山东省部分学校2022-2023学年高一年级下册期中质量监测联合调考数学试题（含解析）

山东省部分学校2022-2023学年高一下学期期中质量监测联合调考数

学试题（含解析）高一质量监测联合调考数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章至第二册第七章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

।AB—2,AC+BC=（）

A.CAB.ACC.BCD.CB

2.若复数Z满足iz=G-J5i，则Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.若函数/(x)=asin(5x+£j+Na>0)的值域为[-3,5],贝!|必=()

A-4B.4C.-3D.3

4.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过

程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A,B,C三点恰好共线，则机=（）

23

C.—D.8

5.记的内角A,B,C的对边分别为mb,c,且

2sin2A+2sin?B=2sin2(A+B)+3sinAsinB,则cosC=()

,3sin2（z-6sinacos£z_，兀、，、

6.若——--------------=2,则tana+;=（）

sirra-2cos2a-2v4/

A—B.-C.—或—1D.一或1

3333

7.“五月的风”是坐落在山东省青岛市五四广场的标志性雕塑，重达500余吨，是我国目前最大的钢质城市

雕塑，该雕塑充分展示了岛城的历史足迹.如图，现测量该雕塑的高度时，选取了与该雕塑底8在同一平面

内的两个测量基点。与。，测得N3CD=60°,NCD8=80°,CD=23.4m,在。点测得该雕塑顶端

A的仰角为40。，则该雕塑的高度约为（参考数据：取sin400=0.64）（）

8.在.ABC中，49为8c上的中线，G为A£＞的中点，M，N分别为线段AB，AC上的动点（不包

括端点4,B,C）,且M,N,G三点共线，AM=AAB，AN=pAC,则九+4〃的最小值为（）

359

A.—B.-C.2D.一

224

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若马,Z2是方程f+以+i=o的两个虚数根，则（）

A.。的取值范围为[-2,2]B.Z1的共期复数是Z2

C.Z（Z2=1D.■为纯虚数

10.已知向量a=（l,-1）,力=（—2,阳），c=（4,—2）,则下列说法正确的是（）

A.a与°夹角的余弦值为MOB.a在c上的投影向量为

1010

C.若a与b的夹角为钝角，则相＞—2D.若°与6的夹角为锐角，则m＜-2

3

11.记_A5C的内角A,B,C的对边分别为小b,c,cosA=-,C=2A,则()

4

A.ABC为钝角三角形B.C为最大的内角

C.a:b:c=4:5:6D.A:B:C=2:3:4

12.在锐角中，内角A,B,C的对边分别为a,6,c,且b=2瓜，B的角平分线交AC于D,BD=走空，

a+c

则()

c兀7171

A.B=-B.—<C<一

662

c.2V2<c<4V2D-16<acW24

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.时钟的分针长6cm,从10:05到10:40,分针转过的角的弧度数为，分针扫过的扇形面积为

_______cm-.

rr

14.已知向量a=("3),忖=2,且a与〃的夹角为,贝ijT.

15.将函数/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移£

个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)=Asin(s+e)[A>0,a)>0,网<y|的部分图条如图所

16.在底边为等腰.ABC中，腰AB边上的中线为CM,若一ABC的面积为4,则CM的最小值为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知复数z=3+i,Z2的实部和虚部均为非零实数，且五的实部等于虚部.

Z2

⑴请写出一个Z2;

(2)求%+Z2I的最小值.

18.如图，在梯形43CD中，A8=4OC，E,F分别是AB,3C的中点，AC与相交于点0,设

AB=a，AD=b-

(1)用a，b表示EF；

⑵用a，〃表示。尸.

19.记.ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且1—asinA=cos2A.

(1)求外接圆的周长；

(2)若A〉m,a=百，求面积最大值.

20.如图，AB为半圆O的直径，|AB|=2,C为AB上一点(不含端点)•

⑴用向量的方法证明AC1BC-,

(2)若C是AB上更靠近点8的三等分点，。为AC上的任意一点(不含端点)，求。4cB的最大值.

71

21.如图，在四边形ABC。中，/BAD=/BCD,BD=3,AD=2，ZBDC=~.

(1)若NAOC=—,求sinNBCD；

12

(2)若AB=V2BC»^BAD=/BCD-a,求12sin2cr-5cos2a.

22.若函数/(x)满足/(x-=+,且/(a-x)=/(x+a),aeR,则称/(x)“M型a

函数

(1)判断函数丁=5小12%一是否为型1函数”，并说明理由；

(2)己知g(x)为定义域为R的奇函数，当x>0时，g(x)=lnx,函数〃(X)为”“型?函数”，当

6

JU7E57t27c

XG-y,—时，/z(x)=2cos2x,若函数F(x)=g(〃(x)-川(meR)在一小彳上的零点个数为

奇数，求〃?的取值范围.

高一质量监测联合调考数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将

答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章至第二册第七章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

IAB—2,AC+BC=（）

A.CAB.ACC.BCD.CB

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量加减法法则化简即可.

【详解】AB-2AC+BC=AB+BC-2AC=AC-2AC=-AC=CA-

故选：A

2.若复数z满足iz=G-&i，则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的除法运算化简复数，由复数的儿何意义即可求解.

【详解】由题意、得z=e一再「卜自一启)=_亚,所以

z在复平面内对应的

i-i2

点为卜J5,-G卜位于第三象限.

故选:c

3.若函数/(x)=asin[5x+[]+Na〉0)的值域为[-3,5],则灿=()

A.-4B.4D.3

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦函数的值域求解/(力的值域，再与已知值域端点值对应相等，求解结果.

【详解】因为sin^x+E■卜,所以/(x)e[-a+0M+5|,a>0.

a+b=5,a=4,

由题意得《所以《故ab=4.

—a+b=—3,人=L

故选：B.

4.某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加

美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中A,B,C三点恰

好共线，则加=()

23

C.—D.8

3

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量共线的坐标表示可得.

【详解】由图可知，A(3,3),8(5,6),C(根,10)

所以48=(5—3,6—3)=(2,3),BC=(m-5,10-6)=(m-5,4),

故选：c

5.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

2sin2A+2sin2B=2sin2（A+B）+3sinAsinB,则cosC=（）

2233

A.--B.—C.--D.一

3344

【答案】D

【解析】

【分析】由正弦边角关系可得2a2+2〃=2c?+3a。，再应用余弦定理求cosC即可.

【详解】由题意

2sin2A+Zsin?B=2sin2（A+B）+3sinAsinB=2sin2c+3sinAsinB,

〃2±_「2a

所以21+2b2=2c2+3ab，得cosC=-~~-=--

故选：D

2

3sina-6sinacosa无

CtH--

C.或T

【答案】A

【解析】

【分析】利用二倍角余弦公式及商数关系可得3tan2r-6tana=2,即可求1ali最后

tan“a-4

由和角正切公式求值.

3sin2a—6sinacosa3sin2。-6sinacosa3tan2a-6tana

【详解】由

sinea-2cos2a-2sin2a—4cos2atan2a—4

tan2a-6tano+8=0

所以《得tana=4,

tan2aw4

tana+l_5

所以tan

l-tana3

故选：A

7.“五月的风”是坐落在山东省青岛市五四广场的标志性雕塑，重达500余吨，是我国目前

最大的钢质城市雕塑，该雕塑充分展示了岛城的历史足迹.如图，现测量该雕塑的高度时，

选取了与该雕塑底3在同一平面内的两个测量基点。与。，测得々8=60。，

ZCDB=80°■CD=23.4m,在C点测得该雕塑顶端A的仰角为40。，则该雕塑的高度

约为（参考数据：取sin40°=0.64）（）

A.26mB.28mC.30mD.32m

【答案】C

【解析】

【分析】在△88中，利用正弦定理先求BC,然后在RtABC中由三角函数定义可得.

【详解】由题意得NCBO=180°-60°-80°=40°,在△BCD中，由

BCCD

sinZCDB~sinZCBD

CDsinZCDB23.4sin80°23.4x2sin40°cos40°仙。

得BC=---------------=------------------------------=46.8cos40°，

sinZCBPsin40°sin40°

在^ABC中，AB=BOan400=46.8cos40°tan40°=46.8sin40°®30m.

故选：C

8.在中，AO为3C上的中线，G为A。的中点，M,N分别为线段A3，AC

上的动点（不包括端点A,B,C）,且M,N,G三点共线，若AM=2A3,AN=pAC,

则4+4〃的最小值为（）

359

A.-B.—C.2D.一

224

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面向量的基本定理，用AB,AC表示AG，设A/G=xMN，0<x<l,再

if11、

用含参的方式用A8,AC表示AG，得到关于参数的方程组求得:；+—=1，最后应用

基本不等式“1”的代换求九+4〃的最小值，注意取值条件.

【详解】由题意AG=gAO=-(AB+BD}=-(AB+-BC^-AB+-(AC-AB

2、，2(2J24、

=-AB+-AC,

44

汲MG=xMN，0<x<l，

则AG=AM+MG=4W+xMN=AM+x(4V-AM)=xAN+(l-x)AM

=2（1—x）AB+juxAC,

ii\（\iA

所以久一）=“"户"得,丁7卜1，

所以2+4〃=；（X+4〃）；+工）=；5+¥+4）之；（5+2"）=、（当且仅当

33

4=—,〃='时等号成立）.

48

故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若Z1,Z2是方程/+依+1=0的两个虚数根，则（）

A.。的取值范围为[-2,2]B.Z1的共输复数是Z2

C.Z]Z2=1D.Z|+|"为纯虚数

【答案】BCD

【解析】

【分析】z?是方程/+以+1=0的两个虚数根，则A<（）,得—2<。<2,则根据一

元二次方程方程的求根公式可知z,的共辗复数是Z2,

【详解】由△=/一4<0,得-2<a<2,A错误；

因为原方程的根为％=一"±，4-a",所以4的共辗复数是z,,B正确；

2

—a+y4—cri—ci—y4--a~i,八

Z-----------x----------=1,C正确；

22

J"/:忐”一/3所以Z+£为纯虚数，D正确.

因为4十二等于i或二…

222

故选：BCD.

1

10.已知向量4=(1,一1),b=(-2,m),。=(4,一2),则下列说法正确的是()

A.a与c夹角的余弦值为之叵3

B.a在c•上的投影向量为历c

10

C.若a与人的夹角为钝角，则相>一2D.若a与〃的夹角为锐角，则

m<-2

【答案】ABD

【解析】

【分析】已知向量〃，4c的坐标表示，由向量的投影向量以及数量积公式可分别判断各选

项，从而得出结论.

a-c1x4+(—1)x(—2)3-s/lO

【详解】a与,夹角的余弦值为麻［=J2XJ16+4=干,人正确.

acc1x4+(—1)x(—2)c3

〃在°上的投影向量为□.口=—•乖/=记~B正确•

a-b=-2-m<0,

若a与b的夹角为钝角，则<得m>—2,且mw2,C错误.

m手2,

a-b=-2-m>0,

若a与b的夹角为锐角,则《得，%<-2,D正确.

m手2

故选:ABD.

3

11.记ABC的内角A,B,C的对边分别为mb,c,cosA=-,C=2A,则()

4

A._ABC为钝角三角形B.C为最大的内角

C.a:b:c=4:5:6D,A:B:C=2:3:4

【答案】BC

【解析】

【分析】对A,根据同角三角函数和两角和与差的余弦公式即可判断；对B和C,利用正弦

定理即可判断；对D,利用反证法即可.

1

【详解】对A,由cosC=cos2A=2COS29A-1=->0,得A,C均为锐角，

8

因为cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC

亘5l=2>o,

484816

所以3为锐角，ABC为锐角三角形，A错误.

95s

由cosB=—,得sinB=

16IF

•.sinA<sinB<sinC，根据正弦定理得a<8<c,则A<B<C,

所以C为最大的内角，故B正确:

对C,根据正弦定理有正理：c=sinA:sinB:sinC=4:5:6,故C正确;

兀!

对D,若力：3:C=2:3:4,A+B+C=n,则6=一，cosB=一,不符合题意，故

32

D错误.

故选：BC.

12.在锐角_A8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2底,B的角平分线交

4c于。，=则（）

a+c

c.2V2<c<4V2D.16<ac<24

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据已知条件及角平分线的定义，利用三角形的面积公式、三角形的内角和定理及

锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边角化及两角差的正弦公式，再利用二倍角的正

弦余弦公式及三角函数的性质即可求解.

【详解】因为8。是角/ABC的平分线,

所以NABD=NCBD=g.

2

由题忌可知,S_ABC—SABD+SACD>即

—acsinB=—aBDsinNABD+—cBDsinZ.CBD,

222

所以Lac，2・sinOcosO=」(a+c)^^sin巨，即2singcos鸟=Vising,

2222V7a+c2222

因为_ABC为锐角三角形,

7T

所以0<8<一，

2

所以o<O〈色，

24

所以sinONO,

2

所以2cosO=J§,BPcos-=-)

222

所以0=2,即8，故A错误；

263

2兀

在—ASC中，A+B+C=TiHPA=-----C,

y3

因为一A5C为锐角三角形,

八2兀〃兀

0<C<—

397T7T

所以,解得:<C<7,故B正确;

o<Y62

Z?sinC2&sinC

b，即,45/2sinC

由正弦定理得sinB

sinBsinC

2

「、，兀-71

因为一<c<一,

62

所以;<sinC<l,即2及<40sinC<4j5，

所以2夜<0<4近，故C正确；

2R-b_2瓜_4J2

由正弦定理"一sin8一心”，

V

所以a=27?sinA=4>/2sinA,c=2/?sinC=4^2sinC,

所以ac=32sinAsinC=32sin(专一C卜inC=32(sin£2TIcosC-cos£2兀sinC卜inC

33

12'(niA

sinCcosC+—sinC16——sin2C——cos2C+8

2)22

7

=16sin[^2C—^J+8,

LI兀〃兀

因一<c<一,

62

LL,1兀C-兀5兀

所以一<2C—-<一,

666

所以g<sin12cq11,

所以16<16sin（2Cq]+8424,

所以16<ac<24,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】解决此题的关键是利用等面积法及锐角三角形限制角的范围，结合正弦定理的边

角化及三角恒等变换，再利用三角函数的性质即可.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横

线上.

13.时钟的分针长6cm,从10:05至也0:40,分针转过的角的弧度数为,分针扫过

的扇形面积为cm2.

7九

【答案】①.~②.2U

6

【解析】

【分析】直接计算出分钟转过的弧度数，利用扇形的面积公式可求得分针所扫过的面积.

【详解】由题意得，分针转过的角的弧度数为-27TX至=—也，

606

17九

分针扫过的扇形面积为一X—X36=2liicm2.

26

_7、

故答案为：一;兀；217r.

6

14.已知向量。=（、反3）,忖=2,且与人的夹角为'，则加。=.

【答案】2

【解析】

rrr

【分析】根据题意求。必，再结合向量的模长运算求解.

=2V3x2x—6.

2

2.

15.将函数/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图

象向左平移;个单位长度，得到函数g(x)的图象，若

6

g(龙)=Asin(s:+e)A〉0,同的部分图条如图所示，则。=

【答案】①.g##0.5②.当呜6

【解析】

]jr

【分析】根据函数图象得A=3、3=—、(p=~,写出g(X)解析式，再由图象平移确定

26

/(x)解析式，即可求函数值.

【详解】由图知4=3,

3

2

2兀「，

——3+0=—+2k兀

32

结合图象得：,keZ,两式相减得一(y=——，即啰=

10兀1171..332

---69+*=----F2K71

36

27r17TTTjrjr

则—x—卜cp=—F2E,keZ得:(p——卜2kn,kwZ,又冏＜一,所以0=一

322626

1兀)

所以g(x)=3sin—x+—

26J

将g(x)所有的点向右平移三个单位长度，纵坐标不变，则

6

'兀、1TC71

gx--=3sin[-(%--)+-],

、6/266

，兀、1兀

所以g九一乙=3sin(-x4-—),

\oy212

把得到的图象的横坐标缩短到原来的|,则/(X)=3sin，

/i、i/7兀、..2713百

所以f\--3sin—=---.

U2J32

故答案为：y,且

22

16.在底边为BC的等腰ABC中，腰A6边上的中线为CM,若ABC的面积为4,则

CM的最小值为.

【答案】限

【解析】

【分析】设A3=AC=f,CM^m,应用三角形面积公式、余弦定理得到含参数加关于

f的方程，根据方程有解420求加的最小值.

【详解】设AB=AC=f,CM=m,则5ABe=；"sinA=4,得“sinA=8，

产i5

在qAMC中，由余弦定理得加2=产+——2XZX-/XCOSA,得产cosA=一/一加2,

424

|r2-m2j+64,即9/一40帆2/+16加4+1024=0,

由上式平方相加得:

令x=*>o,设〃x)=9f-*%+16*+1024,则/(x)在(0,+动上必有零点,

“X)的对称轴为片网口〉0,则A=1600”—4x9x(16—+1024)20,得

9

m4>36，叩机2C.

故答案为：V6

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

z.

17.已知复数4=3+i,Z2的实部和虚部均为非零实数，且一1■的实部等于虚部.

Z2

⑴请写出一个Z2；

（2）求|马+Z2I的最小值.

【答案】（1）—2+i（答案不唯一）

⑵石

【解析】

【分析】（I）由题意可设Z2=a+bi,再根据复数的除法运算可解

43。+/?a-3b.z,

根据」的实部等于虚部得a=-加，从而可得结论.

2222

z2a+Z?a+/7Z2

（2）由（1）可得Z1+z2=a+3+（b+l）i=-28+3+（8+l）i,利用复数的模公式计算可得

|z,+z2|=舸b-1）?+5，从而可得出最小值.

【小问1详解】

设Z2=a+bi,a,8为非零实数,

(3+i)(a-M)_3>a+h+(a-3b)i_3a+ba-3b.

因为J3+i

a+bi(a+历a2+b2a2+b~a2+h2

3a+ba-3b

所以得a=_».

a2+b2a2+h2

故Z2可以为一2+i.(答案不唯一，满足Z2=a+万，a=-2Z?/0即可，例如2-i,

4-2i.-4+2i)

【小问2详解】

由(1)可得Z1+z2=a+3+(/?+l)i=—2/?+3+(/?+l)i,

所以卜+z2|=J(3_26)2+(b+l)2=,5/-103+10=15伍一1)2+5,

当b=l时，I4+Z2I.=5/5.

I1^Imin

18.如图，在梯形ABC。中，A6=4OC，E,P分别是A8,BC的中点，AC与OE相

交于点。，设AB~a，AD=b-

⑴用a，b表示EF；

(2)用a，b表示OF.

【答案】(1)—an—b

82

111,

(2)—a——b

246

【解析】

【分析】⑴由题设知〃AC且Eb=gAC,根据EF=；AC用AD,AB表示出EF即

可；

(2)由题意可得佚=黑=〈，再用ARAB表示出OF即可.

【小问1详解】

在_A8C中，因为E,F分别是48,BC的中点，所以即〃AC,且£F=，AC,

2

故EF=—AC=—(AD+D(j\——IADH—AB]=—ADH—AB=—aH—b.

22、>2l4J2882

【小问2详解】

因为A3//CZ),所以△AOE/XCOD,则空=空=1，

AEOE2

故0尸=0£+£：尸=：0£+£：/=|(4后一4£>)+£/=1(；48—40)+石/

12,11711*1J

-a——b+—a+—b=——a——b.

3382246

19.记一ABC的内角4,B,C的对边分别为mb,c,且l-asinA=cos2A.

(1)求心ABC外接圆的周长;

(2)若4〉三，a=B求面积的最大值.

【答案】(1)2兀

⑵立

4

【解析】

【分析】(1)根据二倍角公式及正弦定理求得_ABC外接圆的半径;

(2)根据余弦定理结合基本不等式、面积公式求得结果.

【小问1详解】

由1一asinA=cos2A=1-2sin2A，

得asiM=2sin2A，

因为sinA/O,所以a=2sinA,则_A8C外接圆的半径H=—^=1,

2sinA

故_ABC外接圆的周长为2TIX1=2兀.

【小问2详解】

由（1）得si”=q=3,因为A>色，所以A==.

2233

由余弦定理/=匕2+。2-2）c、cosA，得3=〃+。2+0cN20c+hc，BPbc<\,

当且仅当b=c=l时，等号成立.

所以%BC=^bcsinA=^-bc<乎，

故，ABC面积的最大值为立.

4

20.如图，AB为半圆。的直径，|A@=2,C为A8上一点（不含端点）•

⑴用向量的方法证明AC13C；

（2）若C是AB上更靠近点8的三等分点，0为AC上的任意一点（不含端点），求QA-CB

的最大值.

【答案】（1）证明见解析

*

【解析】

【分析】（D建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证；

⑵利用坐标表示出QACB,然后由三角函数性质可得.

【小问1详解】

如图，建立平面直角坐标系.

(方法一)由题意可知|。却=1,设NCQB=a，则ee(O,乃)，

A(-1,O),5(1,0),C(cos«,sincr),

得AC=(cosa+l,sina),BC=(cosa-1,sincr),

所以AC-BC-cos2a-1+sin?。=1-1=0，

故ACLBC，ACIBC.

(方法二)由题意可知|弼=1,A(T0),8(1,0),设C(a,»,

则|OB|=|OC|=」容+万=],得"+62=1，

得4c=(a+l,b),BC=(a-l,b),

所以ACBC="2—i+02=i_i=o，

故ACLBC，即

【小问2详解】

由题意得NCOB=0,则

设/QOB=0,则夕乃1,Q(cosA，sin尸),

由(1)得C8=OB—OCQA=(-1-cos/?,-sin/?),

所以QA・C8=--------cos/+，"Sin尸=sin(3——

-222I6/2

由小仁,万］,得夕一"七年)，当,q=即时,

V3)o\ooJ623

故04as的最大值为］

71

21.如图，在四边形A3c。中，/BAD=/BCD,BD=3,AD=2,/BDC=—.

⑵若AB=叵BC,^BAD=/BCD=a,求12sin2a-5cos2。.

【答案】（1）宜王

14

⑵13

【解析】

分析】（1）由余弦定理可得AB=J7,进而由正弦定理即可求解，

（2）由余弦定理得人长―4ABcose=5，由正弦定理得AB=/5c=上，两式结合即

sina

可求解.

【小问1详解】

7兀71n

由题意得NA08=ZAOC—N8OC=-----=-,

1243

△ABO中，由余弦定理得AB?=4）2+8。2—2A8-8OcosNA£>8=7，得

AB=/i，

3x

由正弦定理一些一=—些一，得.BDsinZADB23及I.

sin/R/iDsin/ADRsinZBAD=-----------=—^-=—~-

ABVT714

故sinNBCD=sin/BAD=-

14

D___________C

//【小问2详解】

A^------------—^5

在△ABO中，由余弦定理BD2=AD2+AB2--2AB-ADcosa，

得AB2-4A8cosa=5①，

ze”5DsinZ.BDC3及

在△BCD中，由正弦定理=———,传£)C———

sinasinZBDCsina2sina

i—3912cosa

所以A8=03C=—代入①式得一—一二5,得

sinasinasina

9-12sinacosa=5sin%，

1__Z_4Z-XQOxy

则9-6sin2a=5x------:——,即12sin2a-5cos2a=13.

2

22.若函数/（%）满足/1一9=/（工+'|）,且/（Q—x）=〃x+〃），则称

了（九）为“M型。函数

（1）判断函数了=《11（2》-；］是否为“知型型函数”，并说明理由：

I4J8

(2)已知g(x)为定义域为R的奇函数，当x>0时，g(x)=lnx,函数〃(X)为型工函

数”，当xe-y,^-时，力(x)=2cos2x,若函数F(x)=g(〃(x)■-〃7)(/neR)在

5兀2兀

上的零点个数为奇数，求〃?的取值范围.

_63

【答案】(1)是，理由见解析

⑵(-2,-1卜［1,2).{3}

【解析】

【分析】⑴根据所给定义得到/(X)的周期为兀，且“X)的图象关于直线x=a对称，在

根据所给解析式判断即可；

⑵首先求出g(x)的零点,令E(x)=g(〃(x)—m)=0,即〃(x)=m—1或加或加+1,根

5兀2兀5兀2兀

据对称性与周期性画出//(X)在一不，7上的图像，则函数尸(X)在-3■，豆上的零

57r27r

点个数等于〃(X)在一至，一亍上的图象与直线丁=旭+1,)'=加，y=m-i的交点个

数之和，数形结合即可得解.

【小问1详解】

由/卜一微卜/1+微)，得/(X)=/(X+71),所以“X)的周期为无，

由/(a-x)=/(x+a),aeR,得/(x)的图象关于直线x=。对称，

37r7TITi7T।371

因为2xe—乙=2,所以y=sin2》一二的图象关于直线》=空对称，

842I4J8

又〉=sin12x-弓J的