2022-2023学年广州越秀区五校联考初三年级下册九月份统一联考数学试题含解析

2022-2023学年广州越秀区五校联考初三下学期九月份统一联考数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，AB/7ED,CD=BF,若AABC^4EDF,则还需要补充的条件可以是（）

2.如图，将△ABC绕点C旋转60。得到△•已知AC=6,BC=4则线段AB扫过的图形面积为（）

c

37r87r

A.—B.—C.67rD.以上答案都不对

23

3.一个正比例函数的图象过点（2,-3）,它的表达式为（）

3232

A.y=--XB.y=—XC.y=—%D.y=--X

2323

4.某市6月份日平均气温统计如图所示，那么在日平均气温这组数据中,中位数是（）

111kx

A.8B.10C.21D.22

5.已知一组数据a,b,c的平均数为5,方差为4,那么数据a-2,b-2,c-2的平均数和方差分别是.（）

A.3,2B.3,4C.5,2D.5,4

6.下列运算正确的是（）

A.x2*x3=x6B.X2+X2=2X4

C.(-2x)2=4x2D.(a+b)2=a2+b2

7.下列各式中，计算正确的是（）

A.A/2+A/3=A/5B.a2-a3=a6

C.a3a2=aD.（/人）—^2/?2

8.若关于x的分式方程二='£-2的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（）

军-2今-二

A.1,2,3B.1,2C.1,3D.2,3

9.反比例函数y=@（a>0,a为常数）和丫=—在第一象限内的图象如图所示，点M在y=3的图象上，MCLx轴于

XXX

点C,交丫=一的图象于点A；MD_Ly轴于点D,交丫=一的图象于点B,当点M在y=@的图象上运动时，以下结论:

①SAODB=SAOCA;

②四边形OAMB的面积不变;

③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点.

其中正确结论的个数是（）

2

10.a、b是实数，点A(2,a)、B(3,b)在反比例函数y=--的图象上，贝！|()

x

A.a<b<0B.b<a<0C.a<0<bD.b<0<a

11.如图，△ABC的内切圆。O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,BC=5,则4ABC的周长为（）

A.16B.14C.12D.10

12.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原

计划每天施工x米，所列方程正确的是（）

1000100010001000

A.------------------=2B.-------------------=2

xx+30%+30x

1000100010001000

C.-------------------=2D.-------------------=2

xx-30A-30x

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在RtAABC中，NC=90。，AB=5,BC=3,点P、Q分别在边」BC、AC±,PQ〃AB,把APCQ绕点P

旋转得到4PDE（点C、Q分别与点D、E对应），点D落在线段PQ上，若AD平分NBAC,则CP的长为

AB1AE

14.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AC、BD相交于点E,若一=—,则一=

CD4AC

13

15.如图，点A在双曲线丫=—上，点B在双曲线丫=—上，且AB〃x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形,

x

则它的面积为

16.如图，AB=AC,AD〃BC,若/BAC=80。，贝！|NDAC=

17.如图，正方形内的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点,

那么这个点取在阴影部分的概率为.

18.如图，△ABC是直角三角形，ZC=90°,四边形ABDE是菱形且C、B、D共线，AD、BE交于点O,连接OC,

若BC=3,AC=4,贝！|tanNOCB=

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)阅读下列材料：

题目：如图，在△ABC中，已知NA(ZA<45°),NC=90。，AB=1,请用sinA、cosA表示sin2A.

20.(6分)某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现

这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件.

⑴若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

⑵设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.求出y与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，商场获

利润最大？

21.(6分)汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五

局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜.假如甲，乙两队每局获胜的机会相同.

(1)若前四局双方战成2：2,那么甲队最终获胜的概率是；

(2)现甲队在前两局比赛中已取得2：。的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？

22.(8分)如图，将连续的奇数1,3,5,7…按如图中的方式排成一个数，用一个十字框框住5个数，这样框出的任

意5个数中，四个分支上的数分别用a,b,c,d表示，如图所示.

图1

(1)计算：若十字框的中间数为17,则a+b+c+d=.

(2)发现：移动十字框，比较a+b+c+d与中间的数.猜想：十字框中a、b、c、d的和是中间的数的:

(3)验证：设中间的数为x,写出a、b、c、d的和，验证猜想的正确性；

(4)应用：设M=a+b+c+d+x,判断M的值能否等于2020,请说明理由.

23.（8分）（阅读）如图1,在等腰AA3C中，AB^AC,AC边上的高为/?,M是底边上的任意一点，点M到腰

AB.AC的距离分别为m,hi.连接AM.

（思考）在上述问题中，历，比与〃的数量关系为：.

（探究）如图1,当点M在8c延长线上时，比、历、衣之间有怎样的数量关系式？并说明理由.

（应用）如图3,在平面直角坐标系中有两条直线A：y=-x+3,Zi：j=-3x+3,若/i上的一点M到/i的距离是1,

请运用上述结论求出点M的坐标.

24.（10分）如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边AACD,等边△ABE,已知NBAC=30。，

EF1AB,垂足为F,连接DF试说明AC=EF；求证：四边形ADFE是平行四边形.

25.（10分）山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元,

二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元.求

二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%,

求每辆山地自行车的进价是多少元？

26.（12分）列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6

天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？

27.（12分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟

通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统

计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

⑴这次统计共抽查了名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是一。；

⑵将条形统计图补充完整；

(3)运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名？

(4)甲、乙两名同学从微信，QQ,电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求

出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、C

【解析】

根据平行线性质和全等三角形的判定定理逐个分析.

【详解】

由AB//ED,得NB=ND,

因为CD=BF,

若一ABC也EDF,则还需要补充的条件可以是：

AB=DE,或NE=NA,ZEFD=ZACB,

故选C

【点睛】

本题考核知识点：全等三角形的判定.解题关键点：熟记全等三角形判定定理.

2、D

【解析】

从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC,小圆半径是BC,圆心角是60度,

所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积.

【详解】

阳.而加60^x(36-16)10

阴影面积=---------------=-71.

3603

故选D.

【点睛】

本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形.

3、A

【解析】

利用待定系数法即可求解.

【详解】

设函数的解析式是y=kx,

3

根据题意得：2k=-3,解得：k=--.

2

3

...函数的解析式是：y=

故选A.

4、D

【解析】

分析：根据条形统计图得到各数据的权，然后根据中位数的定义求解.

详解：一共30个数据，第15个数和第16个数都是22,所以中位数是22.

故选D.

点睛：考查中位数的定义，看懂条形统计图是解题的关键.

5、B

【解析】

11]-、、、_,

试题分析：平均数为二(a-2+b-2+c-2)=-(3x5-6)=3；原来的方差：-?(•''''<'，=:；新

333L」

的方差：-(a-2-3)*+(6-2-+(c-2-3)2l=—I(o-5)**(&-5)**(c—5)*-i=4>故选B.

3L」3LJ

考点：平均数；方差.

6、C

【解析】

根据同底数塞的法则、合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一进行计算即可.

【详解】

A、x2»x3=x5,故A选项错误；

B、x2+x2=2x2,故B选项错误；

C、(-2x)2=4x2,故C选项正确；

D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故D选项错误，

故选C.

【点睛】

本题考查了同底数塞的乘法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键

7、C

【解析】

接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幕的乘除运算法则分别计算得出答案.

【详解】

A、行+6无法计算，故此选项错误；

B、a2-a3=a5,故此选项错误；

C、a34-a2=a,正确；

D、(a2b)2=a4b2,故此选项错误.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数塞的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

8、C

【解析】

试题分析：解分式方程得：等式的两边都乘以(x-2),得x=2(x-2)+m,解得x=4-m,且x=4-n#2,

已知关于x的分式方二「「土的解为正数，得m=Lm=3,故选C.

琼—23—K

考点：分式方程的解.

9、D

【解析】

根据反比例函数的性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解.

【详解】

2

①由于A、B在同一反比例函数y=—图象上，由反比例系数的几何意义可得SAODB=SAOCA=1,正确；

②由于矩形OCMD、AODB>△OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；

③连接OM,点A是MC的中点，贝！|SAODM=SAOCM=@,因SAODB=SAOCA=1,所以△OBD和△OBM面积相等，点B

2

一定是MD的中点.正确；

考点：反比例系数的几何意义.

10、A

【解析】

22

解：•.•、=——，，反比例函数丁=--的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，•.•点A(2,

xx

2

a)、B(3,b)在反比例函数y=-—的图象上，故选A.

x

11,B

【解析】

根据切线长定理进行求解即可.

【详解】

「△ABC的内切圆。O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,

；.AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,

•；BE+CE=BC=5,

；.BD+CF=BC=5,

AAABC的周长=2+2+5+5=14,

故选B.

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.

12、A

【解析】

分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+30)米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2,列出方程即

可.

详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+30)米,

10001000.

根据题意，可列方程:-------------------=2,

x%+30

故选A.

点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解析】

连接AD,根据PQ〃AB可知NADQ二NDAB,再由点D在NBAC的平分线上，得出NDAQ=NDAB,故NADQ二NDAQ,

AQ=DQ.在RtACPQ中根据勾股定理可知，AQ=ll-4x,故可得出x的值，进而得出结论.

【详解】

连接AD,

VPQ/7AB,

/.ZADQ=ZDAB,

・・•点D在NBAC的平分线上，

AZDAQ=ZDAB,

Z.ZADQ=ZDAQ,

.\AQ=DQ,

在RtAABC中，VAB=5,BC=3,

AAC=4,

VPQ/7AB,

/.△CPQ^ACBA,

ACP：CQ=BC：AC=3：4,设PC=3x,CQ=4x,

在RtACPQ中，PQ=5x,

VPD=PC=3x,

ADQ=lx,

VAQ=4-4x,

2

,*.4-4x=lx,解得x=一,

3

/.CP=3x=l；

故答案为：1.

【点睛】

本题考查平行线的性质、旋转变换、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

1

14、

5

【解析】

利用相似三角形的性质即可求解;

【详解】

解：VAB/7CD,

/.△AEB^ACED,

•AE一AB一1

**EC-CD-4

AE1

/.—=-，

AC5

故答案为:.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.

15、2

【解析】

如图，过A点作AELy轴，垂足为E,

•.•点A在双曲线广工上，.•.四边形AEOD的面积为1

X

3

•・•点B在双曲线丫二—上，且48〃*轴，，四边形BEOC的面积为3

x

・・・四边形ABCD为矩形，则它的面积为3—1=2

16、50°

【解析】

根据等腰三角形顶角度数，可求出每个底角，然后根据两直线平行，内错角相等解答.

【详解】

解：VAB=AC,ZBAC=80°,

；.NB=NC=(180°-80°)+2=50°；

；AD〃BC,

.,.ZDAC=ZC=50°,

故答案为50°.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质以及平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等.

17、L

3

【解析】

试题分析：此题是求阴影部分的面积占正方形面积的几分之几，即为所求概率.阴影部分的面积为：3xl-2x4=6,因

为正方形对角线形成4个等腰直角三角形，所以边长是斤彳=3&,这个点取在阴影部分的概率为：

64-j=64-18=—.

考点：求随机事件的概率.

1

18、一

2

【解析】

AC

利用勾股定理求出AB,再证明OC=OA=OD,推出NOCB=NODC,可得tan/OCB=tan/ODC=——，由此即可解

CD

决问题.

【详解】

在RtAABC中，VAC=4,BC=3,NACB=90。，

；.AB=J32+42=5,

•.•四边形ABDE是菱形，

；.AB=BD=5,OA=OD,

.\OC=OA=OD,

二ZOCB=ZODC,

„,AC41

••tanNOCB=tanNODC==-----——，

CD3+52

故答案为1.

【点睛】

本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、sin2A=2cosAsinA

【解析】

先作出直角三角形的斜边的中线，进而求出CE=L,ZCED=2ZA,最后用三角函数的定义即可得出结论

2

【详解】

解：如图，

作RtAABC的斜边AB上的中线CE,

则"」A3=LAE,

22

...NCED=2NA,

过点C作CDLAB于D,

在RtAACD中，CD=ACsinA,

在RtAABC中，AC=ABcosA=cosA

CDACsinA

在RtACED中，sin2A=sinZCED=CE1=2ACsinA=2cosAsinA

2

C

【点睛】

此题主要解直角三角形，锐角三角函数的定义，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，构造出直角三角形和

NCED=2NA是解本题的关键.

20、（1）商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；（2）y=-10x2+100x+2000,当x=5

时，商场获取最大利润为2250元.

【解析】

（1）根据“总利润=每件的利润x每天的销量”列方程求解可得；

（2）利用（1）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得.

【详解】

解：(1)依题意得：(100-80-x)(lOO+lOx)=2160,

即x2-10x4-16=0,

解得：xi=2,X2=8,

经检验：xi=2,X2=8,

答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；

(2)依题意得：y=(100-80-x)(100+lOx)

=-10X2+100X+2000

=-10(x-5)2+2250,

■:-10<0,

...当x=5时，y取得最大值为2250元.

答：y=-10X2+100X+2000,当x=5时，商场获取最大利润为2250元.

【点睛】

本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是由题意确定题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函

数解析式.

21、(1),；(2)

【解析】

分析：(1)直接利用概率公式求解;

(2)画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求.

详解：(1)甲队最终获胜的概率是

1

(2)画树状图为:

第三局获胜甲

第四局获胜甲乙

A/\

第五局获胜甲乙甲乙

共有8种等可能的结果数,其中甲至少胜一局的结果数为7,

所以甲队最终获胜的概率=_.

点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B

的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

22、(1)68；(2)4倍；(3)4x,猜想正确，见解析；(4)M的值不能等于1,见解析.

【解析】

(1)直接相加即得到答案；

(2)根据(1)猜想a+b+c+d=4x；

(3)用x表示a、b^c、d,相加后即等于4x；

(4)得到方程5x=l,求出的x不符合数表里数的特征，故不能等于1.

【详解】

(1)5+15+19+29=68,

故答案为68；

(2)根据(1)猜想a+b+c+d=4x,

答案为：4倍；

(3)a=x-12,b=x-2,c=x+2,d=x+12,

•*.a+b+c+d=x-12+x-2+x+2+x+12=4x,

，猜想正确；

(4)M=a+b+c+d+x=4x+x=5x,

若M=5x=l,解得：x=404,

但整个数表所有的数都为奇数，故不成立，

AM的值不能等于1.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用.当解得方程的解后，要观察是否满足题目和实际要求再进行取舍.

23、【思考】加+必=加【探究】hi—hi=h.理由见解析；【应用】所求点M的坐标为(!，1)或(一工，4).

33

【解析】

思考：根据等腰三角形的性质，把代数式+化简可得/&+H=氏

探究：当点”在延长线上时，连接可得&^-SMCMUSMBC，化简可得九一%=爪

应用：先证明AB=AC,AA5C为等腰三角形，即可运用上面得到的性质，再分点M在边上和在C3延长线上

两种情况讨论，第一种有1+的=03,第二种为监一1=05,解得"的纵坐标，再分别代入4的解析式即可求解.

【详解】

思考

即1/Z,AB+1/Z2AC=|hAC

AB=AC

hi+hi=h.

探究

hi—hi=h.

理由.连接AM,

・・q-Q=SMBC

,2MBM2AAeM

:・h1—h\—h.

应用

3

在y=1X+3中，令x=0得y=3；

令y=0得x=—4,则：

A(-4,0),B(0,3)

同理求得C(1,0),

AB=y/o^+OB2=5>

又因为AC=5,

所以A5=AC,即△ABC为等腰三角形.

①当点”在5c边上时，

由hi+hi=h得：

l+My=OB,My=3—l=l9

把它代入y=-3x+3中求得:

M,

%3

，唱,2；

②当点M在C6延长线上时,

由h\—h\=h得:

My-1=OB,弧=3+1=4,

把它代入y=-3x+3中求得:

.•・限卜］,

综上，所求点M的坐标为，,2)或".

【点睛】

本题结合三角形的面积和等腰三角形的性质考查了新性质的推理与证明，熟练掌握三角形的性质，结合图形层层推进

是解答的关键.

24、证明见解析.

【解析】

(1)一方面RtAABC中，由NBAC=30。可以得到AB=2BC,另一方面△ABE是等边三角形，EF±AB,由此得到

AE=2AF,并且AB=2AF,从而可证明AAFE丝ABCA,再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF.

(2)根据(1)知道EF=AC,而AACD是等边三角形，所以EF=AC=AD,并且AD^AB,WEF±AB,由此得到

EF/7AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形.

【详解】

证明：(1),..!«△ABC中，ZBAC=30°,.\AB=2BC.

又ABE是等边三角形，EF±AB,/.AB=2AF./.AF=BC.

\•在RtAAFE和RtABCA中，AF=BC,AE=BA,

/.△AFE^ABCA(HL)..\AC=EF.

(2)•.,△ACD是等边三角形,.,.ZDAC=60°,AC=AD.

/.ZDAB=ZDAC+ZBAC=90°./.EF//AD.

VAC=EF,AC=AD,/.EF=AD.

四边形ADFE是平行四边形.

考点：L全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质；3.平行四边形的判定.

25、(1)二月份每辆车售价是900元；(2)每辆山地自行车的进价是600元.

【解析】

(1)设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为(x+100)元，根据数量=总价+单价，即可得出关于x的分

式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价-进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】

(1