2025优化设计一轮课时规范练54　平面向量的综合应用

课时规范练54平面向量的综合应用一、基础巩固练1.已知P为△ABC所在平面内一点,且AP=13AB+tAC(t∈R).若点P落在△ABC的内部,则实数A.(0,34) B.(12,34) C.(0,1) 2.如图所示,在正方形ABCD中,已知|AB|=2,若点N为正方形内(含边界)任意一点,则AB·AN的最大值是(A.2 B.3 C.4 D.53.(2024·广东珠海模拟)已知P是△ABC所在平面内一点,且满足|PB−PC|-|PB+PC-2PA|=0,则△A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形4.(2020·新高考Ⅰ,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是(A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)5.(2024·湖南衡阳八中模拟)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,则|b+c|的最小值为()A.1 B.2C.2 D.46.(2022·北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是(A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]7.(2024·北京昌平高三期末)已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=1,<a,b>=π4,(c-a)·(c-b)=0,则|c|的最大值是(A.2-1 B.5-12 C.5+12 8.(2024·江西统考模拟预测)已知两个向量a,b,|a|=2,|b|=1,a+b=(2,3),则当|a+mb|取得最小值时,m=.

9.如图,单位向量OA,OB的夹角为π2,点C在以O为圆心,1为半径的弧AB上运动,则CA·二、综合提升练10.(2024·湖南怀化模拟)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若E为边CD上的动点,则EA·EB的最小值为(A.2116 B.32 C.34 11.(2024·天津耀华中学模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=π3,AD=2DB,P为CD上一点,且满足AP=mAC+13AB,m∈R.若AB·A.2 B.3 C.3 D.312.(2022·浙江,17)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则PA12+PA22

课时规范练54平面向量的综合应用1.D解析因为点P落在△ABC的内部,所以A,P两点在直线BC的同一侧,所以13+t<1,且t>0,所以0<t<23.2.C解析以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0).设N(x,y)(0≤x≤2,0≤y≤2),则AB=(2,0),AN=(x,y),AB·AN=2x∈[0,4],所以AB·3.B解析由|PB−PC|-|PB+PC-2PA|=0,可得|CB|=|PB+即|CB|=|AB+AC|,|AB−AC|=|AC+AB|,等式|AB−AC|=|AC+AB|两边平方,化简得AB4.A解析如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,3),C(3,3).设P(x,y),则AP=(x,y),AB=(2,0),∴AP·AB=2x+0×y=∵-1<x<3,∴AP·AB的取值范围为(-2,6).5.C解析在平面直角坐标系中,设a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),因为a·b=x1=1,a·c=x2=-1,b·c=x1x2+y1y2=y1y2-1=0,所以,|b+c|=(1-1)2+(y1+y2)2=|y1+y2|=当且仅当y1=±1时,等号成立.因此,|b+c|的最小值为2.6.D解析如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π],∴PA·PB=(3-cosθ,-sinθ)·(-cosθ,4-sinθ)=-3cosθ-4sinθ+sin2θ+cos2θ=1-5sin(θ+φ),其中tanφ∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴-4≤PA·PB≤67.C解析把a,b平移到共起点,以b的起点为原点,b所在的直线为x轴,b的方向为x轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,设OB=b,OA=a,OC=c,则c-a=AC,c-b=BC又(c-a)·(c-b)=0,所以AC⊥BC.则点C的轨迹为以AB为直径的圆.又因为|a|=2,|b|=1,<a,b>=π4,所以B(1,0),A(1,1).故以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-12)2=14,所以|c|的最大值就是以AB为直径的圆上的点到原点的距离的最大值8.-1解析由题意可得|a+b|=|a|2+|b|2+2a·b=7,则a·b=1,所以|a+mb|=9.1-2解析以O为坐标原点,分别以OB,OA所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系,如图,则B(1,0),A(0,1).设C(cosθ,sinθ),θ∈[0,π2故CA·CB=(-cosθ,1-sinθ)·(1-cosθ,-sinθ)=cos2θ-cosθ-sinθ+sin2θ=1-cosθ-sinθ=1-2sin(θ+π因为θ∈[0,π2],所以θ+π4∈故当θ+π4=π2,θ=π4时,CA·10.A解析由于AD⊥CD,如图,以D为坐标原点,以DA,DC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,连接AC.由于AB=AD=1,AB⊥BC,则△ADC≌△ABC.而∠BAD=120°,故∠CAD=∠CAB=60°,则∠BAx=60°.则D(0,0),A(1,0),B(32,32),C设E(0,y),0≤y≤3,则EA=(1,-y),EB=(32,32-y),故EA·EB=32+y2-当y=34时,EA·11.A解析设CP=λCD,λ∈R,则AP=AC+CP=AC+λCD=AC+λ=23λAB+(1-λ)AC所以23λ=13AB·AC=|AB||AC|cosπ3=12|AB|·|AC|=4,|AP|2=13AB+12AC2=19AB2+14AC2当且仅当13|AB|=12|AC|,即当|AB|=32|AC|时,等号成立12.[12+22,16]解析如图,以圆心为原点,A3A7所在直线为x轴,A1A5所在直