山东省青岛市黄岛区开发区致远中学2025届数学高一下期末复习检测模拟试题含解析

山东省青岛市黄岛区开发区致远中学2025届数学高一下期末复习检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A． B． C． D．2．在中，若，则（）A． B． C． D．3．若，则下列不等式不成立的是()A． B． C． D．4．已知向量与的夹角为，，，当时，实数为()A． B． C． D．5．已知中，，，的对边分别是，，，且，，，则边上的中线的长为()A． B．C．或 D．或6．根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于130克的苹果数约占苹果总数的（）分组频数13462A． B． C． D．7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acosA=bcosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成的角是()A． B． C． D．9．若直线xa+yb=1(a>0,b>0)A．3 B．4 C．3+22 D．10．若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________.12．已知向量，，，则_________.13．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．14．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.15．如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的一个周期的图象，则f(1)=__________.16．等比数列中首项，公比，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某运动爱好者对自己的步行运动距离（单位：千米）和步行运动时间（单位：分钟）进行统计，得到如下的统计资料：如果与存在线性相关关系，（1）求线性回归方程（精确到0.01）；（2）将分钟的时间数据称为有效运动数据，现从这6个时间数据中任取3个，求抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率．参考数据：，参考公式：，．18．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，.（1）①证明：；②证明：存在点P使得.并求出P的坐标；（2）过C点的直线将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.19．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．20．已知从甲地到乙地的公路里程约为240（单位：km）.某汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度x（单位：）（）的关系近似符合以下两种函数模型中的一种（假定速度大小恒定）：①，②，经多次检验得到以下一组数据：x04060120Q020（1）你认为哪一个是符合实际的函数模型，请说明理由；（2）从甲地到乙地，这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少？21．已知圆M的圆心在直线上，直线与圆M相切于点.（1）求圆M的标准方程；（2）已知过点且斜率为的直线l与圆M交于不同的两点A、B，而且满足，求直线l的方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据题意，分析可得，由三角形面积公式计算可得△DEF和△ACF的面积，进而可得△ABC的面积，由几何概型公式计算可得答案．【详解】根据题意，为等边三角形，则，则，中，，其面积，中，，，其面积，则的面积，故在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，故选：A.【点睛】本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．2、A【解析】

由已知利用余弦定理即可解得的值．【详解】解：，，，由余弦定理可得：，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3、A【解析】

由题得a＜b＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.【详解】由题得a＜b＜0，对于选项A,=，所以选项A错误.对于选项B,显然正确.对于选项C,，所以，所以选项C正确.对于选项D,，所以选项D正确.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.4、B【解析】

利用平面向量数量积的定义计算出的值，由可得出，利用平面向量数量积的运算律可求得实数的值.【详解】，，向量与的夹角为，，，，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.5、C【解析】

由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中线，在中，由余弦定理即可计算AB边上中线的长．【详解】解：，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或1．如图，CD为AB边上的中线，则，在中，由余弦定理，可得：，或，解得AB边上的中线或．故选C．【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．6、C【解析】

根据频数分布表计算出质量大于130克的苹果的频率，由此得出正确选项.【详解】根据频数分布表可知，所以质量大于克的苹果数约占苹果总数的.故选：C【点睛】本小题主要考查频数分析表的阅读与应用，属于基础题.7、C【解析】

利用正弦定理由acosA=bcosB,可得sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状．【详解】在△ABC中，∵acosA=bcosB，∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选C．考点：三角形的形状判断．8、D【解析】

首先根据得到异面直线与所成的角就是直线与所成角，再根据即可求出答案.【详解】由图知：取的中点，连接.因为，所以异面直线与所成的角就是直线与所成角.因为，所以，.因为，所以，.所以异面直线与所成的角为.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成角，平移找角为解题的关键，属于简单题.9、C【解析】

将1,2代入直线方程得到1a+2【详解】将1,2代入直线方程得到1a+b=(a+b)(当a=2故答案选C【点睛】本题考查了直线方程，均值不等式，1的代换是解题的关键.10、D【解析】

由扇形的弧长公式列方程得解.【详解】设扇形的半径是，由扇形的弧长公式得：，解得：故选D【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】甲、乙两人下棋，只有三种结果，甲获胜，乙获胜，和棋；甲不输，即甲获胜或和棋，甲不输的概率为12、【解析】

根据向量平行交叉相乘相减等于0即可．【详解】因为两个向量平行，所以【点睛】本题主要考查了向量的平行，即，若则，属于基础题．13、【解析】

求出的垂直平分线方程，两垂直平分线交点为外接圆圆心．再由两点间距离公式计算．【详解】由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为.故答案为：【点睛】本题考查三角形外接圆圆心坐标，外心是三角形三条边的中垂线的交点，到三顶点距离相等．14、【解析】

以为原点建立平面直角坐标系，利用计算出两点的坐标，设出点坐标，由此计算出的表达式，，进而求得最值.【详解】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.故填：.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积的坐标表示以及数量积求最值，考查二次函数的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15、2【解析】

由三角函数图象，利用三角函数的性质，求得函数的解析式，即可求解的值，得到答案.【详解】由三角函数图象，可得，由，得，于是，又，即，解得，所以，则.【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求解函数的解析式及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、9【解析】

根据等比数列求和公式，将进行转化，然后得到关于和的等式，结合，讨论出和的值，得到答案.【详解】因为等比数列中首项，公比，所以成首项为，公比为的等比数列，共项，所以整理得因为所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则应是的约数，所以可得，所以，当时，得，此时当时，得，此时当时，得，此时，所以，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）先计算所给数据距离、时间的平均值，，利用公式求，再利用回归方程求.（2）由（1）计算的个数，先求从6个中任取3个数据的总的取法，再计算抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的取法，利用古典概型概率计算公式可得所求.【详解】解：（1）依题意得，所以又因为，故线性回归方程为．（2）将的6个值，代入（1）中回归方程可知，前3个小于30，后3个大于30，所以满足分钟的有效运动数据的共有3个，设3个有效运动数据为，另3个不是有效运动数据为，则从6个数据中任取3个共有20种情况（或一一列举），其中，抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的有9种情况，即，，所以从这6个时间数据中任取3个，抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率为.【点睛】本题考查线性回归方程的建立，古典概型的概率，考查数据处理能力，运用知识解决实际问题的能力，属于中档题.18、（1）①见解析；②见解析，；（2）.【解析】

（1）①利用夹角公式可得；②由条件知点为四边形外接圆的圆心，根据，可得，四边形外接圆的圆心为的中点，然后求出点的坐标；（2）根据条件可得，然后设的坐标为，根据，可得的坐标．【详解】（1）①，，，，，，，，，，；②由知，点为四边形外接圆的圆心，，，，，四边形外接圆的圆心为的中点，点的坐标为；（2）由两点间的距离公式可得，，，，过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，，设的坐标为，则，，，，点的坐标为．【点睛】本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19、（1），，；（2）线段的长度分别为；（3）不垂直，理由见解析【解析】

（1）由已知条件，利用长方体的结构特征，能求出点的坐标．

（2）直接利用两点间距离公式公式求解．（3）求出，，计算数量积即可判断是否垂直.【详解】解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，由得：，因为点N是AB的中点，点M是的中点，，；（2）由两点距离公式得：，；（3）直线与直线不垂直，理由：由（1）中各点坐标得：，，与不垂直，所以直线与直线不垂直.【点睛】本题考查空间中点的坐标的求法，考查线段长的求法，以及利用向量的坐标运算判断垂直，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20、（1）选择模型①，见解析；（2）80.【解析】

（1）由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，即可判断选择；（2）将，代入函数型①，可得出的值，进而可得出总耗油量关于速度的函数关系式，进而得解.【详解】（1）选择模型①理由：由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，而函数模型②为一个单调递减函数，故选择模型①.（2）将，代入函数型①，可得：，则，总耗油量：，当时，W有最小值30.甲地到乙地，这辆车以80km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.