向量的数乘运算 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3向量的数乘运算探究（一）：已知非零向量，作出

和

，并思考：（1）相加后，和的长度和方向有什么变化？（2）这些变化与哪些因素有关？（一）探究向量的数乘

已知非零向量，作出

和

.如图，.类比数的乘法，我们把记作，即，显然的方向与的方向相同，

的长度是的长度的3倍，即.

已知非零向量，作出和

.类似的，.我们把记作，即.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即.-a（2）方向：当λ>0时，λa的方向与

a方向相同；当λ<0时，λa的方向与a方向相反；（1）长度：|λa|=|λ|·|a|定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘(multiplicationofvectorbyscalar)，记作λa．它的长度和方向规定如下：说明：由(1)可知，当λ=0时，λa

=0;

由(1)(2)可知，(-1)a=-a.（一）向量数乘的定义

探究（二）:引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。

事实上，对于向量a(a≠0),b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么由数乘向量的定义知：向量a与b共线.

反过来，若向量a(a≠0)与b共线，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,那么实数与向量的积与原向量共线（二）探究向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.思考：为什么强调a≠0？（1）若a=b=0，λ∈R（2）若a=0，b≠0，则λ不存在.（二）向量共线定理=（2）求作向量

和

，并进行比较看

它们之间有什么关系？（3）

求作向量和

，并进行比较看

它们之间有什么关系？==（1）求作向量

和

，并进行比较看它们

之间有什么关系？探究（三）:已知

为非零向量（三）探究向量数乘的运算律

①λ(μa)=(λμ)a

设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：②(λ+μ)a=λa+μa

③λ(a+b)=λa+λb结合律第一分配律第二分配律特别地，我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb．向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有

λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b．（三）向量数乘的运算律

例1.计算：解:向量的线性运算类似于代数多项式的运算，运算中我们可以把向量看成未知数，把实数看成它的系数；然后去括号、移项、合并同类向量、整理系数等运算.例题解析：

例2:如图，

中，点

A是边BC的中点，点D是线

段OB靠近B的一个三等分点，DC和OA交于点E，

设

，.(1)用和表示向量；(2)若,求证：C、D、E三点共线；(3)若向量

共线

,

求m的值。

(1)用和表示向量；

解：分析：证明三点共线，只要证其中一点在另外两点所确定的直线上即可。本题中，应该用向量知识证明C,D,E三点共线，可以先证明三点中的任意两点确定的两个向量（比如

）共线，再说明这两个向量共点即可。证明

共线，即证是否存在λ，使得.

(2)若,求证：C、D、E三点共线；解：由（1）知又DE与DC有公共点D，因此C、D、E三点共线.解：由（1）知(3)若向量

共线,

求m的值。可知存在实数λ，

整理得：；

(2-2

λ)

a=（λm-λ

+2

）b由a,b不共线，必有

.2-2

λ=λm-λ

+2=0否则，不妨设，则a=b.

2-2λ≠0由两个向量共线的充要条件，得a,b共线，与已知矛盾.由a,b不共线，必有

.2-2

λ=

λm-λ

+2=0因此，当向量

共线时，m=-.向量的数乘定义几何意义向量数乘的运算律λ(μa)=(λμ)a

(λ+μ)a=λa+μa

λ(a+b)=λa+λb两个向量共线的充要条件及应用课时小结：课后作业：1.化简[(2a+8b)-(4a-2b)]的结果是

(

)

A.2a-b B.2b-a