福建省夏门市2023-2024学年中考二模数学试题含解析

福建省夏门市金鸡亭中学2023-2024学年中考二模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.据财政部网站消息，2018年中央财政困难群众救济补助预算指标约为929亿元，数据929亿元科学记数法表示为

（）

A.9.29X109B.9.29X1O10C.92.9X1O10D.9.29X1011

—3a3

2.VTM：/trj给果是()

(〃一1)1)

a313

A.C.D.------

(1)a—1a—1。+1

3.下列计算正确的是（)

〃〃(标)〃

A.°3.2=6B.2=5C.D.Q+2a=3〃

-g）r+Gtan30。的结果是（）

4.计算(2017-Jr)°-(

A.5B.-2C.2D.-1

5.下列等式正确的是（)

A.X3-x2=xB.a3-ra3=a

(一2)2—g

C.D.(-7)4-?(-7)2=_72

6.将(X+3)2-(X-1)2分解因式的结果是（)

A.4(2X+2)B.8x+8C.8(x+1)D.4(x+1)

7.在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是（）

8.如图，PA，PB是。的切线，点。在A3上运动，且不与A，3重合，AC是：直径.ZP=62°,当BDHAC

时，NC的度数是（）

D0

p

A.30°B.31°C.32°D.33°

9.气象台预报“本市明天下雨的概率是85%”，对此信息，下列说法正确的是（）

A.本市明天将有85%的地区下雨B.本市明天将有85%的时间下雨

C.本市明天下雨的可能性比较大D.本市明天肯定下雨

10.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对角线互相平分

C.对角线相等D.对边相等

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，将△AOB绕点。按逆时针方向旋转45。后得到△COD,若NAOB=15。，贝!JNAOD=__度.

12.如图，若点A的坐标为（1,6），则sin/1=.

14.分解因式：x3-2x2+x=.

15.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的长为1,点P是线段BD上的一点，联结CP,将△BCP沿着直线CP翻折,

若点B落在边AD上的点E处，且EP〃AB,则AB的长等于

/>

n

16.如图，在扇形AOB中，ZAOB=90°,点C为OA的中点，CELOA交人方于点E,以点O为圆心，OC的长为

半径作CD交OB于点D,若OA=2,则阴影部分的面积为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，RtAABC中，ZC=90°,AB=14,AC=7,D是BC上一点，BD=8,DE_LAB,垂足为E,求线段

DE的长.

18.（8分）如图，RtAABC,CA±BC,AC=4,在AB边上取一点D,使AD=BC,作AD的垂直平分线，交AC

边于点F,交以AB为直径的OO于G,H,设BC=x.

（1）求证：四边形AGDH为菱形；

（2）若EF=y,求y关于x的函数关系式；

（3）连结OF,CG.

①若△AOF为等腰三角形，求OO的面积；

②若BC=3,贝U同CG+9=.（直接写出答案）.

19.（8分）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平

放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这

个圆形截面的半径.

20.(8分)如图，在AABC,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC、BC于点D、E,且BF是。O的切线，BF

交AC的延长线于F.

(1)求证：ZCBF=-ZCAB.(2)若AB=5,sinZCBF=—,求BC和BF的长.

25

21.(8分)对于平面直角坐标系xOy中的任意两点M(%,%),N(x2,y2),给出如下定义：点M与点N的“折线距

离”为：t/(M,?/)=|x1-x2|+|^-y2|.

3-

2■

例如：若点M(-l,1),点N(2,-2),则点M与点N的“折线距离”为：tZ(M,^)=|-l-2|+|l-(-2)|=3+3=6.根

据以上定义，解决下列问题：已知点P(3,-2).

①若点A(-2,-1),则d(P,A)=；

②若点B(b,2),且d(P,B)=5,则b=；

③已知点C(m,n)是直线丁=一无上的一个动点，且d(P,C)<3,求m的取值范围.OF的半径为1,圆心F的坐标

为(0,t),若。F上存在点E,使d(E,0)=2,直接写出t的取值范围.

22.(10分)如图，菱形ABCD中，已知NBAD=120。，NEGF=60。,NEGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角

的两边分别交边BC、CD于E、F.

(1)如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；

(2)知识探究：

①如图乙，当顶点G运动到AC的中点时，请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系(不需要写出证明过程);

Ar

②如图丙，在顶点G运动的过程中，若一=t,探究线段EC、CF与BC的数量关系；

GC

23.(12分)已知。O的直径为10,点A,点B,点C在。O上，NCAB的平分线交。O于点D.

(I)如图①，若BC为。。的直径，求BD、CD的长；

(II)如图②，若NCAB=60。，求BD、BC的长.

24.如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层(ABLBC),他家的后面有一建筑物CD(CD〃AB),他很想知道这座

建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43。，顶部D的仰,角是25。，他又测得两建

筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度(精确到1米).

CB

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

科学记数法的表示形式为axr的形式，其中lw|a|Vl,n为整数.确定n的值是易错点，由于929亿有11位，所以可

以确定n=ll-l=l.

【详解】

解：929亿=92900000000=9.29x1

故选B.

【点睛】

此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

2、B

【解析】

根据分式的运算法则即可求出答案.

【详解】

3a-3

解：原式=7

("1)

3(a-l)

(a—行

3

a—1

故选；B

【点睛】

本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

3、D

【解析】

根据同底数塞的乘法、积的乘方与塞的乘方及合并同类项的运算法则进行计算即可得出正确答案.

【详解】

解：A.故该选项错误；

B.(a3)2=a3x2=a6#5,故该选项错误；

C.(ab2)3=a3bVab6,故该选项错误；

D.a+2a=(1+2)a=3a,故该选项正确；

故选D.

考点：L同底数塞的乘法；2.积的乘方与塞的乘方；3.合并同类项.

4、A

【解析】

试题分析：原式=1—(―3)+J^XY^=1+3+1=5,故选A.

3

5、C

【解析】

直接利用同底数塞的乘除运算法则以及有理数的乘方运算法则分别计算得出答案.

【详解】

解：A、x3-x2,无法计算，故此选项错误；

B、a3-ra3=l,故此选项错误；

C、(-2)2-r(-2)3=--,正确；

2

D、(-7)I(-7)2=72,故此选项错误；

故选C.

【点睛】

此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及有理数的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

6、C

【解析】

直接利用平方差公式分解因式即可.

【详解】

(x+3)2-(x-1)2=[(x+3)+(x-1)][(x+3)-(x-1)]=4(2x+2)=8(x+1).

故选C.

【点睛】

此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键.

7、D

【解析】

根据中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A.不是中心对称图形，本选项错误；

B.不是中心对称图形，本选项错误；

C.不是中心对称图形，本选项错误；

D.是中心对称图形，本选项正确.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

8、B

【解析】

连接OB,由切线的性质可得NP4O=NQBO=90。，由邻补角相等和四边形的内角和可得4OC=ZP=62。，再

由圆周角定理求得ND,然后由平行线的性质即可求得/C.

【详解】

解，连结OB,

：.PA±OA,PBLOB,则N7MO=NPBO=90°,

V四边形APBO的内角和为360°,即ZB4O+ZPBO+ZP+ZAOB=360°,

ZP+ZAOB=180°,

又；ZP=62°,ZBOC+ZAOB=180°,

：.ZBOC^ZP=62°,

,:BC=BC，

ZD=-ZBOC=31°,

2

；BD//AC,

AZC=ZD=31°,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、平行线的性质和四边形的内角和，解题的关键是灵活运用有关定理和性质

来分析解答.

9、C

【解析】

试题解析：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：

A、明天降水的可能性为85%,并不是有85%的地区降水，错误；

B、本市明天将有85%的时间降水，错误；

C、明天降水的可能性为90%,说明明天降水的可能性比较大，正确；

D、明天肯定下雨，错误.

故选C.

考点：概率的意义.

10、C

【解析】

试题分析：举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可.

解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；

平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线

互相平分；

...矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，

故选C.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、30°

【解析】

根据旋转的性质得到NBOD=45。，再用NBOD减去NAOB即可.

【详解】

•.•将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45。后，得到ACOD,

ZBOD=45°,

又•../AOB=15°,

:.ZAOD=ZBOD-ZAOB=45°-15°=30°.

故答案为30。.

12、2

2

【解析】

根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案.

【详解】

如图，由勾股定理，得：OA=doB~+AB~=1.sinZl=—=故答案为走.

OA22

【解析】

试题分析：根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x,使得x2=a,则x就是a的算术平方

根，特别地，规定0的算术平方根是0.

V22=4,.”3=2.

考点：算术平方根.

14、x(x-1)2.

【解析】

由题意得，x3-2x2+x=x(x-1)2

15、

2

【解析】

设CD=AB=a,利用勾股定理可得到RtACDE中，DE2=CE2-CD2=l-2a2,RtZkDEP中，DE2=PD2-PE2=L2PE,进而得

出PE=a2,再根据△DEPs^DAB,即可得到一=—，即一=------,可得幺=即可得到AB的长等

ABBDa1a1

于心二.

2

【详解】

如图，设CD=AB=a,贝!|BC2=BD2-CD2=La2,

由折叠可得，CE=BC,BP=EP,

/.CE2=l-a2,

.♦.RtACDE中，DE2=CE2-CD2=L2a2,

VPE/7AB,ZA=90°,

.,.ZPED=90°,

；.R3DEP中，DE2=PD2-PE2=(1-PE)2-PE2=l-2PE,

：.PE=a2,

；PE〃AB,

/.△DEP^ADAB,

PEPDPE1-PE

：.—=——，即an一=------,

ABBDa1

.矿1—a~

••---=------9

a1

即a2+a-l=0,

解得q=誓1,g=著二1(舍去)，

AAB的长等于

2

故答案为避二1.

2

16、^+―.

212

【解析】

试题解析：连接OE、AE,

•••点C为OA的中点，

.,.ZCEO=30°,ZEOC=60°,

.-.△AEO为等边三角形，

60〃x222

S扇形AOE=------------------———71,

3603

S阴影=S扇形AOB-S扇形COD-（S扇形AOE-SACOE）

90〃x2290兀xI2

xlx^3）

36036032

326

=一万——71A---------

432

/+电

122

三、解答题(共8题，共72分)

17、1.

【解析】

试题分析：根据相似三角形的判定与性质，可得答案.

试题解析：VDE±AB,AZBED=90°,又NC=90。，.,.ZBED=ZC.又NB=NB,/.ABED^ABCA,二三二三,

0Uuu

.\DE=^^=—=1.

考点：相似三角形的判定与性质.

18、(1)证明见解析；(2)y=-x2(x>0)；(3)①3兀或8兀或(2&7+2)n；②4万.

83

【解析】

(1)根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；

AEEF

(2)只要证明△AEFs^ACB,可得一=—解决问题；

ACBC

(3)①分三种情形分别求解即可解决问题；

②只要证明△CFGS^HFA,可得——=—,求出相应的线段即可解决问题;

AFAH

【详解】

(1)证明：YGH垂直平分线段AD,

；.HA=HD,GA=GD,

；AB是直径，AB±GH,

；.EG=EH,

/.DG=DH,

，AG=DG=DH=AH,

二四边形AGDH是菱形.

(2)解：...AB是直径，

/.ZACB=90°,

；AE_LEF,

/.ZAEF=ZACB=90°,

；NEAF=NCAB,

/.△AEF^AACB,

•AE_EF

••一9

ACBC

1

.一x

••2_y>

4x

,\y=—x2(x>0).

8

图1

VGH垂直平分线段AD,

.\FA=FD,

，当点D与O重合时，ZkAOF是等腰三角形，此时AB=2BC,ZCAB=30°,

3

OO的面积为一7T.

3

图2

；AB=7AC2+BC2=V16+X2，

解得x=4（负根已经舍弃）,

•e•AB—4\/2，

AOO的面积为87t.

如图2-1中，当点C与点F重合时，设AE=x,则BC=AD=2x,AB=716+4x2-

,.,△ACE-^AABC,

,\AC2=AE«AB,

，16=x・46+4尤2,

解得x2=2ji万-2(负根已经舍弃)，

:.AB2=16+4x2=8V17+8,

，。0的面积=7t・：・AB2=(2717+2)n

综上所述，满足条件的。。的面积为。兀或87r或(2^/17+2)g

图3

VAC=4,BC=3,ZACB=90°,

；.AB=5,

5

/.OH=OA=-,

2

3

；.AE=-,

.“59,~；-----15,~；------病

..FG=---AF=7AE2+EF27=y»AH=J.+E“2=《_,

VZCFG=ZAFH,NFCG=NAHF,

.,.△CFG^AHFA,

.GFCG

••一,

AFAH

V219

•。-8CG

"15^/30

8。

3^/30

10

.•.同CG+9=4@.

故答案为46.

【点睛】

本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、

解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问

题.

19、这个圆形截面的半径为10cm.

【解析】

分析：先作辅助线，利用垂径定理求出半径，再根据勾股定理计算.

解答：解：如图，OELAB交AB于点D,

O

贝！IDE=4,AB=16,AD=8,

设半径为R,

/.OD=OE-DE=R-4,

由勾股定理得，OA2=AD2+OD2,

即R2=82+(R-4)2,

解得，R=10cm.

on

20、(1)证明略；(2)BC=275,BF=—.

3

【解析】

试题分析：(1)连结AE.有AB是。O的直径可得NAEB=90。再有BF是。O的切线可得BFJ_AB,利用同角的余角相

等即可证明；

(2)在RtAABE中有三角函数可以求出BE,又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,

过点C作CG_LAB于点G.可求出AE,再在RtAABE中，求出sin/2,cosN2.然后再在RtACGB中求出CG,最后

证出AAGC^AABF有相似的性质求出BF即可.

试题解析：

(1)证明：连结AE.YAB是。。的直径，.*.NAEB=90。，/.Zl+Z2=90°.

•；BF是。O的切线，；.BF_LAB,AZCBF+Z2=90°..\ZCBF=Z1.

VAB=AC,NAEB=90。，/.Zl=-ZCAB.

.\ZCBF=-ZCAB.

2

(2)解：过点C作CG_LAB于点G.；sinNCBF=t，Z1=ZCBF,.,.sinZl=^y.

VZAEB=90°,AB=5.，BE=AB-sinNl=VL

VAB=AC,NAEB=90。，，BC=2BE=2氐

在RSABE中，由勾股定理得=-腔=2我.

在RtACBG中，可求得GC=4,GB=2..\AG=3.

VGC/7BF,AAAGC^AABF.:.—=——

BFAB

.GCAB20

・・BF=----------=—・

AG3

考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.

21、(1)①6,②2或4,③lVm<4；(2)2—&f〈3或—3Kf〈拒—2.

【解析】

(1)①根据“折线距离”的定义直接列式计算；

②根据“折线距离”的定义列出方程，求解即可；

③根据“折线距离”的定义列出式子，可知其几何意义是数轴上表示数m的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点

的距离之和小于3.

(2)由题意可知忖+回=2,根据图像易得t的取值范围.

【详解】

解:(1)①d(P,A)=|3-(-2)|+|(-2)-Gl)|=6

②J(P,B)=|3-Z?|+|(-2)-2|=|3-Z?|+4=5

/.|3-Z?|=1

:.b=2或4

(3)J(P,C)=|3-m|+|(-2)-w|=|3-m|+|-2+m|=|m-3|+|m-2|<3,

即数轴上表示数m的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和小于3,所以lVmV4

(2)设E(x,y),则国+回=2,

如图，若点E在。F上，则2-&W/K3或—3K/〈行—2.

【点睛】

本题主要考查坐标与图形，正确理解新定义及其几何意义，利用数形结合的思想思考问题是解题关键.

119

22、(1)证明见解析(2)①线段EC,CF与BC的数量关系为：CE+CF=—BC.②CE+CF=-BC(3)-

2t5

【解析】

(1)利用包含60。角的菱形，证明尸，可求证；

⑵由特殊到一般，证明从而可以得到EC、CF与3c的数量关系

(3)连接50与AC交于点区利用三角函数38,AH,5的长度，最后求3C长度.

【详解】

解：（1）证明：•••四边形ABCO是菱形，N3AO=120。,

二/区4c=60°,ZB=ZACF=60°,AB=BC,AB=AC,

■:ZBAE+NE4C=NEAC+NCA尸=60°,

ZBAE=ZCAF,

在^CA歹中，

ZBAE=ZCAF

<AB=AC,

ZB=ZACF

：./\BAE^/\CAF,

:.BE=CF,

，EC+CF=EC+BE=BC,

即EC+CF^BC；

（2）知识探究：

①线段EC,CT与3c的数量关系为：CE+C尸

2

理由：如图乙，过点A作AE，〃EG,AF，〃GF,分别交BC、CD于E'F\

类比（1）可得：EC+CF=BC,

VAE'/ZEG,

.'.ACAE'^ACGE

CECG_1

CF-C4-2

:.CE=-CE',

2

同理可得：CF=-CF',

2

:.CE+CF=-CE'+-CF'=-（CE'+CF'}=-BC,

222V72

即CE+CF=，C；

2

②CE+C尸=%C

t

理由如下：

过点A作4E，〃EG,AF'//GF,分别交BC、CZ>于£\F

图丙

类比（1）可得：E'C+CF'^BC,

'：AE'//EG,：.ACAE'^ACAE,

,CECG1.1

••-------------=-,••CE=—CEff

CEACtt

同理可得：CF^-CF',

t

CE+CF=-CE'+-CF'^-(CE'+C尸)=-BC,

tttt

即CE+CP=!BC；

t

(3)连接30与AC交于点"，如图所示：

在RtA中，

'：AB=8,ZBAC=60°,

.*.B7/=ABsin60°=8x2^=4^/3,

1

AH=CH=ABcos6Q°=8x—=4,