福建省达标校联考2024届高考数学模拟试卷(理科)

福建省达标校联考2024届高考数学模拟试卷(理科)

一、选择题本大题共共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.(5分)已知复数z满意：z(1+i)=1-i,则复数z等于()

A.-1B.-iC.iD.

1

2.(5分)设集合A={2,3,5,7},B={2,4,6,8},全集U=AUB,

则集合［u(AAB)中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

3.(5分)若a=sin(n-21),则函数y=tanax的最小周期为()

6

A.2LB.JIC.2nD.4”

2

4.(5分)我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状

况，将每个班编号，依次为1到24,现用系统抽样方法，抽取4个班

进行调查，若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为()

A.2B.3C.4D.5

5.(5分)已知向量£(x-1,2),b=(2,1),则“x>0”是“W与E

夹角为锐角”的()

A.必要不充分条件B.充分不必

要条件

c.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

22

6.(5分)已知双曲线工-Z_=l(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x

a2b2

-3)2+y2=9相交于A、B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为()

A.8B.272C.1D.3

7.(5分)在如图的程序中全部的输出结果之和为()

旃

i=M=0

5=54-1

〔用

A.30B.16C.14D.9

8.(5分)在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若

b2+c2-a2=6bc，且bSa,则下列关系肯定不成立的是()

A.a=cB.b=cC.2a=c

D.a2+b2=c2

x+4y》4

9.(5分)给定区域D：,x+y<4，令点集T=｛(x0,y0)^D|x0,y0^Z,

x》0

(x。，y。)是2=*+丫在D上取得最大值或最小值的点｝,则T中的点共

确定不同的直线的条数为()

A.4B.5C.6D.7

10.(5分)定义在R上的奇函数f(x)和定义在｛x|xW0｝上的偶函数

’2、-1(0<x<l)

g(X)分别满意f(x)=11、,g(X)=log2x(x>0),若

存在实数a,使得f(a)=g(b)成立，则实数b的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-1,0)U(0,1]

22

C.[-2,-』U[A,2]D.(-8,-

22

2]U[2,+8)

二、填空题(共5小题，每小题4分，满分20分把答案填在答题卷中

的横线上)

11.(4分)(x2-2)5的绽开式X，的系数为(用数字作答)

12.(4分)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M

取自阴影部分部分的概率为.

13.（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是.

eI（左）裾图

信力图

14.（4分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x-1（x£R）,当xE[0,

囚时，若函数y=f（x）-k有两个零点，则k的取值范围为.

2

15.（4分）设S为非空数集，若Vx,y£S,都有x+y,x-y,xy£S,

则称S为封闭集，下列命题：

①实数集是封闭集

②封闭集肯定是无限集

③若S为封闭集，则肯定有0WS

④若S,T为封闭集且满意SCUCT,则集合U也是封闭集

其中真命题的序号是（把全部真命题的序号都填上）

三、解答题（共5小题，满分66分）解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤

16.（13分）设数列｛aj的前n项和为Sn,且S「=2-

（1）求数列｛aj的通项公式;

求证：J_J_..._L>-2(n£N*,

⑵设Tn^log2ai+log2a2+---+log2an>+++

n22)

17.（13分）如图，三棱锥P-ABC中，PB_L底面ABC于B,ZBCA=90°,

PB=CA=2,点E是PC的中点.

（1）求证：侧面PAC,平面PBC；

（2）若异面直线AE与PB所成的角为9,且tme=¥，求二面角C

-AB-E的大小.

18.（13分）某玩具厂生产甲、乙两种儿童玩具，其质量按测试指示划

分：指示大于或等于85为合格品，小于85为次品，现随机抽取这两

种玩具个100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指示［75,80）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

玩具甲82230328

玩具乙71840296

（1）试分别估计玩具甲，玩具乙为合格品的概率

（2）生产一件玩具甲，若是合格品可盈利80圆，若是次品则亏损15

元，生产一件玩具乙，若是合格品可盈利50圆，若是次品则亏损10

元，在（1）的前提下，①记X为生产1件玩具甲和1件玩具乙所得的

总利润，求随机变量X的分布列和数学期望.②求生产5件玩具乙所

获得的利润不少于140元的概率.

19.(13分)已知椭圆(a>b>0)的离心率为血，且过点(2,

a2b22

(1)求椭圆的标准方程；

(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点0,若kAc・kBD=

2

_-b,

a2

(i)求瓦•瓦的最值.

(ii)求证：四边形ABCD的面积为定值.

20.(14分)已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数

的底数)处的切线的斜率为3.

(1)求实数a的值；

(2)若f(x)Wkx?对随意x>0成立，求实数k的取值范围；

(3)当n>m>l(m,n£N*)时，证明：苑〉以

版n

【选修4-2：矩阵与变量】

21.(7分)设矩阵A=(；

①求矩阵A的逆矩阵A~

②若曲线C在矩阵A-D的作用下变为曲线C：'x2-y2=l,求曲线C的

方程.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22.(7分)在直角坐标系xoy中，曲线3的参数方程为1x=Mcosa(a

[y=sina

为参数)，以原点。为极点，以X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，

曲线C2的极坐标方程为psin(9+2L)=472.

4

(1)求曲线G的一般方程与曲线C2的直角坐标方程.

(2)设P为曲线。上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求

此时点P坐标.

【选修4-5,不等式选讲】

23.已知函数f(x)=|x+a|+1x-21

①当a=-3时，求不等式f(x)23的解集；

②f(x)W1x-4]若的解集包含[1,2],求a的取值范围.

福建省达标校联考2024届高考数学模拟试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题本大题共共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.(5分)已知复数z满意：z(1+i)=1-i,则复数z等于()

A.-1B.-iC.iD.

1

考点：复数代数形式的乘除运算.

专题：数系的扩充和复数.

分析：干脆转化复数方程为复数的乘除运算，化简复数为a+bi的形式

即可.

解答：解：复数z满意：z(1+i)=1-i,

7=l-i=(Li)(Li)=-2i=_j

1+T(1+i)(1-i)2~

故选：B.

点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本学问的考查.

2.(5分)设集合A={2,3,5,7},B={2,4,6,8},全集U=AUB,

则集合［u(AAB)中的元素个数为()

A.3B.4C.5D.6

考点：元素与集合关系的推断.

专题：集合.

分析：已知集合人={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},可求得其全集

U=AUB,然后依据交集的定义和运算法则进行计算Cu(AAB).

解答：解：•.•集合A={2,3,5,7},B={2,4,6,8},全集U=AUB,

.*.U=AUB={2,3,4,5,6,7,8},

VAnB={2},

.*.Cu(APB)={3,4,5,6,7,8},

共6个元素，

故选：D.

点评：此题考查简洁的集合的运算，集合在2024届高考的考查是以基

础题为主，题目比较简洁，在学习中我们应从基础动身.

3.(5分)若a=sin(1--则函数y=tanax的最小周期为()

6

A.2LB.JiC.2JiD.4n

2

考点：三角函数的周期性与其求法.

专题：三角函数的求值.

分析：利用诱导公式求得a的值，再依据y=Atan(ax+小)的周期等

于T=2£,求得函数y=tanax的最小周期.

解答：解：Va=sin(n-=sin2£=l,贝!J函数y=tanax=tan2的

6622

最小周期为+271,

2

故选：C.

点评：本题主要考查诱导公式，三角函数的周期性与其求法，利用了

y=Atan(ax+小)的周期等于T=_,属于基础题.

4.(5分)我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状

况，将每个班编号，依次为1到24,现用系统抽样方法，抽取4个班

进行调查，若抽到编号之和为48,则抽到的最小编号为()

A.2B.3C.4D.5

考点：系统抽样方法.

专题：计算题；概率与统计.

分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x,依据编号的和

为48,求x即可.

解答：解：系统抽样的抽取间隔为a=6.

4

设抽到的最小编号X,

则x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48,

所以x=3.

故选：B.

点评：本题考查了系统抽样方法，娴熟驾驭系统抽样的特征是解答本

题的关键.

5.(5分)已知向量余(x-1,2),b=(2,1),则“x>0”是")与5

夹角为锐角”的()

A.必要不充分条件B.充分不必

要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断.

专题：简易逻辑.

分析：依据充分条件和必要条件的定义以与向量的数量积的应用，进

行推断即可.

解答：解：若W与E夹角为锐角，则丁店(x-1,2)-(2,1)=2x

>0,解得x>0成立，

若W与E同向共线时，满意口/，解得x=5,满意x>0,但此时夹角

21

为0°,不是锐角，

故“x>0”是与E夹角为锐角”的必要不充分条件，

故选：A

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据向量的数量积

的应用是解决本题的关键.

6.(5分)已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x

a2b2

-3)2+y2=9相交于A、B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为()

A.8B.2J2C.乜D.3

2

考点：直线与圆锥曲线的关系.

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与半弦长，圆心到直

线的距离满意的勾股定理求解即可.

解答：解：双曲线£一耳=1%>0,b>0）的一条渐近线：bx-ay=O,

ab

圆（x-3）2+y2=9相交于A、B两点，圆的圆心（3,0）,半径为3,圆

心到直线的距离为：2y，|AB|=2,

可得：3b=2近.解得b=2«a.c=J^2^2=3a.

Va2+b2

双曲线的离心率为3.

故选：D.

点评：本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，双曲线的离心率的

求法，考查计算实力.

7.（5分）在如图的程序中全部的输出结果之和为（）

［演］

A.30B.16C.14D.9

考点：程序框图.

专题：算法和程序框图.

分析：依据框图的流程依次计算输出S的值，直到满意条件i>7,程

序运行终止，全部的输出结果相加可得答案.

解答：解：由程序框图知：第一次循环S=O+1=1,i=2+l=3,输出

S=l；

其次次循环S=l+3=4,i=3+2=5,输出S=4；

第三次循环S=4+5=9,i=5+2=7,输出S=9；

第四次循环S=9+7=16,i=7+2=9,输出S=16.

满意条件i>7,程序运行终止，

•••全部的输出结果之和为1+4+9+16=30.

故选：A.

点评：本题考查了循环结构的程序框图，依据框图的流程依次计算输

出S的值是解答本题的关键.

8.（5分）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若

b2+c2-a2=6bc，且b=Ea,则下列关系肯定不成立的是（）

A.a=cB.b=cC.2a=c

D.a2+b2=c2

考点：余弦定理.

专题：解三角形.

分析：利用余弦定理表示出cosA,将已知第一个等式代入求出cosA

的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简其次个等式，求出sinB的

值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC形态，

即可做出推断.

解答：Vb2+c2-a2=V3bc,

c0sA」2+c2-

2bc2

.*.A=30o,

由正弦定理化简b=«a,得到sinB=V3sinA=2^,

2

.,.B=60°或120。,

当B=60°时，C=90°,此时AABC为直角三角形，

得到a2+b2=c2,2a=c；

当B=120°时，C=30°,此时AABC为等腰三角形，

得到a=c,

综上，b=c不肯定成立，

故选：B.

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以与直角三角形与等腰三角形的

性质，娴熟驾驭定理是解本题的关键.

x+4y》4

9.（5分）给定区域D：,x+y<4，令点集T=｛（Xo,y0）^D|x0,y（）eZ,

x》0

（x。，y。）是2=*+丫在D上取得最大值或最小值的点｝,则T中的点共

确定不同的直线的条数为（）

A.4B.5C.6D.7

考点：简洁线性规划.

专题：不等式的解法与应用.

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用Z的几何意义求出对应的

最值点，结合直线的性质进行推断即可.

解答：解：如图，作出不等式组对应的平面区域如图，则使Z=x+y

取得最小值的点仅有一个(0,1),

使z=x+y取得最大值的点有多数个，

但属于集合T的只有5个，(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),

用这些点可以组成直线的条件为变-匹+1=15-10+1=6个，

0u

故选：C

点评：本题主要考查线性规划的应用以与直线条数的确定，利用数形

结合求出最优解是解决本题的关键.

10.(5分)定义在R上的奇函数f(x)和定义在｛x|xW0｝上的偶函数

’2、-1(0<x<l)

g(X)分别满意f(x)=11、,g(X)=log2x(x>0),若

-(x>l)

存在实数a,使得f(a)=g(b)成立，则实数b的取值范围是()

A.[-2,2]B.[-1,0)U(0,1]

22

C.[-2,-』U[A,2]D.(-8,-

22

2]U[2,+8)

考点：奇偶性与单调性的综合.

专题：函数的性质与应用.

分析：依据函数的奇偶性作出函数f(x)和g(x)的图象，利用数形

结合即可得到结论.

解答：解：分别作出函数f(x)和g(x)的图象如图，

若若存在实数a,使得f(a)=g(b)成立，

则b肯定在函数g(x)使两个函数的函数值重合的区间内，

•..函数f(x)的最大值为1,最小值为-1,

.•.由log2X=l,解得x=2,

由log2(-X)=1,解得x=-2,

故b的取值范围是[-2,-1]U[1,2],

22

故选：C

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性结合数形

结合是解决本题的关键.

二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分把答案填在答题卷中

的横线上）

11.（4分）（x2-2）5的绽开式X,的系数为义（用数字作答）

X

考点：二项式定理的应用.

专题：计算题；二项式定理.

分析：依据所给的二项式，利用二项绽开式的通项公式写出第r+1项,

整理成最简形式，令x的指数为4求得r,再代入系数求出结果.

解答：解：依据所给的二项式写出绽开式的通项，

Tr+尸哈（-2）&Hr,

要求X、的项的系数

10-3r=4,

.,.r=2,

2

.•.x,的项的系数是C52（-2）=40

故答案为：40

点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项

绽开式的通项，在这种题目中通项是解决二项绽开式的特定项问题的

工具.

12.（4分）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M

取自阴影部分部分的概率为上

3

考点：定积分的简洁应用.

专题：数形结合.

分析：本题利用几何概型概率.先利用定积分求出图中阴影部分部分

的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的

面积之比即可.

解答：解：长方形区域的面积为3,

阴影部分部分的面积为J；3x2dx=x1J=h

所以点M取自阴影部分部分的概率为上

3

故答案为：

3

点评：本题考查的定积分的简洁应用，解决本题的关键是娴熟驾驭定

积分的几何意义与运算公式.简洁地说，假如每个事务发生的概率只

与构成该事务区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模

型为几何概率模型，简称为几何概型.

13.（4分）某几何体的三视图如图所不，该几何体的表面积是92.

正(主＞视图例(左)视图

考点：由二视图求面积、体积.

专题：计算题.

分析：推断几何体的形态，利用三视图的数据，求出几何体的表面积

即可.

解答：解：几何体是底面为直角梯形高为4的直四棱柱，S±=S下

=£x(2+5)X4；S侧=(2+5+4+J/+(5-2)2)X4-

几何体的表面积为

S=2X,X(2+5)X4+(2+5+4+J42+(5-2)2)X4=92.

故答案为：92.

点评：本题考查三视图求解几何体的表面积的方法，正确推断几何体

的形态是解题的关键.

14.(4分)已知函数f(x)=2sinxcosx+2sin2x-1(xER),当x£[0,

时，若函数y=f(x)-k有两个零点，则k的取值范围为IWkV后.

考点：函数的零点.

专题：计算题；作图题；三角函数的图像与性质.

分析：由三角恒变换化简f(x)—sin2x-cos2x=V^sin(2x-21)；从

4

而可知函数f(x)与函数y=k在［0,汇］上有两个交点，作函数图象求

2

解.

解答：解：f(x)=2sinxcosx+2sin2x-1

=sin2x-cos2x

=V2sin(2x-2£)；

4

当告。，守时，要使函数尸f(x)7有两个零点,

只需使函数f(x)与函数kk在［。,票上有两个交点,

作函数f(x)=&sin(2x-2L),xG[0,2]的图象如下,

结合图象可得,

l<k<V2；

故答案为：lWk<亚.

点评：本题考查了三角函数的应用与学生作图与用图的实力，属于基

础题.

15.(4分)设S为非空数集，若Vx,yes,都有x+y,x-y,xy£S,

则称S为封闭集，下列命题：

①实数集是封闭集

②封闭集肯定是无限集

③若S为封闭集，则肯定有0£S

④若S,T为封闭集且满意SGUGT,则集合U也是封闭集

其中真命题的序号是①③（把全部真命题的序号都填上）

考点：命题的真假推断与应用.

专题：简易逻辑.

分析：利用封闭集的定义，列举反例，对选项逐一推断即可.

解答：解：对于①，实数集是封闭集，满意封闭集的定义，•••①正

确；

对于②，例如{0}就是封闭集，不肯定是无限集，.♦•②不正确；

对于③，若S为封闭集，Vxes,都有x-x£S,即oes,则肯定有

0GS....③正确；

对于④，例如S={0},U={0,1},T=R,不满意封闭集的定义，所以若

S,T为封闭集且满意SCUGT,则集合U也是封闭集，不正确，，④

不正确.

正确命题为：①③.

故答案为：①③.

点评：本题考查封闭集的定义的应用，命题的真假的推断，基本学问

的理解与应用.

三、解答题（共5小题，满分66分）解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤

16.（13分）设数列｛%｝的前n项和为出，且S“=2-，，

2n-1

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）Tn=log2ai+log2a2+---+log2an,求证：+...+-L>-2（n£N*,

n22）

考点：数列与不等式的综合.

专题：计算题；等差数列与等比数列.

分析：（1）依题意，依据依据S「Sn一k九,可得数列｛4｝的通项公

式；

（2）设bn=log2an,可求bn=n,从而可求Tn=log2ai+log2a2+…+log2an.

解答：解：（1）当n=l时，ai=SFl.-（2分）

当n22时，an=Sn-Sn-i=-L—,此式对n=l也成立.

2n-1

an=—^—.…（5分）

2n-1

（2）证明：设bn=log2an,则bn=l-n.…（7分）

・•・｛bj是首项为0,公差为-1的等差数列.

....n（J。分）

2

-5^-i-^+•••+^-=-2（1--1+A-工+…+_3：_-J：）=-2（1_工）>-（12

Tj12Tn223n~1nn

分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式与等差数

列的求和公式，属于中档题.

17.（13分）如图，三棱锥P-ABC中，PB_L底面ABC于B,ZBCA=90°,

PB=CA=2,点E是PC的中点.

(1)求证:侧面PAC_L平面PBC；

(2)若异面直线AE与PB所成的角为9,且13n0=¥，求二面角C

-AB-E的大小.

考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角

的平面角与求法.

专题：空间位置关系与距离；空间角.

分析：(1)利用线面垂直的性质可得PBLAC,利用线面垂直的判

定即可得出AC,平面PBC,利用面面垂直的判定定理即可证明结论；

(2)通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角

即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面

角.

解答：(1)证明：•「PB，平面ABC,Z.PBXAC；

VZBCA=90°,AACIBC；

又PBABC=B,，AC_L平面PBC；

又YACu平面PAC,.,.面PAC,面PBC

(2)以C为原点，CA、CB所在直线为x,y轴建立空间直角坐标系，

设BC=m>0,

贝IJC(0,0,0),A(2,0,0),E(0,巴1),B(0,m,0),P(0,m,

2).

AAE=(-2,1)，而=(0,0,-2)，AB=(-2,m,0)­

由1皿0=平

•,.^=-r=2=，角军得m二证.

11V20+m2

则靠二(-2,*,1)，AB=(-2,0)•

一.?

则n・AE=-2x+T+z=0

设平面ABE的一个法向量为左（x,y,z）,取

n"AB=-2x+^2y=0

x=l,贝1Jy=«,z=L

n=（1>正，1）-

取平面ABC的一个法向量工二（0,0,1）,

n=11

cos<Ck>n〉-'=•,<k,n>=60•

IkIInIF2

二面角C-AB-E的大小为60。.

点评：本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、

二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，须要较强的推理实力、

计算实力和空间想象实力.

18.（13分）某玩具厂生产甲、乙两种儿童玩具，其质量按测试指示划

分：指示大于或等于85为合格品，小于85为次品，现随机抽取这两

种玩具个100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指示［75,80）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

玩具甲82230328

玩具乙71840296

（1）试分别估计玩具甲，玩具乙为合格品的概率

（2）生产一件玩具甲，若是合格品可盈利80圆，若是次品则亏损15

元，生产一件玩具乙，若是合格品可盈利50圆，若是次品则亏损10

元，在（1）的前提下，①记X为生产1件玩具甲和1件玩具乙所得的

总利润，求随机变量X的分布列和数学期望.②求生产5件玩具乙所

获得的利润不少于140元的概率.

考点：离散型随机变量与其分布列；离散型随机变量的期望与方差.

专题：概率与统计.

分析：（1）利用离散型的概率公式求解得出玩具甲为合格品的概

率为30+32+8；玩具乙为合格品的概率为40+29+6.

100100

（2）确定①随机变量X的全部可能取值为130,70,35,-25.,分别

求解相应的概率，列出分布列即可求解数学期望.

②依据题意得诞生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5-n件，

依题意得50n-10（5-n）2140,求解不等式即可.

解答：解：（1）玩具甲为合格品的概率为30+32+8=1,

10010

玩具乙为合格品的概率为40+29+6=巨

1004

(2)①随机变量X的全部可能取值为130,70,35,-25.

P(X=130)=J.X3=21,

10440

P(X=70)=JLX1=JL,

10440

P(X=35)=_1X3=_9,

10440

P(X=-25)=AX1=A,

10440

全部随机变量X的分布列为：

X1307035-25

p21793

40404040

随机变量X的数学期望为：E(X)

=130X21+70XJLJ.-25xA=86.5,

4040+3°5x4040

②设生产5件玩具乙中合格品有n件，则次品有5-n件，依题意得50n

-10(5-n)2140,n3，

全部n=4,或n=5,

设“生产5件玩具乙所获得的利润不少于140元”为事务A,

贝UP(A)=4(3)4X1+5(3)5=包.

c%44C%4128

点评：本题考查了综合运用离散型的概率分布学问求解问题，关键是

精确求解概率，列出分布列，得出相应的数学期望，也可以转化为不

等式求解，综合性较强.

19.(13分)已知椭圆/+9=1(a>b>0)的离心率为强,且过点(2,

a2b22

&)•

(1)求椭圆的标准方程；

(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点。，若kAc・kBD=

(i)求瓦•瓦的最值.

求证：四边形ABCD的面积为定值.

考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面对量数量积

的运算；椭圆的标准方程.

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：(1)把点(2,代入椭圆的方程

率一巫再由a2=b?+c2,

a2

联马上可得到a?、b\c2；

2

(2)(i)设A(xi,yD,B(x2,y2),设kAc=k,由kAc・kBD=-且=-L

a22

可得

ID2k

把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A,B,的坐标，再

利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得

出最值；

（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD=4XS,B=2|0A||OB|sinNAOB,得

到端边形ABC「4[|0A121cBi2-（嬴•丽）2「代入计算即可证明.

h_V2

U2

解答：解：（1）由题意可得3g口，解得，

a2b2Ib2=c2=4

22

•••椭圆的标准方程为今+号=1

(2)(i)设A(xi,yi),B(x2,y2)»不妨设Xi>0,x2>0.

2

设k小k,Vk-kB=-^-=-A,=-A

ACDkK

a22BD2k

可得直线AC、BD的方程分别为广kx,尸-枭

y=kx2kx

联立x2y2,

+x2v2/

Y+T=1

T+T=1

解得

1X2Vl+2k2

•••瓦•币=xN+yiyE9;色1旦：匚何！卜卜2,当且仅当[小费时取等

2121+212-72Ik|2

号.

可知：当Xi>0,X2>0时，有最大值2.

当Xi<0,x2<0.有最小值-2.

ii)由椭圆的对称性可知SKWABCD=4XSAAOB=210A||0B|sinZAOB.

S^ABCT^[|0A|2|0B|2-(OA-OT)2]=4

2-2

[(Xj+y।)(xg+yg)-(xjx2+y^2)]~^(Xjy2x2yj)

=4(-A-kxx)2=4(k+—)2(8V^k)2=128,

'2kxlx2KX1X272k1+21?

•••四边形ABCD的面积=哂为定值.

点评：娴熟驾驭椭圆的定义、标准方程与其性质、直线与椭圆相交问

题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基

本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键.

20.(14分)已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数

的底数)处的切线的斜率为3.

(1)求实数a的值；

(2)若f(x)Wkx?对随意x>0成立，求实数k的取值范围；

(3)当n>m>l(m,n£N*)时，证明：苑〉用

痂n

考点：利用导数探讨曲线上某点切线方程.

专题：计算题；证明题；导数的综合应用.

分析：(1)求出f(x)的导数，由切线的斜率为3,解方程，即

可得到a；

(2)f(x)Wkx?对随意x>0成立ok^对随意x>0成立，令

X

g(X)=上处，则问题转化为求g(X)的最大值，运用导数，求得单调

X

区间，得到最大值，令k不小于最大值即可；

(3)令h(x)二迎，求出导数，推断单调性，即得h(x)是(1,+8)

X-1

上的增函数，由则h(n)>h(m),化简整理，即可得证.

解答：解：(1)f(x)=ax+xlnx,/.f'(x)=a+lnx+l,

又Yf(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,

f'(e)=3,即a+lne+l=3,

・•a二1；

(2)由(1)知，f(x)=x+xlnx,

f(x)Wkx?对随意x>0成立ok父生^对随意x>0成立，

X

令g(x)=出空，则问题转化为求g(X)的最大值，

X

—,x-(1+lnx)

g'(x)-----------------=-丹，令g'(X)=0,解得x=l,

XX

当0<xVl时，g'(x)>0,Ag(x)在(0,1)上是增函数；

当X>1时，g(x)<0,/.g(x)在(1,+8)上是减函数.

故g(x)在x=l处取得最大值g(1)=1,

即为所求；

(3)令h(x)=皿，则h，(x)=x-17n：,

x-l(x-l)2

由(2)知,1+lnx(x>0),...h'(x)20,

/.h(x)是(1,+8)上的增函数，

Vn>m>LAh(n)>h(m),即皿，

n-1m-1

mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,

即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,

mn.imn.-in-izn、m、zm\n

iInn+lnm>inm+lnn,In(mn)>iin(nm),

•zn\m、zm\n

•・(mn)〉(nm),

•••

^n

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和

最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查不等式的证

明，运用构造函数，求导数得到单调性，再由单调性证明，属于中档

题.

【选修4-2：矩阵与变量】

21.（7分）设矩阵

①求矩阵A的逆矩阵A~

②若曲线C在矩阵A^D的作用下变为曲线C：'x2-y2=l,求曲线C的

方程.

考点：逆变换与逆矩阵.

专题：选作题；矩阵和变换.

分析：①求出矩阵A=（l2］的行列式为12=_即可求出矩阵A的

I23）23

逆矩阵A7

②设曲线C上任一点M（x,y）在矩阵A对应的变换作用后变为曲线U

上一点P（X，，/）,由矩阵变换的特点，即可得到它们的关系式，

再代入已知曲线方程即可.

解答：解：①矩阵A］12］的行列式为12=7,

I23J23

所以21

.2-1.

②设曲线C上任一点P（x,y）在矩阵A-对应的变换作用后变为曲线

C上一点Q（X，，y'）,

-3x+2y'

则x