2024年高考押题预测卷-数学（九省新高考新结构卷2）（全解全析）

2024年高考押题预测卷02【新九省卷】

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={目尤=3〃-1,“€2},3={［（）＜尤＜6},则AB=（）

A.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}

【答案】D

【解析】A={尤|x=3〃-l,〃eZ},3={x|0<x<6},则AB={2,5},故选D

2.若tan[a-：）=2,则sin2a=（

34

AB.——cD.

-15-i5

【答案】B

【解析】由t小一小端=2,得tan-3,

.小c.2sinacosa2tanor3

/.sm2a=2smacosa=——--------------=-------------=——故选B.

sincr+cosa1+tana5

3.已知a=Z?=（3m-1,2）,若〃〃b，则机=（）

A.1B.-1C.1

3

【答案】A

【解析】因为〃=Z?=（3m-1,2）,a!lb，所以2根一（3加-1）=0,解得根=1,故选A.

5

4,若（1一2x）5=%+++a5x,贝（]%+&=（）

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

2

【解析】在(l—2x)5=%+〃]%+%%2+.+%%5中，＜22=C1x2=40,〃4=C；X24=80,

所以出+%=120,故选C

5.已知等差数列｛?｝的前〃项和为S“，且$2=2,凡=9,贝|工。=()

A.14B.16C.18D.20

【答案】D

【解析】设数列｛4｝的公差为"，由S?=2,Sb=9,

7

2q+d=2“一

得6x5，解得,

6al+-----d=9

12d=-

4

所以/=叫+^^1=亲£=20,故选D.

6.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.

它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是

一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧。E,AC所在圆的半径分别是3和6,且

ZABC=120°,则该圆台的体积为（）

【答案】D

【解析】设圆台上下底面的半径分别为小2，由题意可知gx2兀><3=2跖，解得4=1,

|x27tx6=27r^,解得：弓=2,作出圆台的轴截面，如图所示:

DOQ

图中00=4=LO'A=2=2,AD=6-3=3,

过点。向AP作垂线，垂足为T,则AT=弓-[=1,

所以圆台的高/Z=JA£>2一a1=，32一1=2血,

则上底面面积H=71X12=兀，$2=兀><22=4兀，由圆台的体积计算公式可得：

1471

V=lx(S1+S2+7^r^2)x/z=1x77tx2^=^,故选D.

7.已知直线y+l="(x-2)与圆(x—l)2+(y—l)2=9相交于跖N两点.则I“VI的最小值为()

A.75B.275C.4D.6

【答案】C

【解析】由圆的方程(x-l)2+(y-l)2=9,可知圆心A(1,D,半径R=3,

直线y+l=，"(x-2)过定点5(2,-1),

因为(2-1)2+(-1-1)2=5<9,则定点3(2,—1)在圆内，

则点3(2,-1)和圆心A(l,l)连线的长度为d=7(2-1)2+(-1-1)2=非，

当圆心到直线距离最大时，弦长MN最小，此时AB_LMN,

由圆的弦长公式可得|MN|=-才=242-(百了=4，

故选：C

8.己知可导函数的定义域为R,为奇函数，设g(“是〃尤)的导函数，若g(2x+l)为奇函数,

110

且g⑼=j，则£依(2左)=()

2k=i

A13-13c11c11

A.——B.——C.——D.——

2222

【答案】D

【解析】因为为奇函数，则-

即〃x-l)=—/(—%—1),两边求导得f(x-l)=_f(-x-1),

贝ljg(x-l)=g(r—l),可知g(x)关于直线4-1对称，

又因为g(2x+l)为奇函数，贝|g(2x+l)+g(—2x+l)=。，

即g(x+l)+g(-x+l)=O,可知g(x)关于点(1,0)对称,

令x=l,可得g⑵+g(0)=0,即g(2)=_g(0)=_；,

由g(x-l)=g(_x.l)可得g(x)=g(-x-2),

由g(x+l)+g(-x+l)=0,可得g(x)+g(-x+2)=0,即g(x)=-g(—x+2),

可得g(-x-2)=-g(-x+2),即g(x+4)=-g(x),

令x=0,可得g(4)=-g(O)=-；；

令x=2,可得g(6)=-g⑵=；；

且g(x+8)=-g(x+4)=-[-ga)]=g(x),可知8为g(x)的周期,

可知g(次+2)=g(次+4)=_；,g(8左+6)=g(84+8)=g/eZ,

1。]111

所以E依(2左)=一一(1+2+5+6+9+10)+—(3+4+7+8)=.

g222

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z,下列说法正确的是()

A.若z-彳=0,贝!Jz为实数B.z2+z2=0,贝!Jz=N=0

C.若|z-i|=l,贝”z|的最大值为2D.若|z-i|=|z|+l,则z为纯虚数

【答案】AC

【解析】设2=。+历(a,>eR),则三=“一历，

若z—5=0,即(a+历)—(。一历)=2历=0,即》=0,则z为实数，故A正确；

若Z?+彳2=0,即(4+历)2+(q-历

22

化简可得/+2。历+。2一力2-2。历=0,UPa=b,即a=±Z?,

当时，z-a+ai,z=a-ai,止匕时不一定满足z=7=0,

当〃=-/?时，z=a-ai,z=a+〃i，此时不一定满足z=N=O,故B错误；

若|z-i|=l,即匕4|=]=1+0_1川=也2+仅_1)2=],

所以"+3_1)2=1,即Z表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆上的点，

且忖表示圆上的点到原点的距离，所以|z|的最大值为2,故C正确；

若|z-i|=|z|+l,即|z_i|=|a+0_l)i|=Ja2+e_1)2,

\z\+l=yla2+b2+l,即加2+0-11=J，+』+i,

化简可得6=一，。2+%2,贝!]a=0且640,

此时z可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；

故选：AC

10.已知函数/口)=85(妙+9)[。>0,。<夕<"的图象在｝;轴上的截距为3，巳是该函数的最小正零点,

则()

71

A.(p=—

3

B./(x)+/'(x)W2恒成立

C.〃x)在上单调递减

D.将y=/(x)的图象向右平移:个单位，得到的图象关于,轴对称

【答案】AC

【解析】函数/■(尤)=85(0X+夕)(0>0,0<0<]]的图象在〉轴上的截距为3，

所以cos°=；,因为0<0<>所以9=5.故A正确；

jr

又因为二是该函数的最小正零点，

12

所以cos[咤+1]=。，所以可|+4=],

解得0=2,所以/")=8$[2苫+：),r(x)=-2sin[2x+：1,

所以+尸(x)=cos-2sin=s/5cos^2x++V若，故B错误；

当时，2尤(行)e(0,7t),故C正确;

将y=/（x）的图象向右平移三个单位，得到y=cos=cos［2x-g

是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误.

故选：AC.

11.如图，已知抛物线C：9=2加＞＞0）的焦点为F,抛物线C的准线与X轴交于点D,过点尸的

直线I（直线/的倾斜角为锐角）与抛物线C相交于A3两点（A在x轴的上方，8在x轴的下

方），过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为直线/与抛物线C的准线相交于点N,贝心）

A.当直线/的斜率为1时，\AB\=4pB.若|人啊=|齐网，则直线/的斜率为2

C.存在直线/使得ZAOB=90D.若A户=3FB，则直线/的倾斜角为60

【答案】AD

【解析】易知尸［多。］，可设AB:y=（x-£］（Q0）,设4（4乂）,3（々,%），

与抛物线方程联立得＜，="I"一与Jn3/—（3p+2p）x+卓=0,

y2=2px

贝ljx,+x2=kP；2p,%%=P_,

对于A项，当直线/的斜率为1时，此时X］+%=3p,

由抛物线定义可知|AF|+忸尸|=%+4+尤2+汽=|A2|=4p,故A正确；

易知AMN是直角三角形，若|N耳=|月⑷，

则ZANM=ZFMN=>ZAMF=ZFAM,

X|AF|=|AM|,所以为等边三角形，即NA网=60,此时左=指，故B错误;

由上可知玉/+%%

4

3

——〃2<0,

244

即尚湍0,故C错误；

若4尸=3/80~|_%=无।=2p_3%,

又知否%2=50%=看,再=#，所以X=J5p,

k-y,_./?

则一p,即直线/的倾斜角为60,故D正确.

再一5

故选：AD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6

分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得。分;

③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三

个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.已知在某次新结构数学试题的考试中，小

明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个

选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为.

【答案】11

【解析】由题意得小明同学第一题得6分；

第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得。分、4分和6分；

第二题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得。分、2分和3分；

由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、

15分共8种情况，

所以中位数为劣丑=11,

13.在直三棱柱ABC-A4G中，AB=AC=M=4,ACLAB,过人。作该直三棱柱外接球的截面，所

得截面的面积的最小值为.

【答案】87t

【解析】由直三棱柱ABC-A4G可知，平面ABC,

又所以两两垂直，

设直三棱柱ABC-A由G外接球的半径为R,

通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以AB,AC,M为边长的长方体外接球相同;

过AG作该直三棱柱外接球的截面，当AG为所截圆的直径时截面面积最小,

因为AQ=，如+42=4\历,

则所求截面面积最小值为=8兀.

14.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为b,c,已知c=2asinC-2ccosA,贝!!sin2A=

若a=2,则A5C面积的最大值为

32+A/7

【答案】

43

【解析】因为。=2asinC—2ccosA,由正弦定理得sinC=2sinAsinC—2sinCcosA,

因为C£（0,%）,/.sinCc0贝有sinA-cosA,

2

1133

所以（sinA-cosA—=—,得l-2sinAcosA=—,即2sinAcosA=—,故sin2A=—；

4444

3

因2sinAcosA=—,Ae（0,7i）,故,可得sinA>0,cosA>0,

4

sinA=l±^I

.4x1

sinA-cosA=—

由<2,解得/Z'J得SABC=jbcsinA=

sin2A+cos2A=124

4

由余弦定理得，cos—Jjlzl,所以〃+°2=4+且二1历,

2bc42

由〃+c2=4+也一^-bc>2bc,当且仅当b=c时等号成立，可得反气8后=，（5+A/7）,

25-V79

SASC<-X1±^X-（5+V7）=^^,即,ABC面积的最大值为巨史.

ASC24933

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（本小题满分13分）已如曲线“力=加+》-211«+。6力€2在>2处的切线与直线天+2>+1=。垂直.

⑴求。的值;

⑵若/(x)ZO恒成立，求匕的取值范围.

【解】(1)由于x+2y+l=0的斜率为所以((2)=2,

2、21

又/'(%)=2ox+l—，故/'(2)=4〃+1-7=2,解得a=—

x22f

12

(2)由(1)知〃=不，所以尸(力=%+1—*=

乙x

故当x>l时，F'(x)>O"(x)单调递增，

当0<x<l时，/(x)<O,〃x)单调递减，

故当x=l时，f(x)取最小值/(1)=；+1+6,

13

要使/(x)ZO恒成立，^/(1)=-+1+&>0,解得62-；,

,3

故6的取值范围为

16.(本小题满分15分)为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、

好读书”的号召，并开展阅读活动.开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间

(单位：分钟)，得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075,0.0125,

后三个小矩形的高度比为3：2：1.

个频率/组距

20406080100120时间/分钟

(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值(同一组中的数据用该

组区间的中点值为代表)；

⑵开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作

为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于［80,100)的人数记为己

求随机变量4的分布列与数学期望.

【解】(1)由题知：各组频率分别为：0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,

日均阅读时间的平均数为：

30x0.15+50x0.25+70x0.3+90x0.2+110x0.1=67(分钟)

(2)由题意，在［60,80),［80,100),［100,120］三组分别抽取3,2,1人

&的可能取值为：0,1,2

3

则尸6=0)=专CC01pq=i)=C专2cl=3(

l2

PC=2)=晋CC1

所以4的分布列为：

17.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是边长为2的正方形，PA=PB=下,

点M在上，点N为2C的中点，且P3//平面MAC.

(1)证明：CM〃平面PAN；

(2)若PC=3,求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值.

【解】(1)连接2。交AC与点。，连接OM,可得平面P3D与平面M4c的交线为OM,

因为尸2〃平面MAC,PBu平面PBD,所以PB//O暇,

又因为。为2。的中点，所以点以为PO的中点，

取R4的中点E,连接期,硒，可得EM//AD且EM=；AD,

又因为N为BC的中点，可得CN//AD且CN=^A。，

2

所以EM//CN且EM=CN,所以四边形£MCN为平行四边形，所以CM//EN,

又因为CM(Z平面PAN,且ETVu平面PAN,所以CA1〃平面PAN.

(2)取A8的中点S,连结尸S,CS,

因为尸4=尸8=6,可得尸S_LAB,且PS=/PB2—BS?=2,

又因为sc7BC°+BS?=布，且PC=3,

所以PC?=m2+5。2,所以PS_LSC,

又因为ABSC=S,且AB,SCu平面ABC。，所以PS,平面ABCD,

以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系S-孙z,

可得A（—1,0,0）1（1,0,0）,C（l,2,0）,£＞（-1,2,0）,尸（0,0,2）,

因为/为尸。的中点，N为BC的中点，可得加|[』,"”（1』,0）,

则AP=（1,0,2）,PN=（1,1,-2）,AM=，

/、m-AP=M+2Z[=0

设加=（百,%,zj是平面PAN的法向量，贝IJ,

m-PN=石+%—2Z1=0

取光=2,可得y=—4,z=—l,所以根=（2,-4,—1）,

一3

n•AM=-x2+y2-z2=0

设77=（%,%,Z2）是平面MAC的法向量，贝卜j,

n-MC=—x2+y2+z2=0

取x=2,可得y=-2,z=l,所以〃=（2,-2,1）；

\m-n\1111J21

设平面PAN与平面MAC的夹角为6,则===

\m\\n\3J2163

即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为口叵.

63

22

18.（本小题满分17分）已知椭圆E:土+匕=1,直线/与椭圆E交于A、8两点，。为坐标原点，且

84

OP1AB,垂足为点尸.

⑴求点尸的轨迹方程;

⑵求面积的取值范围.

【解】（1）①当直线/斜率不存在时，由椭圆的对称性，不妨设直线/在y轴右侧,

直线0A的方程为〉=彳，

工+工=10瓜巫,所以，小挛季〕

由84~,解得冗=2匹

y=

3

Iy=x

所以，直线48的方程为了=坡，此时P逑,0

33

同理,当直线/在轴左侧时，

yPF'

②当直线/斜率存在时，设直线/的方程为>=辰+加，4（和,），*々,为），

y=kx+m

22

由尤2y2消去y整理得,（1+2k）/+4kme+2m—8=0,

—+—=1

184

-4km2m2-8

△二64F—8/+32>0,且石+%=阳冗2二---------k

1+2左2121+2/

又・・・OA_LOB,J0405=0即：玉工2+%必=0,

所以，玉W+（g+m）（Ax2+m）=0,

则（1+左2）%％2+加（再+%2）+加2=0,

故（1+k2）（2m2-8）4k2m2+加2（1+2左2）

二0,

1+2—21+2左21+2左2

所以3加之=8（左之+1）满足4>0,

综上，|o尸上半，所以，点尸的轨迹方程为f+y2=|.

Q

（2）①由（1）可知，当直线/斜率不存在或斜率为。时，S^ABC=-.

②当直线/斜率存在且不为0时，

|AB|=后,一马kHF，64y+.

一：+用（1+4用

2

1+2/-31（1+2^）

4A/6卜/+5/+I4#1]甘

~'V4F+4F+1-丁y1+4-4+4-2+1

476L]一

=-------1H-----------------—

3\4/+4+」，

Vk2

,**A：2>0,4Z:2+~y4,当且仅当%之=7,即％=±1^等号成立.

k222

.•「+/2；/]1'3,SlJ半,20，

4F+—+4、」113

k2I」

--SABC=^\OP\-\AB\^,242,

综上，SABCe1,2A/2.

19.(本小题满分17分)置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合&={1,2,…,〃},〃eN+的函数称为〃

次置换.满足对任意ieA/⑺=z•的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作S“.对于『⑴eS,,

’12〃、

我们可用列表法表示此置换：/(/)=,记

J⑴"2)〃叱

1234

⑴若，计算寮⑴；

4213

⑵证明：对任意”，)eS4,存在此X，使得严⑺为恒等置换;

(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第

27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，……，依次类推.这样操作最少重复几次就

能恢复原来的牌型？请说明理由.

’1234、

【解】(1)/(?)=

、4213,

由题意.可知尸”9、=〔3234J"⑺、=n［1234、

_/\「1234、一、

(2)解法一：①若〃，)=1234'则/⑺为恒等置换；

(1234、

②若存在两个不同的i,使得F(，)=i,不妨设好1,2,则.