2024年吉林省白山市高三一模数学试题及答案

2024年白山市第一次高三模拟考试

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合A一产卜B)x|—<0,则An3-()

Ix-4

A.(2,4)B.[2,4)0(2,4]D0

2.复数z-i+2f+3汽则z的虚部为()

A.2ZB.-2zC.2D.-2

3.已知5-—2,2),b-(3,1),若a在向量/上的投影为c,则向量c(

4.2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建

设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必

须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有()

A.300B.432C.600D.864

5.是“方程8有唯一实根”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件

6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数

a,b,x,y,满足匕、,当且仅当巴-2时，等号成立.则函数

xyyxy

316(1\

()二+―9一]斗上；的最小值为()

/Jx1-3x13)

A.16B.25C.36D.49

7.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有(

A.直线AE与CR是异面直线B.平面A3R一平面A3E

C.该几何体的体积为D.平面ABE与平面DCF间的距离为学

22

8.不与坐标轴垂直的直线/过点N（%,0）,%丁0,椭圆C:上+上1ab0上存在两点A,3关于

成及=（＞＞）

/对称，线段的中点”的坐标为（玉》）.若为2沏，则。的离心率为（）

1

V315/2V3

A.—B.-C.—D.—

3222

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9,2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，最终全红婵以总分438.20分夺冠.已知

她在某轮跳水比赛中七名裁判给的成绩互不相等，记为王（，-123,4,5,6,7）,平均数为K方差为机.若7

个成绩中，去掉一个最低分和一个最高分，剩余5个成绩的平均值为9，方差为〃，则（）

A.y一定大于xB.y可能等于xC.相一定大于“D.m可能等于"

515

10.公差不为零的等差数列&|满足⑷〃8,V------。，贝1J（）

kAakakA96

A.的=0B.d=±4C.4Zi=24D.S15=60

11.已知函数/（x）-2sin（（・,%十）（0＞0,0＜（p--的相邻两对称轴的之间的距离为刀，函数x—

\2/2I6.7

为偶函数，则（）

AA.（p兀—

6

B.（-LO）为其一个对称中心

C.若/(x)在(a,a)单调递增，则O、aW]

6

D.曲线y/(x)与直线yi1刍有7个交点

12.已知抛物线C：y，6x的焦点为R,过点R的直线/交抛物线于A、B两点,若〃为C的准线上任意

一点，贝U()

A.直线若的斜率为,，则性回-16B-AMB的取值范围为；0弓；

27

C.OAOB^—D..A03的余弦有最小值为|

4

三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

n5+sinl00

13.化简-----5——_____________

3cos250=

14,已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45,则展开式的常数项为.

15.在四面体ABCD中，BC2y/2,BD2小,且满足ACBC,AD_3D.若该三棱

锥的体积为手,则该锥体的外接球的体积为.

16.已知函数的定义域为R,且/(x+y)+f(\

M1,请写出满足条件的一

()=(答案不唯一)，/(2024).

fX

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知等比数列满足曲=2,且。2+。4-20.

(1)求数列|为1的通项公式；

(2)若数列也「满足4我洪前〃项和记为S,”求S..

n

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a一bcosC——csinB.

3

(1)求角3；

(2)过B作BD一BA,交线段AC于。，且AD-2DC,求角C.

19.(12分)如图所示，在矩形A3CD中，A3-3,AD2,DE2EC,。为AE的中点，以AE为折

痕将△ADE向上折至。AE3为直二面角.

(1)求证：。。一3C;

(2)求平面DAB与平面DCE所成的锐角的余弦值.

20.(12分)俗话说：“人配衣服，马配鞍”.合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉.张老师准

备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍

数，则称为"完美投掷二出现“完美投掷二则记二1；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为"不完美

投掷”，出现''不完美投掷"，则记三-0;若三-1,则当天穿深色，否则穿浅色.每种颜色的衣物包括西装和

休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为一3，而选择了浅色后，再选西装的可能性为3二.

510

(1)求出随机变量一的分布列，并求出期望及方差；

(2)求张老师当天穿西装的概率.

V2V2

21.(12分)已知A,3分别为双曲线E：=7T(>)的左、右顶点，〃为双曲线E上异于A、

a'b-iab0

3

3的任意一点，直线刈、班斜率乘积为「焦距为2"

(1)求双曲线E的方程；

(2)设过〃4,0)的直线与双曲线交于C,。两点(C,。不与A,3重合)，记直线AC,8。的斜率

K

为h,k2,证明：为定值.

22.(12分)已知函数Inx-kx+1(左为常数)，函数g(x)-ajx-l+b.

(1)若函数/(x)有两个零点，求实数k的取值的范围；

(2)当左0,设函数/2(x);g(x)-若/?(x)在［e4］上有零点，求/十〃的最小值.

2024年第一次高三模拟考试

数学监测试卷答案

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

.答案：

1B【详解】。A12,f।B|0,4）,-.AC\B[2,4）；故选B

2.答案：D【详解】：z--2-2i,：.z的虚部为-2;故选D.

【详解】••・"瑞"I。』）；*|；；故选口

3.答案：D

4.答案：B【详解】总的方法数为N-｛「6否4*；-432;故选B

5.答案：A【详解】方程JT7一6有唯一解，即直线y一8与上半圆yJ1炉有且仅有一个交

点，解得b的取值范围为卜

；•iWb1是方程X2=%-6有唯一解的充分不必要条件；故选A.

6.答案：D【详解】因为a,b,x,y,则土‘匚,当且仅当32时等号成立，又

xyyxy

342(34V14

0<x,—即13x>0,于是得/(qJ49,当且仅当———,即

35x15x5x15xx13x

+(一)

1316,1\

x-—时取“二"，所以函数的/（%）〜+0x<最小值为49.

7%13x1

7.答案：D【详解】〈A,E,C,尸四点共面，直线与。尸是共面的；・・・A错

取A5中点G,连接£G、FG,则一£G/为二面角EA5b的平面角，

其余弦值为-L；B错

3

1Q

V--4..272—JI;；.C错

23

连接AC、8。设交于。，则。A3E为正三棱锥，其底边长为2,侧棱长为①,所以。到平面A3E的

距离当，所求平面A3E与平面DCR间的距离为半；D正确

E

8.答案：C【详解】设。为坐标原点，在椭圆。中，koMkAB———又klkAB-1,

a1

•••左OM-(左/即2-又x-2%，所以所求离心率为史；故选C.

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有错误答案得0分)

9.答案：BC【详解】七个数据，去掉最高和最低，对平均值可能没有影响，但数据更加集中于平均值，所

以方差变小.

10.答案：AD【详解】由卜6卜％得，。6十。8一0，根据等差数列性质知。7-°,又。8、0，-0

心15ZH1f11\5555...

tTfakak.i96daxa,曲诙()(d)6d296

I6aq6da

7

-(+d)-60;故选：AD.

所以S1515(2815西

11.答案：ACD【详解】由题意Tn,故3-2,又丁一/(%)的图象向左平移个考■位得到

/\

y-2sin(2x4——p*,所以—1ip—(k_Z),且0.(口,—故—所以A正确；

5'322o

因为〃%)「・2sin卜.*且/-叫=2sin|1-叫工1,所以B不正确;

6/<67V6/

令-三”2EW土+2反二三》加WxW土卜所，左匚Z,故易知/(x)在1土，三单调递

26236V36/

增，故0aW上，C正确；

6

直线y-+：与曲线Y-f(x)均过点［涂,；且该直线与曲线y-/(X)均关于该点中心对称，

当％一时，y_-2,当％-时，y~-^―、2,由对称性可知曲线y-/(%)与直线

OOOO

y套有7个交点，故D正确.

故选：ABD.

12.答案：BCD【详解】对于A选项，设的倾斜角为仆，则A3义-8；故A错

sm20

对于B选项，：以AB为直径的圆与准线相切，点”在以为直径的圆上或圆外，

A.AMB^-,当M在直线AB上时，.二AMB0;故8正确

2

对于c选项，设4毛,口),以和为)，QTg-汨%2卜纳2—y1y\y^y,

3612

I3

3[x=fv+-77

设AB:x-Zy+3，联立！2,易得必为=9,/.OA-0B--,故C正确

-Iy2=6x

Z127

对于D选项，cosZAOB/t」4

网理产中尸5卜,

y

272

-3

又X+%-67,cos.AOB,42一一；故D正确一

'.一"+28512,5

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案：2

..5+sinl05+sinl005+sin10°S+sinlO。

洋斛3cos?50-1，coslOO。-5cos100。-5，sinlO。-'

2222

~21

14.答案：—

2

13,、6C6Q1

【详解】IV45,解得〃9,常数项为石=/|L；U.

1.2'82

15.答案:36兀

【详解】将四面体ABCD放在长方体中，根据锥体的体积，易求得，长方体的长宽高分别为26,272

和4,所以四面体外接球的直径为6,体积为36n.

【详解】令》=丁=0,则尸(0)—2/(0),解得〃0卜2或/q)e,

若以0)0,令X1,"0,则2"1)=〃1)门0)=0,即〃1)0与已知矛盾

••./(0)=2,令x=0,贝=()()

2fy,：.fx为偶函数

令y-1,贝】J/(x+l)+/(x-l)—〃X),可推出，/(X)以6为周期

结合以上特征，找到满足条件的一个函数为八町2cos：x,结合/(盯以6为周期，贝IJ

/'(2024)-()-1

f2

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解：(1)设等比数列的公比为q,由已知，得100(*)

易观察，2是(*)方程的一个根，-2)(7+2q.5)

0

:・q—2又的—2,:•a—2".

⑵由⑴知，b几2

n

-L21t2.22...n-2n(1)

2S〃1.22.2，3"2〃i⑵

12n

(1)-(2)得，一S〃1.2.1.24...1.2n.2〃i(1叫2c

2

：.Sn"12+2

-(-)«*!

18.解：(1)由正弦定理得：sinA-cosCsin5——sinCsinB.

3

VA-n-(B，c),z.sinA-sin(jBfC)

・•.sin”，C)-sinBcosCicosBsinC=cosCsinB-^-sinCsinB

回

/.cosBsinC——sinCsinB,

3

又sinCrO,tanB.5又A为三角形内角，A-左.

2

(2)因为。在AC边上，且A。-2OC,所以如一瓦，了明.

3i

因为BDBA,所以BL).BA-0_：―//A•—B(JBA0_；BA.,2BC：BA-0,

133)

所以c~-ac=►c—a.

(1)证明：由已知D4-DE2,且。为线段的中点，,。。.AE

又平面DAE.平面AEC3,且平面D4EC平面AECBAE,DO平面D4E

DO_平面AECB,又BC二平面AECB,/.DO_BC.

(2)设R为线段A8上靠近A的三等分点，G为3c的中点，

由已知。尸OG,又。。平面AEC3

DO_OF,OD_OG,

以。为坐标原点，OF,OG,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示坐标系

DA2,AB-3,AA(l,-l,0),B(1,2,0),D§,0,6)-1,1,0),Cl1,2,0)

•••川(0,3,0).的(1,-2,广)EL(0,l,0),DL(,2,一2«)

设平面AD3的法向量为质-(玉,%，4),

\ABm03y-0

则i…一c，即Ic斤

IUBm-0'X-2%+J2zi

0

不妨令ZI-JI,则方-(2,0,J5)

同理，平面DCE的法向量

所以平面DAB与平面DCE所成的锐角的余弦值为1.

20.解：(1)随机变量一的取值为0,1

所以一的分布列为：

01

21

P

33

C2,11

E（二）=Ox—11•——■

333

（1V11V22

(2)设A表示深色，则Z表示穿浅色，3表示穿西装，则再表示穿休闲装.

1_?

根据题意，穿深色衣物的概率为尸(A)=§,则穿浅色衣物的概率为P(A)

穿深色西装的概率为P(3|A)-0.6-彳穿浅色西装的概率为尸(3卜)自，

则当天穿西装的概率为P(3)P(B|A)P(A)tP(B^)P(A).l,|.|.2_

2

所以张老师当天穿西装的概率为一.

5

21.解：(1)设M(Xo，%),A1)()

a,0,Ba,Q,

•.焉尤=】“队/吟

0

....例君2)、

>0>0◎ab13

••KMA•RMB--------------------------------------------------———)

劭十〃沏一〃X[2〃24

2

0

又：焦距为2J7,可得2ch2",贝1J2r

c・7,

结合〃2./—<72-4,Z?2-3,

；・双曲线E的标准方程为：。与-L

43

(-)()(11)(2)

(2)证明：由⑴知A2,0,32,0,设C,Dx,y

因为C,。不与A,3重合，所以可设直线CD:x=