2024年江苏省泰州市高港区等2地中考二模数学试题（解析版）

2024年中考适应性考试九年级数学试卷

第一部分选择题（共18分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.下列实数是无理数的是（）

A.-B.yf2C.（乃一3）°D.2024

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了无理数的概念，零指数幕，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三

种情况：①开方开不尽的数；②还有）与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数.据此判断即

可.

【详解】解：A、不是有理数，不符合题意；

B、0是无理数，符合题意；

C、（万-3）°=1是有理数，不符合题意；

D、2G24是有理数，不符合题意；

故选：B.

2.下列运算正确的是（）

A.=a2+b2B.a3-i-a3=aC.（/）=a5D.a+2a=3a

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式、同底数寻的除法、幕的乘方等运算法则等知识，利用完全平方公式、

同底数幕的除法、鼎的乘方、合并同类项等运算法则逐一进行计算即可.

【详解】解：A、（a+b^=a2+2ab-¥b2^a2+b2,本选项不符合题意；

B、/+/=],本选项不符合题意；

C、（a2）3=a6,本选项不符合题意；

D、a+2a=3a,本选项符合题意.

故选：D.

3.如图，将长为8的矩形纸片沿虚线折成一个无盖三棱柱，则图中a的值可能是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，矩形的性质，解不等式组，根据构成三角形的条件和矩形的

〃+a>8—2

性质得到｛八。，解不等式组即可得到答案.

a+a>S-2a

【详解】解：由题意得,

0<a+a<8

/.2<a<4,

・•・图中。的值可能是3,

故选：C.

4,泰州雕花楼是省级文物保护单位，雕花楼的门窗全用木制雕花格扇，图案丰富.如图1是一面雕花窗

格，其主体轮廓是一个正八边形，如图2是它的示意图，则它的一个内角a的度数为()

图1图2

A.45°B.120°C.135°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了多边形内角和公式和外角和定理，熟记多边形的内角和公式和外角和定理是解题的关

键.可以先利用多边形内角和公式(〃-2)・180。求出内角和，再除以内角的数量即可求解；也可以利用多

边形的外角和为360。，再除以内角的数量即可求解.

【详解】解：法一：:正八边形内角和为(8-2)/80。=1080。，

1080°

它的每一个内角为一^-=135。,

8

法二：•••多正八边形的外角和为360。，

每一个外角为36带0°-=45。，

8

..它的每一个内角为180。-45。=135。.

故选：C.

5.如图，四边形/8CQ是边长确定的正方形,点、E、厂分别在边Z）C、8C上，ZEAF=45°f求

△力£户的面积，只需要知道（）

A.△CEF的面积B.V4QE的面积

C.△力3尸的面积D.4CEF、MADE、△Z8F的面积都必须要知道

【Y】A

【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质和三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅

助线是解题的关键.延长CO至G,令GD=FB、证明Zi/QG三AXB/，AGAE式AFAE,即可得

解.

【详解】解：如图，延长。。至G,令GD=FB,

•••四边形/8CZ）为正方形,

AD=AB,AADC=ZABF=/.DAB=90°,

4ADG=90°,

AD=AB

<ZADG=ZABF=90°,

GD=FB

△ADGWAABF,

AG=AF,ZGAD=AFAB,

•••NE/产=45。，

NDAE+NF4B=NDAB-NEAF=45。,

ND4E+NGAD=NGAE=45°=NEAF,

.又AE=AE,

△GAEgAFAE,

•Q-Q-9_i_C

…O&EAF_3GAE~3DAET3FAB»

••・四边形48CQ是边长确定的正方形，设其面积为S,

：,SaEAF=S_（SGDAE+S.FAB）-S&CEF=S_S&EAF_S&CEF，

-2S&EAF=S_S^CEF，

故求△力E尸的面积，只需要知道aCE尸的面积.

故选：A.

6.已知二次函数>="+法+。（。>0）的对称轴是直线x=1,点/（2,加），8（4,〃）在这个二次函数的

图象上，若1<Z<2,则m、〃、c的大小关系是（）

A.m<c<nB.m<n<cc,c<m<nD,m<n=c

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，先确定：当时，函数值y随

着x的增大而增大，再得出点（O,c）关于对称轴对称的对称点坐标为（21,c）,根据1<，<2,可得

2<2<4,问题随之得解.

【详解】解：点4（2,加）、4（4/）在二次函数歹=〃/+云+°3>0）的图象上，

Va>0,

，二次函数歹=ax2+bx+c（a>0）的图象上开口朝上，

•.•对称轴是直线X二£,

.♦.当时，函数值y随着x的增大而增大，

当x=0时，》=J则抛物线过点（0,c）,

，点（0,c）关于对称轴对称的对称点坐标为（2/,c）,

vi<r<2,

/.2<2/<4,

•・,当时，函数值y随着x的增大而增大，且

又♦・・N(2,加)，8(4,〃)在这个二次函数的图像上，

，<C<〃，

故选：A.

第二部分非选择题(共132分)

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应位

置上,)

7.2024年4月25日神舟十八号载人飞船发射取得成功，飞船在轨运行速度约78000米/秒，接近第一宇宙

速度，78000用科学记数法表示为.

【答案】7.8xlO4

【解析】

【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为4X10",其中1<忖<W,〃可以用原数

的整数位数减去1米确定.用科学记数法表示数，一定要注意。的形式，以及指数〃的确定方法.根据

78000=7.8x1()4，即可求解.

【详解】解：:78000=7.8x1()4,

故答案为：7.8xl04.

8.定义：如果三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“倍数三角形"，若等腰“8C是

“倍数三角形“，且底边长是3,则腰长是.

【答案】9

【解析】

【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，分类讨论：/8=4。=33。或3。=3/8=34。，

然后根据三角形三边关系即可得出结果.

【详解】解：设存在等腰AJBC,其中48=4C,底边BC=3,

・・・46=4。=38。时，即4B=4C=9,

・••AABC是“倍数三角形”，

此时腰长是9；

当/B=4C=38C时，AB=AC=\,

,：AB+AC=2<BC,

・•・根据三角形三边关系，此时力、B、。不构成三角形，不符合题意；

故答案为：9.

9.一元二次方程一一2%+%=0的两根是不和受，则用•%的最大值为-

【答案】1

【解析】

【分析】根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，即可求解.

【详解】解：•••方程/一2%+%=0有两个根是天和4，

**•A=(―2)~—4k>0»X[,x?=k,

解得:k<\,

的最大值为1.

故答案为：1

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练革握一元二次方程根的判别

式，根与系数的关系是解题的关键.

10.如图，△/和△08。都是边长为1的等边三角形，点用在5c边上，将△08C沿8C方向平移

到4G的位置.当四边形48AG为矩形时，平移距离34=.

【答案】1

【解析】

【分析】本题考查了矩形的性质，平移的性质以及等边三角形的性质，三角形外角性质，正确掌握相关性

质内容是解题的关键.因为等，边三角形的性质得出NQG3=N/C8=60。，结合矩形的性质，则

ZJCD,=90°,ZJC,^=30°,因为N4CB=NAC1B+NCAG,得出Cq=4C=l,即可作答.

【详解】解：•・・△J8C和△Q8C都是边长为1的等边三角形，且△QBC沿8C方向平移到△A4G的

位置.

・••NDC、B=/ACB=60°

・・•四边形"BAG为矩形

・・・NACQi=90°,/AC\B=30°

•・•AACB=ZAC}B+Z.CAC,=30°+ACAC.=60°

则NC4G=30°

・•・cq=AC=I

:.平移距离BB、=CCi=AC=l

故答案为：1

3

11.已知一次函数y=-x+4与反比例函数y=一图象的两个交点横坐标分别为1和3,则不等式

x

3

-x+4>-的解集为.

x

【答案】x<0或l<x<3

【解析】

3

【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，根据-x+4>—,则反比例函数小于一次函数,

进而结合图象得出答案.

【详解】解：如图所示:

x

故答案为：x<0或l<x<3.

12.如图，矩形。48。与矩形OHB'C'关于点。位似，则点。、B与点B'共线，（填“一定”或

“一定不”或“不一定”）

史

【答案】一定

【解析】

【分析】本题考查了位似图形的性质，根据对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形，即

可解题.

【详解】解：•••矩形O48C与矩形0H夕C'关于点0位似，

•••点。、3与点5'一定共线，

故答案为：一定.

13.如图，在半径为2的圆形纸片中剪一个圆心角为60c的扇形（图中阴影部分），则该扇形的面积为

【答案】2兀

【解析】

【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直

角三角形，熟练掌握相关性质是解题的关键.

设圆心为。，4c为扇形与圆的交点，扇形的圆心为点。，连接。4,OC,取NC中点8,连接。8,

根据圆周角定理求得/力。。=120。，利用等腰三角形三线合一和解直角三角形，可求得4C,ADAC

为等边三角形，由此可求得扇形的半径，利用扇形面积公式即可求解.

【详解】解：如图所示，设圆心为。，4c为扇形与圆的交点，扇形的圆心为点0,连接04,OC,取

/C中点8,连接08,

ZAOC=120°,

--OA=OC,B为AC中点,根据等腰三角形三线合一，

二.OBA.AC,Z.AOB=/.COB=-Z.AOC=60°,AB=BC=-AC,

22

.,4B=OA・sinN,4OB=2x^=5

2

AC=25

ZJDC=60°,DA=DC,

ADAC为等边三角形,

DA=DC=Z5

扇形的面积为S=里一〃=兀"（2"^x60=2兀.

360360

故答窠为：27t.

14.如图，3c是。O的弦，。/是OO的半径，且O4_LBC,点。是弧48的中点，若。4=4,

Z5Z）C=100°,则弦co的长为.

【答案】4石

【解析】

【分析】连接CO,延长CO交。。于点E,连接08、BE、DE、OD,利用圆内接四边形性质，得到

NCEB,利用圆周角定理得到N80C,利用弧、弦、圆心角之间的关系得到N6。。，进而得到

4CBD,/E,在利用解直角三角形CO=CE-sinN£求解，即可解题.

【详解】解：连接CO,延长CO交OO于点E,连接。3、BE、DE、OD,

・•.ZBZ)C=100°,

:2CEB=180。—4BDC=80°,

NBOC=2NCEB=160。,

•••8C是。O的弦，。力是。。的半径，且Q4_L3C,

:.AB=AC^

4OB=4OC=80。，

•••点。是弧N3的中点，

:.BD=AD^

ZBOD=ZAOD=40°,

/BCD=二/BOD=20。,

2

/.NCBD=180°-Z.BDC-/BCD=60°,

v5c=5c»

/.NE=NCBD=60。,

••・04=4,

.•.CE=8,

CD=CEsinZ£1=8x—=473，

2

故答案为：4>/3•

【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，解直角三角形，垂径定理，圆内接四边形性

质，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形.

15.如图，点4、B、C、。是正方形网格务中的格点，AB与CD交于点、O,s\nZAOD=

3710

【答案】

10

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理在网格中的的应用，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，以及锐

角三角函数，解题的关键在于借助网格构造直角三角形.记正方形网格边长为1,利用勾股定理得到力8,

AQ4D2

证明△/OQS^BOC,得到一不二;二不，从而得到sin//。。=sin/8。。，过点OEU8C于点

BOBC3

DE

E,利用勾股定理得到CO,根据sinN彳。。=sinN8c=求解，即可解题.

CD

【详解】解：由图知，记正方形网格边长为1,

连接NO、BC,

则4)=2,8C=3,

48=,32+42=5,

由网格特点可知，AD//BC,

:.△AODSABOC,

•40_4D_2

,^0~~BC~3,

:.A0=2=AD,B0=3=BC,

，NAOD=NADO=NBOC=Z.BCO,

sinN/。。=sinZ.BCO,

过点、DEJ.BC于点、E,

..CD=+32=回,

-DE335/r0

•'­smZ.AOD=sinZ.BCO=----=—j==------，

CDM10

故答案为：竺e.

10

16.如图，在RtZ\Z8C中，4c8=90。，ZABC=30°,AC=2,点。是3c边上一动点，旦

△ABC〜AADE,则KDE面积的最大值为______.

A

〃Dc

【答案】巫

8

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，根据题意证明ABADSKAE得出

RDAR

/ABD=/ACE,—=—=2,设CD=x,则8。=26-工，进而表示出ACOE面积，根据二次函

CEAC

数的性质，即可求解.

【详解】解：如图所示，过点E作EFJ.BC于点F,

A

8DCF

VZJC5=90°,ZABC=30°,AC=2,△48c〜△XOE,

ABAD6

・•.——=——=2,

ACAE

又="BAC=ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE=ZDAE=60°

・・・ZBAD=ZCAE

：・ABADSKAE

BDABc

・.NABD=Z-ACE，==2

CEAC

・•・ZDCE=ZACB+AACE=\20°

・•・NECF=60°

,:BC=4AB^AC2=2V3，

设CQ=x,则=

：.CE=>/3--

2

•••S式DE=；DCxCExsin60°=*DCxCE

_V3(Ax\_62,3

4I2；84

3

当"二----产南二百时，ACQE面积的最大值为且xjjx走二地

2x一虫428

I8J

故答案为：之叵.

8

三、解答题(本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必

要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(1)计算：(g)+4cos300-V12+^0

2x-6<0

(2)解不等式组，1-3工7并写出该不等式组的非负整数解.

-----<2

2

【答案】(1)5；(2)-l<x<3,非负整数解为0,1,2

【解析】

【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式组；

(1)根据负整数指数幕，特殊角的三角函数值，化简二次根式，零指数第进行计算即可求解.

(2)分别解两个不等式，然后确定公共部分的解集，进而求得非负整数解，即可求解.

【详解】解：⑴(3)+4cos30。—4五+九°

=4+4x--2A/3+1

2

=5

2x-6<0①

⑵工2②

2

解不等式①得：x<3

解不等式②得：x>-l

・・・不等式组的解集为：-l<x<3

・•.不等式组的非负整数解为：0,1,2

18.张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他

完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子.

老师小明小亮小红

(1)这个“接力游戏”中订算错误的同学有:

(2)请你写出正确的解答过程.

【答案】(1)小明，小红

(2)过程见解析；

【解析】

【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

(1)利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答；

(2)利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答.

【小问1详解】

2

解：———a-\

a-\

2

CT,■、

=—7一(a+l)

a-i

a2(a+1)(。-1)

=----------------,

小明计算错误，

a2a2-2a+1

a2-(a2-2a+l)

a-\

2a-\

=a-\

••.小红计算错误;

【小问2详解】

a,

=-；—(4+1)

a-i

a2(a+l)(a—1)

=>—I

a-\a-\

1

19.甲、乙两位同学玩扑克游戏，甲从一副扑克中抽出两张扑克，分别是梅花5和红桃0

（1）甲同学混合两张扑克后让乙同学随机抽取一张，乙同学抽到红桃。的概率为.

（2）甲同学将这两张扑克从中间剪断得到四张形状相同的纸片，混合后让乙同学随机摸取一张，不放回

接着再随机摸取一张，请用列表法或画树状图法，求这两张纸片恰好合成一张完整扑克牌的概率.

【答案】（1）g

（2）图表见解析，一

3

【解析】

【分析】本题考查了概率公式求概率和列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键.

（1）根据概率公式计算即可；

（2）根据题意列表，得到情况总数，以及两张纸片恰好合成一张完整扑克牌的情况数，再根据概率公式求

概率艮1可.

【小问1详解】

解：根据题意可知，共两张扑克，分别是梅花5和红桃0.

.••乙同学抽到红桃。的概率为

故答案为：y.

【小问2详解】

解：根据题意可列表如下：

梅花5梅花5红桃。红桃。

梅花5梅花5、梅花5梅花5、红桃。梅花5、红桃。

梅花5梅花5、梅花5梅花5、红桃。梅花5、红桃。

红桃。红桃。、梅花5红桃梅花5红桃0、红桃。

红桃0、红桃

红桃。红桃Q、梅花5红桃。、梅花5

Q

由表可知，共有12种等可能结果，其中凑成一张完整扑克牌的有4种,

41

「•这两张纸片恰好合成一张完整扑克牌的概率为—

123

20.近日国家统计局发布了2023年全年及2024年1-3月份全国规模以上工业企业各月累计利润率与每百

元营业收入中的成本数据如图所示，试回答下列问题：

各月累计利润率与每百元营业收入中的成本

（元）匚二I每百元营业收入中的成本一营业收入利润率（％）

84

（1）下列结论中，正确结论的序号是.

①每百元营业收入中的成本2023年1-7月份的比2024年1-3月份的高；

②2023年全年各月累计利润率一直呈上升趋势；

③各月累计利润率共11个数据中，前5个数据的方差记为S：,后6个数据的方差记为£,则S；vS；；

（2）每百元营业收入中的成本共11个数据中，中位数是元，众数是元；

（3）由于我国经济稳中向好，预计2024年1-4月份每百元营业收入中的成本比1-3月份下降0.5%.计

算2024年1-4月份每百元营业收入中的成本约为多少元？（结果保留2位小数）

【答案】（1）①③⑵85.17,85.18

⑶84.72

【解析】

【分析】（1）结合统计图中的数据，结合折线统计图中折线的波动情况即可作答；

（2）将这11个数从小到大排列，在按照中位数、众数的定义求解即可：

（3）直接列式计算即可.

【小问1详解】

①每百元营业收入中的成本2023年1-7月份的数据为85.22,2024年1-3月份的数据为85.18,即每百

元营业收入中的成本2023年1-7月份的比2024年1-3月份的高，说法正确；

②2023年1-6月份的各月累计利润率为5.41,2023年1-7月份的各月累计利润率为5.39,二者相比或

一个有所下降；2023年1-11月份的各月累计利润率为5.82,2023年1—12月份的各月累计利润率为

5.76,二者相比或一个有所下降；即2023年全年各月累计利润率一直呈上升趋势，本说法错误；

③从折线图可知各月累计利润率共11个数据中，前5个数据的折线图波动较为平缓，后6个数据的的折

线图波动幅度较大，则各月累计利润率共11个数据中，前5个数据的方差记为S；,后6个数据的方差记

为S；,则说法正确，

故正确的有①③

故答案为：①③；

【小问2详解】

将这11个数从小到大排列如下：

84.76,84.92,84.97,85.02,85.07,85.17,85.18,85.18,85.23,85.22,85.29,

则中位数为：85.17,

上述所有的数据，85.18,出现了2次，次数最多，故这组数据的众数为：85.18,

故答案为：85.17,85.18；

【小问3详解】

85.15x（100%-0.5%）«84.72（元），

答：2024年1-4月份每百元营业收入中的成本约为84.72元.

【点睛】本题主要考查了中位数，众数，方差的意义，折线统计图等知识，仔细阅读题干图中数据，掌握

中位数、众数的求解方法以及方差的含义，是解答本题的关键.

21.临近端午，某超市准备了两种粽子礼盒，1件4种礼盒和2件8种礼盒进货价共320元，4件4种礼

盒和3件B种礼盒进货价共780元.

（1）.4、8两种礼盒每件的进货价分别是多少元？

（2）若/种礼盒的售价为每件200元，8种礼盒的售价为每件150元，超市原计划在端午节前的某天搞

促销，将现有的4、8两种礼盒共50件按售价的8折全部售出，但实际并没有全部售完，两种礼盒的实际

销售利润总和为1320元.这天超市最多卖出B种礼盒多少件？

【答案】（1）4礼盒每件成本价120元，8礼盒每件成本价100元

（2）超市最多卖出8种礼盒33件

【解析】

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，

（1）设/礼盒每件成本价x元，8礼盒每件成本价y元，根据题意，列出方程组求解即可：

（2）设商户卖出8种礼盒机盒，则应卖出4种礼盒（50-〃?）盒，根据全部卖出获得的利润大于实际销售

利润，列出不等式求解即可.

【小问1详解】

解：设4礼盒每件成本价x元，5礼盒每件成本价y元，

x+2y=320

<4x+3y=780'

x=120

解得：sc，

y=100

答：A礼盒每件成本价120元，B礼盒每件成本价100元.

【小问2详解】

解：设超市卖出8种礼盒〃，盒，则应卖出4种礼盒(50-加)盒，

由于50件商品没有全部售完，若全部售完则实际利润总和大于1320元，

(200x80%-120)(50-/n)+(150x80%-100)w>1320,

解得：加<34,

••・〃？为正整数,

•••〃?最大为33,

答：超市最多卖出8种礼盒33件.

22.如图是某种台灯及其示意图.己知月5垂直于桌面/,J5=12uin,/1C=10cm,NBZC=15(T,

灯头8=14cm、CO可绕点C上下转动，AB.AC.CD始终在同一平面内，E尸为光源。的最大

照射区域，且DE=DF.某学生此时调整灯头C。，使得CO_L4C.

(1)求此时光源。离桌面的高度：(结果精确到0.1cm)

(2)若此时M=28cm,求NEDF约为多少度?

(参考数据：6=1.73,tan27。a0.51,sin27°«0.45,cos27。乏0.89,tan33°®0.65,

sin33°«0.54,cos33°«0.84)

【答案】(1)27.7厘米

(2)54°

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质等知识，

(1)过。点作于河点，延长历1交CO于点N,过N点作NG1QM于点G,先得出

ZCAN=180°-Z.BAC=30°,在RtZUCN中，CN=ACtan/CAN=二

3

AN=一—一二型也，再证明四边形NGA/8是矩形，可得N8=GM=12+迎8,在RSDNG

sinZCAN33

中，G0=N£>・sinN£WG=7-王，问题随之得解：

3

(2)根据等腰三角形的性质可得==，七产=14,NFDM=/MDE='/EDF,在(I)中

22

FM14

已求出OMa27.7,在RtaEDW中，tanZFZ)M=——=——六0.51,问题随之得解.

DM27.7

【小问1详解】

过。点作DVflBE于M点，延长BA交CD于点、N,过N点作NG_LQA/于点G,如图，

・・・NCAN=180°-Z.BAC=30°,

・・•CDLAC,

：.ZC=90°,

•・•4。=10,

AC二20百

・••在RtZXZCN中，CN=ACtan/CAN=

3sin/CAN-3

即NZ)=CO-CN=14-W^△N=4N+/2=12+祖叵

33

,/ABLBE>NGIGM,DM1BE,

:.ZNBE=4BMG=4MGN=4NGD=90°,

・•・四边形NGM8是矩形，

：・NB=GM=12+^^，

3

VZNGD=90°,ZC=90°,

:・NCNA+ZDNG=90°,ZCNA+ZCAN=90°,

・•・4DNG=4CAN=3M,

・••在Rt^ONG中，GD=NDsm/DNG=7—^~

3

，ZW=QG+GM=7-也+12+^^=19+55

33

ADA/=19+573«27.7（厘米），

即光源D离桌面的高度27.7厘米；

【小问2详解】

•：DE=DF，DMLEF>EF=28,

：.FM=ME=-EF=\4AFDM=Z.MDE=-ZEDF,

2t2

在（1）中已求出OA/B27.7,

FM14

・••在RSRDM中，tanZFDM=——=——«0.51,

DM27.7

•・•tan27°«0.51,

・•・4FDMx270,

・•・ZEDF=2/FDM«54°,

即/EOF约为54。.

23.如图，点5在线段4C上，分别以4B、BC为直角边画如图所示的等腰长△48。与等腰

（1）用无刻度的直尺画线段OE的中点M；

（2）在（1）的条件下，若4B=2,BC=1,求线段M8的长.

【答案】（1）见详解（2）姮

2

【解析】

【分析】（1）延长/。、CE两线交于点N,连接3N交。七于点M,问题得解：

（2）先证明是等腰直角三角形，再证明四边形8ENZ）是平行四边形，即有结合勾

2

股定理即可作答.

【小问1详解】

延长NO、CE两线交于点N,连接BN交DE于点、M,如图,

证明：结合等腰直角三角形的性质可得：AN=AC,AD=AB,即可得M7=C5,进而有

ND=CB=BE,根据垂直可得M)〃B£，则有四边形8EM)是平行四边形，则对角线的交点即为所

求中点；

【小问2详解】

在等腰和等腰RM3CE中，有4D=AB,BC=BE,ZBCE=45°,ZA=ZCBE=90°,

・•・△力CN是等腰直角三角形，

AN=AC,

•・•AD=AB,

：.AN-AD=AC-AB,

：.ND=CB,

:.ND=CB=BE,

•：ZA=ZCBE=90°,

・•・ND//BE,

・•・四边形BEND是平行四边形，

:.BM=>BN,

2

VAB=2,BC=1,

・•・AN=AB+ND=3,

・•・BN=y/AN2+AB2=而，

BM=-BN=--

22

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性

质，灵活构造平行四边形是解答本题的关键.

24.【背景知识】杠杆原理：杠杆平衡时，动力x动力臂二阻力x阻力臂.

【知识应用】杆秤是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，传说木杆秤是鲁班发明的.由秤杆、秤锤、

提纽、秤盘等组成.

如图1.已知秤锤质量为0.2kg,秤盘与拎着的提纽间力臂长2cm,当秤杆平衡时，秤锤与提纽间力臂长

22cm,求秤盘中物体的质量.

图1

【拓展应用】天平也是利用杠杆原理来称物体质量的衡器，天平是一种等臂杠杆，当天平平衡时，物体质

量=硅码质量.

如图2所示的天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同.把一个物体放在该天平的一个托盘里，在另一

个托盘里放祛码使天平平衡，称得物体质量为①再作第二次测量，把物体换到天平的另一个托盘里，此

时称得物体的质量为从试用含6的代数式表示该物体的真实质量，并说明理由.

图2

【答案】(1)2.2kg(2)J不，理由见解析;

【解析】

【分析】本题考查了一元一次方程，算术平方根的实际应用，找到题中等量关系，列出方程是解题的关

键.

(1)秤盘中物体的质量为加，则根据杠杆原理可得0.2x22=2〃？，即可求解;

ml.=aL

（2）设物体的真实质量为加，天平的两臂长分别为4，4,则根据杠杆原理可得<'，消去

ml2=必

1J，即可求解；

【详解】（1）设秤盘中物体的质量为加，则根据杠杆原理可得，

0.2x22=2m,

解得m=2.2kg.

答：秤盘中物体的质量为2.2kg.

（2）设物体的真实质量为〃?，天平的两臂长分别为小/2,则根据杠杆原理可得，

ml】=al

<2,

ml2=bl]

两式相乘得病“2=就小，

=ab，

m=yfab•

答：物体的真实质量为疝.

25.已知：如图1,“8C是OO的内接三角形，且46=4。，点。是弧8c上一动点，连接4D交弦

BC于点E,点F在弦AD上,且BD=BF.

（的1）（S2）（A3）

（1）求证：AEBFsAEAB；

2

（2）如图2,若力。是0O的直径，力尸=5,tanZCBD=-求直径力O的长；

3f

（3）如图3,保持点8位置不变，调整点4、。的位置使得直线8尸经过圆心。，点”在OO上，使得

CMEF

=F成立的所有点M中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点并说明理由.

CAEB

【答案】（1）见解析（2）13

（3）始终不变的点M是半径5。的延长线与圆的交点.

【解析】

【分析】(1)根据等腰三角形的性质及圆周角的性质可知N8在'再利用相似三角形的判定即可

解答；

CD2

(2)根据圆周角的定理可知NC8O=NOZC,再根据勾股定理可知tan—最后利用

AD3

相似三角形的性质即可解答；

FPRF

(3)根据相似三角形的判定与性质可知丁二一，再利用相似三角形的性质即可解答.

EBAB

【小问1详解】

解：•・・在中，AB=AC,

・•・ZABC=NC，

•・•在V3。歹中，BD=BF,

・•・NO=4BFD，

又•AB=AB

・•・ZC=ZZ),

・•・/ABE=4BFE，

,:NBEF=Z.AEB，

：.尸s/\E48；

【小问2详解】

解：♦：△EBFsMAB,

・•・/EBF=/BAD，

VAB=AC,

・・・那=苑

又丁ND是0。的直径，

：.E)ABD=90°,ADIBC,

••BD=CD»

:.4CBD=/BAD,

2

：.tanZ.CBD=tan/BAD=tanZ.EBF=—,

3

.EFBEDE_2

9,~BE~^E~~BE~3,

设EN=2x,则5E=3x,DE=2x,

39

・•・AE=-BE=-x,

22

9

VAE-EF=AF,即一x-2x=5

2

x=2,

/.DE=EF=2x=4,

:.AD=DE+EF+AF=13»

【小问3详解】

解：延长8尸，交圆于点例.

(S3)

♦：△EBFsdEAB,

.EFBF

NEBF=/BAD，

•­BD=CM>

：.BD=CM

•・•BD=BF,

・•・CM=BF,

.CMBF

••=9

CAAB

•CM_EF

■•------------9

CABE

・•・始终不变的点”是半径B。（或8/）的延长线与圆的交点.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，掌握相似三角形的判定与性质是

解题的关键.

26.如图1,在平面直角坐标系中，四边形43CQ是菱形，轴.

k

①若点4(1,3),反比例函数y=—的图像经过点&求该反比例函数的表达式，并判断点4是否在这个反

x

比例函数图像上：

②是否存在点4(。,6),使得反比例函数旷=月的图像同时经过点％、B?若存在，求人b满足的关系

x

式；若不存在，说明理由.

(2)如图2,菱形的顶点/,8和边40的中点E在反比例函数必=4也＞0)图像上，顶点C、。在反

X

比例函数必=〈0