2024届福建省三明市十校联考最后数学试题含解析

2024届福建省三明市梅列区梅列、永安十校联考最后数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列运算正确的是（）

A.2a2+a=3a3B.Cm）=m5

C.（x+y>=x2+y2D,a6+a3=a3

2.如图，从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90。的扇形ABC,使点A、B、C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥侧

面，如果圆锥的高为3J而。”，则这块圆形纸片的直径为（）

3.在平面直角坐标系内，点P（a,a+3）的位置一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.在。O中，已知半径为5,弦AB的长为8,则圆心O到AB的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

1

5.2的相反数是（）

O

11

A.6B.-6C.-D.——

66

6.小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是

1,X—1X▲

W（——5—+尤）=1一三一，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x=5,于

是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（）

A.2B.3C.4D.5

7.青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积是2500000平方千米.将2500000用科学记数法表示应为（）

A.0.25x107B.2.5x107C.2.5x106D.25x105

8.如图，直线45与直线CD相交于点O,E是/C05内一点，且ZAOC=35°,则/EOZ>的度数是（)

9.下列叙述，错误的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.对角线相等的四边形是矩形

10.设a,p是一元二次方程x2+2x—1=0的两个根，则a|J的值是（）

A.2B.1C.-2D.-1

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.函数y=上—中，自变量x的取值范围是_____.

x-2

4

12.在平面直角坐标系xOy中，点A、B为反比例函数丁=一（x>0）的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均

x

4

为1,将y=—（x>0）的图象绕原点O顺时针旋转90。，A点的对应点为A，，B点的对应点为B，.此时点B，的坐标是

x

13.一个不透明的袋子中装有三个小球，它们除分别标有的数字1,3,5不同外，其他完全相同.从袋子中任意摸出

一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为8的概率是

14.1-31=；

15.一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36,则输出的结果为106,要使输出的结果为127,则输

入的最小正整数是,

16.如图，小阳发现电线杆A3的影子落在土坡的坡面和地面8C上，量得CD=8,6C=20米，CD与地面

成30。角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=米.

17.如图，将一对直角三角形卡片的斜边AC重合摆放，直角顶点3,。在AC的两侧，连接3。，交AC于点0,取

AC,8。的中点E,F,连接EF.若48=12,BC=5,且AO=C。，则EF的长为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、

政治、历史、地理（分别记为A、B、C、D、E、F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对

调查结果进行了分析统计，并制作了两幅不完整的统计图.

请根据以上信息，完成下列问题：该班共有学生人；请将条形统计图补充完整；该班某同学物理成绩特别优异，已经

从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化

学、历史两科的概率.

19.（5分）某公司10名销售员，去年完成的销售额情况如表：

销售额（单位：万元）34567810

销售员人数（单位：人）1321111

（1）求销售额的平均数、众数、中位数;

（2）今年公司为了调动员工积极性，提高年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，合

理确定今年每个销售员统一的销售额标准是多少万元？

20.（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD,ZADB=ZCDE,DE交边AC于点E,DE交BA延长

线于点F,且AD2=DE・DF.

(1)求证：ABFDs/\CAD；

(2)求证：BF«DE=AB«AD.

21.（10分）现有四张分别标有数字1、2、2、3的卡片，他们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽

出一张后放回，再背朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率（）

5111

A-B3-C—D—

88162

22.（10分）某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车共40辆投放到市场销售.已知A型汽车每辆成本34万元，

售价39万元；B型汽车每辆成本42万元，售价50万元.若该公司对此项计划的投资不低于1536万元，不高于1552

万元.请解答下列问题：

（1）该公司有哪几种生产方案？

（2）该公司按照哪种方案生产汽车，才能在这批汽车全部售出后，所获利润最大，最大利润是多少？

（3）在（2）的情况下，公司决定拿出利润的2.5%全部用于生产甲乙两种钢板（两种都生产），甲钢板每吨5000元，

乙钢板每吨6000元，共有多少种生产方案？（直接写出答案）

23.（12分）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴正半轴交于点C.

（1）如图1,若A（-1,0）,B（3,0）,

①求抛物线y=-x2+bx+c的解析式；

②P为抛物线上一点，连接AC,PC,若/PCO=3NACO,求点P的横坐标；

（2）如图2,D为x轴下方抛物线上一点，连DA,DB,若NBDA+2/BAD=90。，求点D的纵坐标.

24.（14分）（1）计算：1一31+（6+九）o-（--）2-2COS60°；

114+2a

⑵先化简，再求值”力,其中a=-2+JI.

〃+1〃2—1

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

根据整式的混合运算计算得到结果，即可作出判断.

【题目详解】

A、2a2与a不是同类项，不能合并，不符合题意；

B、On）=m6,不符合题意；

C、原式=x2+2盯+y2,不符合题意；

D、a6+a3=a3,符合题意，

故选D.

【题目点拨】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

2、C

【解题分析】

设这块圆形纸片的半径为R,圆锥的底面圆的半径为r,利用等腰直径三角形的性质得到45=7伤R,利用圆锥的侧面

展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆扇底面的周长得到2M,解得r=这&然后利用勾股定理得到

1804

（V27?）2=（3廊）2+（R）2,再解方程求出R即可得到这块圆形纸片的直径.

【题目详解】

设这块圆形纸片的半径为尺，圆锥的底面圆的半径为r,则根据题意得：

2M=9"兀,解得：，.=、2尺，所以（加尺）2=（3同）2+（巫R）2,解得：7?=12,所以这块圆形纸片的直

18044

径为24c”?.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长.

3、D

【解题分析】

判断出P的横纵坐标的符号,即可判断出点P所在的相应象限.

【题目详解】

当a为正数的时候,a+3一定为正数,所以点P可能在第一象限,一定不在第四象限，当a为负数的时候,a+3可能为正数，

也可能为负数,所以点P可能在第二象限，也可能在第三象限，

故选D.

【题目点拨】

本题考查了点的坐标的知识点，解题的关键是由a的取值判断出相应的象限.

4、A

【解题分析】

11

解：作0C_LA5于C,连结04,如图.：OC±AB,：.AC=BC=2AB=2x8=1在RSAOC中，OA=5,

：.OC=gA2-AC2=,52-42=3,即圆心。到A5的距离为2.故选A.

B

5、D

【解题分析】

根据相反数的定义解答即可.

【题目详解】

11

根据相反数的定义有：工的相反数是一

66

故选D.

【题目点拨】

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相

反数是正数，1的相反数是L

6、D

【解题分析】

设这个数是a,把x=l代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可.

【题目详解】

设这个数是a,

15-a

把x=l代入得：—(-2+1)=1—--,

解得:a=l.

故选：D.

【题目点拨】

本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元一次方程的解等知识点的理解和掌握，能得出一个关于a的方程

是解此题的关键.

7、C

【解题分析】

分析：在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便.

解答：解:根据题意:2500000=2.5x1.

故选C.

8、D

【解题分析】

解：•.•/49C=35,

?.ZBOD=35,

：EOLAB,

：.ZEOB=90,

ZEOD=ZEOB+ZBOD=90+35=125,

故选D.

9、D

【解题分析】

【分析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定定理对选项逐一进行分析，即可判断出答

案.

【题目详解】A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不符合题意；

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；

D.对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项错误，符合题意，

故选D.

【题目点拨】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定等，熟练掌握相关判定定理是

解答此类问题的关键.

10、D

【解题分析】

试题分析：..,<!、p是一元二次方程J+2x-/=0的两个根，，印==-1,故选D.

考点：根与系数的关系.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11,x2-1且xw2.

【解题分析】

试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式

分母不为0的条件，要使其~~在实数范围内有意义，必须｛。c=>X2—1且xw2.

x-2x—2w0xw2

考点：1.函数自变量的取值范围；2.二次根式和分式有意义的条件.

12、(1,-4)

【解题分析】

利用旋转的性质即可解决问题.

【题目详解】

由题意A(1,4),B(4,1),A根据旋转的性质可知，(4,-1),B，(1,-4)；

所以，B'(1,-4)；

故答案为(1,-4).

【题目点拨】

本题考查反比例函数的旋转变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

2

13、9

【解题分析】

根据题意列出表格或树状图即可解答.

【题目详解】

解：根据题意画出树状图如下：

总共有9种情况，其中两个数字之和为8的有2种情况,

P=3,

(两个数字之和为8)9'

2

故答案为：—.

【题目点拨】

本题考查了概率的求解，解题的关键是画出树状图或列出表格，并熟记概率的计算公式.

14、1

【解题分析】

分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案.

解答：解：1-11=1.

故答案为1.

15、15

【解题分析】

分析：设输出结果为y,观察图形我们可以得出*和y的关系式为：y=3x-2,将y的值代入即可求得上的值.

详解：...y=3x—2,

当y=127时，3x—2=127,解得：x=43；

当y=43时，3x—2=43,解得:x=15；

17

当y=15时,3%-2=15,解得X=3_.不符合条件.

则输入的最小正整数是15.

故答案为15.

点睛：考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.

16、(14+2#)米

【解题分析】

过。作。EL5c的延长线于E,连接AD并延长交5c的延长线于尸，根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边

的一半求出。E,再根据勾股定理求出CE,然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF,再求出3F,再次利用

同时同地物高与影长成正比列式求解即可.

【题目详解】

如图，过。作。E_LBC的延长线于E,连接并延长交的延长线于F.

：CD=8,CD与地面成30。角，

11

.*.DE=—CD=—x8=4,

22

根据勾股定理得：CE=QCD2-DE2=742-22782-42=4#.

*.*1m杆的影长为2m,

DE1

----=一,

EF2

：.EF=2DE=2x4=8,

：.BF=BC+CE+EF=20+473+8=(28+473).

.AB1

a-----—,

BF2

1=L

(28+4^)=14+2V3.

故答案为(14+2。).

【题目点拨】

本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出45的影长若全在水平

地面上的长3歹是解题的关键.

【解题分析】

先求出BE的值，作DM_LAB,DN_LBC延长线，先证明AADM也ZSCDN(AAS),得出AM=CN,DM=DN,再根

717

据正方形的性质得BM=BN,设AM=CN=x,BM=AB-AM=12-x=BN=5+x,求出x=1,BN=y,根据BD为正方形

17117,__________7

的对角线可得出BD=2JI，BF=-BD=-72,EF={BE-BF2=彳

【题目详解】

,?ZABC=ZADC,

.\A,B,C,D四点共圆,

.,AC为直径，

VE为AC的中点，

.'.E为此圆圆心,

为弦BD中点，

.,.EFXBD,

11__________1,_______13

连接BE,BE=—AC=-yjAB2+BC2=—+122=—；

作DM_LAB,DNJ_BC延长线，ZBAD=ZBCN,

在A八》乂和4CDN中，

AD=DN

<ZBAD=NNCD,

ZAMD=NCND

：.AADM^ACDN(AAS),

.,.AM=CN,DM=DN,

,?ZDMB=ZDNC=ZABC=90°,

四边形BNDM为矩形，

又：DM=DN,

二矩形BNDM为正方形，

；.BM=BN,

设AM=CN=x,BM=AB-AM=12-x=BN=5+x,

717

12-x=5+x,x=—,BN=—,

VBD为正方形BNDM的对角线，

L17L117L

.1.BD=V2BN=y,BF=-BD=—,

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质与全等三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与全等三角形的性质与应用.

三、解答题（共7小题，满分69分）

1

18、（1）50人；（2）补图见解析；（3）—.

【解题分析】

分析：（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数；

（2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；

（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利用概率公式计算可得.

详解：（1）该班学生总数为10+20%=50人；

（2）历史学科的人数为50-（5+10+15+6+6）=8人，

补全图形如下：

（3）列表如下:

化学生物政治历史地理

化学生物、化学政治、化学历史、化学地理、化学

生物化学、生物政治、生物历史、生物地理、生物

政治化学、政治生物、政治历史、政治地理、政治

历史化学、历史生物、历史政治、历史地理、历史

地理化学、地理生物、地理政治、地理历史、地理

由表可知，共有20种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有2种结果，

21

所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为方=布.

点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B

的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

19、（1）平均数5.6（万元）；众数是4（万元）；中位数是5（万元）；（2）今年每个销售人员统一的销售标准应是5

万元.

【解题分析】

（1）根据平均数公式求得平均数，根据次数出现最多的数确定众数，按从小到大顺序排列好后求得中位数.

（2）根据平均数，中位数，众数的意义回答.

【题目详解】

解：

（1）平均数星（3x1+4x3+5x2+6x1+7x1+8x1+10x1）=5.6（万元）；

出现次数最多的是4万元，所以众数是4（万元）；

因为第五，第六个数均是5万元，所以中位数是5（万元）.

（2）今年每个销售人员统一的销售标准应是5万元.

理由如下：若规定平均数5.6万元为标准，则多数人无法或不可能超额完成，会挫伤员工的积极性；若规定众数4万

元为标准，则大多数人不必努力就可以超额完成，不利于提高年销售额；若规定中位数5万元为标准，则大多数人能

完成或超额完成，少数人经过努力也能完成.因此把5万元定为标准比较合理.

【题目点拨】

本题考查的知识点是众数、平均数以及中位数，解题的关键是熟练的掌握众数、平均数以及中位数.

20、见解析

【解题分析】

试题分析：(1)AD2=DE-DF,ZADF=ZEDA，可得AADFSAEDA，从而得/F=/DAE,

再根据/BDF=ZCDA即可证;

…一BFDFBFAD…一

(2)由ABFDsACAD,可得厂=从而可得入再由ABFDsACAD可得/B=/C从而得

ACADACDE

e—BFAD

AB=AC,继而可得—=—,得到BF-DE=AB-AD.

ABDE

ADDF

试题解析:(1)VAD2=DE•DF，

~DE~AD

­.,ZADF=NEDA,：.^ADF-AEZM,

ZF=ZDAE,

又：ZADB=ZCDE,/.ZADB+ZADF=ZCDE+ZADF,

即/5Db=NCZM,

ABFDsACAD；

BFDF

(2),:KBFDs^CAD,——=——

ACAD

AD_DFBF_AD

~DE~~AD~AC~~DE

•：ABFD^ACAD9：.ZB=ZC,：.AB=AC,

BFAD

/.=,BF-DE=AB-AD.

ABDE

【题目点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，能结合图形以及已知条件灵活选择恰当的方法进行证明是关键.

21、A

【解题分析】

分析：根据题意画出树状图，从而可以得到两次两次抽出的卡片所标数字不同的情况及所有等可能发生的情况，进而

根据概率公式求出两次抽出的卡片所标数字不同的概率.

详解：由题意可得，

故选：A.

点睛：本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数机除以

所有等可能发生的情况数"即可，即「=竺.

n

22、（1）共有三种方案，分别为①A型号16辆时，B型号24辆；②A型号17辆时，B型号23辆；③A型号18辆

时，B型号22辆；（2）当x=16时，=272万元；（3）A型号4辆，B型号8辆；A型号10辆，B型号3辆

两种方案

【解题分析】

（1）设A型号的轿车为x辆，可根据题意列出不等式组，根据问题的实际意义推出整数值；

（2）根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式解答；

（3）根据（2）中方案设计计算.

【题目详解】

（1）设生产A型号x辆，则B型号（40-x）辆

1536<34x+42(40-x)<1552

解得16WXW18,x可以取值16,17,18共有三种方案，分别为

A型号16辆时，B型号24辆

A型号17辆时，B型号23辆

A型号18辆时，B型号22辆

(2)设总利润W万元

贝［w=5x+8(40-x)

=—3x+320

•左二—3<0

二•W随X的增大而减小

当x=16时，W=272万元

取大

(3)A型号4辆，B型号8辆；A型号10辆，B型号3辆两种方案

【题目点拨】

本题主要考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，此题是典型的数学建模问题，要先将实际问题转化

为不等式组解应用题.

35

23、(1)①y=-x2+2x+3②石(2)-1

【解题分析】

分析：(1)①把4、5的坐标代入解析式，解方程组即可得到结论；

②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点。使CD=C4,作EMLCD交CD的延长线于N.由C0=C4,OC±AD,得

到/。C0=N4C0.由/PCO=3NAC。，得到/ACD=NECD,从而有tan/ACD=tanNECD,

AIENAIEN3

—,即可得出A/、C/的长，进而得到可=不7=”.设EN=3X,则CN=4X,由tan/CDO=tan/EDM得

ENOC3

到=故设ONB,则CD=CN-ON=3X=M，解方程即可得出E的坐标，进而求出CE的直线解析式，

DNOD1

联立解方程组即可得到结论；

BIID

(2)作轴，垂足为/.可以证明由相似三角形对应边成比例得到丁=-片，

IDAI

即T~&=——」，整理得y2=X2—(x+x)x+XX.令尸0,得：一%2+"+。=0.

—yX—XDDABDAB」

DDA

故x+x=b,xx=-c,从而得到y2=x2-bx-c.由y=-x2+bx+c,得到y2=_y,解方程即可

ABABDDDDDDDD

得到结论.

详解：(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入y=-%2+阮+。得:

—1—b+c=0[b=2

解得：

一9+3/?+c=0c=3

y=-X2+2x+3

②延长C尸交工轴于点E