2025高考帮备考教案数学第八章　平面解析几何第7讲　抛物线

2025高考帮备考教案数学第八章平面解析几何第7讲抛物线课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质.2.了解抛物线的简单应用.3.体会数形结合的思想.抛物线的定义及其应用2022全国卷乙T5；2021新高考卷ⅡT3；2021全国卷乙T21；2020全国卷ⅠT4本讲每年必考，主要以定义作为命题思路，求解轨迹问题、距离问题、最值问题等.在2025年高考备考中，在训练常规题型的同时，应关注抛物线的定义的应用.抛物线的标准方程2023全国卷乙T13；2022全国卷甲T20；2021新高考卷ⅠT14；2021全国甲卷T20抛物线的几何性质2023新高考卷ⅡT10；2021新高考卷ⅠT14；2020全国卷ⅡT19；2020全国卷ⅢT5学生用书P1891.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离①相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的②焦点，直线l叫做抛物线的③准线.注意定点F在定直线l上时，动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px（p＞0）yx2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O（0，0）焦点④F（p2，0⑤F（－p2，0⑥F（0，p2⑦F（0，－p2准线方程⑧x＝－p2⑨x＝p2⑩y＝－p2⑪y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R离心率e＝⑫1焦半径（其中Px0,⑬p2＋x0p2－x⑭p2＋y0p2－y常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论如图，设AB是一条过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，AB所在直线的倾斜角为α，若A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在准线l上的射影分别为A1，B1，则（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p（2）｜AF｜＝p1－cosα，｜BF｜＝p1+cosα，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2psin2α，S△AOB＝p（3）1｜AF｜＋1（4）当N为准线与x轴的交点时，∠ANF＝∠BNF.（5）通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，弦长等于2p，通径是过焦点的最短的弦.（6）以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.（7）以A1B1为直径的圆与AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°.（8）当M1为A1B1的中点时，M1A⊥M1B.（9）以AF或BF为直径的圆与y轴相切.（2）的推导过程：因为AB所在直线的倾斜角为α，则cosα＝x1－p2x1＋p2，解得x1＝p2·1+cos同理可得｜BF｜＝p1+则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝p1－cosαS△AOB＝12×｜AB｜×p2×sinα＝12×2psin2α由（2）的推导过程可得，1｜AF｜＋1｜BF｜＝1.下列说法正确的是（D）A.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B.若抛物线过点P（－2，3），则其标准方程可写为y2＝2px（p＞0）C.抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形D.方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线，且其准线方程为y＝－12.抛物线y＝4x2的焦点坐标为（A）A.（0，116） B.（0，14） C.（0，1） D.（1，解析化抛物线的方程为标准形式，得x2＝14y，所以p＝18，（本题在解答过程中若不先将抛物线方程化为标准形式，易错误得到p＝2，从而错选抛物线的焦点坐标为（0，116），故选3.[2023湖北省十堰市调研]下列四个抛物线中，开口朝左的是（C）A.y2＝5x B.x2＝－5yC.y2＝－5x D.x2＝5y解析抛物线y2＝5x的开口朝右，抛物线x2＝－5y的开口朝下，抛物线y2＝－5x的开口朝左，抛物线x2＝5y的开口朝上.故选C.4.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则pA.2 B.3 C.4 D.8解析由题意，知抛物线的焦点坐标为（p2，0），椭圆的焦点坐标为（±2p，0），所以p2＝2p，解得p5.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，22）为抛物线上一点，则｜MF｜＝（B）A.2 B.3 C.4 D.5解析因为点M（2，22）为抛物线上一点，所以将点M的坐标代入抛物线的方程y2＝2px（p＞0），可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，可得其准线方程为x＝－1.根据抛物线的定义，得｜MF｜＝2－（－1）＝3.故选B.学生用书P190命题点1抛物线的定义及其应用例1（1）[全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（C）A.2 B.3 C.6 D.9解析根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－p2的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以p2＝12－9，解得p＝6.（2）[2022全国卷乙]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，则｜AB｜＝ （B）A.2 B.22 C.3 D.32解析解法一如图，由题意可知F（1，0），设A（y024，y0），则由抛物线的定义可知｜AF｜＝y024＋1.因为｜BF｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得y024＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），则｜AB｜＝解法二由题意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以｜AB｜＝22＋22＝8＝方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题（1）轨迹问题：利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，在解题过程中注意两者之间的相互转化.（3）最值问题：通过距离转化，利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解.训练1[多选/2023惠州市二调]设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的是（AD）A.准线l的方程是x＝－2B.｜ME｜－｜MF｜的最大值为2C.｜ME｜＋｜MF｜的最小值为7D.以线段MF为直径的圆与y轴相切解析由题意得，抛物线C的焦点F（2，0），准线l的方程是x＝－2，故A正确；｜ME｜－｜MF｜≤｜EF｜＝（3－2）2＋（1－0）2＝2，当点M在线段EF的延长线上时等号成立，∴｜ME｜－｜MF｜的最大值为2，故B不正确；如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则｜ME｜＋｜MF｜＝｜ME｜＋｜MA｜≥｜EB｜＝5，当点M在线段EB上时等号成立，∴｜ME｜＋｜MF｜的最小值为5，故C不正确；设点M（x0，y0），线段MF的中点为D，则点D的横坐标xD＝x0+22＝｜命题点2抛物线的标准方程例2（1）[2023全国卷乙]已知点A（1，5）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为94解析将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－54，所以A到准线的距离为1－（－54）＝（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为x＝－32解析解法一由题易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以｜OF｜｜PF｜＝｜PF｜｜FQ｜，即p2p＝解法二由题易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝p2×6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－方法技巧抛物线的标准方程的求法（1）定义法根据抛物线的定义求出p.标准方程有四种形式，要注意判断焦点位置及开口方向.（2）待定系数法当焦点位置不确定时，注意分类讨论.对于焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝mx（m≠0），焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝my（m≠0）.训练2（1）若抛物线的对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.解析由x－2y－4＝0，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是（4，0）或（0，－2），故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.（2）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方程为y2＝3x.解析如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点E，D，设｜BF｜＝a，准线与x轴交于点G，则由已知得，｜BC｜＝2a，由抛物线的定义得，｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵｜AC｜＝｜AF｜＋｜BF｜＋｜BC｜＝3＋3a，2｜AE｜＝｜AC｜，∴3＋3a＝6，∴a＝1.易知BD∥FG，∴｜BD｜｜GF｜＝｜BC｜｜CF｜，即1p＝23命题点3抛物线的几何性质例3[多选/2023新高考卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线y＝－3（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（AC）A.p＝2B.｜MN｜＝8C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形解析由题意，易知直线y＝－3（x－1）过点（1，0）.对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为（1，0），所以p2＝1，即p＝2，所以A选项正确对于B，不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），x1＜x2，联立方程得y＝－3（x－1),y2=4x，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝13，x2＝3.由抛物线的定义得，｜MN｜＝x1＋对于C，由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为（53，－233），半径r＝12｜MN｜＝83＝53＋1，所以以MN对于D，由两点间距离公式可得｜MN｜＝163，｜OM｜＝133，｜ON｜＝21，故D选项错误.方法技巧应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出拋物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.训练3[多选]已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若｜AF｜＝8，则以下结论正确的是（ABC）A.p＝4 B.DF＝FAC.｜BD｜＝2｜BF｜ D.｜BF｜＝4解析如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M.设抛物线C的准线m交x轴于点P，则｜PF｜＝p，由于直线l的斜率为3，所以倾斜角为60°，因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，｜AE｜＝｜AF｜，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以｜AF｜＝｜EF｜＝2｜PF｜＝2p＝8，所以p＝4，A选项正确；因为｜AE｜＝｜EF｜＝2｜PF｜，PF∥AE，所以F为AD的中点，则DF＝FA，B选项正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以｜BD｜＝2｜BM｜＝2｜BF｜，C选项正确；因为｜BD｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝13｜DF｜＝13｜AF｜＝83，D选项错误.学生用书P191巧用抛物线中的阿基米德三角形的几何性质例4[2023温州市第一次适应性考试]已知P为直线y＝－x－1上一动点，过点P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别记为A，B，则原点O到直线AB距离的最大值为（B）A.1 B.2 C.3 D.2解析设A（x1，y1），B（x2，y2），因为y＝12x2，所以y'＝x.根据导数的几何意义可知直线PA：y－y1＝x1（x－x1），化简得y＝x1x－y1同理可得，直线PB：y＝x2x－y2.因为点P是直线y＝－x－1上一动点，所以不妨设P（t，－t－1），则－t－1＝x1t－y1，－t－1＝x2t－y2，所以直线AB：tx－y＋t＋1＝0.直线tx－y＋t＋1＝0过定点G（－1，1），所以当AB⊥OG时，原点O到直线AB的距离最大，其最大距离为｜OG｜＝2.故选B.（另解：原点O到直线AB的距离d＝｜t+1｜t2+1＝t2+2t+1t例5[2021全国卷乙]已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2＋（y＋4）2＝1上点的距离的最小值为4.（1）求p；（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.解析（1）由题意知M（0，－4），F（0，p2），圆M的半径r＝1，所以｜MF｜－r＝4，即p2＋4－1＝4，解得p＝2.（F与圆M上点的距离的最小值为｜MF｜－r，最大值为｜MF｜＋（2）解法一由（1）知，抛物线方程为x2＝4y，由题意可知直线AB的斜率存在，设A（x1，x124），B（x2，x2由y＝kx＋b，x2=4y，消去y得x则Δ＝16k2＋16b＞0①，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以｜AB｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2·（x1因为x2＝4y，即y＝x2所以y'＝x2，则抛物线在点A处的切线斜率为x12，在点A处的切线方程为y－x124＝x即y＝x12x－同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x22x－由y＝x12x－x124，设点P到直线AB的距离为d，则d＝｜2所以S△PAB＝12｜AB｜·d＝4（因为点P在圆M上，所以4k2＋（4－b）2＝1，且－12≤k≤12，3≤b≤5，满足则k2＝1－（4－b）24＝－b2+8b－154，令t＝因为t＝－b2+12b－154在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k解法二设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则切线PA的方程为y－y1＝x12（x－x1），切线PB的方程为y－y2＝x22（x将点P（x0，y0）的坐标分别代入切线PA、切线PB的方程，可得x0x1－2（y0＋y1）=0，x0由x0x－2（y＋y0）=0，x2=4y，可得x2－2x0x＋4y0＝0，Δ＝4（x02－4y0）＞0，则x1＋x2＝2x0，设点P到直线AB的距离为d，则d＝｜x故S△PAB＝12·｜AB｜·d＝（由于点P在M上，故x02＝－y02－8y代入上式得S△PAB＝（－y02－12y0－15）322，y0∈[－5，－3]，故当y0方法技巧抛物线中的阿基米德三角形的几何性质圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线x2＝2py（p＞0）上A，B两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点P，则△PAB为抛物线中的阿基米德三角形.若AB恰好过抛物线的焦点F（如图所示），则△PAB有以下基本性质：（1）点P必在抛物线的准线上.（2）△PAB为直角三角形，且∠APB为直角.（3）PF⊥AB.（4）点P的坐标为（xA＋xB2训练4[多选/2023云南省第二次统考]已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段AB的中点为M，若点T的坐标为（2，－12），则（ACDA.点M的横坐标为2 B.点M的纵坐标为3C.直线l的斜率等于2 D.｜TM｜＝5解析解法一抛物线C：x2＝2py，即y＝x22p，则y'＝xp，因为A，B两点在抛物线上，所以可设A（x1，x122p），B（x2，x222p），则以A为切点且与抛物线相切的直线的方程为y－x122p＝x1p（x－x1），即y＝x1px－x122p①，同理可得以B为切点且与抛物线相切的直线的方程为y＝x2px－x222p②，联立①②，得y＝x1px－x122p，y＝x2px－x222p，解得x＝x1＋x22，y＝x1x22p，即T（x1＋x22，x1x22p）.因为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，p2），直线l过点F，所以由题意可知直线l的斜率存在，设直线AB可得抛物线C：x2＝2y，F（0，12），A（x1，x122），B（x2，x222），所以直线l的斜率k＝x1可得直线l的方程为y＝2x＋12，又点M的横坐标为2，且点M在直线l上，所以点M的纵坐标为2×2＋12＝92，所以选项由M（2，92），T（2，－12），可得｜TM｜＝92－（－12）＝5综上，选ACD.解法二易知△TAB为阿基米德焦点三角形，设M（xM，yM），则点T的坐标为（xM，-p2），TF⊥AB.由已知T的坐标为（2，－12），得xM＝2，即点M的横坐标为2，A正确.－p2＝－12，p＝1，则F（0，12），kTF＝－12，则kAB＝2，C正确.直线l的方程为y＝2x＋12，由点M在直线l上，易得yM＝92，故B错误.由M（2，92），T（2，－11.[命题点1/北京高考]设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（B）A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP解析连接PF，由抛物线的定义可知｜PQ｜＝｜FP｜，故线段FQ的垂直平分线经过点P.2.[命题点2]在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，则动点M的轨迹方程为y2=4解析由题意知，当x≥0时，动点M到定点F（1，0）的距离等于到直线x＝－1的距离，轨迹为抛物线.设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），则p2＝1，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x当x＜0时，y＝0也满足条件.（易忽略点在定直线上的情况）综上，动点M的轨迹方程为y3.[命题点2/2023陕西渭南二模]将抛物线y2＝mx绕其顶点顺时针旋转90°之后，正好与抛物线y＝2x2重合，则m＝（A）A.－12 B.12 C.－2 解析易知抛物线y2＝mx的焦点坐标为（m4，0），抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝12y，其焦点坐标为（0，1易知（m4，0）绕原点顺时针旋转90°之后得到（0，18），则m4＝－18，解得m4.[命题点3/2023长沙市适应性考试]已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）.若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设△AOF，△ADB的面积分别为S1，S2，则S1S2＝9解析如图，设A（xA，yA），B（xB，yB），根据抛物线的定义知，｜AF｜＝xA＋p2①，因为∠AFx＝60°，所以xA＝p2＋｜AF｜·cos60°由①②得，｜AF｜＝p1－cos60°＝2p，同理得｜BF｜＝p1+cos60°＝2p3解法一由点D在准线l上可知，其横坐标xD＝－p2，易知｜AF｜｜AB｜＝｜AF｜｜AF｜＋｜BF｜＝34，｜AO｜｜AD｜=xAx解法二则yA＝3p，yB＝－33p直线AO的方程为y＝233将x＝－p2代入上式，得y＝－33即D（－p2，－33p），则yB＝y所以｜DB｜＝xB－xD＝23p又｜OF｜＝p2所以S1＝12｜OF｜·yA＝34pS2＝12｜DB｜·（yA－yB）＝439p2，可得S5.[思维帮/多选/2023济南模拟]在平面直角坐标系xOy中，由直线x＝－4上任一点P向椭圆x24＋y23＝1作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（A.∠APB恒为锐角B.当AB垂直于x轴时，直线AP的斜率为1C.｜AP｜的最小值为4D.存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0解析设P（－4，t），则直线AB的方程为－4x4＋ty即3（x＋1）－ty＝0，则直线AB恒过点（－1，0）.如图，设圆x24＋y24＝1，即x2＋y2＝4，由点P（－4，t）向圆x2＋y2＝4作切线，切点分别记为A'，B'，显然∠A'PB'＞∠APB，易知sin∠A'PB'2＝2｜PO｜，所以当OP与直线x＝－所以（sin∠A'PB'2）max＝24＝12，即（所以∠APB＜∠A'PB'≤60°，所以∠APB恒为锐角，所以选项A正确；当直线AB垂直于x轴时，由对称性可知，此时点P在x轴上，所以P（－4，0），直线AB的方程为x＝－1，又点A在x轴上方，所以A（－1，32），所以此时直线AP的斜率为32－1+4＝1当直线AB垂直于x轴时，｜AP｜＝（－4+1）2＋（0－32）2＝352＜4，所以选项C错误；假设存在点P，使得（PA＋PO）·OA＝0，则（PA＋PO）·（PA－PO）＝PA2－PO2＝0，即｜PA｜＝｜PO｜，设A（x0，y0），－2＜x0＜2，则切线PA的方程为x0x4＋y0y3＝1，则P（－4，3（1+x0）y0），设M为AO的中点，则M（x02，y02），连接PM，因为｜PA｜＝｜PO｜，所以PM⊥AO，则有kPM·kAO＝－1，即3（1+x0）y0－y02－4－x02·y0x0＝－1，化简整理得，x02＋y02＋2x0－6＝0①，又x024＋学生用书·练习帮P3601.[2024福州市一检]已知点P（x0，2）在抛物线C：y2＝4x上，则点P到C的准线的距离为（C）A.4 B.3 C.2 D.1解析如图，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.由点P（x0，2）在抛物线C：y2＝4x上，得4＝4x0，所以x0＝1，故点P到C的准线的距离为2，选C.2.[2024青岛市检测]设抛物线C：x2＝2py的焦点为F，M（x，4）在C上，｜MF｜＝5，则C的方程为（A）A.x2＝4y B.x2＝－4yC.x2＝－2y D.x2＝2y解析因为M（x，4）在抛物线C：x2＝2py上，所以p＞0，F（0，p2），准线l的方程为y＝－p2.由抛物线的定义知，点M到焦点F的距离等于其到准线l的距离，即｜MF｜＝4＋p2＝5，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝43.[2023安徽省名校联考]已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若｜MF｜＝8，则△MOF的面积为（A）A.43 B.32 C.8 D.33解析解法一抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.设M（x0，y0），由抛物线的定义可知，点M到焦点F（2，0）的距离等于其到准线x＝－2的距离，所以｜MF｜＝x0＋2＝8，所以x0＝6.因为点M（x0，y0）在抛物线C上，所以y02＝8×6＝48，则｜y0｜＝43，所以S△MOF＝12｜OF｜·｜y0｜＝12×2×43＝解法二因为抛物线C：y2＝8x关于x轴对称，所以不妨设点M在x轴上方，直线FM的倾斜角为θ，则｜MF｜＝p1－cosθ＝41－cosθ＝8，所以cosθ＝12，因为0＜θ＜π，所以θ＝π3，则∠OFM＝2π3，所以S△MOF＝12｜OF｜·｜MF｜·sin∠4.已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M是抛物线上一点，｜MF｜＝4｜OF｜，｜OM｜＝21，则p＝（B）A.1 B.2 C.4 D.6解析解法一由抛物线的几何性质知｜OF｜＝p2，则｜MF｜＝4｜OF｜＝2p.由抛物线的定义知｜MF｜＝xM＋p2，所以xM＋p2＝2p，解得xM＝3p2，将其代入y2＝2px，得｜yM｜＝3p，所以｜OM｜＝xM2＋yM解法二如图，不妨设点M在第一象限，过点F作x轴的垂线，过点M作x轴的平行线，两线交于点N，因为｜MF｜＝4｜OF｜，所以由抛物线的定义知｜MN｜＝｜MF｜－2｜OF｜＝2｜OF｜＝p＝12｜MF｜，所以∠MFN＝30°，则M（3p2，3p）.由｜OM｜＝21，得（3p2）2＋5.[2023广西南宁适应性测试]已知直线l：y＝k（x－p2）与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点（其中A位于第一象限），点F是抛物线C的焦点，若｜BF｜＝3｜FA｜，则k＝（AA.－3 B.－33 C.－1 D.－解析解法一（代数法）由题意可知，直线l过抛物线C的焦点F，设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），B（x2，y2），易知k≠0，因为｜BF｜＝3｜FA｜，所以3y1＝－y2，令1k＝m，则直线l的方程可以写为x＝my＋p2，由x＝my＋p2，y2=2px，消去x并整理得关于y的方程y2-2pmy-p2=0，解法二（几何法）如图，分别过A，B作抛物线y2＝2px（p＞0）的准线x＝－p2的垂线，垂足分别为M，N，坐标原点为O，设｜BF｜＝3｜FA｜＝3t（t＞0），根据抛物线的定义可知，AM=t,BN=3t,过A作BN的垂线，垂足为E，则｜AM｜＝｜EN｜＝t，所以｜BE｜＝2t，在Rt△AEB中，｜AB｜＝4t，｜BE｜＝2t，根据勾股定理可得｜AE｜＝23t，tan∠ABE＝3，因为直线l的倾斜角为π－∠ABE，所以直线l的斜率为tan解法三设直线l的倾斜角为α，则｜AF｜＝p1－cosα，｜BF｜＝p1+cosα.由｜BF｜＝3｜FA｜，得p1+cosα＝3p1－cosα，即3（1＋cosα）＝1－cosα6.[2024江西名校联考]已知F是抛物线C：y＝14x2的焦点，O为坐标原点，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，则△AOB面积的最小值为（DA.1128 B.132 C.12解析由题意可知，抛物线C的标准方程为x2＝4y，F（0，1），易知直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得y＝kx+1，x2=4y，消去y，得x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16＞0，则x1＋x2＝4解法一由抛物线的性质可知｜AB｜＝y1＋y2＋p＝14（x12＋x22）＋2＝14[（x1＋x2）2－2x1x2]＋2＝14[（4k）2－2×（－4）]＋2＝4（k2＋1），坐标原点O到直线AB的距离d＝1k2+1，所以S△AOB＝12·｜AB｜·d＝12×4（k2＋1）×1k2解法二S△AOB＝12｜OF｜·｜x1－x2｜＝12×1×（x1＋x2）2－4x1x2＝12×1×7.[多选]已知点M（2，－2）在抛物线x2＝2py（p＞0）的准线上，F是抛物线的焦点，过点M的两条直线分别与抛物线相切于点A，B，直线MF交直线AB于点E，则下列结论正确的是（BCD）A.抛物线的方程为x2＝4yB.直线AB的方程为x－2y＋4＝0C.AM·BM＝0D.｜ME｜2＝｜AE｜·｜BE｜解析因为点M（2，－2）在抛物线x2＝2py（p＞0）的准线上，所以－p2＝－2，p＝4，所以抛物线的方程为x2＝8y，A设A（x1，y1），B（x2，y2），则抛物线在A，B两点处的切线方程分别为x1x＝4（y1＋y），x2x＝4（y2＋y），因为两切线均过点M（2，－2），所以x1＝2（y1－2），x2=2y2-2，则点A（x1，y1），B（x2，y2）均在直线x＝2（y－2）上，所以直线AB的方程为x=2y-2联立直线AB与抛物线方程得x－2y+4=0，x2=8y，所以x2－4x－16＝0，所以x1x2＝－16，所以kAM·kBM＝x14·x24＝－易知kMF＝－2－22－0＝－2，kAB＝12，所以kMF·kAB＝－2×12＝－1，所以ME⊥AB，所以｜ME｜2=｜AE｜8.已知动圆P恒过定点（14，0），且与直线x＝－14相切，则动圆P的圆心轨迹M的方程为y2＝x解析由题意知，动圆P的圆心到点（14，0）的距离与到直线x＝－14的距离相等，则圆心P的轨迹是以（14，0）为焦点，直线x＝－14为准线的抛物线，故p＝12，所以动圆P的圆心轨迹M的方程为9.[2021北京高考]已知抛物线C：y2＝4x，C的焦点为F，点M在C上，且｜FM｜＝6，则点M的横坐标是5.解析抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝－1，设点M的横坐标为x0，则有x0＋1＝6，所以x0＝5.10.[2023浙江省高三名校联考]如图，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F斜率为3的直线与C交于点M，N（M在x轴上方），则｜AM｜｜AN｜＝解析由题可得，F（p2，0），A（－p2，0）.直线MN：y＝3（x－p2），与抛物线方程联立，消元后化简可得3x2－5px＋34p2＝0，解得xM＝32p，xN＝16p，所以M（N（16p，－33p），所以｜AM｜11.[2024信阳市月考]已知直线l与抛物线C：x2＝4y交于A，B两点，M是线段AB的中点.（1）若直线AB的斜率为1，求点M的横坐标；（2）若｜AB｜＝8，求点M纵坐标的最小值.解析（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则kAB＝y1－y2x1－由直线AB的斜率为1，得x02＝1，∴x0＝2，即点M（2）设直线l的方程为y＝kx＋b，由x2=4y，y＝kx＋b，得x由Δ＝（－4k）2－4×（－4b）＞0，得k2＋b＞0①，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，由｜AB｜＝8，得｜AB｜＝（ ＝（ ＝4（ ＝8，∴（1＋k2）（k2＋b）＝4②.由x1＋x2＝4k，得y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2b＝4k2＋2b，故点M的坐标为（2k，2k2＋b），由①②得2k2＋b＝（k2＋1）＋（k2＋b）－1≥2（k2+1)(k2＋b）－1＝3，当且仅当1＋k2＝故点M纵坐标的最小值为3.12.[2023南昌市一模]“米”是象形字.数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝－2px（p＞0）和C2：y2＝2px（p＞0）构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若｜PF1｜＝2｜PQ｜＝4，则p＝（D）A.2 B.3 C.4 D.6解析设P（x0，y0），则x0＜0，因为｜PF1｜＝2｜PQ｜＝4，所以-x0+p2=2×－2x0=4，所以13.设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，｜BF｜＝3，记△BCF与△ACF的面积分别为S△BCF，S△ACF，则S△BCFS△ACFA.14 B.15 C.16 解析由题意可知，抛物线E的焦点为F（2，0），准线方程为x＝－2.设A（x1，y1），B（x2，y2），C（－2，y3），则有x1x2＝16.（过点（a，0）的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1x2＝a2，y1y2＝－2pa）因为｜BF｜＝x2＋p2＝x2＋2＝3，所以x2＝1，所以x1＝16.设点F到直线AB的距离为d，直线AB的斜率为k，则S△BCFS△ACF＝12｜BC｜d12｜AC｜d＝｜BC｜｜AC｜＝1+k2｜故选C.14.[多选/2022新高考卷Ⅰ]已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，－1）的直线交C于P，Q两点，则（BCD）A.C的准线方程为y＝－1B.直线AB与C相切C.｜OP｜·｜OQ｜＞｜OA｜2D.｜BP｜·｜BQ｜＞｜BA｜2解析如图，因为抛物线C过点A（1，1），所以1＝2p，解得p＝12，所以C：x2＝y的准线方程为y＝－14，所以A因为x2＝y，所以y'＝2x，所以y'x＝1＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，又点B（0，－1）在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx－1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由y＝kx－1，x2＝y，得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4＞0，得k＞2或k＜－2，所以｜OP｜·｜OQ｜＝x12＋y12·x22＋y22＝｜BP｜·｜BQ｜＝x12＋（y1+1）2·x22＋（y2+1）2＝x12＋（x12+1）2·x2215.[2023江苏南京、盐城二模]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴，则AF的长度为3.解析解法一（设点）易得F（1，0），设P（－1，t），则kPF＝t－0－1－1＝－t2，所以kPA=2t，直线PA的方程为y－t＝2t（x＋1），即y＝2tx＋2t＋t，易得A（0，2t＋t所以2t＋t－00－1＝t－0t24－1解法二（比例）如图，设准线与x轴交于点E，则｜EF｜＝2.设BF=n，由抛物线的定义知｜BF｜＝｜BP｜＝n，则∠BPF＝∠BFP，又∠APB＋∠BPF＝90°，∠PAB＋∠PFA＝90°，所以∠BPA＝∠PAB，所以｜BA｜＝｜BP｜＝n，延长FA与准线交于点Q，由OA∥EQ及O为EF的中点，得A为QF的中点，所以｜QA｜＝｜AF｜＝2n.由PB∥EF，得｜PB｜｜EF｜＝｜QB｜｜QF｜，即n2＝3n解法三（抛物线的定义）由抛物线的定义知｜BF｜＝｜BP｜，则∠BPF＝∠BFP，又∠APB＋∠BPF＝90°，∠PAB＋∠PFA＝90°，所以∠BPA＝∠PAB，所以BA=BP,所以B为AF的中点.记BP与y轴的交点为C，因为BC∥OF，所以C为AO的中点，所以｜BC｜＝12｜OF｜＝12，所以｜BP｜＝1＋12＝32，所以｜AF｜＝2｜BF｜16.[全国卷Ⅱ]已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且｜CD｜（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点.若｜MF｜＝5，求C1与C2的标准方程.解析（1）由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝a2－b2.不妨设点A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为b2a，－b2a；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故｜AB｜＝2b2a，｜CD｜＝4c.由｜CD｜＝43｜AB｜得4c＝8b23a，即3×ca＝所以C1的离心率为12（2）由（1）知a＝2c，b＝3c，故C1：x24c2设M（x0，y0），则x024c2＋y023c2＝1，y02＝由于C2的准线方程为x＝－c，所以｜MF｜＝x0＋c，而｜MF｜＝5，故x0＝5－c，代入①得（5－c）24c2＋4（5－c）3c＝1，即c2－所以C1的标准方程为x236＋y227＝1，C2的标准方程为y217.[背景、角度创新]抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如图所示，从抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F向x轴上方发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成的角均为π3，且｜FB｜＋｜FA｜＝8，则两条反射光线a'，b'之间的距离为（D）A.3 B.4 C.2 D.23解析解法一由题意，得F（p2，0）.因为∠OFA＝π3，所以直线AF的斜率kAF＝tan∠AFx＝tan2π3所以直线AF的方程为y＝－3（x－p2代入抛物线y2＝2px，得3（x－p2）2＝2px，解得x＝p6或x＝32p，所以A（p6，因为∠BFx＝π3，所以直线BF的斜率kBF＝3，所以直线BF的方程为y＝3（x－p2），代入抛物线y2＝2px，得3（x－p2）2＝2px，解得x＝p6或x＝32p，所以B（32由抛物线的定义，得｜FA｜＋｜FB｜＝xA＋p2＋xB＋p2＝p6＋32p＋解得p＝3.所以两条反射光线a'，b'之间的距离为yB－yA＝3p－33p＝23，故选解法二如图，延长BF交抛物线C于点A'，因为入射光线a，b与x轴所成的角均为π3，则直线A'B的倾斜角为π3，则由抛物线的对称性可得A与A'关于x轴对称，所以｜AF｜＝｜A'F｜，所以｜FA｜＋｜FB｜＝｜A'F｜＋｜FB｜＝｜A'B｜＝由题意，得F（p2，0）.又直线A'B的斜率kA'B＝tanπ3＝3，所以直线A'B的方程为y＝3（x－p由y＝3（x－p2),y2=2px，消去y，得12x2－20px＋3p2＝0，则xA'＋xB＝2012p＝53p，xA'xB＝312p2＝14p2，所以｜A'B｜＝1+（3）2｜xA'－x所以p＝3.所以两条反射光线a'，b'之间的距离为yB－yA＝yB＋yA'＝3（xB＋xA'）－3p＝233p＝2故选D.第8讲直线与圆锥曲线的位置关系命题点五年考情命题分析预测直线与圆锥曲线的位置关系2023新高考卷ⅡT5；2022新高考卷ⅡT10；2022全国卷甲T15；2020新高考卷ⅡT21本讲每年必考，命题热点为直线与圆锥曲线相交的弦长、中点弦问题，以及直线与圆锥曲线的综合应用，常与向量、圆等知识综合命题，难度中等偏上.在2025年高考备考时应重视和直线与圆锥曲线的位置关系相关的典型题型的研究，注意培养数学运算素养.在解题时，要充分利用数形结合、转化与化归等思想.弦长及中点弦问题2023全国卷乙T11；2023全国卷甲T20；2023天津T12；2022新高考卷ⅠT16；2022新高考卷ⅡT16；2020新高考卷ⅠT13；2020全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅠT19切线及切点弦问题2021全国卷乙T21直线与圆锥曲线的综合应用2023新高考卷ⅡT10；2023新高考卷ⅡT21；2023全国卷乙T20；2023北京T19；2022新高考卷ⅠT11；2022新高考卷ⅠT21；2022新高考卷ⅡT21；2022全国卷乙T20；2022全国卷甲T20；2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020全国卷ⅠT20；2019全国卷ⅡT21；2019全国卷ⅢT21学生用书P1921.直线与圆锥曲线位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去y（或x），得到关于x（或y）的一元二次方程，设其判别式为Δ，则①Δ＞0⇔有两个交点⇔相交；Δ＝0⇔有一个交点⇔相切；②Δ＜0⇔无交点⇔相离.注意直线与双曲线方程联立消元后，得出的方程中二次项系数为零时，直线与双曲线渐近线平行，两者有且只有一个交点；二次项系数不为零时，利用判别式进行判断.2.弦长与中点弦（1）弦长公式当直线的斜率存在时，直线l：y＝kx＋b与曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则弦长｜AB｜＝③1+k2·｜x1－x2｜＝当直线斜率不为零时，直线l：x＝my＋n与曲线C相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长｜AB｜＝1+m2｜y1－y2｜＝注意（1）过焦点的弦称为焦点弦；与焦点所在对称轴垂直的焦点弦称为通径.（2）通径是椭圆与抛物线的焦点弦中最短的弦，椭圆的通径长为2b2a，抛物线的通径长为2p.（3）双曲线中同支的焦点弦中最短的为通径，其长为2b（2）中点弦若AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·若AB是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM3.切线与切点弦所在直线的方程圆锥曲线的方程x2a2＋y2b2＝1（x2a2－y2b2＝1（a＞y2＝2px（p＞0）过曲线上一点P（x0，y0）的切线方程x0xa2x0xa2y0y＝p（x0＋x）过曲线外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦所在直线的方程x0xa2x0xa2y0y＝p（x0＋x）1.直线y＝x＋1与椭圆x25＋y24＝1的位置关系是（A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断解析解法一联立直线与椭圆的方程得y＝x+1，x25＋y24=1，消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100解法二因为直线过点（0，1），而0＋14＜1，即点（0，1）在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交2.过椭圆x24＋y23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（A.8，6 B.4，3 C.2，3 D.4，23解析由题意知，a＝2，b＝3，c＝1，最长弦过两个焦点，长为2a＝4，最短弦垂直于x轴，把x＝1代入x24＋y23＝1，得｜y｜＝33.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是（C）A.2 B.4 C.8 D.16解析由y＝x－1，y2=4x，消去y并整理得x2－6x＋1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以｜AB｜4.已知点A，B是双曲线C：x22－y23＝1上的两点，线段AB的中点是M（3，2），则直线AB的斜率为（A.23 B.32 C.49 解析设A（x1，y1），B（x2，y2），∵点A，B是双曲线C上的两点，∴x122－y123＝1，x222－y223＝1，两式相减得（x1＋x2)(x1－x2）2＝（y1＋y2)(y1－y2）3，∵M（3，2）是线段AB的中点，∴学生用书P194命题点1直线与圆锥曲线的位置关系例1（1）[2023新高考卷Ⅱ]已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝（CA.23 B.23 C.－23 解析由题意，F1（－2，0），F2（2，0），△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即｜－2＋m｜2＝2×｜2＋m｜2，解得m＝－23或m＝－32，由y＝x＋m，x23＋y2=1，得43x2＋2mx＋m2－1＝0，则Δ＝（2m）2－4×43（m2－（2）[2022全国卷甲]记双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的解析双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥ba，∴b2a2≤4，∴e2＝c2a2＝1＋b2a2≤5，又e＞1，∴e∈（1，方法技巧（1）直线与椭圆的位置关系问题可直接转化为直线与椭圆的交点个数问题.（2）直线与双曲线只有一个交点，则直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.（3）直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切或直线与抛物线的对称轴平行（或重合）.（4）对于过定点的直线，可以根据定点与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系，注意数形结合的应用.训练1（1）[2023天津高考]过原点O的一条直线与圆C：（x＋2）2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px（p＞0）于点P，若｜OP｜＝8，则p的值为6.解析由题意得直线OP的斜率存在.设直线OP的方程为y＝kx，因为该直线与圆C相切，所以｜－2k｜1+k2＝3，解得k2＝3.将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px（p＞0）联立，得k2x2－2px＝0，因为k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或x＝2p3.设P（x1，y1），则x1＝2p3，又O（0，0），所以｜OP｜＝1+k2｜x1－（2）已知对任意k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆x25＋y2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为[1，5）∪（5解析解法一（代数法）由椭圆方程，可知m＞0且m≠5，将直线与椭圆的方程联立，得y－kx－1=0，x25＋y2m=1，整理，得（5k2＋m）x2＋10kx＋5（1－m）＝0.因为直线与椭圆恒有公共点，故Δ＝（10k）2－4×（5k2＋m）×5（1－m）＝20（5k2m－m＋m2）≥0.因为m＞0，所以不等式等价于5k2－1＋m≥0，即k2≥1－m5，由题意，可知要使不等式恒成立，则1－m5≤解法二（几何法）因为方程x25＋y2m＝1表示椭圆，所以m＞0且m≠5.因为直线y－kx－1＝0过定点（0，1），所以要使直线和椭圆恒有公共点，点（0，1）在椭圆上或椭圆内，即025＋12m≤1，整理得1m≤1，解得m≥1.综上，m的取值范围为[1，命题点2弦长及中点弦问题角度1弦长问题例2[2022新高考卷Ⅰ]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，｜DE｜＝6，则解析由对称性不妨令F1，F2分别为C的左、右焦点，如图，连接AF1，DF2，EF2，因为C的离心率为12，所以ca＝12，所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2.由题意知｜AF1｜＝｜AF2｜＝a＝2c＝｜F1F2｜，所以△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，所以｜AD｜＝｜DF2｜，｜AE｜＝｜EF2｜，且∠EF1F2＝30°，所以直线DE的方程为y＝33（x＋c），代入椭圆C的方程x24c2＋y23c2＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则x1＋x2＝－8c13，x1x2＝－32c213，所以｜DE｜＝（1+13)[（x例3[2023成都市模拟]已知抛物线C：y2＝2px（p＞0，p≠4），过点A（2，0）且斜率为k的直线与抛物线C相交于P，Q两点.（1）设点B在x轴上，分别记直线PB，QB的斜率为k1，k2，若k1＋k2＝0，求点B的坐标；（2）过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M，N两点，求｜MN｜解析（1）由题意，直线PQ的方程为y＝k（x－2），其中k≠0.设B（m，0），P（y122p，y1），Q（y2由y＝k（x－2),y2=2px，消去x∴Δ＝4p2k2＋16p＞0，y1＋y2＝2pk，y1y∵k1＋k2＝0，∴y1y122即y1y2（y1＋y2）2p∴（－4p2p－m）·2pk＝0，即（m＋∵p＞0，∴m＝－2.∴点B的坐标为（－2，0）.（2）由题意，F（p2，0），∴直线MN的方程为y＝k（x－p2），k≠0.设M（xM，yN（xN，yN）.由y＝k（x－p2),y2=2px，消去y，整理得k2x2－（∴Δ1＝4k2p2＋4p2＞0，xM＋xN＝p＋2p∴｜MN｜＝xM＋xN＋p＝（1＋1k2）·2又｜AP｜＝1+1k2｜y1｜，｜AQ｜＝1+1k∴｜AP｜·｜AQ｜＝（1＋1k2）·｜y1y2｜＝（1＋1k2∴｜MN｜｜AP｜·｜方法技巧（1）使用弦长公式时注意对直线斜率的讨论.（2）直线经过特殊点（如焦点、原点等）或斜率特殊时，利用圆锥曲线的定义或数形结合来求弦长.角度2中点弦问题例4（1）[2023全国卷乙]设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（DA.（1，1） B.（－1，2）C.（1，3） D.（－1，－4）解析选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，设线段AB的中点坐标为（x0，y0），则｜kAB｜＝9｜x0y0｜＜3，（若双曲线的弦AB的中点为M，O为坐标原点，则kAB·kOM即｜y0｜＞3｜x0｜，结合选项可知选D.（2）[2022新高考卷Ⅱ]已知直线l与椭圆x26＋y23＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且｜MA｜＝｜NB｜，｜MN｜＝23，则l的方程为x＋2y－22解析设直线l的方程为xm＋yn＝1（m＞0，n＞0），分别令y＝0，x＝0，得点M（m，0），N（0，n）.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，设为Q，则Q（m2，n2），则kAB＝0－nm－0＝－nm，kOQ＝n2m2＝nm.由椭圆中点弦的性质知，kAB·kOQ＝－b2a2＝－12，即-nm⋅nm=-12，整理得m2＝2n2①.又｜MN｜＝23，所以由勾股定理，得m2＋n2＝12②，由①②并结合m方法技巧点差法解决中点弦问题的步骤（1）设弦的两个端点：A（x1，y1），B（x2，y2）；（2）将两点坐标分别代入圆锥曲线方程中并两式作差，得到关于直线AB的斜率和线段AB的中点坐标的关系式；（3）将已知条件代入关系式并化简求解.训练2（1）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则｜AB｜＋｜DE｜的最小值为（A）A.16 B.14 C.12 D.10解析解法一焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4），易知直线l1，l2的斜率均存在且不为0，分别设为k1，k2，则直线l1的方程为y=k1x－1,由y2=4x，y＝k1（x－1),消去y并整理得k12x2－（2k12＋4）x＋k12＝0，Δ＞0，所以x1＋x2＝2k12+4k12.因为l1⊥l2，所以k2＝－1k1.同理有x3＋x4＝2（－1k1）2+4（－1k1）2＝2＋解法二设l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为θ±π2，易知θ≠0且θ≠π2，由抛物线焦点弦的弦长公式得｜AB｜＝2psin2θ＝4sin2θ，则｜DE｜＝2psin2（θ±π2）＝4cos2θ，则｜AB｜＋｜DE｜＝4sin2θ（2）[2023重庆市调研质量抽测（一）]已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆E的上顶点，过点F1且平行于AF2的直线l与椭圆E交于B，C两点，M为弦BC的中点，且直线l的斜率与OM的斜率的乘积为－34，则椭圆E的离心率为12；若｜OM｜＝319，则直线l的方程为3x＋解析设B（x1，y1），C（x2，y2），M（x0，y0），则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0.椭圆E：x2a2＋y2b2＝1，即b2x2＋a2y2＝a2b2，所以b2x12＋a2y12＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b2，得b2x1+x2x1-x2+a2y1+y2y1-y2=0,由题意可知，x1－x2≠0，所以2b2x0＋2a2y0·y1－y2x1－x2＝0，即y1－y2x1－x2·y0x0=-b2a2，即kl·kOM＝－b2a2，所以－b2a2＝－34，所以b2a2＝34.因为e2＝1－b2a2＝1－34＝14，0<e<1，所以e＝12.因为b2a2＝34，所以ba＝32，设a＝2m，则b＝3m，m＞0，则半焦距c=m，椭圆E的方程为x24m2＋y23m2＝1，A（0，3m），所以F1（－m，0），F2（m，0），则kl＝kAF2＝命题点3切线及切点弦问题例5已知点P为直线2x＋y＝4上一动点，过点P作椭圆x24＋y23＝1的两条切线，切点分别为A，B，当点P运动时，直线AB过定点，则该定点的坐标是（2解析设点P的坐标为（m，－2m＋4），则直线AB的方程为mx4＋（－2m+4）y3＝1，化简得（3x－8y）m＋16y－12＝0，令3x－8y＝0，16y－12＝0，所以x＝2，y＝34方法技巧（1）曲线的切线方程可以利用判别式求解，也可以利用导数的几何意义求解.（2）“代一半，留一半”是曲线的切线方程与切点弦所在直线方程相关结论的记忆口诀.训练3[2023山西运城模拟]过点P作抛物线C：x2＝4y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若△PMN的重心坐标为（3，4），则P点坐标为 （A）A.（3，－3） B.（1，2）C.（2，1） D.（－3，3）解析设M（x1，x124），N（x2，x224），由x2＝4y，得y＝x24，所以y'＝12x，所以直线l1的方程为y－x124＝x12（x－x1），即y＝x12x－x124，同理，直线l2的方程为y＝x22x－x224，由y＝x12x－x124，y＝x22x－x224可得x＝x命题点4直线与圆锥曲线的综合应用例6[2023北京高考]已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为53，A，C分别是E的上、下顶点，B，D分别是（1）求E的方程；（2）设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y=-2交于点N，求证：MN∥解析（1）因为e＝53，所以e2＝1－b2a2＝59因为A，C分别是椭圆的上、下顶点，且｜AC｜＝4，即2b＝4，所以b＝2，b2＝4，所以a2＝9，则椭圆E的方程为x29＋y（2）因为B，D分别是椭圆的左、右顶点，所以B（－3，0），D（3，0），因为A，C分别是椭圆的上、下顶点，所以A（0，2），C（0，－2），则直线BC的方程为x－3＋y－2＝1，即2x＋3y因为点P为第一象限内椭圆E上的点，所以直线PD的斜率k一定存在，且－23＜k＜则直线PD的方程为y＝k（x－3），联立得2x+3即M（9k－62+3联立得y＝k（x－3),x29＋y24=1，得（4＋9k2）x2－54k2x＋81k2－36＝0①，设P（x0，y0），所以3，所以y0＝k（x0－3）＝－24k4+9k2，即P（所以直线PA的方程为y＝y0－2x0x＋2，令y＝－2，则x即N（54k2－249所以kMN＝－12k2+3k+2又kCD＝－2－00－3＝23，所以kMN＝方法技巧（1）解答直线与圆锥曲线相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和圆锥曲线的方程，消去y（或x）得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解；（2）涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.训练4[2021新高考卷Ⅰ]在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（－17，0），F2（17，0），点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和解析（1）因为｜MF1｜－｜MF2｜＝2＜｜F1F2｜＝217，所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），半焦距为c，则2a＝2，c＝17，得a＝1，b2＝c2所以点M的轨迹C的方程为x2－y216＝1（x≥1（2）设T（12，t），由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0设直线AB的方程为y－t＝k1（x－12）（k1≠0），直线PQ的方程为y－t＝k2（x－12）（k2≠由y－t＝k1（x－12),x2－y216=1，得（16－k12）x2设A（xA，yA），B（xB，yB），易知16－k12≠0，Δ＞则xAxB＝－（t－k12）2－16所以｜TA｜＝1+k12｜xA－12｜＝1+k1｜TB｜＝1+k12｜xB－12｜＝1+k1则｜TA｜·｜TB｜＝（1＋k12）（xA－12）（xB－12）＝（1＋k12）·[xAxB－12（xA＋xB）＋14]＝（1＋k12）[－（同理得｜TP｜·｜TQ｜＝（1+因为｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜，所以（1+k1所以k22－16＋k12k22－16k12＝k12－由题意可知，k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.思维帮·提升思维快速解题“蒙日圆”的应用蒙日圆：在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆称为蒙日圆，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴长（实半轴长）与短半轴长（虚半轴长）平方和（差）的算术平方根.即椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆x2＋y2＝例7在圆（x－3）2＋（y－4）2＝r2（r＞0）上总存在点P，使得过点P能作椭圆x23＋y2＝1的两条互相垂直的切线，则r的取值范围是（BA.（3，7） B.[3，7] C.（1，9） D.[1，9]解析解法一当题设中的两条互相垂直的切线中有一条切线的斜率不存在或者为0时，可得P（3，1）或P（3，－1）或P（－3，1）或P（－3，－1）.当题设中的两条互相垂直的切线的斜率都存在且不为0时，设P（x0，y0）（x0≠±3，y0≠±1），过点P的切线方程为y－y0＝k（x－x0），代入椭圆方程x23＋y2＝1得，（3k2＋1）x2－6k（kx0－y0）x＋3（kx0－y0）2－3＝0，由题意可知Δ＝0，即（x02－3）k2－2x0y0k＋y02－1＝0（x02－3≠0）①.设两条互相垂直的切线的切点分别为A，B，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，则kPA，kPB是关于k的方程①的两个根，所以有kPA·kPB＝y02－1x02－3＝－1由题意可得圆x2＋y2＝4与圆（x－3）2＋（y－4）2＝r2（r＞0）有公共点，则32＋42－2≤r≤32＋42＋2解法二由“蒙日圆”定理可得，点P的轨迹方程为C1：x2＋y2＝4，所以要使圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝r2（r＞0）上总存在点P满足题意，则圆C1与C2有交点，所以｜2－r｜≤｜C1C2｜≤2＋r，又｜C1C2｜＝5，所以3≤r≤7，故选B.方法技巧以椭圆为例.如图，设P为圆O：x2＋y2＝a2＋b2上任意一点，过点P作椭圆x2a2＋y2b2＝1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，延长PA，PB交圆性质1：PA⊥PB.性质2：（1）C，O，D三点共线；（2）CD∥AB；（3）kOP·kCD＝－b2a2，kOP·kAB＝－b2a2，kOA·kPA＝－b2a2，（4）kOA·kOB＝－b4性质3：PO平分椭圆的切点弦AB.训练5[2024江西名校联考]法国数学家加斯帕尔·蒙日发现，过圆E：x2＋y2＝a2－b2（a＞b＞0）上任意一点作双曲线C：x2a2－y2b2＝1的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E称作双曲线C的蒙日圆.过双曲线W：x23－y2＝1的蒙日圆上一点P作W的两条切线，与该蒙日圆分别交于A，B两点，若∠PAB＝30°，则△PAB解析如图，由题可知，W的蒙日圆的方程为x2＋y2＝2，半径为2，且PA⊥PB，所以AB为直径，所以｜AB｜＝22.又∠PAB＝30°，所以｜PB｜＝2，｜PA｜＝（22）2－（2）2＝6，所以△1.[命题点1]若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则直线的斜率k＝（A.63 B.－63 C.±63 解析由题意知直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1有且只有一个交点.由y＝kx+2，x23＋y22=1，消去y并整理，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，所以Δ＝（12k）2－42.[命题点2角度1]已知直线l过双曲线C：x216－y29＝1的左焦点，且与C交于A，B两点，当｜AB｜＝8时，这样的直线l有（A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析由双曲线C：x216－y29＝1可得左焦点为（－5，0），左、右顶点分别为（－4，0），（4若l⊥x轴，则｜AB｜＝2×94＝92＜若l与x轴不垂直，与C的左支交于A，B两点，则｜AB｜＝8，存在2条直线；若l与x轴不垂直，与C的左、右支各交于一点，则只有A，B为顶点时满足｜AB｜＝8，存在1条直线.综上可得，满足条件的直线有3条.3.[命题点2角度2/多选]已知椭圆x22＋y24＝1与斜率为k且不经过原点O的直线l交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列说法正确的是（A.kAB·kOM＝－1B.若M（1，1），则直线l的方程为2x＋y－3＝0C.若直线l的方程为y＝x＋1，则M（13，4D.若直线l的方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝4解析设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x122＋y124=1，x222＋y224=1，两式相减，得x12－对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M（1，1），得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M（13，43），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以对于D，由y＝x+2，x22＋y24=1，得3x2＋4x＝0，解得x4.[命题点3/多选/2023重庆市调研质量抽测]设O为坐标原点，F为抛物线C:x2=2pyp>0的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线l与抛物线C交于M，N两点（点M在第二象限），当θ＝30°时，｜MFA.p＝3B.△MON的面积的最小值为9C.存在直线l，使得∠OMF＋∠ONF＞90°D.分别过点M，N且与抛物线相切的两条直线互相垂直解析对于A，由题意得，F（0，p2），抛物线C的准线方程为y＝－p2，如图，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为M1，过点M作y轴的垂线，垂足为M2，记抛物线C的准线与y轴的交点为K，则｜MF｜＝｜MM1｜＝｜M2K｜＝｜FK｜－｜M2F｜.因为θ＝30°时，｜MF｜＝2，所以｜FM2｜＝1，则2＝p－1，得p＝3，所以选项A正确由选项A可知抛物线C：x2＝6y，F（0，32），易知直线MN的斜率一定存在，设直线MN的方程为y＝kx＋32，由x2=6y，y＝kx＋32，得x2－6kx－9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2对于B，S△MON＝12｜OF｜·｜x1－x2｜＝34·（x1＋x2）2－4x1x2＝3436对于C，OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋x126·x226＝x1x2＋（x1x2）236＝－9＋8136＜0，则∠对于D，因为y＝16x2，所以y'＝13x，则过点M且与抛物线相切的直线的斜率k1＝13x1，过点N且与抛物线相切的直线的斜率k2＝13x2，则k1k2＝x1x29＝－99＝综上，选ABD.5.[命题点2，4/2023长春高三质检]已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为π3的直线被E所截得的弦长为（1）求抛物线E的方程；（2）已知点C为抛物线上的任意一点，以C为圆心的圆过点F，且与直线y＝－12交于A，B两点，求｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜的取值范围解析（1）由题意，F（0，p2），设过点F且倾斜角为π3的直线为l，l的斜率为k，则k＝tanπ3＝3，l：y＝3x联立抛物线E与l的方程，并消去y得，x2－23px－p2＝0，Δ＝16p2＞0.设直线l与抛物线E交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1＋x2＝23p，x1x2＝－p2.所以｜MN｜＝1+k2（x1＋x2）2－4x1x所以抛物线E的方程为x2＝4y.（2）设∠AFB＝θ，则∠ACB＝2θ，设圆C的半径为r，则｜CF｜＝｜CA｜＝｜CB｜＝r.因为S△AFB＝12×｜FA｜×｜FB｜×sinθ＝12×｜AB｜×所以12×｜FA｜×｜FB｜×sinθ＝12×2rsinθ×所以｜FA｜·｜FB｜＝3r.设C（xC，yC），则｜FC｜＝r＝yC＋1.又yC≥0，所以｜FC｜＝r＝yC＋1≥1，则｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜＝3r2∈[3，＋∞），即｜FA｜·｜FB｜·｜FC｜的取值范围是[3，＋∞）.6.[命题点4/2023天津高考]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，｜A1F｜＝3，｜（1）求椭圆的方程和离心率e；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程.解析（1）由题意可知a＋c则b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为x24＋y23＝1，离心率e＝（2）由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k（x－2）.由y＝k（x－2),x24＋y23=1，可得（3＋4k2）设P（xP，yP），则由根与系数的关系可知xP＋2＝16k即xP＝8k2－63+4k2，则yP＝k（x由直线A2P交y轴于点Q可得Q（0，－2k），所以S△A1PQ＝12×4×｜yPS△A2FP＝12×1×因为S△A1PQ＝2S△A2FP，所以2｜yP－y①当2｜yP｜－2｜yQ｜＝｜yP｜时，｜yP｜＝2｜yQ｜，即有12｜k｜3+4k2＝2｜－2k｜②当2｜yQ｜－2｜yp｜＝｜yp｜时，2｜yQ｜＝3｜yp｜，即有4｜k｜＝36｜k｜3+4k2故直线A2P的方程为y＝±62（x－2）学生用书·练习帮P3621.[2024云南模拟]已知椭圆x22＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且｜AB｜＝423，则实数m的值为（A.±1 B.±12 C.2 D.±解析由x22＋y2=1，y＝x＋m，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－4m3，x1x2＝2m2.[202