上海市黄浦区2024届高三二模数学试题（含答案与解析）

上海市黄浦区2024届高三二模试题

数学

(完成试卷时间：120分钟总分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、填空题(本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满

分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1,若集合“=[L4],§=[2,5],则AD5=

2.抛物线V=4%的焦点到准线的距离是.

3若a=(3cos0,sin0),Z?=(cos0,3sin。)，其中6eR,则a/=

4.若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为.

5.若x展开式中》的系数是-80,则实数a=.

,3

cosA=—

6.在L45c中，5,AB=1,AC=5,则=.

7,随机变量X服从正态分布N(2,/),若P(2(X"2.5)=Q36,则P(|X-2|>0.5)=

8.若实系数一元二次方程式+公+匕=°有一个虚数根的模为4,贝口的取值范围是.

9.某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场

顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.

10.已知数列{%}是给定的等差数列，其前九项和为若。9即)<0,且当机=%与时，

寓-(祖，"e{x|x<30,xeN})取得最大值，则厢-%|的值为.

11.如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分(它由线段0瓦°尸与分别以℃为直径的半

圆弧组成）表示一条步道.其中的点CD是线段A5上的动点，点o为线段A5CD的中点，点及口在以

A3为直径的半圆弧上，且NOCE/ODb均为直角若A3=l百米，则此步道的最大长度为百

米.

UUUUULUIUUIUUIUUUI

12.在四面体卓3C中，2PD=PA+PB,5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,设四面体Q46c与

三

四面体PD防体积分别为匕、匕,则匕的值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每

题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小

方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.

13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共

抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）

14.函数y=l-2cos

A.最小正周期为乃的奇函数B.最小正周期为万的偶函数

7171

C.最小正周期为一奇函数D.最小正周期为一的偶函数

22

/\—x+ax+20,—4

15.设函数〃x）=,，若/（x）>。恒成立，则实数。的取值范围是（）

'7OX2-2X+3,0<%<4

11

16.设数列｛4｝的前〃项和为S“，若对任意的“eN*，S“都是数列｛4｝中的项，则称数列｛%｝为叮数

列”.对于命题：①存在“T数列”｛%｝,使得数列｛Sa｝为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数%,都

存在实数d，使得以火为首项、d为公差的等差数列｛/｝为“T数列”.下列判断正确的是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域

内写出必要的步骤.

17.设aeR,函数/(x)=1——.

2*—1

(1)求。的值，使得y=/(x)为奇函数;

(2)若/'(2)=。，求满足/(x)>a的实数X的取值范围.

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，点E是棱上的一点，P5//平面

(1)求证：点E是棱尸。的中点；

(2)若上4,平面ABC。，AP=2,AD=2^3,PC与平面ABC。所成角的正切值为g,求二面角

。—AE—C的大小.

19.某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所

示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.

组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数926655347

(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发

(2050、

放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为八。八。.若从这200个成年市民中随机选取

.1).01).2.

1人，记X(单位：元)为此人获得的随机红包总金额，求X的分布及数学期望；

(2)已知上述抽测中60岁以下人员合格率约为56%,该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为

70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成

年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.

20.如图，己知:是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，：T?是以：T1的焦点耳,且为顶点的等轴双曲

54

线，点是:与「2的一个交点，动点P在:T2的右支上且异于顶点.

(1)求与「2的方程；

(2)若直线尸工的倾斜角是直线尸月的倾斜角的2倍，求点P的坐标；

(3)设直线「右，「心的斜率分别为左,《，直线尸耳与：T1相交于点A3,直线P区与：T]相交于点

C,D,\AFl\-\BFl\=m,\CF2\-\DF2\=n,求证：秘2=1且存在常数5使得相+〃=§加”

21.若函数y=/(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=/(x)的图象的“自

公切线”，称这两点为函数y=/(x)的图象的一对“同切点

(1)分别判断函数力(x)=sinx与力(x)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；

TTTT

(2)若aeR,求证：函数g(x)=tanx-x+a(xe(-亍亍))有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切

线”；

TTITJTTT

⑶设“eN*，/KxXtanx-x+mab-',]))的零点为X,,Ze,求证：“存在se(2兀,+oo),

使得点(s,sins)与(f,sinf)是函数y=sinx的图象的一对，同切点，”的充要条件是“才是数列｛%｝中的项”.

参考答案

一、填空题(本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满

分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1,若集合“=[L4],§=[2,5],则AD5=

【答案】[1,5]

【解析】

【分析】由交集的定义求解即可.

【详解】因为集合A=[1,4],B=[2,5],则AD5=[I，5].

故答案为：口，5].

2.抛物线产=4x的焦点到准线的距离是.

【答案】2

【解析】

【详解】焦点尸(1,0),准线方程-I，...焦点到准线的距离是2.

3.若a=(3cose,sin。)，b-(cos0,3sin,其中6eR,则.

【答案】3

【解析】

【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】a-Zj=3cos2(9+3sin20=3'

故答案为：3

4.若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为.

【答案】1271

【解析】

【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.

【详解】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3,另一边为2兀义2=4兀，

故侧面积为3乂4兀=12兀.

故答案为：1271

5.若(*+35的展开式中/的系数是_80,则实数。=.

X

【答案】-2

【解析】

【分析】根据通项公式得到10-3r=4,求出厂=2,从而得到方程，求出。=-2.

【详解】通项公式为4+i=C；a5fx1。口.r，=c〃5-%m3r,

令10—3厂=4,解得厂=2,

故C"=—80,解得a=—2.

故答案为：-2

3

6.在一ABC中，cosA=――,AB=1,AC-5,则_8。=.

【答案】472

【解析】

【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案.

【详解】在ABC中，根据余弦定理可得：cosA=^B+AC-BCL,

2ABAC

设3c=x(x>0),则—3=1+257,整理可得了2=32,解得x=4后，

52x1x5

故3C=4万

故答案为：4叵.

7.随机变量X服从正态分布N(2,4),若P(2<X42.5)=0.36,则P(|X-2|>0.5)=—

7

【答案】0.28##—

25

【解析】

【分析】根据正态曲线的性质计算可得.

【详解】因为X4(2,伴2)且尸(2<X42.5)=0.36,

所以P(1.54X<2)=P(2<X42.5)=0.36,

贝I」P(|X-21>0,5)=1-2P(2<XV2.5)=l-2x0.36=0.28.

故答案为：0.28

8.若实系数一元二次方程式+公+人=。有一个虚数根的模为4,贝山的取值范围是.

【答案】(—8,8)

【解析】

【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共辗，可设两根分别为772+〃i和加-〃i,则

苏+“2=16，又〃=(机+叫(加一祖)=疗+“2=16,再由A<0可求a的取值范围.

【详解】设实系数一元二次方程V+公+6=0的两个虚数根为机+“i和加-比，

则m2+TT=16-

所以b=(m+ni)(zn—m)=m2+n2=16.

由A<0na2-4xl6<0n-8<a<8.

故答案为:(—8,8)

9.某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场

顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为.

3

【答案】-##0.6

【解析】

【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场

顺序不相邻的概率.

【详解】由题意，

若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有C；A；=3x3x2x1=18种，

若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种，

若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种，

若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有C；A；=2x3x2x1=12种，

若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有C；A；=3x3x2x1=18种，

共有18+12+12+12+18=72种，

而所有的上场顺序有g=5x4x3x2x1=120种，

723

・•・甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：P=——=匚，

1205

3

故答案为：—.

10.已知数列｛qJ是给定的等差数列，其前九项和为5“，若为。10<0,且当m=/与时，

|s,„-s„|(m,/ie｛x|x<3O,xeN*｝)取得最大值，则®-%|的值为.

【答案】21

【解析】

m30

【分析】不妨设数列｛4｝的公差大于零，不妨取相〉”，则s,,—s,=Zq，设左=国0-SgkZ%，

z=n+lz=10

再分”>9,机=30和"<9,m=30两种情况讨论，可得出入的值，再讨论〃z<30,即可求出加°,即可

得解.

【详解】不妨设数列｛%｝的公差大于零，

由于。940<0,得。9<°，％0〉0，

且时，an<0,时，an>0,

不妨取冽〉n,则S,〃—S”=Z4，

i=n+l

30

设％=W30—S91=ZQj,

z=10

30

若〃>9,加=3。，则图―，生<k,此时式子取不了最大值；

，=徇+1

9

若“<9,m=30,则闻一"归X出+k,

i=riQ+l

又时，q<0,

9

因为囚30-5」<£4+左〈左，此时式子取不了最大值；

，=%+1

因此这就说明“=%=9必成立.

砥)

若加<30,则|S机一Sj工2为<左，

z=10

这也就说明加0<30不成立，因止匕7%=30,

所以瓯-%卜21.

故答案为：21.

11.如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分(它由线段口与分别以OCOD为直径的半

圆弧组成)表示一条步道.其中的点是线段A3上的动点，点。为线段A5,CD的中点，点E,尸在以

A5为直径的半圆弧上，且NOCNNODb均为直角.若A3=l百米，则此步道的最大长度为百

米.

2

【解析】

【分析】设半圆步道直径为x百米，连接AE,3E,借助相似三角形性质用x表示CE,结合对称性求出步

道长度关于x的函数关系，利用导数求出最大值即得.

【详解】设半圆步道直径为x百米，连接显然NAEB=90，

由点。为线段A5CD的中点，得两个半圆步道及直道CE,DF都关于过点。垂直于A3的直线对称，

则AC=」—x,3C=^+x,又CELAB,则RtACE-RtVECB,有CE?=ACBC，

22

即有QR=CE=J；—/,因此步道长/(%)=2小；一.2+"=Ji—©?+7rx,o<x<1,

由/'(x)=0,得》=访?

兀兀1,

当。<x<「—时，f'(x)>(),函数〃工)递增，当K=<X<c时，/(X)<0,函数递

2,兀2+42丁兀-+42

减，

兀=]1—4(—--1+」—=6+4,

因此当2g时’"XL

V2A/TI2+42,兀2+42

所以步道的最大长度为6+4百米.

2

故答案为：&2+4

2

4''--N

ACODB

....................UUUUUUUUU1UUluuu.…,

12.在四面体Q46c中，2PD=PA+PB，5PE=2PB+3PC>2PF^-PC+3PA>设四面体Q43c与

四面体PDEF的体积分别为匕、K,则装的值为.

7

【答案】—##0.35

20

【解析】

【分析】根据空间向量的加法与数乘运算，可得点的位置并作图，利用三角形的等积变换可得底面的面积

比，可得答案.

【详解】由2防=后+弗，2PD=PA+PB-PA+PA>2（PD-PA^=PB-PA,则2AD=AB；

UULUULUUU/-\/\

由5PE=2PB+3PC，5PE=2PB+3PC-3PB+3PB，5\PE-PBj=3\PC-PBj,贝U

5BE=3BC；

由2PF=-P（j+3PA，2PF=-PC+3PA-3PC+3PC-2（PF-PC）=3（PA-PC）,贝U

2"=3G4；

显然四面体PABC与四面体PDEF共顶点且底面共面，则其高相同可设为力,

结合题意可作图如下：

AC2SAC2SFAB1

由2ck=3CA，即亍：则qABC=少「=3,易知qFAB二

FCJ°FBCrJ°QFBCJ

BD1SDRFBD1S1

由2AD=AB，即二3则堂=犷于易知嗖二

BA

EC2SFCFEC2

由555=35C，即”：

5SBCFBC5'

BD1BE3q13Qq32I

由,则-二一x一二-1,易知c=——X—=—

BA2BC5»ABC2510sFRr1035

£_£_J7_q7Q

FDE=1—Q.DBFECF__^\DBE_上睦=，x±=

SS30'20'

FBC°FBCBCF口FBCSABc302

V_2DEF_7

万2城厂而

3./LDC-

7

故答案为：—.

20

二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每

题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小

方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.

13.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共

抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（）

A「25,「15R「25「15

A〜500丁J300D-1500^300

「「20,「20n「20-20

Joo十JooJoo（300

【答案】B

【解析】

【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案.

【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生,

所以初中部应抽取40义迎=40义』=25名学生,

8008

3003

高中部应抽取40x—=40%一=15名学生，

8008

所以不同的抽样结果的种数为c*.

故选：B.

14.函数y=l-2cos是（）

A.最小正周期为万的奇函数B.最小正周期为》的偶函数

71TC

C.最小正周期为一的奇函数D.最小正周期为一的偶函数

22

【答案】A

【解析】

【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数,再利用三角函数的周期公式以及奇偶函数的定义即可求

解.

因为/(—%)=—sin(—2x)=sin2x=—/(x),所以为奇函数,

27r

周期

所以此函数最小正周期为万的奇函数,

故选：A.

_冗2+dx+20,—4

15.设函数/（%）=<，若了（犬）>。恒成立，则实数〃的取值范围是（）

ax92-2x+3,0<x<4

A.(l,+oo)B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】分和0<%W4两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.

【详解】当时，—/+依+20>0恒成立，即取>/一20恒成立,

当x=0时，上式成立；

2020

当-4Wx<0,a<x——，明显函数y=x——在[T,0）上单调递增,

XX

所以Vmin=—4—号=1，所以a<1；

-4

23

当0<xW4时，狈2—2%+3>0恒成立，即。〉-----^恒成立，

xx

令t!，+"],则。>2/-3产在9,+℃]上恒成立，

x4J4J

11

又y=2f-3/9开口向下，对称轴为f=-,+oo

所以y=2f—3/的最大值为2xg—3x（g）=；,

所以a>—,

3

综上:实数〃的取值范围是

故选：D.

16.设数列｛4,｝的前〃项和为S“，若对任意的〃eN*，S“都是数列｛a,J中的项，则称数列｛4｝为“T数

列”.对于命题：①存在“T数列”｛4｝,使得数列｛Sj为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数内,都

存在实数d,使得以4为首项、d为公差的等差数列｛4｝为“T数列”.下列判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合“T数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.

【详解】对于命题①，对于数列｛%｝,

[1,^=1[l,n=1

令。”二一2“>°，则

2.n>1[2,n>z

数列｛s“｝为公比不为1的等比数列,

当”=1时，工=1是数列｛/｝中的项,

当时，s“=2"T是数列｛%,｝中的项,

所以对任意的“eN*，S“都是数列｛%,｝中的项，

故命题①正确；

对于命题②，等差数列｛4｝，令q=-d,则%=%+("T)d=(〃—2)d,

则SJ(4+4)_"-d+5-2”]_〃(〃-3)(

"222

因n-2>-l_Sn-2eZ,

n(n—3)「n(n-3)

且〃wN*,—------LGZ,

22

所以对任意的“eN*，S“都是数列｛4｝中的项,

所以对于任意的实数%,都存在实数d，使得以%为首项、d为公差的等差数列｛4,｝为“T数列”，

故命题②正确；

故选：A.

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域

内写出必要的步骤.

2x+a

17.设aeR,函数/(x)=

(1)求。的值，使得y=/(x)为奇函数;

(2)若7(2)=。，求满足/(x)>a的实数x的取值范围.

【答案】(1)。=1

(2)(0,2)

【解析】

【分析】(1)由奇函数的性质可得/(-1)=—/(I),代入解方程即可得出答案;

2X+2

(2)由7(2)=。，可得。=2,则3r*>2,由指数函数的单调性解不等式即可得出答案.

2X-1

小问1详解】

由“力为奇函数，可知/(一1)=—/⑴,

即一(1+2a)=—(2+tz),解得a—\,

2r+12-x+11+2”

当a=1时，/(%)=-----,/(-%)=-------=------=-/(%)对一切非零实数x恒成立,

2X-12-x-11-2X

故。=1时，y=/(元)为奇函数.

【小问2详解】

4+〃

由/(2)=a,可得有一=。，解得。=2,

2工+22V-4

所以/(x)〉a=-------〉2o--------<001<2"<4

2「12'-1

解得：0〈尤<2,所以满足/(x)>a的实数x的取值范围是(0,2).

18.如图，在四棱锥P—A5CD中，底面A3CD为矩形，点E是棱尸。上的一点，P3//平面AEC.

(1)求证：点E是棱尸。的中点；

(2)若平面ABC。，AP=2,AD=2^3,PC与平面ABC。所成角的正切值为g,求二面角

。—AE—C的大小.

【答案】(1)证明见解析

⑵arctan2y/2

【解析】

【分析】(1)作出辅助线，由线面平行得到线线平行，结合点尸是3。的中点，得到证明;

(2)方法一：作出辅助线，得到NPC4就是PC与平面ABC。所成角，从而根据正切值得到A8=2#，

证明出线面垂直，得到NCG。是二面角。-AE-C的平面角，求出各边长，从而得到

ZCGD=arctan2-41；

方法二：作出辅助线，得到NPC4就是PC与平面ABC。所成角，建立空间直角坐标系，得到平面的法向

量，利用法向量夹角余弦值得到二面角的大小.

【小问1详解】

连接8。，它与AC交于点产，连接ER

四边形ABC。为矩形，

尸为8。的中点，

必//平面AEC,平面P2D经过PB且与平面AEC交于所,

：.PB//EF,

又点尸是2。的中点，

，点E是棱PD的中点.

【小问2详解】

方法一：•••9，平面ABCZ),47,4。,。匚平面筋。。，

PA，AC,PA，AD,PA，CD且ZPC4就是PC与平面ABCD所成的角,

/iPA21

故tan/PCA'就'J?6)2+.2=力解得在2病

四边形ABC。为矩形，

：.AD±CD,又B4LCD,以与AO是平面外。内的两相交直线，

\CDA平面出。.

在平面外。内作。G_LAE,垂足为G,连接GP,则CGLAE,

ZCGD是二面角。—AE—C的平面角.

在直角三角形抬。中，PA=2,AD=2Q,点E是尸。的中点,

ZEAD=ZADE=-,且。G=AT>sin^=百，

66

CD_L平面PAD,DGu平面PAD,

/.CD_LDG,故tanZ.CGD==2>j2,所以Z_CGD=arctan2A/2>

DGG9

故二面角O—AE—C的大小为arctan2A/2-

方法二：..•孙，平面ABC。，AC,AD,CDC:^ABCD,

PA±AC,PA，AD,P4，CD且ZPCA就是PC与平面ABCD所成的角，

又「四边形48co矩形，.•.ABIAD,

分别以AB,AD,AP为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。一孙z,

设AB=/,6=(x,y,l)是平面AEC的一个法向量，二面角O—AE—C的大小为8,

,…PA21「

由tanNPCA=——=/:~,可得/=2#)，

ACJ12+/3'

则AC=Q瓜26,O),AE=(0,V3,l),

4•AC=(x,y,l)-(276,2班,0)=2瓜+2岛=0

q-AE=(x,y,1)•(0,括,1)=W>y+1=0

解得X=逅且y=—立，所以」=[手，—坐,1],

63…3J

又%=(1,0,0)是平面A即的一个法向量，且。为锐角，

',”•(1,0,0)11

故”「S_____)_____-1,可得9=arccos-.

111.33

J---1----1-1

V63

所以二面角。一AE—C的大小为arccos，.

3

19.某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所

示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格.

组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数926655347

(1)该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放2个随机红包，不合格的发

(2050、

放1个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为八。.若从这200个成年市民中随机选取

^1).01).2,

1人，记X(单位：元)为此人获得的随机红包总金额，求X的分布及数学期望；

(2)已知上述抽测中60岁以下人员的合格率约为56%,该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为

70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成

年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比.

【答案】(1)分布列见解析，39

(2)36%,98:27

【解析】

【分析】(1)依题意，X的所有可能取值为20,50,40,70,100,利用独立事件的概率乘法公式求解相应的

概率，进而得到X的分布，再结合期望公式求解即可；

(2)利用全概率公式和条件概率公式求解.

【小问1详解】

随机抽取的200个成年市民的成绩合格率为三茅=50%,

200

1,

P(X=100)=-x0.22=0.02,

P(X=70)=gxC；*0.2义0.8=0.16,

p(X=50)=；x0.2=0.1,

1。

P(X=40)=-X0.82=0.32,

p(X=20)=gx0.8=0.4,

所以X的分布为

X20405070100

P0.40.320.10.160.02

E(X)=100x0.02+70x0.16+50x0.1+40x0.32+20x0.4=39,

即X的数学期望为39；

【小问2详解】

设“从该社区成年市区随机抽取1人，此人年龄在60岁以下”为事件A,“从该社区成年市民随机抽取1

人，此人安全知识合格”为事件8,

则P(A)=70%,P(A)=30%,P(B\A)»56%,P(B)®50%,

由P(B)=尸(A)•P(5|A)+P(A)-P(5|A),

可得50%x70%-56%+30%-P(B\A),所以P(B\A)工36%,

P(A|B)P(A)-P(B|A)P(B)70%-56%98

所求比值=--=;---=-------------------=------X--------------=—.

P(A|B)P(B)P(A)-P(B|A)30%-36%27

估计60岁及以上人员的合格率约为36%,成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比

约为98:27.

20.如图，已知:T1是中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，匕是以「1的焦点月，工为顶点的等轴双曲

54

线，点〃（芳）是：T］与「2的一个交点，动点P在：T2的右支上且异于顶点•

⑴求口与心的方程;

（2）若直线P工的倾斜角是直线尸耳的倾斜角的2倍，求点P的坐标；

（3）设直线P£,PK的斜率分别为匕,％2,直线尸片与「1相交于点A3,直线P区与I；相交于点

C,D,|A7^|■I^|=m,\CF2\-\DF2|=n,求证：左4=1且存在常数5使得相+〃=§加”

22

【答案】（1）土+匕=1与/—y2=l

54

⑵（2,而

（3）证明见解析

【解析】

22

【分析】（1）设「2的方程分别为=+;=1（。〉6〉0）与必—/=。2（。＞0）,将点/的坐标代入

a~b~

「2的方程可求出C，利用椭圆的定义可求出。的值，从而可得6,进而可得「1、「2的方程；

（2）分点尸在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点P的坐标；

,1

（3）利用两点的斜率公式及点P在「2上即可证明％2=不，设尸片的方程为y=Hx+l）,与椭圆方程联

立，可得根与系数的关系，从而可表示以“，化简工+工为常数，即可得出答案.

mn

【小问1详解】

22

设「I、股的方程分别为,+当=l（a＞b〉0）与一一/=君2、＞0）,

ab

由日一3）=c\得c=l,故耳，鸟坐标分别为（—1,0）,（1,0）,

所以2a=附用+眼闾=g石+|6=2有故,=6,/,=值=7=2,

22

故「1与「2的方程分别为乙+匕=1与炉—/=1.

54

【小问2详解】

当点尸在第四象限时，直线尸耳,「心的倾斜角都为钝角，不适合题意；

当尸在第一象限时，由直线PF2的倾斜角是直线PF1的倾斜角的2倍,

可知Ng片P=N&P%故|尸阊=|耳司=2,

设P点坐标为(x,y),可知(x-l)2+y2=4且-y2=1(%>0,y>0),

解得x=2,y=g\故点尸的坐标为（2,、回），

【小问3详解】

设直线尸耳,P8的斜率分别为勺，左2，点P，A，8的坐标分别为（为,%）,（七,%）,（9,%），

■VT

则玉)2—Jo2=1，k[k,=%

%+1%—1%0~一1/2—1

P月的方程为丁=左（％+1），

22

代入]+?=1可得(4+5左2)/—8@—16左2=0,

-16k2

故％%

4+542

所以"=防|.阿卜^^.|升小1%|=1+看|%为|=丹金^~，

16（公+1）,116（1+6）

同理可得1=’,'，又％2=]，故“=

4+5月抬4婷L+5",

1「二4+5短।4好+5=9俏+」=9

mn16（奸+i）16（6+1）_]6（6+1厂记，

9

即加+〃=一mn,所以存在%使得帆+〃=wm.

16

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

21.若函数y=/(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=/(x)的图象的“自

公切线”，称这两点为函数y=/(x)的图象的一对“同切点

(1)分别判断函数力(x)=sinx与力(x)=lnx的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；

TT7T

(2)若awR,求证：函数g(x)=tanx-％+〃(%£(-5,5))有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切

线”；

jrjrJTTT

(3)设“eN*，/z(x)=tanx-x+7OT(xe(-i，］))的零点为x“，’右(一万,耳)，求证：”存在se(2兀,+oo),

使得点(5,sin5)与(f,sin。是函数y=sin龙的图象的一对，同切点的充要条件是“才是数列｛%｝中的项”.

【答案】(1)函数力(％)的图象存在“自公切线”；函数力(%)的图象不存在“自公切线”，理由见解析；

(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

irSjr

【分析】(1)由直线y=1切y=SinX的图象于点(5,1),(万,1)判断工(x)=sinx,由导数确定意见性判断

力(x)=lnx.

(2)利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几