CM,

-ZGHQ=60°,ZGHM=ZGDM=60°,则NCHM=120°,

如图，延长OE,HG,交于点N,

则ZNGD=ZQGH=60°,ZNDG=ZADE=60°,

.•.△AW是等边三角形，

:.ND=GD=HM,

在△"正£）与△加。中，

ZNPD=ZHPC

<ZN=ZCHP=60°,

PD=PC

:./\NPD之AHPC,

：.ND=CH,

：.CH=MH,

ZHCM=ZHMC=30°,

CM//QF,则QWLDM,

.•.△owe是直角三角形，

在△OCM中，DC>DM,

.•.当£)。=£)凹时，。。最短，DC=GH=-AB=2,

2

CD=PC+2PC,

.•.△CDE周长的最小值为2+2+2=6,故C选项正确;

/XNPD^ZXHPC,

四边形ABCD面积等于SAADE+SAEBC+S^DEC一□△ADETU平行四边NE3H

.•.当△BG。的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C,H重合

四边形ABC。面积的最小值为3X@X22=36，故D选项正确，

4

故选：A.

11.答案：y(x+2y)(x-2y)

解析：x2y-4y3=y(x2-4y2)=y(x+2y)(x-2_y).

故答案为：y(x+2y)(x-2y).

12.答案：9.1

々刀士匚8x6+9x24+10x10,口4、

解析：----------------=9n.1（z小时），

40

即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时.

故答案为：9.1.

13.答案：工

8

解析：设围成的正方形的边长为

则正方形的对角线长为亚a,

五号板的直角边为学,

二六号板的一边为学,另一边为:

六号板的面积为与x»xsin45o=今x'x*#

正方形的面积为：a2,

一CL1

所以停在1号板区域的概率是j=L

a28

故答案为：

8

14.答案：1

解析：卜一丁="3①

3x+5y=2k+8②

①+②得4x+4y=3k+5,

,x+y=2,

4x+4y=3左+5=8,

解得左二1，

故答案为：1.

15.答案：26

解析：矩形ABCD中，AB=4,AD=6,

:.BC=AD=6,ZA=ZABC=90°,

又BE=BC,

BE-6,

AE=VBE2-AB2=2下,

CFLBE,ZABC=9Q°,

ZBFC=90°,ZABE=900-ZEBC=ZBCF,

:.ZA=ZBFC,

在和△FCB中

Z=ZBFC

<ZABE=ZFCB,

BE=BC

.-.△ABE^AFCB(AAS),

BF=AE=275.

故答案为：245.

16.答案：-2

解析：关于x的一元二次方程/+陵+。=0有两个相等的实数根,

r.A="-4c=0,

:.b2=4c,

.-.b2-2(1+2c)

^b2-4c-2

=0-2

=—2.

故答案为：-2.

17.答案：3-V7

解析：正方形Q4BC和正方形。。EF的面积分别为7和9,

:.OA=&,OD=3,

a—OA-V7,b-OD=3，

b-<2—3-A/T'.

故答案为：3-77.

18.答案：①②④

解析：①，四边形ABCD为正方形，为对角线；

ZABC=NBCD=ZCDA=/BAD=90°；

BC=CD,AD//BC,ND8C=45。；

△P3C是等边三角形；

：.PB=PC=BC,NPBC=NPCB=60。；

ZABE=ZABC-ZPBC=30°；

在中，ZABE=30°；

AE=EB,

AD//BC,

：.ZPEF=ZPBC=60°,ZPFE=ZPCB^60°,

：.ZPEF=ZPFE=60°,

:APEF为等边三角形,

：.PE=PF,

：.PB+PE=PC+PF,

即EB=FC,

AE=-FC,

2

故结论①正确.

②,ZDCP=/BCD-ZPCB=30。,PC=BC=CD,

：.NCDP=1(180°-NDCP)=1(180°-30°)=75°,

NPDE=ZCDA-ZCDP=90°-75°=15°,

故结论②正确.

③过点”作HTLCD于T,HKLBC于K,如图所示:

A——L-S——-P

/次二"小

H

4CD=90°,

四边形C7HK为矩形，

:.KH=CT,

在Rt^CHT中，ZHCT=30°,

：.CH=2HT,

由勾股定理得：CT=[CH。-HT?=«2HTY-HT?=也HT,

KH=CT=J3HT,

△LfrlC=-2CDHT,S△人Dii°^2-BCKH=—2CBHT=—2CDHT,

SADHC1

q-aD'

0△BHC」乙

故结论③不正确.

④ZDBE=ZPBC-ZDBC=602-45°=15。，

：.ZDBE=ZPDE=15°,

又ZDEP=ZBED,

:.AEDPSAEBD,

DEPE

"~EB~~DE，

DE2=PEEB,

又PE=PF,EB=FC,

DE2=PFFC,

故结论④正确；

综上所述：正确的结论是①②④；

故答案为：①②④.

9L

19.答案：--372

4

解析：原式=1-(0-1)+；-20

=1-V2+1+--2A/2

4

=--3A/2.

4

2

20.答案:,V2

x-2

2

解析：［1+—x-4x+4

Vx-52x-10

x—2%2—4x+4

x_52x_10

x—22（%-5）

=—,（1）2

2

-7^2

当x=0+2时，原式=-^——=&

V2+2-2

21.答案：见解析

解析：证明：AABC是等边三角形，

:.ZBAC=ZB=60°,AB=AC,

AC=BA

在△AEC与△瓦M中，\ABAC=ZB,

AE=BD

.•.△AEC^ABDA（SAS）,

AD=CE.

22.答案：(1)7.5；7；7

(2)330人

(3)七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩更优异，理由见解析

解析：(1)由统计图与已知数据可得：。=出=7.5,。=上1=7,c=7.

22

故答案为：7.5；7；7；

5+6

（2）1200x=330（人）

20+20

答：该校七、八年级共1200名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数约为330人;

(3)七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩更优异，理由如下，

七年级的中位数与合格率高于八年级的中位数与合格率，

二七年级“全国爱眼日”知识竞赛的学生成绩更优异.

23.答案：(1)每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元

(2)最多购买乒乓球拍66副

解析：(1)设每副乒乓球拍的价格是X元，则每副羽毛球拍的价格是(x+30)元,

10002000

根据题意得：----=-----

x九+30

解得：X=30,

经检验，％=30是所列方程的解且符合题意,

%+30=30+30=60(兀).

答：每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元;

(2)设购买乒乓球拍机副，则购买羽毛球拍(100-间副,

根据题意得：m<2(100—zn)>

存

触得：m</-2-0--0-,

3

又加为正整数,

m的最大值为66.

答：最多购买乒乓球拍66副.

24.答案：3.5km

解析：由题意得

BOLCO,

AB=300x5=1500(m)=1.5(km),

ZOC4=30°,

ZOCB=45°,

OB—OC,

设OC=x,

在RtA4OC中,

OA=OC-tanZOCA=—x,

3

OBOA+AB^—x+1.5,

3

——x+1.5=x,

3

解得：x«3.5；

故雷达站C到飞船发射点0的距离OC3.5km.

25.答案：(1)见解析

(2)见解析

(3)DF=2

解析：(1)证明：AB为直径，

:.ZADB=9Q°,

ZABD+ZBAD^90°,

ZDAC=ZAED,ZABD=ZAED,

:.ZABD=ZDAC,

:.ADAC+ZBAD=9Q°,即B4UC,

AB是直径，

.•.AC为。切线.

(2)证明：BA1AC,ZADB^90°,

:.ZADC=ZBAC^90°,

zc=zc,

.-.△ADC^ABAC,

ACCD

'5C"AC;

AC2=CDBC

(3)BD=5,CD=4,

:.BC=BD+CD=5+4=9,

:.AC2=CDBC=4x9=36,

AC-6,

在Rt^ACD中，AD=y]AC2-CD-=762-42=275,

在RtAABD中，AB=^BD2+AD2=^52+(2石『=3指,

过点R作FG,AB,垂足为点G,如图,

c

\F