2022-2023学年广东省普宁市燎原中学初三年级下册第一次中考诊断考试数学试题试卷含解析

2022-2023学年广东省普宁市燎原中学初三下学期第一次中考诊断考试数学试题试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列计算正确的是（）

A.3a-2a=lB.a2+a5=a7C.（ab）3=ab3D.a2*a4=a6

2.如果k<0,b>0,那么一次函数y=kx+b的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

3.如图，在4ABC中，AC±BC,ZABC=30°,点D是CB延长线上的一点，且BD=BA,则tan/DAC的值为（）

A.2+73B.273C.3+73D.3G

4.下列成语描述的事件为随机事件的是（）

A.水涨船高B.守株待兔C.水中捞月D.缘木求鱼

5.一组数据：6,3,4,5,7的平均数和中位数分别是（）

A.5,5B.5,6C.6,5D.6,6

6.一个正方形花坛的面积为7机2,其边长为“机，则。的取值范围为（）

A.0<a<lB.Ka<2C.2<a<3D.3<a<4

7.如图，AABC是等腰直角三角形，NA=90。，BC=4,点P是△ABC边上一动点，沿B-A-C的路径移动，过点

P作PDLBC于点D,设BD=x,ABDP的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（）

8.关于x的方程x2+（k2-4）x+k+l=O的两个根互为相反数，则k值是（）

A.-1B.±2C.2D.-2

9.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）.为了测量A、B两地之间的

距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为a,则A、B两地之间的距离

为（）

„800",800

A.800sina米B.800tana米C.-------米D.--------米

sinatana

10.如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=J^：2,CP：BP=1：2,连接EP并延长，交AB的延长线

于点F,AP、BE相交于点O.下列结论:①EP平分NCEB；②BF2=PB・EF；③PF・EF=2AD2；@EF»EP=4AO»PO.其

中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.③④

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.^/27-1-11=.

12.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上.如果它们外缘边上

的公共点P在小量角器上对应的度数为65。，那么在大量角器上对应的度数为_____度（只需写出0。〜90。的角度）.

k

13.如果正比例函数y=（k-2）x的函数值y随x的增大而减小，且它的图象与反比例函数y=一的图象没有公共点，那么

x

k的取值范围是.

14.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（-3,1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是.

15.因式分解：x3y2—x3=.

一3

16.如图，在△ABC中，NACB=90。，AB=8,AB的垂直平分线MN交AC于D,连接DB,若tanNCBD=一,则

4

BD=_____

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）某电器商场销售甲、乙两种品牌空调，已知每台乙种品牌空调的进价比每台甲种品牌空调的进价高20%,

用7200元购进的乙种品牌空调数量比用3000元购进的甲种品牌空调数量多2台.求甲、乙两种品牌空调的进货

价；该商场拟用不超过16000元购进甲、乙两种品牌空调共10台进行销售，其中甲种品牌空调的售价为2500元

/台，乙种品牌空调的售价为3500元/台.请您帮该商场设计一种进货方案，使得在售完这10台空调后获利最大，

并求出最大利润.

18.（8分）某校决定加强羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动，每位同学必须且只能选择一项球类运动,

对该校学生随机抽取：进行调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：

运动项目频数（人数）

羽毛球30

篮球

乒乓球36

排球-

足球12

请根据以上图表信息解答下列问题：频数分布表中的:在扇形统计图中，“排球”所在的扇形的圆心角为

度；全校有多少名学生选择参加乒乓球运动？

19.（8分）如图在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12x12网格中，已知点A,B,C,D均为网格线的交点

在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90。画出旋转后的图形△AiBiCi；在网格中将△ABC放大2倍得到△DEF,使A

与D为对应点.

20.（8分）如图1,在四边形ABCD中，AD/7BC,AB=CD=13,AD=11,BC=2LE是BC的中点，P是AB上的任

意一点，连接PE,将PE绕点P逆时针旋转90。得到PQ.

（1）如图2,过A点，D点作BC的垂线，垂足分别为M,N,求sinB的值;

（2）若P是AB的中点，求点E所经过的路径弧EQ的长（结果保留兀）；

（3）若点Q落在AB或AD边所在直线上，请直接写出BP的长.

21.（8分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已经成为很多市民出行的选择.李华从文化宫站出发，先乘坐

地铁，准备在离家较近的A,B,C,D,E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家.设他出地铁的站点与文化宫距离

为x（单位：千米），乘坐地铁的时间力（单位：分钟）是关于X的一次函数，其关系如下表:

地铁站ABCDE

X（千米）891011.513

丫1（分钟）1820222528

（1）求％关于X的函数表达式；李华骑单车的时间丫2（单位：分钟）也受X的影响，其关系可以用y?=gx2-Hx+78

来描述.请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.

22.（10分）如图，已知△ABC内接于O,AB是直径，OD〃AC,AD=OC.

⑴求证：四边形OCAD是平行四边形；

（2）填空：①当NB=时，四边形OCAD是菱形；

②当NB=时，AD与。。相切.

23.（12分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转.假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人

经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率.

24.如图，在△ABC中，ZACB=90°,O是AB上一点，以OA为半径的。O与BC相切于点D,与AB交于点E,

连接ED并延长交AC的延长线于点F.

（1）求证：AE=AF；

（2）若DE=3,sinZBDE=-,求AC的长.

3

CA7

OTB

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

根据合并同类项法则、积的乘方及同底数塞的乘法的运算法则依次计算后即可解答.

【详解】

'."3a-2a—a,选项A不正确；

Va2+a5^a7,选项B不正确；

•.•（曲）3=/〃，.•.选项。不正确；

a2*a4=a6,选项。正确.

故选D

【点睛】

本题考查了合并同类项法则、积的乘方及同底数募的乘法的运算法则，熟练运用法则是解决问题的关键.

2、D

【解析】

根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限.

【详解】

Vk<0,

...一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限.

又二飞〉。时，

.,•一次函数y=kx+b的图象与y轴交与正半轴.

综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系.解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、

b的符号有直接的关系.k>0时，直线必经过一、三象限.k<0时，直线必经过二、四象限.b>0时，直线与y轴

正半轴相交.b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交.

3、A

【解析】

设AC=a,由特殊角的三角函数值分别表示出3C、45的长度，进而得出3。、CZ＞的长度，由公式求出的

值即可.

【详解】

AC厂AC

设AC=a,贝!)8C==(3a,AB--2a,

tan3Q°----------------sin30°

'.BD=BA=2a,

：.CD=(2+73)a,

tanNDAC=2+班.

故选A.

【点睛】

本题主要考查特殊角的三角函数值.

4、B

【解析】试题解析：水涨船高是必然事件，A不正确；

守株待兔是随机事件，B正确；

水中捞月是不可能事件，C不正确

缘木求鱼是不可能事件，D不正确；

故选B.

考点：随机事件.

5、A

【解析】

试题分析：根据平均数的定义列式计算，再根据找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或

两个数的平均数)为中位数解答.

平均数为：x(6+3+4+1+7)=1,

按照从小到大的顺序排列为：3,4,1,6,7,所以，中位数为：1.

故选A.

考点：中位数；算术平均数.

6、C

【解析】

先根据正方形的面积公式求边长。，再根据无理数的估算方法求取值范围.

【详解】

解：•.•一个正方形花坛的面积为7加2,其边长为am,

a=近

.­.2<V7<3

则”的取值范围为：2<a<3.

故选：C.

【点睛】

此题重点考查学生对无理数的理解，会估算无理数的大小是解题的关键.

7、B

【解析】

解：过A点作于77,「△ABC是等腰直角三角形，.•.N3=NC=45。，BH=CH=AH=zBC=2,当叱烂2时，如

当2〈烂4时，如图2,VZC=45°,：.PD^CD^4-x,，产乙(4-x)・x=—・二一・二二，故选B.

8、D

【解析】

根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可.

【详解】

设方程的两根分别为XI,XI,

•••一+(k!-4)x+k-l=O的两实数根互为相反数，

.\xi+xi,=-(k1-4)=0,解得k=±l,

当k=L方程变为：x1+l=0,△=-4<0,方程没有实数根，所以k=l舍去;

当k=-L方程变为：x1-3=0,△=11>0,方程有两个不相等的实数根;

:.k=-l.

故选D.

【点睛】

hr

本题考查的是根与系数的关系.,xi是一元二次方程ax1+bx+c=0（a用）的两根时，xi+xi=-一，xixk一，反过来

X1aa

也成立.

9、D

【解析】

AC

【分析】在RtAABC中，ZCAB=90°,NB=a,AC=800米，根据tana=——，即可解决问题.

AB

【详解】在RtAABC中，VZCAB=90°,ZB=a,AC=800米,

.AC

..tana=-----，

AB

AC800

・・AB=--------=--------

tanatana

故选D.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

10、B

【解析】

由条件设AD=GX,AB=2X,就可以表示出CP=YIX,BP=2^X,用三角函数值可以求出NEBC的度数和NCEP

33

的度数，则NCEP=NBEP,运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论.

【详解】

解：设AD=7§"X,AB=2X

四边形ABCD是矩形

/.AD=BC,CD=AB,ZD=ZC=ZABC=90°.DC//AB

/.BC=73X,CD=2X

VCP：BPM：2

.\CP=—x,BP=^lx

33

；E为DC的中点,

1

.CE=-CD=x,

2

PCJ3ECJ3

.\tanZCEP=——=—,tanZEBC=——=—

EC3BC3

，NCEP=30。，ZEBC=30°

/.ZCEB=60o

ZPEB=30°

.\ZCEP=ZPEB

，EP平分NCEB,故①正确；

；DC〃AB,

.\NCEP=NF=30。，

.\ZF=ZEBP=30°,NF=NBEF=30。，

/.△EBP^AEFB,

.BE_BP

""EF~BF

.,.BEBF=EFBP

VZF=ZBEF,

BE=BF

BF2=PBEF,故②正确

VZF=30°,

4J3

；.PF=2PB=-^x,

3

过点E作EGLAF于G,

/.ZEGF=90°,

；.EF=2EG=2四x

/.PFEF=-x-273x=8x2

2AD2=2X(x)2=6x2,

/.PFEF^2AD2,故③错误.

在RtAECP中，

；NCEP=30°,

AEP=2PC=^lx

3

VtanZPAB=—=—

AB3

ZPAB=30°

:.NAPB=60。

，ZAOB=90°

在RSAOB和R3POB中，由勾股定理得，

AO=V3X,PO=—x

3

:.4AOePO=4x也x>-x=4x2

3

又EFEP=26x-x=4x2

3

/.EFEP=4AOPO.故④正确.

故选，B

【点睛】

本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三

角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、2

【解析】

原式利用立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值.

【详解】

解：原式=3-1=2,

故答案为：2

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

12、1.

【解析】

设大量角器的左端点是A,小量角器的圆心是B,连接AP,BP,则NAPB=90。，NABP=65。，因而/PAB=90。-65。=25。,

在大量角器中弧PB所对的圆心角是1。，因而P在大量角器上对应的度数为1°.

故答案为1.

13、0(左<2

【解析】

先根据正比例函数y=(k-1)x的函数值y随x的增大而减小，可知k-lVO；再根据它的图象与反比例函数y=幺的图

象没有公共点，说明反比例函数y=K

X

的图象经过一、三象限，k>0,从而可以求出k的取值范围.

【详解】

Vy=(k-1)x的函数值y随x的增大而减小，

Ak-l<0

/.k<l

而y=(k-1)x的图象与反比例函数y=—

x

的图象没有公共点，

/.k>0

综合以上可知：OVkVl.

故答案为0<k<L

【点睛】

本题考查的是一次函数与反比例函数的相关性质，清楚掌握函数中的k的意义是解决本题的关键.

14、y=2(x+3)2+1

【解析】

由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式.

【详解】

抛物线y=2x2平移，使顶点移到点P(-3,1)的位置，所得新抛物线的表达式为y=2(x+3)2+l.

故答案为：y=2(x+3)2+1

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常

可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶

点坐标，即可求出解析式.

15、x3(y+1)(y-1)

【解析】

先提取公因式X3,再利用平方差公式分解可得.

【详解】

解：原式=x3(y2-l)=x3(y+1)(y-1),

故答案为x3(y+1)(y-1).

【点睛】

本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，

再利用公式法分解.

16、2氐

【解析】

CD3__

由tanNCBD=——=-设CD=3a、BC=4a,据此得出BD=AD=5a、AC=AD+CD=8a,由勾股定理可得(8a)2+(4a)

BC4

2=82,解之求得a的值可得答案.

【详解】

CD3

解：在RtABCD中，,/tanZCBD=——=一,

BC4

.•.设CD=3a、BC=4a,

贝！JBD=AD=5a,

:.AC=AD+CD=5a+3a=8a,

在RtAABC中，由勾股定理可得(8a)2+(4a)2=82,

解得：a=25或2=-撞(舍)，

55

则BD=5a=2逐，

故答案为2途.

【点睛】

本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，解题关键是熟记性质与定理并准

确识图.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；(2)当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调

3台时，售完后利润最大，最大为12100元

【解析】

(1)设甲种品牌空调的进货价为x元/台，则乙种品牌空调的进货价为1.2x元/台，根据数量=总价:单价可得出关于x

的分式方程，解之并检验后即可得出结论；

(2)设购进甲种品牌空调a台，所获得的利润为y元，则购进乙种品牌空调(10-a)台，根据总价=单价x数量结合总

价不超过16000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再由总利润=单台利润x购进数

量即可得出y关于a的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题.

【详解】

(1)由(1)设甲种品牌的进价为x元，则乙种品牌空调的进价为(1+20%)x元，

72003000c

由题意'得(1+20%)%-x+'

解得x=1500,

经检验，x=1500是原分式方程的解，

乙种品牌空调的进价为(1+20%)xl500=1800(元).

答：甲种品牌的进价为1500元，乙种品牌空调的进价为1800元；

(2)设购进甲种品牌空调a台，则购进乙种品牌空调(10-a)台，

由题意，得1500a+1800(10-a)<16000,

解得一20<a,

3

设利润为w,贝！|w=(2500-1500)a+(3500-1800)(10-a)=-700a+17000,

因为-700<0,

则w随a的增大而减少，

当a=7时，w最大，最大为12100元.

答：当购进甲种品牌空调7台，乙种品牌空调3台时，售完后利润最大，最大为12100元.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据数量=总价+单价

列出关于x的分式方程；(2)根据总利润=单台利润x购进数量找出y关于a的函数关系式.

18、(1)24,1；(2)54；(3)360.

【解析】

(1)根据选择乒乓球运动的人数是36人，对应的百分比是30%,即可求得总人数，然后利用百分比的定义求得a,

用总人数减去其它组的人数求得b-,

(2)利用360。乘以对应的百分比即可求得；

(3)求得全校总人数，然后利用总人数乘以对应的百分比求解.

【详解】

(1)抽取的人数是36+30%=120(人)，

贝!Ja=120x20%=24,

/)=120-30-24-36-12=1.

故答案是：24,1；

(2)“排球”所在的扇形的圆心角为360以卓=54。，

120

故答案是：54；

(3)全校总人数是1204-10%=1200(人)，

则选择参加乒乓球运动的人数是1200x30%=360(人).

19、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)根据旋转变换的定义和性质求解可得；

(2)根据位似变换的定义和性质求解可得.

【详解】

解：(1)如图所示，4AiBiCi即为所求；

(2)如图所示，△DEF即为所求.

【点睛】

本题主要考查作图-位似变换与旋转变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义与性质.

20、(1),；(2)5rt；(3)PB的值为或.

【解析】

(1)如图1中，作AMLCB用M,DNLBC于N,根据题意易证RtAABM丝RtADCN,再根据全等三角形的性质

可得出对应边相等，根据勾股定理可求出AM的值，即可得出结论；

(2)连接AC,根据勾股定理求出AC的长，再根据弧长计算公式即可得出结论；

(3)当点Q落在直线AB上时，根据相似三角形的性质可得对应边成比例，即可求出PB的值；当点Q在DA的延

长线上时，作PHLAD交DA的延长线于H,延长HP交BC于G,设PB=x,则AP=13-x,再根据全等三角形的性

质可得对应边相等，即可求出PB的值.

【详解】

解：(1)如图1中，作AM_LCB用M,DN_LBC于N.

图1

，NDNM=NAMN=90°,

VAD/7BC,

NDAM=NAMN=NDNM=90°,

二四边形AMND是矩形，

；.AM=DN,

,.•AB=CD=13,

ARtAABM^RtADCN,

；.BM=CN,

,.,AD=11,BC=21,

.\BM=CN=5,

•,-AM=VAB2-BM2=12>

在R3ABM中，sinB=—.

AB13

(2)如图2中，连接AC.

o

图2

在RtAACM中，AC=A/AM2+CM2=Ayi22+162=20,

；PB=PA,BE=EC,

/.PE=—AC=10,

2

.G帖k90•冗,10<

••EQ的长=-~~=5大

(3)如图3中，当点Q落在直线AB上时,

图3

,/△EPB^AAMB,

•PB=BE=PE

*'BM-AB-AM,

.•迪=2食1=里

5TT12

.PB=K)5

26

如图4中，当点Q在DA的延长线上时，作PHLAD交DA的延长线于H,延长HP交BC于G.

图4

设PB=x,贝！］AP=13-x.

VAD/ZBC,

:.ZB=ZHAP,

1919

/.PG=—x,PH=—(13-x),

1313

BG=­x

13

•.'△PGE之△QHP,

；.EG=PH,

・21512mx

-T-13X=T3（13-X），

/.BP=—.

14

综上所述'满足条件的PB的值为嘿或居.

【点睛】

本题考查了相似三角形与全等三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与全等三角形的判定与性质.

21、(l)yi=2x+2；(2)选择在5站出地铁，最短时间为39.5分钟.

【解析】

(1)根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得yl关于x的函数表达式；(2)设李华从文化宫回到家所需的时

间为y,贝！|y=yi+y2=gx2-9x+80,根据二次函数的性质，即可得出最短时间.

【详解】

⑴设的=1«+|5,将(8,18),(9,20),代入

8k+b=18,

yi=kx+b,得：

9k+b=20.

k=2,

解得，C

b=2.

所以yi关于x的函数解析式为yi=2x+2.

⑵设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则

y=yi+y2=2x+2+Jx2-llx+78=:x2-9x+80=；(x-9)2+39.5.

所以当x=9时,y取得最小值，最小值为39.5,

答:李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值,

在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

22、(1)证明见解析；(2)①30°,②45°

【解析】

试题分析：⑴根据已知条件求得NQ4C=NOC4,ZAOD^ZADO,然后根据三角形内角和定理得出NAOC=NQW,

从而证得OC〃A。，即可证得结论；

(2)①若四边形OCAO是菱形，贝UOC=AC,从而