2025优化设计一轮课时规范练26　利用导数研究函数的极值、最值

课时规范练26利用导数研究函数的极值、最值一、基础巩固练1.(2024·河南郑州模拟)已知函数f(x)=x3-3x2+a,则f(x)的极值点个数为()A.不确定 B.0 C.1 D.22.(2023·河北石家庄模拟)函数f(x)=xlnx-x在[12,4]上的最小值为(A.-1+ln22 B.-1C.0 D.2ln2-23.(2024·山东济南模拟)已知函数f(x)=ax+lnxb+1在x=1处取得极值0,则a+b=(A.-1 B.0 C.1 D.24.(2024·山东青岛模拟)函数f(x)=x3-3ax+a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是()A.[0,1) B.(0,1) C.(-1,1) D.(0,125.(2024·江苏镇江模拟)函数f(x)=sinx-xcosx在[-π2,πA.33-π6 B.-1 C.36.(2024·四川绵阳模拟)若函数f(x)=ax2-2lnx有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围为()A.(-∞,0]B.(0,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)7.(多选题)(2024·安徽宿州模拟)已知x=1为函数f(x)=x2-3x-logax的极值点,则()(参考数据:ln2≈0.6931)A.f(x)在(0,1)内单调递减B.f(x)的极小值为-2C.f(x)有最小值,无最大值D.f(x)有唯一的零点8.(2024·河北唐山模拟)已知x=1是函数f(x)=x3-3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为.

9.(2024·福建三明模拟)某圆锥的母线长为10cm,当其体积最大时,圆锥的高为cm.

10.(2024·浙江温州模拟)已知函数f(x)=4x-3e2x,g(x)(1)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与y=g(x)也相切,求a的值;(2)若a=1,求函数y=f(x)+g(x)的最大值.二、综合提升练11.(2024·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=mlnx+1x的最小值为-m,则m=(A.1e2 BC.e D.e212.(2024·福建泉州模拟)若函数f(x)=x2+ax+2lnx有两个不同的极值点,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4)B.(4,+∞)C.(-4,4)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)13.(多选题)(2024·福建莆田模拟)已知函数f(x)=(x2-3x+1)ex,则下列说法中正确的是()A.f(x)在R上有两个极值点B.f(x)在x=-1处取得最小值C.f(x)在x=2处取得极小值D.函数f(x)在R上有三个不同的零点14.(2024·福建厦门模拟)函数f(x)=x2+2x-aex在区间(aA.(-∞,-1) B.(-2,-1)C.(-∞,-1-52) D.(15.(2024·河北承德联考)函数f(x)=|x-1|+xlnx的最小值为.

16.(2024·浙江余姚模拟)已知函数f(x)=ex-2x,g(x)=-x,且f(x1)=g(x2),则x1-x2的最小值为.

17.(2024·江苏南京模拟)已知函数f(x)=(x-a-1)ex-1-12x2+ax(1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)在(0,+∞)的最小值为-12,求a的最大值

课时规范练26利用导数研究函数的极值、最值1.D解析函数f(x)定义域为R,且f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=2,所以当x>2或x<0时,f'(x)>0,当0<x<2时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)内单调递增,在(0,2)内单调递减,所以f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值,因此f(x)有2个极值点,故选D.2.B解析f'(x)=lnx,令f'(x)=lnx=0得x=1,当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增,当x<1时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,则f(x)在x=1时取得极小值,也是最小值,故f(x)≥f(1)=-1,故选B.3.B解析f'(x)=a+1bx,依题意有f(1)=a+1=0,f'(14.B解析f'(x)=3x2-3a,若a≤0,f'(x)≥0,f(x)在(0,1)内单调递增,f(x)无最小值;若a>0,由f'(x)=0,解得x=±a,当x>a时,f(x)单调递增,当0<x<a时,f(x)单调递减,所以f(x)在x=a处取得极小值,也是最小值,所以极小值点应该在(0,1)内,所以0<a<1,所以0<a<1,故选B.5.B解析f'(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,所以f'(0)=0,且当x∈[-π2,0)时,f'(x)>0,x∈(0,π2]时,f'(x)>0,即f'(x)≥0在[-π2,π2]上恒成立,所以f(x)在[-π2,π2]上单调递增,因此f(x)在[-π2,π2]上的最小值为f(-π2)=sin(-π26.B解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2ax-2x=2(ax2-1)x,因为f(x)有且仅有一个极值点,所以方程ax2-7.BD解析f'(x)=2x-3-1xlna,由f'(1)=0得lna=-1,所以a=1e,则f(x)=x2-3x+lnx,此时f'(x)=(2x-1)(x-1)x,令f'(x)=0,解得x=1或x=12,故f(x)在(0,12)和(1,+∞)内单调递增,在(12,1)内单调递减,因此极小值为f(1)=-2,极大值为f(12)=-54-ln2,由图象(图略)可知8.4解析f'(x)=3x2-3a,因为x=1是函数的极小值点,所以f'(1)=3-3a=0,解得a=1,此时f(x)=x3-3x+2,f'(x)=3x2-3,令f'(x)=3x2-3=0,得x=-1或x=1,所以f(x)在x=-1处取极大值,f(-1)=-1+3+2=4.9.1033解析设圆锥的高为h,则底面圆的半径r=100-ℎ2,所以圆锥的体积为V(h)=π3(-h3+100h),则V'(h)=π3(-3h2+100),令V'(h)=0,则h=1033,当0<h<1033时,V'(h)>0,V(h)单调递增,当h>1033时,V'(h)<0,V(h)单调递减,所以当h=1033cm时10.解(1)f'(x)=2xe2x-(4x-3)·2e2x(e2x)2=2-8∵函数y=f(x)在(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)也相切,∴g(x)min=a22=1(2)由题得y=f(x)+g(x)=4x-3e2x−12x2+x,∴y'=2-8x+6xx·e2x-x+1=2(1-x)(1+4x)x·e2x+(1+x)(1-x)=(1-x)(1+x+2+8xx·e2x),∴ymax=f(1)+g(1)=111.D解析由f(x)=mlnx+1x,得f'(x)=mx−1x2=mx-1x2,当m≤0时,则f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)内为减函数,函数无最小值,不合题意,当m>0时,f'(x)=mx-1x2,令f'(x)=0,则x=1m,所以当0<x<1m时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>1m时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以当x=1m时12.A解析由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+a+2x=2x2+ax+2x,令g∵f(x)有两个不同的极值点,∴g(x)在(0,+∞)内有两个不同的且大于0的零点,∴Δ=a2-16>013.AC解析f(x)定义域为R,f'(x)=(x2-x-2)ex=(x-2)(x+1)ex,∴当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-1,2)时,f'(x)<0.∴f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)内单调递增,在(-1,2)内单调递减,∴f(x)极大值为f(-1)=5e,极小值为f(2)=-e2,当x<0时,x2-3x+1>0,ex>∴f(x)>0恒成立,可作出f(x)图象(如图所示).对于A,f(x)的极大值点为-1,极小值点为2,故选项A正确;对于B,f(-1)不是f(x)的最小值,故选项B错误;对于C,f(x)在x=2处取得极小值,故选项C正确;对于D,由图象可知,f(x)有且仅有两个不同的零点,故选项D错误,故选AC.14.D解析f'(x)=-x2+2+aex,令g(x)=-x2+2+a,若f(x)在区间(a,a+1)内存在最小值,则g(x)在(且g解得-1-52<a<-15.0解析f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=|x-1|+xlnx=x-1+xlnx,x≥1,1-x+xlnx,0<x<1,当x≥1时,f'(x)=1+(lnx+1)=lnx+2>0,所以f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,最小值是f(1)=0.当0<x<1时,f'(x)综上所述,f(x)的最小值为0.16.1解析由f(x1)=g(x2),得ex1-2x1=-x2,整理得x1-x2=ex1-x1,因为g(x)的值域以及f(x),g(x)的定义域均为R,所以x1的取值范围是R,令h(x)=ex-x(x∈R),则h'(x)=ex-1,令ex-1=0,解得x=0,当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0,即h(x)在(-∞,0)内单调递减;当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,即h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以h(x)min=h(0)=1,故(x1-x2)17.解(1)当a=1时,f(x)=(x-2)·ex-1-12x2+x,则f'(x)=(x-1)·ex-1-x+1=(x-1)(ex-1-令g(x)=(x-1)(ex-1-1),g'(x)=xex-1-1,令g'(x)=0,解得x=1,当x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,即g(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,故g(x)≥g(1)=0,所以f'(x)=(x-1)(ex-1-1)≥0恒成立,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).(2)f'(x)=(x-a)ex-1-x+a=(x-a)(ex-1-1),当a≤0时,由x∈(0,1),f'(x)<0,x∈(1,+∞),f'(x)>0,则f(x)在x=1取得最小值-12,符合题意当0<