山东省济宁市2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（含解析）

山东省济宁市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含解析）2022

-2023学年度第二学期质量检测

高二数学试题

2023.07

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合”={艰1>°},N=kW<2},则MCN=（）

1C

A.1%|0<%<4｝B.<x—<x<2>

2

1

C.〈无一<尤<4>D.邓)

I2j

2.命题“m/eR,2"<x：”的否定是()

A.3xeR,2%2片B.A

0xneR,2°>尤：

C.VXGR,T<r2D.仕eR,2x>x2

3.已知幕函数/(%)=(加2-2加-2产在(0,+co)上单调递减，则〃?=()

A.-3B.-1C.3D.-1或3

4.设S“是数列｛%,｝的前〃项和，已知4=1且4=2S“+1,则为=()

A.101B.81C.32D.16

5.已知曲线〃x)=e2'1V在点(0,〃0))处的切线与直线2x-y+3=0垂直，则。=()

1

A.-2B.—1C.D.1

4

6.“a<0”是“函数=lo§i3+2）在区间（-Q0,1］上单调递增”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知甲袋中装有加个红球，〃个白球，乙袋中装有3个红球，4个白球，先从甲袋中任取1球放入乙袋

中，再从乙袋中任取出1球，若取出的是红球的概率为——，则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率

32

为（）

]_34

A.B.C.D.

445

8.已知函数/（力的定义域为R,eR都有""）一"动<0（x尸］），函数g（x）=，

玉一工2

且g（x）为奇函数，则不等式/（加2）+〃2机—3）>2的解集为（）

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.（-oo,一3）D（1,+OO）D.（~℃,—l）D（3,+oo）

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论中正确的是（）

A.样本相关系数「绝对值越接近1,则成对样本数据的线性相关程度越强

B.样本相关系数厂的绝对值越接近0,则成对样本数据的线性相关程度越弱

c.已知变量x,y具有线性相关关系，在获取的成对样本数据（西，坊），（演，兀），…，（Z，%）中，/，

々，…，血和%，为，…，K的均值分别为嚏和亍，则点值亍）必在其经验回归直线上

D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好

10.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（）

A.若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种

B.若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种

C.若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种

D.若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种

H.已知a>0,b>0,则下列条件中可以使得工+L的最小值为4的是（）

ab

A.ab=1B.a+h=\

11

C.-F=+-f=—2V2D.=8

yja7b晨.记

Inx*

12.已知函数〃x)=—j,g(x)=吃x，则下列说法中正确的是()

A./(2)>/(3)B.函数/(x)与函数g(x)有相同的最大值

C.〃2)>g⑵D.方程/(x)=g(x)有且仅有一个实数根

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某次数学考试中，学生成绩X~N(110,b2),若尸(95WX4125)=0.72,则尸(X>125)=

14.1加-2)的展开式中的常数项为(用数字作答).

x2+1,A：<0,

15.已知函数〃x)=<则/(2023)=

/(x-2),x>0,

16.如图1,抛物线上任意两点连接所得的弦与抛物线围成一个弓形区域，求抛物线弓形区域的面积是古希

腊数学家阿基米得最优美的成果之一，阿基米德的计算方法是：将弓形区域分割成无数个三角形，然后将

所有三角形的面积加起来就可以得到弓形区域的面积.第一次分割，如图2,在弓形区域里以A8为底边分

割出一个三角形AB&,确保过顶点G的抛物线E的切线与底边A6平行，ABG称为一级三角形；第二

次分割，如图3,以，ABG，两个边AG，BG为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两

个三角形△GIAC|,AC22BC,,确保过顶点C21，。22的抛物线E的切线分别与AC,,8G平行，△G|AC1,

△G28G都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿

基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面

积的;.设抛物线E的方程为y=4-直线AB的方程为y=x+2,请你根据上述阿基米德的计算方

图1图2图3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛〃“｝的前〃项和为S“，%+为=18,S7=49.

(1)求数列｛。,｝的通项公式：

a

⑵设bn=a„+2",求数列也｝前〃项和7；.

18.为研究在校学生每天玩手机时间是否大于1小时和学生近视之间的关联性，某视力研究机构采取简单随

机抽样的方法，调查了2000名在校学生，得到成对样本观测数据，样本中有40%的学生近视，有20%的

学生每天玩手机超过1小时，而每天玩手机超过1小时的学生近视率为50%.

(1)根据上述成对样本观测数据，完成如下2x2列联表，并依据小概率值e=0.001的独立性检验，分析每

天玩手机时间是否超过1小时会不会影响视力.

视力情况

每天玩手机时间合计

近视不近视

超过1小时

不足1小时

合计

(2)从近视的学生中随机抽取8人，其中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8

人中随机选出3人，设3人中每天玩手机时间超过1小时的学生人数为X，求随机变量X的分布列.

n(ad-bcf

参考公式：z2

(a+0)(c+d)(o+c)(8+d)

参考数据：下表是％2独立性检验中几个常用小概率值和相应的临界值.

a0.10.050.010.0050.001

27063841

%6.6357.87910.828

19.已知函数/(%)=%2-2,一。|+1.

⑴若函数"X)为偶函数，求。的值;

(2)当a>0时，若函数/(X)在［0,2］上的最小值为0,求”的值.

20.已知函数/(%)=以2+尤+——n%(a>0).

⑴若x=l是函数/(x)的极值点，求。的值；

(2)若函数/(X)有两个零点，求a的取值范围.

21.甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬币，甲乙双方各猜一个结果，要求

双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行〃(〃eN*)局，规定游戏

开始时甲乙初始位置一样.

(1)当〃=3时，设游戏结束时甲与乙的步数差为X，求随机变量X的分布列；

(2)游戏结束时，设甲与乙的步数差为丫，求七(丫)，。(丫)(结果用〃表示).

22.已知函数/(x)=恁2—%•

⑴讨论“X)的单调性；

⑵设函数g(x)=xlnx—若对任意xe(0,+8),不等式/(x)<g(x)恒成立，求。的取值范围.

2022-2023学年度第二学期质量检测

高二数学试题

2023.07

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合M={*1>°},N=W«<2},则“N=（）

A.{x|0<x<4}B.<x；<x<2

C.<x—<x<4>D.jx|O<x<—

I2JI,2

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合的交集运算即可；

【详解】「77<2,；.℃<4，N={x[0Vx<4},

又M=«x>g},

M（~\N=<x—<x<4»,

2

故选：C.

2.命题yXo^R,2与<片”的否定是（）

A.3x0eR,2">Nx：B.eR,2%>片

CVxeR,2X<x2D.VXGR,2V>x2

【答案】D

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.

【详解】含有一个量词的特称命题的否定，在否定结论的同时将存在量词改为全称量词,

r2w

即命题“3x0eR,2%<x：”的否定是“VxeR,2>x,

故选：D.

3.已知幕函数/（司=（〃/-2〃?-2产在（0,+8）上单调递减，则”=（）

A.-3B.-1C.3D.-1或3

【答案】B

【解析】

【分析】根据募函数的定义求出的值，再根据条件即可求出结果.

【详解】因为函数〃x)=(苏一2"-2)/'为基函数，

所以，/-2，〃-2=1，即m2-2加一3=0，解得加=3或机=-1,

又/")在(0,+e)上单调递减，所以机=-1,

故选：B.

4.设5,是数列｛。,｝的前〃项和，已知4=1且4川=2S“+1,则。5=()

A.101B.81C.32D.16

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论〃=1和〃N2,构造S“-S,T，化简得到通项公式即可求解.

【详解】〃=1时,4=25+1=3,

时，%M=2S,,+1①

an~2S“T+1②

由①一②得：an+l-an=2an,an+i=3an,且n=l时也满足,

故｛%｝是首项为1，公比为3的等比数列，%=1X34=81,

故选：B.

5.已知曲线/(x)=e2w在点(0,/(0))处的切线与直线2x—y+3=0垂直，则。=()

A.—2B.—1C.D.1

4

【答案】C

【解析】

【分析】先求导，根据在点处的切线、直线垂直斜率之积为-1求解.

【详解】/'(x)=2ae2"，/'(O)=2a,则2ax2=—l,a=-；,

故选：C.

6.“a<0”是“函数=l°gi(④+2)在区间(-8,1］上单调递增”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据复合函数的单调性判定。的范围，并且注意定义域.

【详解】因为/（%）=l°g；（以+2）在区间（-00,1］单调递增,

a<0

则《

=>-2<a<0r

〃xl+2>0

是一2v。＜0的必要不充分条件,

故选：A.

7.已知甲袋中装有机个红球，〃个白球，乙袋中装有3个红球，4个白球，先从甲袋中任取1球放入乙袋

中，再从乙袋中任取出1球，若取出的是红球的概率为竺，则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率

32

为（）

1134

A.-B.-C.一D.-

4345

【答案】C

【解析】

【分析】根据概率的可加性原则，分别计算两种情况概率然后求和，找到〃?，〃的关系，然后求解即可；

【详解】先从甲袋中任取1球放入乙袋中，有两种情况；

m3+14m

第一种，抽到红球放入，最后取出红球的概率为:-----x----=---------

m-vn8---8(m+n)

n33n

第二种，未抽到红球放入，最后取出红球的概率为：X-=z,X；

m-\-n88Q（根+〃）

4m3n15

根据题意，77一1大+且一1下=/，解得：m=3n,

8（/%+〃）8（/n+n）32

m3

则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为：------=一;

m+n4

故选：C.

8.已知函数“X）的定义域为R,%,苍€R都有小止迎»＜0（%#】），函数g（%）=〃力T，

Xl-X2

且g（x）为奇函数，则不等式/（"）+/（2〃?一3）＞2的解集为（）

A.（-3,1）B.（-1,3）

C.（-oo,—3）D（1,+OC）D.（—℃,—l）u（3,+＜x＞）

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数g(x)为奇函数，得到/(一x)+/(x)=2,然后结合题意，根据函数/(x)的单调性求

解；

【详解】解析：因为g(x)为奇函数，

所以g(-x)+g(x)=O,即/(-x)-l+/(x)-l=O,

所以/(—x)+/(x)=2,所以/(—>)=2一/52),

所以/(>)+/(2加一3)>2等价于/(2〃?—3)>

又因为V%,9eR都有(与一工2)[/(为)一/(/)]<。

所以函数/(x)在R上单调递减，

所以2〃z—3<-m2，

解得一3v加<1,

所以不等式的解集为(-3,1).

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论中正确的是()

A.样本相关系数r的绝对值越接近1,则成对样本数据的线性相关程度越强

B.样本相关系数〃的绝对值越接近0,则成对样本数据的线性相关程度越弱

C.已知变量x,y具有线性相关关系，在获取的成对样本数据(玉，%),(4，/)....(%，%)中，4,

々，…，x“和％,y2,y.的均值分别为嚏和亍，则点(x,y)必在其经验回归直线上

D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越宽，说明模型的拟合效果越好

【答案】ABC

【解析】

【分析】A,B选项根据样本相关系数的意义判断即可：C选项根据样本中心点在经验回归直线上判断；D

选项由残差点分布的水平带状区域宽窄说明模型的拟合效果判断.

【详解】选项A,B,由样本相关系数『的意义可知，

样本相关系数，的绝对值N越接近i时，成对样本数据的线性相关程度越强,

样本相关系数厂的绝对值越接近0,则成对样本数据的线性相关程度越弱

故选项A,B正确；

点存必在其经验回归直线上，故选项C正确；

在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好，故选项D错误；

故选：ABC.

10.甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加演出，下列说法中正确的是（）

A.若甲不在正中间，则不同的排列方式共有96种

B.若甲、乙、丙三人互不相邻，则不同的排列方式共有6种

C.若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则不同的排列方式共有20种

D,若甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有24种

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：先排甲同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于B：先排甲、丙、

丁同学，再排剩余的同学，结合分步乘法计数原理运算求解；对于C：利用插空法运算求解；对于选项D：

利用间接法运算求解.

【详解】对于选项A：因为甲不在正中间，则甲的不同的排列方式有C；=4种，

剩余的四人全排列，不同的排列方式有A：=24种，

所以不同的排列方式共有4x24=96种，故A正确；

对于选项B：若甲、乙、丙三人互不相邻，则甲、乙、丙三人在首位、中间和末位，

则不同的排列方式有A；=6种，

剩余的2人全排列，不同的排列方式有A；=2种，

所以不同的排列方式共有6x2=12种，故B错误；

对于选项C：若甲、丙、丁从左到右的顺序一定，则有四个间隔空位，

若乙、戊不相邻，把乙、戊安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有A；=12种；

若乙、戊相邻，把两人看成整体安排四个间隔空位中，不同的排列方式共有A；C：=8种；

所以不同的排列方式共有12+8=20种，故C正确；

对于选项D：若丙和丁相邻，不同的排列方式共有A；A：=48种，

若甲在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有C；A；A；=24种，

所以甲不在两端、丙和丁相邻，则不同的排列方式共有48-24=24种，故D正确;

故选：ACD.

11.已知a〉0,b>o,则下列条件中可以使得'+'的最小值为4的是()

ah

A.ab=lB.a+b=\

1111

C.—j=+-j^=2<2D,—r+—=8

4ay/ba2h2

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式依次求出最值即可求解.

【详解】选项A,若a/?=1时，—I——b-\—22,

abb

当且仅当〃=!时等号成立，即〃=l,a=l,故A错误；

选项B,若a+Z?=］时，—+^-=f—+-7+=2+—+—>2+2./—•—=4>

ab\abPab\ab

当且仅当2=，时等号成立，即“=。=2，故B正确；

ab2

11ch112

选项C,若方=+丁=2.2时，两边平方得一+：+方〒=8n,

7a7bciby/ab

因为泊端，所以卜卜8-11即J_+』N4,

a+bab

当且仅当。=匕=，等号成立，故c正确；

2

选项D,若二+1=8,则--=8,

a2b-h)ah

1I21(\iY

因为"F所以1—+->——

\ab)ab

所以即、乂4,

ab)2\ab)ab

当且仅当。=8=，时等号成立，故D错误；

2

故选：BC.

InyY

12.已知函数/(x)=—g(x)=—,则下列说法中正确的是()

A.f(2)>/(3)B.函数与函数g(x)有相同的最大值

C.〃2)>g⑵D.方程/(x)=g(x)有且仅有一个实数根

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,对〃x)=?求导后，可得/(x)=¥在(e,+8)内单调递减，又

/(4)=竽=。="2),利用单调性即可判断；对于B,由A可得f(x)max=/(e)=L对g(x)=］

求导后可得g(x)加=g(l)=J，从而可判断：对于C,由/(2)=d2=空,8(2)=2=奔，再

e24ee

〃X)=5'在(e,+8)内单调递减即可判断；对于D,结合函数图像易知方程y(x)=g(x)在(0,e］内有

且仅有一个实数根，再证明/(x)>g(x)在(备+⑹内恒成立，即可判断.

【详解】对于A：/'(同=三等，则当0<x<e时，/'(x)>O,/(x)单调递增，

当％〉e时，/'(x)<O,/(x)单调递减，所以/⑶>〃4),

又/(4)=野=当=/(2)，所以〃2)</(3),故A错误；

对于B：由A可得/(力,皿=/a)=:,

因为g'(x)=宏，则当X<1时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

当x>"寸，g'(x)<o,g(x)单调递减，所以g(x)皿=g6=：，B正确；

对于C：若/(2)>g⑵，即止=庭〉2=昨，

42e2e2

即牛>塔，结合函数/(*)=?在(露+8)内单调递减，且4<e2,故C正确；

对于D：结合函数图像易知，方程/(x)=g(x)在(0,e］内有且仅有一个实数根，

下面证明,在(e,+oo)内恒成立,

竹g（x）,即乎十*

当x«e,+x>）时，〃力=平单调递减且》<曰所以皿>里，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：对于C,注意到42）=电2=@±g（2）=2=^，从而利用函数/（1）=叱在

24eex

（e,+8）内单调递减，即可判断.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某次数学考试中，学生成绩X~N（11O,〃），若P（95«XV125）=0.72,则P（X>125）=

7

【答案】0.14##—

50

【解析】

【分析】根据学生成绩付出正态分布N（1IO。?），由正态分布的对称性可得

P（X>125）=；（1一P（95<X<125））,即可得答案.

【详解】由于学生成绩X〜N（110,CT2）,P（95WX4125）=0.72

所以P（X>125）=g（l—P（95VX4125））=；（l-0.72）=0.14

故答案为：0.14.

14.[6的展开式中的常数项为（用数字作答）.

【答案】-8

【解析】

【分析】利用二项展开式的通项公式求解.

【详解】由二项展开式的通项公式得

(2\4-r/)4一4一

口匕卜(—2)Cb,

由4-芋—4Y=0解得r=l，则常数项为/(―2x)C1：=—8,

故答案为：-8.

已知函数外加优赞，则”2023)

15.

【答案】2

【解析】

【分析】由函数的周期性可知/(2023)=/(1),再根据相应的范围代入相应的解析式中即可求解.

【详解】当x>0时，由/(%)=/(%-2)得f(x)=〃x+2),

即x>0时，“X)的周期为2，/(2023)=/(2xl010+l)=/(l),

则〃1)=〃-1)=(-1『+1=2,

故答案为：2.

16.如图1,抛物线上任意两点连接所得的弦与抛物线围成一个弓形区域，求抛物线弓形区域的面积是古希

腊数学家阿基米得最优美的成果之一，阿基米德的计算方法是：将弓形区域分割成无数个三角形，然后将

所有三角形的面积加起来就可以得到弓形区域的面积.第一次分割，如图2,在弓形区域里以A6为底边分

割出一个三角形ABC「确保过顶点的抛物线£的切线与底边AB平行，称为一级三角形；第二

次分割，如图3,以，ABC-两个边AG，BG为底边，在第一次分割得到的两个弓形区域继续分割出两

个三角形△G3G，^C22BC),确保过顶点C21，C22的抛物线E的切线分别与AC,,BG平行，△G3G，

△G28G都称为二级三角形；重复上述方法，继续分割新产生的弓形区域……，借助抛物线几何性质，阿

基米德计算得出任意一级的所有三角形的面积都相等，且每个三角形的面积都是其上一级的一个三角形面

积的1.设抛物线E的方程为y=4-f,直线AB的方程为y=x+2,请你根据上述阿基米德的计算方

8

法，求经过〃次分割后得到的所有三角形面积之和为.

【解析】

27

【分析】理解新定义的概念，先找到一级三角形的面积SABC=一，再根据三角形面积的数量关系判定每

一级三角形的面积构成等比数列，利用等比数列求和进行计算.

2

【详解】y^4-x,y'=-2x,

设与直线A3平行的抛物线E的切线的切点为C；（玉），4一片卜

则一2/=1,解得％=一；，所以6眉?

(115、--------F2r-

所以点G-不二到直线A3的距离为/249V2,

24J

Id='

y=x+2fx=-2fx=1..p-

由，，2解得c或。所以AB=3&‘

y=4-x[y=0[y=311

所以S.ABG=g|A同xd=；x3j^x2^=|‘

根据规律，每一级三角形的个数是上一级个数的2倍,

每一级三角形的面积是上一级的面积的1，

8

则每一级三角形的面积S“=2X2"TX（，）=—xf-1

"8⑶8

故经过〃次分割后得到的所有三角形面积之和为:

4

9f1Y

故答案为：-1--.

2[14人

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题，解题关键是找到关于面积的数量关系.本题中先求出

27(1

SABC,然后根据每一级三角形的面积的数量关系，表示出s,=KxL，由等比数列求和公式

求解.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力.属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知等差数列｛。"｝的前”项和为S”，4+。7=18,S7=49.

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)设b„=an+24,求数列也｝的前〃项和T„.

【答案】(1)4=2〃-1

2n+1

⑵1=/+2-2

3

【解析】

&+%=18=24，得从而网a,=1

【分析】(1)由《2=49=7/4=7,%=9,C，进而求得通项公式;

d=2

(2)利用分组求和方法，结合公式法即可求解.

【小问1详解】

2+%=18=24

由,&=；9=7。「'得q=7,-9,

eq+3d=74=1

则《

d=2'

所以，数列｛4｝的通项公式区,=2〃-1.

【小问2详解】

由(1)知，由=q+2%=2〃-1+221

所以，7；,=(1+3+5+-+2/?-1)+(2'+23+25+--+22"-')

匕止。

21-4

1+1

-2

=n

3

18.为研究在校学生每天玩手机时间是否大于1小时和学生近视之间的关联性，某视力研究机构采取简单随

机抽样的方法，调查了2000名在校学生，得到成对样本观测数据，样本中有40%的学生近视，有20%的

学生每天玩手机超过1小时，而每天玩手机超过1小时的学生近视率为50%.

(1)根据上述成对样本观测数据，完成如下2x2列联表，并依据小概率值a=0.001独立性检验，分析每

天玩手机时间是否超过1小时会不会影响视力.

视力情况

每天玩手机时间合计

近视不近视

超过1小时

不足1小时

合计

(2)从近视的学生中随机抽取8人，其中每天玩手机时间超过1小时的2人，不超过1小时的6人，现从8

人中随机选出3人，设3人中每天玩手机时间超过1小时的学生人数为X,求随机变量X的分布列.

n(ad-be)2

参考公式：X"—

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据：下表是72独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)列联表见解析，长时间(每天超过1小时)玩手机与视力情况有关联

(2)分布列见解析

【解析】

【分析】(1)先列出2x2列联表，根据独立性检验公式求解即可；

(2)由离散型随机变量的分布列求解.

【小问1详解】

视力情况

每天玩手机时间合计

近视不近视

超过1小时200200400

不足1小时60010001600

合计80012002000

根据列联表中的数据，经计算得到

2000(200x1000-200x600)?

»20.833>10.828

400x1600x800x1200

根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们认为长时间(每天超过1小时)玩手机与视力情况有关联.

【小问2详解】

随机变量X的可能取值为0，1，2.

贝小便=。)=萼=得，P(X=D=萼=葛，P(X=2)=^=W'

JJZOJZO

所以X的分布列为

X012

5153

P

142828

19.已知函数/(“bd-zk-d+i.

⑴若函数/(X)为偶函数，求a的值；

(2)当a>0时，若函数/(力在［0,2］上的最小值为0,求。的值.

【答案】(l)a=0

1

(2)«=-

2

【解析】

【分析】⑴由“X)为偶函数，/(—)=/(可直接求解即可.

、f(%-l)2+2a,x>a

(2)先分段讨论，找出/(尤)=〈,,讨论函数的单调性，由此找到最小值.

(x+l)2-2a,x<a

【小问1详解】

若函数/(X)为偶函数,

则/(—x)=/(x),即(一x)~—2|一x-a1+1=无?一2|x一+1,

所以卜+4=卜一。|,

所以4=0.

【小问2详解】

(x-1)2+2a,x>a

a>0时,〃x)=,

(x+1)2-2a,x<a

当0vav1时,

/(x)在［0,a)内单调递增，在(a,1)内单调递减，在(1,2］内单调递增,

又/(O)=l-2a,/(l)=2a,所以1-24=0,解得a=—,

当aNl时，/(x)在［0,2］内单调递增，

所以/(0)=1-2。=0,解得a=g(舍)，

综上:a='.

2

|Q1

20.已知函数/(x)=at?+%_|....-(a>0).

(1)若x=l是函数/(x)的极值点，求。的值；

(2)若函数/(x)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(l)a=l

八1

(2)0<a<-

e

【解析】

【分析】(1)求导，利用导数研究函数的单调性、极值.

(2)利用导数研究函数的单调性、图象，根据函数/(x)有两个零点求解.

【小问1详解】

函数“X)的定义域为(0,+8)，

32a2x2+ax-3_(ax-l)(2ax+3)

f(x}=2ax+l——二

axaxax

因为。〉0,所以举匚二〉0,

ax

若x=l是函数的极值点，则a—1=0,所以a=l.

当a=H寸，若制勺>0则》>1,函数/(x)在(1,+00)上单调递增，

若广(6<0则0<x<L函数/(4)在(0,1)上单调递减,

所以x=1是函数/(x)的极小值点，此时a=l.

【小问2详解】

由⑴知，

若制x)>0,则x>J,函数/(x)在区间上单调递增，

若r(x)<0,则0<x<5,函数/(x)在区间(0,j上单调递减，

所以x=L是函数/(x)的极小值点，/(x)min=/])=3+：na,

当x->0时，/(x)->+oo,当xf+oo时，/(x)->+oo,

所以若函数/(另有两个零点，则仅需/(;)=3+：na<0,

所以0<a<一.

e

21.甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬币，甲乙双方各猜一个结果，要求

双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行〃(〃eN*)局，规定游戏

开始时甲乙初始位置一样.

(I)当〃=3时，设游戏结束时甲与乙的步数差为X，求随机变量X的分布列；

(2)游戏结束时，设甲与乙的步数差为F，求£(丫)，。(丫)(结果用〃表示).

【答案】(1)分布列见解析；

(2)E(r)=0,D(Y)=9n.

【解析】

【分析】(1)根据二项分布的概率公式求解即可；

(2)设在“局游戏结束时，甲共猜对了J次，则可得丫=6自一3〃，根据二项分布的期望与方

差公式及性质即可求解.

【小问1详解】

当〃=3时，随机变量X所有可能取值为一9,一3,3,9,

P(X=—9)=C”』,

2)=鸣4

所以，随机变量X的分布列为

X-9-333

133

P

8888

【小问2详解】设在〃局游戏结束时，甲共猜对了4次，则4~8(〃,3),

因为，甲与乙的步数差丫=[2>(〃-4)卜[2(八-劣-4]=64-3〃，

所以，E(y)=6E(。)—3〃=6〃x；-3