2024新高考押题预测模拟数学试卷2（新高考九省联考题型）（含答案解析）

2024年高考数学押题预测卷02

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若(l-2i)(二-3-2i)=2+i,则2=()

A3—3/B.3+31C.-3+31D.—3—31

2.已知向量）=（2,0）,5=（—1,百），则石与（1―B）夹角的余弦值为（）

11

A百B-CD6

2222

17C

3.“直线xsin6+—y-l=0与x+ycos6+l=0平行"是"6=—"的（）

2-4

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

623456

4.（.r-1）=a0+OjX+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,则。2+。4+。6=（）

A.64B.33C.32D.31

5.公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖唯的“开立圆术”.祖眶在求球的体积时，使用一个

原理：“幕势既同，则积不容异”.“嘉”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如

在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平

行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被

称为“祖瞄原理3D打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用3D打印技

术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为人的水平截面的面积S可以近似用函数

2

S（/I）=7r（9-/l）,力e[0,9]拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（）

6.在中，内角43,C的对边分别为。、4c,若(a+c)(siih4—sinC)=6(siiM-sin5),且

c=JJ,则?的取值范围为()

A.(-L2)B.(1,2)C.卜当,可D.(一1,石)

7.己知正实数6,c满足生口=2°—无里=3〃一丝担=4°—c,则a,“c的大小关系

abc

为()

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.b<a<c

71

8.已知耳，鸟是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且“尸石二§,若椭圆的离心

率为弓，双曲线的离心率为4，则壬+丹的最小值是()

.2+出R1+A/3r273n4百

3333

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.数据6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的第70百分位数是8.5

B.若随机变量X〜N(2,，)，P(x>l)=0.68,则P(2<x<3)=0.18

C.设45为两个随机事件，尸(Z)>0,若尸(囚/)=尸(5),则事件4与事件B相互独立

D.根据分类变量X与丫的成对样本数据，计算得到力2=4.712,依据a=0.05的卡方独立性检验

(x005=3.841),可判断X与y有关且该判断犯错误的概率不超过0.05

10.若函数/(x)=2sin?dog?sin*+2cos?x・log2cosx,则()

A.”x)的最小正周期为万

B.〃x)的图象关于直线》=三对称

4

C./(x)的最小值为-1

D./(x)的单调递减区间为(2上1.?+2上1}keZ

11.设函数f(x)的定义域为R,“X)为奇函数，/(l+x)=/(l-x),/(3)=1,贝ij()

A/(-1)=1B./(x)=/(4+x)

18

c./(x)=/(4-x)D.⑹=—1

k=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合/={'H<X<4},B=W>卷，则桢八

11

13.已知力为圆Gx?+（-y—l9）2=［上的动点，6为圆房（x—39）2+y2=］上的动点，户为直线

V=1x上的动点，则|尸耳一帜⑷的最大值为.

14.己知数列{《,}的通项公式为例=」一，5,=。口2+。2。3+―+%4+1，若对任意"CN*，不等式

〃+3

恒成立，则实数力的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：

分）情况统计如下：

场次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率：

（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分

的场数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概

率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设乂为甲获胜的场数，月为乙获胜的场数，月为丙

获胜的场数，写出方差。（耳），。（巴），。（4）的大小关系.

16.如图，在多面体43CDM中，底面43C。为平行四边形，AB=2,AD=2也,/ABD=90。,

矩形ADE尸所在平面与底面4BCZ）垂直，M■为CE的中点.

（1）求证：平面皮〃平面NM；

（2）若平面与平面3CF夹角的余弦值为叵，求CE与平面5ZW所成角的正弦值.

17.已知函数/（x）=x-olnx-l（aeR）.

<1）若曲线P=/（x）在点。,0）处的切线为x轴，求。的值:

（2）讨论/（X）在区间（1,+®）内极值点的个数：

18.已知抛物线：V=2x,直线/:y=x-4,且点5,0在抛物线上.

（1）若点4c在直线,上，且45,C,O四点构成菱形4BC。，求直线5。的方程；

（2）若点A为抛物线和直线/的交点（位于*轴下方），点。在直线/上，且4瓦。,。四点构成矩

形4BCZ）,求直线5。的斜率.

19.若无穷数列｛%｝的各项均为整数.且对于V7,/eN*,，＜/,都存在左〉）,使得

ak=则称数列｛4｝满足性质£

（1）判断下列数列是否满足性质R并说明理由.

①=n，n=1f2,3,…；

②6〃=〃+2,n=1,2,3,….

⑵若数列｛%｝满足性质R且4=1,求证：集合｛〃eN*|%=3｝为无限集；

（3）若周期数列｛%｝满足性质P,请写出数列｛%｝的通项公式（不需要证明）.

2024年高考数学押题预测卷02

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.若（l-2i）（二—3—2i）=2+i,则2=（）

A3—3zB.3+31C.—3+31D.—3—31

【答案】B

°〜2+i（2+i）（l+2i）5i.

【解析】由题意得二一3-21=丁==:===1,所以z=3+3i.

1-21（1-21）（1+21）5

故选：B.

2.已知向量值=（2,0）石=（一1,百），则）与（G-B）夹角的余弦值为（）

A.--B.--C.yD.—

2222

【答案】D

【解析】因为万一3=卜,一百），则|Z-加=26，

-（a-b\a6J3

所以―,丹司r尔咛.

故选:D.

171

3.“直线xsine+'y-luO与x+.vcos，+l=0平行"是"6=z"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若直线xsind+；y—1=0与x+.vcos6+l=0平行，

2_

易得：sin。wO,cos。,故：sin〃2—1,

1cos01

Ill7T兀

则sin6cos8=2sin2。=5,sin26=1,28=彳+2版（左e7^）,0=—+hi（kwZ）

TV

得不到9=一,故不是充分条件；

4

兀11

反之，当。=一时sin6_2-1成立，故直线xsin6+—y-1=0与x+ycos，+l=0平行，是

4-W2

1cos。1

必要条件；

1兀

故“直线xsinO+gy—1=0与x+_ycos，+l=0平行”是“。=]”的必要不充分条件，

故选：B.

623456

4.（x-1）=a0+atx+a2x+a3x+a4x+a5x+a6x,则生+/+七=（）

A.64B.33C.32D.31

【答案】D

3456

【解析】因为（x-l）6-%+。好+。282+a3x+a4x+a5x+a6x,

所以令x=0可得g=l①，

令X=1可得Q0+Q]+a2+Q3+。4+。5+。6=0②'

令X——1.可得4—Q]+出—%+〃4—〃5+“6=?6（3）,

②+③可得旬+%+%+。6=250,

将①代入④可得出+%+。6=2,-1=31.

故选：D

5.公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖晅的“开立圆术”.祖眠在求球的体积时，使用一个

原理：“嘉势既同，则积不容异”幕”是截面积，“势”是立体的高，意思是两个同高的立体，如

在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平

行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被

称为“祖眶原理”.3D打印技术发展至今，已经能够满足少量个性化的打印需求，现在用3D打印技

术打印了一个“睡美人城堡”.如图，其在高度为〃的水平截面的面积S可以近似用函数

S（%）=兀（9—犷，右式0,9]拟合，则该“睡美人城堡”的体积约为（）

A.2771B.8171C.108兀D.243兀

【答案】D

【解析】如下图所示：

p

圆锥PO的高和底面半径为9,平行于圆锥PO底面的截面角圆锥PO的母线PB于点C,

设截面圆圆心为点O',且。。'=力，则尸O'=PO—00'=9—力，

PO'O'C9-hO'C

易知APO'CsAPOB,则——=——，即——=——，可得O'C=9—。，

POOB99

所以，截面圆圆。'的半径为9一力，圆O'的面积为兀（9—/ip,

又因为Se）=兀（9—4,

根据祖唯原理知，该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为9,

高为9的圆锥的体积近似相等，

1,

所以该“睡美人城堡”的体积约为一X7tx92x9=243n,

3

故选：D.

6.在中，内角4民。的对边分别为久久c,若（。+。）（$1114-5111。）=，侬114-$山5）,且

。二百，则。—白的取值范围为（）

2

【答案】C

【解析】因为(4+c)(siih4—sinC)二办(sin4—sin5),

所以（〃+c）（〃一。）二"4一万）,整理得/S—cJab,

所以cosC=+――c?=1,

lab2

7T27r

又CE(0,TT),所以C=+5==―,

又c=6,所以二一二2R,解得£=1,

smC

所以a-g=22?|siiL4-siiiS2兀

=2siih4-sin"』地-旦。必

"I-}22

「c/27rrI兀，兀兀

又0<N<—，则——<4——<—,

3662

所以—正<。—2〈百，

22

即。一2的取值范围为（一里,省.

2I2）

故选：C.

7.已知正实数a,6,c满足2。+1=2。_4,3—+1=3&-6,4」+1=芈一c,则瓦c的大小关系

abc

为（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.b<a<c

【答案】A

【解析1由题意----二2a—a^>2a—2=a-\■—,---=3b—b=>36—3=Z>+—,-----=4c—c=>4,-4=cH■—,

aabbcc

所以令/（xhx+ICxAO%gGbzx-zgGbBxrgsGbdXT,

所以问题等价于比较/（X）的图象分别与8"）途2（》）8（》）的图象三个交点横坐标的大小关系，

而修（丫）送2（*）送3门）均过点。,0）,

则由指数函数单调性可知，/（X）的图象分别与gi（x）,g2（x）,g3（x）的图象三个交点横坐标如图所示:

7T

8.已知耳，玛是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且/不明=§,若椭圆的离心

，3/

率为，，双曲线的离心率为与，则汶］+”上的最小值是（）

D*

2+百R1+V3r273

333

【答案】A

【解析】如图，设椭圆的长半轴长为。】，双曲线的实半轴长为。2,

则根据椭圆及双曲线的定义得：|「耳|+|尸乙|=2可周一|叫卜2利,

i

|尸周=q+ci2,\PF21=ax—a2»设阳用=2c,ZJ1,PF1=—,

222

则在△尸耳月中，由余弦定理得，4c=(a1+a2)+(a1-a2)-2(a1+a2)(<71-a2)cos^,

13

化简得a；+3a；=,即/+/=4,

力3e；13131,3,

工+1+1-导1+/+1*

4+i4+3iA+i—+13+1392；

22

g

q2

4+13131+1

1.e；21

=­x4+-^——+q1—X4+

66

7+1

e2

\2

31

7+1

e

当且仅当〈\27时等号成立,

13

41

，《2

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.数据6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的第70百分位数是8.5

B.若随机变量X〜NR,。?），p（x>l）=0.68,则尸（2<x<3）=018

C.设45为两个随机事件，尸（4）>0,若尸（冽4）=0（5）,则事件4与事件8相互独立

D.根据分类变量X与¥的成对样本数据，计算得到力？=4.712,依据。=0.05的卡方独立性检验

(x005=3.841),可判断X与丫有关且该判断犯错误的概率不超过0.05

【答案】BCD

【解析】对于A,因为10x70%=7,

又将数据从小到大排列，第7个数为7,第8个数为8,

所以第70百分位数为7.5,故A错误；

对于B,根据正态分布的性质可知为尸(X>2)=0.5,

P(2<x<3)=P[\<x<2)=尸(x>1)-P(x>2)=0.18,故B正确；

对于C,根据条件概率可知P(8/)==P(B)nP(®=P(/)P(8)，

由相互独立事件的判定可知C正确；

对于D,根据独立性检验的意义可知％2=4.712>x005,

故可判断X与¥有关且该判断犯错误的概率不超过0.05,故D正确.

故选：BCD.

10.若函数/(%)=25泣2%.10825111%+2852%」082(：0$%,则()

A.“X)的最小正周期为万

7T

B./(x)的图象关于直线对称

4

C./(x)的最小值为-1

D./(x)的单调递减区间为12左肛5+2左左，k^Z

【答案】BCD

JT

【解析】由sinx〉0,©。5%>0得/(工)的定义域为(2左肛5+2左》),keZ,

JI3

当xe(0,,)时，X+乃@(肛5万)不在定义域内，故/(x+万)=/(无)不成立，

故选项4错误；

冗

22

又/(---x)=2cosx-log2cosx+2sinx-log2sinx=f(x),

TT

所以〃x)的图象关于直线X=：对称，所以选项6正确；

4

2222

因为/(x)=sinx-log2sinx+cosx-log2cosx,设，=sin2x,

所以函数转化为g。)=jlog2f+(l—7)」Og2(l1)，/€(0,1),

,

g(0=log2/-log2(l-0,由g'(/)>o得g</<l,由g'(/)<0得0</<g,

所以g。)在(0,；)上单调递减，在(1,1)上单调递增，

故g(0min=8(；)=一1，即/(%山=一1，故选项应确；

因为g(f)在(0,；)上单调递减，在(；,1)上单调递增，

由，=$1112^,令0vsin2xv—得o<sinx<——,

22

又/(X)的定义域为(2Qr,C+2Qr),keZ,解得2Kr<x<M+2k;r,keZ,

24

7t

因为f=sin?%在(2后小一+2k兀)上单调递增，

4

所以/(X)的单调递减区间为(2Kr,匹+2左))，keZ.

4

同理函数的递增区间为(工+2左凡工+2上万)，keZ,所以选项〃正确，

42

故选:BCD

11.设函数f(x)的定义域为R,〃x)为奇函数，/(l+x)=/(l-x),/(3)=1,贝IJ()

A/(-1)=1B./(x)=/(4+x)

18

c./(x)=/(4-x)D.>/(左)=一1

I

【答案】ABD

【解析】由/(x)为奇函数，即函数“X)的图象关于(0,0)对称，

又/(l+x)=/(l—x),则/(x)的图象关于x=l对称，

所以/(x+2)=/(-x)=-/(x),

则/(4+x)=—/(x+2)=/(x),

.••/(x)为周期函数且周期为T=4,B对.

所以/(3)=/(-1)=1,A对.

而/(4-x)=/(-x)=_/(x),C错.

由上可知/(2)=—/(0)=。/(4)=/(0)=0,

所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=_/(T)+0+l+0=0,

则㈤=〃1)+/⑵=一1，D对.

k=l

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合人卜卜2<、<4},八卜/>；},则一於

【答案】(-1,4)

【解析】由2、>g,可得x>—l,即3={x|x>-l},

故［05=(-1,4).

故答案为：（—L4）

11

13.己知/为圆Gx2+（y—19）2=］上的动点，8为圆E：（x—39）+y2=a上的动点，尸为直线

V=gx上的动点，则忸耳-帜d的最大值为.

【答案】巫@+1

5

=<*的对称点为石'（7〃,"），

【解析】设石（3,0）关于直线y

»19

=-1JH二一

“一：3,，解得,912

则〈12，故〃5

n1"2+35T

———•.11=一

12225

则圆E关于V=对称的圆£'的方程为［x+口号）4

要使的值最大，

则尸,4〃（其中5'为B关于直线y=的对称圆上的点）三点共线,

且该直线过C,E'两点，如图,

2^30

其最大值为|48［=］。砌+1+|—-1I+l=-^^+l.

II55

14.已知数列｛q,｝的通项公式为（=」一,S〃=qa2+a2a3+…+（4+1，若对任意〃eN*,不等式

〃+3

42（〃+3）S"<〃+2恒成立，则实数2的取值范围是.

【答案】2<1

1111

【解析】由％,贝|Janan+i-7-―~7\=一"T—一~7,

77+3(〃+3)(〃+4)〃+3〃+4

11111111n

,ftS„=-----+------+---+

4556〃+3〃+44〃+44(〃+4)，

/、n(n+3\2.

由4X("+3)S»<〃+2,可得(+勺<77+2,

,(〃+2)(〃+4),3〃+8

即彳<----7--C-=1+——丁，

+n+3n

鲁…,贝…

设/(x)=<°恒成立,

X+

故/（X）在（0,+8）单调递减，当X—+CO时，0,

即当+8时，1+F------>1,故2W1.

n~+3〃

故答案为：A<1.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位:

分）情况统计如下：

场次12345678910

甲8101071288101013

乙9138121411791210

丙121191111998911

（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；

（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X表示乙得分大于丙得分

的场数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概

率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设乂为甲获胜的场数，1；为乙获胜的场数，工为丙

获胜的场数，写出方差。（乂），。化），。（天）的大小关系.

【答案】（1）/（2）分布列见解析，g（3）D（Y^）>D{Y}）>D[Y3）

【解析】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第

10场.

3

设A表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则尸（/）=仿.

（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，

分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，

分别是第2场、第5场、第8场、第9场.

所以X的所有可能取值为0,1,2.

尸（x=o）=电=l，P（X=l）=-^^=—,尸（x=2）=*=4.

'7C15V，或15'，篌5

所以X的分布列为

X012

182

P

15155

所以石（X）=Ox±+lx2+2xg=g.

（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为之，乙获胜的概率为:，丙获胜的概率为工，还需要进行6场

1025

比赛，

而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以

Z＞（^）=6x0.3（l-0.3）=1.26,D（^）=6xO.5（l-O.5）=1.5,）=6x0.2（1-0.2）=0.96

故。（功〉。化）〉。（4）.

16.如图，在多面体43CD跳'中，底面4BCD为平行四边形，AB=2,AD=2VI,ZABD=90°.

矩形8QE尸所在平面与底面4BC。垂直，”为CE的中点.

（1）求证：平面5DW〃平面4EF；

（2）若平面跳»/与平面3CR夹角的余弦值为画,求CE与平面ADM所成角的正弦值.

5

4

【答案】（1）证明见解析（2）y

【解析】（1）如图，连接4c交助于点G,连接MG.

因为底面为平行四边形，

所以G为NC的中点.

因为M为CE的中点，所以MG〃胡.

又因为MG»平面AEF,£4u平面AEF.

所以MG〃平面

因为BDEF为矩形，所以2）3〃EF,BD仁平面AEF,EFu平面AEF.

所以平面4£万.

因为A/GcBD-G.MGu平面BDM.BDu平面BDM,

所以平面ADA/〃平面HE产.

（2）因为AB=2,AD=26,NASD=90：所以m=2,

因为平面BDEF1平面ABCD,平面BDEFc平面ABCD=BD、DE1BD,

所以DE人平面48C7）.

分别以为轴建立空间直角坐标系,

设①>0）,则3（2,0,0）,C（0,2,0）,D（0,0,0）,E（0,02）,M（O/J）,

所以血二（O/J）,丽二（2,0,0）,旅=（—2,2,0）,第二（0,0,27）,

ifi・DM=0,

设平面的法向量为〃?=（再,弘,21）,贝卜

册•丽=0,

y.+Zr.=0_,、

即<_.，令二i=-1,则7〃=(0,/,-1),

肉=0

百・BC=0,

设平面5CF的法向量为〃=（》2，%,22），贝卜

n-BF=0,

—2马+2%=°-/、

即〈,令则〃=(1」,0),

—u

所以卜OS仇讣晶=不£正=雪解得:2,

所以万=（0,2,—1）,无=（0,-2,4）.

设CE与平面RDM所成的角为6,

则sin夕gcos(CE,加)|二|2x(—2)+(—l)x4|4

722+(-l)2-7(-2)2+425-

4

所以CE与平面所成的角的正弦值为

17.已知函数/（x）=x-alnx-l（aeR）.

（1）若曲线y=/（x）在点。,0）处的切线为“轴，求。的值;

（2）讨论/（x）在区间（1,内）内极值点的个数；

【答案】（1）。=1（2）答案见解析

【解析】⑴由/(x)=x-alnx-l(aeR)得：/'()=l--,

xx

依题意，/(l)=l-a=0,得a=l.

经验证，/(x)=x—lnx—1在点(1,0)处的切线为y=0,所以。=1.

⑵由题得/'(X)=1_q=*

X

(i)若aWl,当xe(l,+<)时,/'(x)>0恒成立，

所以/*)在区间(1,+8)上单调递增，所以/(X)无极值点.

(ii)若a〉1,

当xe(l,a)时,f\x)<0,故/(x)在区间(1,a)上单调递减,

当xe(a,+oo)时，f\x)>0,故/(x)在区间(a,+oo)上单调递增.

所以x=a为/(x)的极小值点，且/(%)无极大值点.

综上，当a41时，/(x)在区间(1,+8)内的极值点个数为0；

当a〉1时，/a)在区间(1,+8)内的极值点个数为1.

18.已知抛物线：j?=2x,直线/：y=x-4,且点瓦。在抛物线上.

(1)若点4c在直线/上，且45,。,。四点构成菱形/BCD,求直线的方程；

(2)若点A为抛物线和直线/的交点(位于x轴下方)，点C在直线/上，且48,。,。四点构成矩

形4BCD,求直线的斜率.

【答案】(1)x+y-2=0(2)1

【解析】(1)由题意知设直线AD:x=—y+加.

x=-y+mc

联立\2得y2+2y-2m=0,

J=2x

则yB+%=-2,yByD=-2m,xB+xD=-(yB+yD)+2m^2m+2,

则AD的中点(加+1,T)在直线y=x-4上，

代入可解得加=2,/+2j；-4=0,A=20>0,满足直线与抛物线有两个交点，

所以直线5Z)的方程为x=-}7+2,即x+y—2=0.

(2)当直线的斜率为0或不存在时，均不满足题意.

y=x-4Ix=2\x=8/、

由{2c得<c或<“(舍去)，故/(2,—2).

b=2xU=-2[y=4'7

当直线AB,AD的斜率存在且不为0时,设直线45:x-2=/+2).

x-2=t(y+2).-

联立《2c；M/-2(y-4/-4=0,所以"+为=2f.

y=2x

所以B+4f+2,2f+2).同理得-----F2,---F2j.

由AD的中点在直线>=》-4上,

得；12/+小+2+怖一：+2］-4=；［2，+2-：+2］,

即,2+—+—1-4=0.

令/_；=2，则22+2_2=0,解得）=—2或0=1.

2/+2-|--+21

当夕=1时，直线3。的斜率凝°=----------M~~r=一f-=1；

2『+由+2—产—；+25；+23

当夕=-2时，直线的斜率不存在.

所以直线AD的斜率为工.

3

19.若无穷数列｛4｝的各项均为整数.且对于都存在后〉）,使得

ak=4勺一%-%,则称数列｛an］满足性质P.

（1）判断下列数列是否满足性质R并说明理由.

①%=〃，〃=1,2,3,…；

@bn=n+2,n=1,2,3,….

⑵若数列｛%｝满足性质R且［=1,求证：集合｛〃eN*|4=3｝为无限集;

（3）若周期数列｛%｝满足性质P,请写出数列｛%｝的通项公式（不需要