湖南省108所学校2022-2023学年高一年级下册期中联考数学试题（含解析）

湖南省108所学校2022-

2023学年高一下学期期中联考数学试题（含解析）2023年

上学期高一期中联考

数学

本试卷共4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,

如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答

题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

A=<XGZ-3<X<—>

1.设集合12J5={-1,0,1,2）,能正确表示图中阴影部分的集合是

()

A.{-1,0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{2}

2.用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（)

A.长方体B.圆锥C.棱锥D.圆台

:上工的点位于（

3.复平面内表示复数z=)

1

A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

4.已知明〃为非零实数，则是啊习。|”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.函数〃x)=—的部分图象大致为()

2—2

6.如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面作

为水平基线，使得C,D,8在同一直线上，在C,。两点用测角仪器测得4点的仰角分别

是45。和75。，CD=10,则建筑物AB的高度为()

B5（V6+V2）

A.573+5C.573D.

2

5百+5

2

7.已知锐角二ABC的内角A，B,。所对的边分别为*b,C,8=g,C=2,则一ABC

的周长的取值范围为（）

A.（3+73,2+2^）B.（3+73,4+273）

C（3+6,6+26）D,（3+后,+8）

8.已知。是不共线的两个向量，何=2,a.b=46,若VfeR,|力一相22,则

w的最小值为

A.2B.4C.2百D.473

二、多项选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.向量满足：卜d=4,恸=2,ab>3'则向量b在向量a上的投影向量的模的可能

值是（）

13

A1B.-C.-D.2

44

10.在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,则下列选项正确的是（）

A.a<b<^>A<B

B.ANBosinANsinB

C.若，ABC为锐角三角形，则sinA>cosB

D.cos（A+B）=cosC

2

11.已知xe（（）,7i）,sinx+cosx=--,则下列结论正确的是（）

5

A•（吟夜D-o

A.sinXH——|=----B.sin2x——

I4j39

714

C.sinx-cosx=-----D.-l<tanx<0

3

12.己知函数/（x）=2sin（Q）x+0）（0>O）,下列说法正确的是（）

A.若函数y=/（x）为偶函数，则sine=0

-7t兀］（31

B.若°=0时，且/（x）在一上单调，则

c.若。=0时、y=/（x）的图象在长度为兀的任意闭区间上与直线y=l最少有3个交

点，最多有4个交点，则/G

D.若函数=—在兀上至少有两个最大值点，则

2,5u旦13+8

coe

222

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.基函数y=x"'的图象过点则函数"X)=log”(x+m)恒过定点

14.若cos(x+,则cos(2x一-

15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.

明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的

筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m,每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛

水筒P(视为质点)从水中浮现(图中点A)时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将尸到水

面距离y(m)表示为时间r(s)的函数y=/“)，则/(?)=

16.定义在R上的函数/(X)满足/(x+2)=g〃x),且当xe[0,l]时,

/(1-x)=/(%)；当无«0,2］时,/(2-x)=-/W；当了6°，g时，

/(力=16'-1.若对立^«加,*»),都有则加的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及

演算步骤.

17.已知关于x的方程3/一2双+。=0，aeR.

(1)当。=1时，在复数范围内求方程的解；

(2)已知复数z=2a+i,若方程3/一2办+a=0有虚根，求z的模的取值范围.

18.为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）

划出一块面积为100平方米的矩形区域A8C。修建一个羊驼养殖场，规定ABC。的每条边

长均不超过20米.如图所示，矩形EFGH为羊驼养殖区，且点A,B,E,F四点共线，阴

影部分为1米宽的鹅卵石小径.设4B=x（单位：米），养殖区域EFG”的面积为5（单位：

平方米）.

DC

HG

AEB

77777777777777777777~

（1）将S表示为x的函数，并写出函数的定义域;

（2）当A8多长时，S取得最大值？并求出此最大值.

19.如图，在四边形ACB。中，AB与CQ交于点且CO=xCA+yCB.

(1)若AM=2MB，CD=3CM，求盯V的值；

(2)若CB=2,C4=4,ZACD=45°,N3CD=60°,求x,y满足的等量关系.

20.函数/(x)=Asin®x+e)[4＞0,0〉0,0＜夕＜5)在一个周期内的图象如图所示,

且函数/（X）的一个零点为二.

⑴求/（力的解析式;

（2）将y=/（x）的图象向左平移;个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为

6

原来的g,得到>=g(x)的图象.令产(x)=/(x)g(x)，求*x)的最大值，若尸(X)取

得最大值时X的值为%,求tan4x().

21.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别为〃，h,c,。是AC边上的点，

2Z?sinB=(2<7-c)sinA+(2c-<7)sinC.

⑴求/ABC的大小；

(2)若CD=1,AD=BD=2,求8c长.

22.已知/(x)=a-下'是定义在R上奇函数，g(x)="2、+2-)

⑴若XG[-1,2]时，〃(x)=/(x)g(x)的最大值为2,求优的值；

(2)设直线x=x-x=/与函数y=[/(x)了的图象分别交于A,B两点，直线x=x-

x=X2与函数y=[g(x)]2的图象分别交于C,。两点，若存在x产苞，且

G[0,1],使得A6〃CO，求用的取值范围.

2023年上学期高一期中联考

数学

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,

如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答

题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

A=<x^Z-3<x<—>ji

1.设集合[2J,8={T，U，l，2j,能正确表示图中阴影部分的集合是

()

U

B

A

A.{-1,0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{2}

【答案】B

【解析】

【分析】先求得集合4={-2,-1,0},结合题意及集合的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合A=,xeZ-3<x<；>={-2,-1,0},

根据图中阴影部分表示集合8中元素除去集合A中的元素，即为{1,2}.

故选：B.

2.用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（）

A.长方体B.圆锥C.棱锥D.圆台

【答案】D

【解析】

【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案.

对于A项，如图1,用平面ACR截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确;

对于B项，如图2,用平面RW截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确；

对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点

的截面为三角形，故C项正确；

对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误.

故选：D.

3.复平面内表示复数z=—的点位于（）

i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】C

【解析】

【分析】化简复数可得z=-l-i，即可根据复数的几何意义得出答案.

【详解】根据复数的除法运算求解z=T=azDi=i±i=_i一匕

ii・i-1

所以，复平面内表示该复数的点为（-1,-1）,

所以，复平面内表示复数z=?的点位于第三象限.

i

故选：C.

4.已知。，匕为非零实数，则Nr,是“例可a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】S—>1=>—>I2>1=>Z?2>tz2=>|/?|>|<2I，即回？同成立，故充分

a\a）a'

性成立；

取6=-2,。=1,则弧|2时成立，但g21不成立，故必要性不成立.

b

因此,“一21”是“例习4”的充分不必要条件.

a

故选：A

4ccqr

5.函数/（x）=y三的部分图象大致为（）

2—2

【答案】c

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性排除AB,再由特殊值排除D即可得解.

4cos%

【详解】因为/(%)=的定义域为{xlxwO},关于原点对称,

2-2T

4cos(-x)4cosx

所以/(—x)=—/(x),即函数为奇函数，排除AB,

2~X-2X2~x-2'

4-cos2

当x=2时，八2)=寸(°,排除D

故选：C

6.如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面C£＞作

为水平基线，使得C,D,8在同一直线上，在C,。两点用测角仪器测得A点的仰角分别

是45。和75。，8=10,则建筑物AB的高度为()

A

A.573+5B.5(#+垃)C.5A/3D.

2

5>/3+5

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦定理求出A。，再在直角三角形中求解即可.

【详解】在ACD中，根据正弦定理可得

AD=CDsinZACD=10sin450

sinZDACsin(75°-45°)'

在RtZVlBD中，

AB=ADsin75。=10&(sin30°cos450+cos30°sin45。)=100x立;而=58+5

故选：A

TT

7.已知锐角-ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,B=pc=2,则ABC

的周长的取值范围为()

A.(3+73,2+273)B.(3+6,4+26)

C(3+73,6+273)D,(3+6,+8)

【答案】C

【解析】

同OeinA

【分析】利用正弦定理得到b=*-,a=——，即可将a+匕转化为。的三角函数,

sinCsinC

结合C的取值范围及正切函数的性质计算可得.

7Tabc

【详解】因为8c=2,由正弦定理.—一,即

sinAsinBsinC

a_b_2

.兀，

sinAsin—sinC

3

o•人2sin—+C2sin—cosC+2cos—sinC

所以/,=a二2sinA=13J=33

sinC

sinCsinCsinC

GcosC+sinC

sinC

所以Q+。=~~~~—F'~~------------------........-+1

sinCsinCsinC

26cos?—

--------------+1

CC

2sin—cos

22

0<C<-

?717r

因为JRC为锐角三角形，所以〈;，所以一<c<一,

0<8=生-。<四62

32

E兀C兀兀c

则一<—<—所以tan—<tan—<1,

1224122

c兀

2tan一伺

因为tan：=--------运一="所以tan—^=2-或tan—^=-2-（舍去）,

65工31212

12

所以2—G<tan£<l,所以1<一二<2—6=>+2,

2tan—4

所以0+1<--+K4+2V3,即6+1<。+匕<4+26

tan—

所以0+3<a+b+c<6+20，即的周长的取值范围为(3+6,6+26).

故选：C

8.已知。，。是不共线的两个向量，忖=2,&仍=4百，若VfeR,忸―相上2,则

”的最小值为

A2B.4C.2百D.4A/3

【答案】B

【解析】

【分析】由卜一，。上2可推得，卜『2-49一百『+16.令/(，)=一4«-6『+16,根

2

据函数的最大值，即可得出恸2/。)“1ax=16,进而得出答案.

【详解】由卜一回22可得，卜—相［=仅一却24,

即b-2ta-b+t2a>4-

因W=2,a-b=4^3,所以86/+4/=忖？+4,—1224,

所以，|12-40一6『+16.

令/«)=_49—6『+16,

因为，—4(f—+16416,所以f(^)mtx=16.

又对V/eR,卜一相上2恒成立，所以2/(/).=16,

所以忖".

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.向量a/满足：卜［=4,忖=2,a-b>3<则向量b在向量a上的投影向量的模的可能

值是()

13

A.1B.-C.-D.2

44

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意，结合向量。在向量a上的投影向量的模公式，即可求解.

【详解】由题意，向量a,匕满足忖=4,网=2且〃为23，

M>3

所以向量匕在向量a上的投影向量的模为M^os(a,b^

L

故选：ACD

10.在一ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列选项正确的是（）

A.a<boA<B

B.ANBosinANsinB

C.若-ABC为锐角三角形，则sinA>cos3

D.cos（A+B）=cosC

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据大边对大角，即可得出A项；根据正弦定理，结合A项，即可得出B项；由

TTTT

已知可推出0<——B<A<-,根据正弦函数的单调性，即可得出C项；

22

cos（4+B）=cos（兀—C）,根据诱导公式化简，即可判断D项.

【详解】对于A项，根据大边对大角，知A项正确；

对于B项，由A知，A>B<z>a>h.

由正弦定理一3一=—2—可得，sinA=32],所以sinA之sinB.

sinAsin3sin8b

由sinANsin3,根据正弦定理‘一=」-可得，

sinAsinB

"q]nA

->1,所以所以AN5,故B项正确；

bsin8

TTTTTT

对于C项，由已知可得，A+B>-,所以0<—―B<A<~,

222

因为正弦函数在（0,上单调递增，所以sinA>sin（5_8）=cosB,故C项正确；

对于D项，COS（A+B）=COS（7T-C）=-cosC,故D项错误.

故选：ABC.

11.已知xe（O,兀），sinx+cosx=--,则下列结论正确的是（）

人•（心加0-95

A.sinx+—|=----B.sin2x=—

I4j39

714

C.sinx-cosx=-----D.—1<tanx<0

3

【答案】ABD

【解析】

,4

【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A项；由已知可得，(sinx+cosx)-=§,展开

/214

即可得出B项；先得出(sinx-cosx)-=§,根据已知可得sinx-cosx>0,开方即可

2

判断C项；根据sin尤+cosx=-一<0,结合三角函数的符号，即可推出

3

|sinx|<|cosx|,进而得出.anxjvl,即可得出D项.

【详解】对于A项,因为sinx+cosx=

=V2sinx+—=——,

k4J3

所以sin［x+色］=一立，故A项正确;

I4)3

4

对于B项，由己知可得，(sinx+cosx)~2=—,

179

即sin2x+cos2x+2sinxcosx=l+sin2x=—

9f

所以，sin2x="—,故B项正确；

9

214

对于C项，(sinx-cosx)-=sin2x+cos2x-2sinxcosx=1-sin2x=—.

由已知sinx+cosx=-g,XG(O,TC),可知兀］,所以sinx-cosx>0,

所以，sinx—cosx=恒，故C项错误；

3

2

对于D项，因为sinx+cosx=-§<0,sinx>0,cosx<0,所以卜inx|<|cosx|,

..Isinx\

所以，grix----1<1.

|cosx\

又tan1<0,所以一IctanxvO,故D项正确.

故选：ABD.

12.已知函数/(x)=2sin(Q*+°)3>0),下列说法正确的是()

A.若函数y=/(x)为偶函数,则sin0=0

jrjr(3

B.若夕=0时，且/(x)在一WG上单调，则。

C.若。=0时，y=/(x)的图象在长度为兀的任意闭区间上与直线y=l最少有3个交

点，最多有4个交点，则1,2j

n

D.若函数g(x)=/x-万,兀上至少有两个最大值点，则

(O6

【答案】BD

【解析】

【分析】由已知求出。的表达式，代入即可判断A；求出0X的范围，根据已知列出方程

127r

组，求解即可得出B项；先解sin0x=：,然后得出相邻交点最小的距离为一，最大距离

23co

为一.结合已知列出。的不等式，求解即可判断C项；由已知可推出4,进而结合正

3(0

弦函数的图象与性质，得出所有的可能，分别列出不等式组，求解即可得出。的取值范

围，进而判断D项.

【详解】对于A项，要使函数/(x)=2sin(5+°)3>0)为偶函数，则

0=工+E,&wZ,

2

则sin。=±1,故A项错误；

对于B项,9=0时，/(x)=2sind)x,

,「兀兀］〜「兀71

因为XE—,所以--^CO^CD

兀、兀

---CD2------

兀7T423

因为“X)在一"石上单调，所以有，解得Ov^K二，故B项正确;

兀/兀2

1兀

对于C项，由题意2sin公v=l,则sinox=-,GX=—+2E,攵£2或

26

cox=—+2E,keZ,

6

兀2也？~-5兀2kn7〜

则X=-----1------次£Z或X=-----1------,Z£Z,

6coeo6a)co

27r4冗

所以，相邻交点最小的距离为——，最大距离为.

3①3①

由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于兀，相邻五个交点之间的最小距离不小于

底.1071口CT_4兀、

所以，---<兀，且2/----->71，

3a)co

所以，—<«<4,故C项错误;

3

对于D项,g(x)=f2sincox,

CD

故兀一巴之丁，所以生TT

K—,所以6924.

2co2

兀71

因为一《不工兀，所以一口469%（冗力.

22

7T

由于。24,所以一啰22兀,

2

兀57J1

2-

-29

97-1,解得一4045；

(22

5兀兀，9兀

——<—co<——

22213

，解得二<口<9；

、13兀2

con>----

2

9兀兀13兀

—<—co<----

222

,解得9VGW13.

、17兀

0)71>----

2

717113兀71

④当6y>13时,6971----CO=-CO>-,---满-足/z(x)=sinfyx在-,71上至少有两个最大

222

值点.

913)

综上所述，CDG—,5U—,4-00I.

2

故选：BD

【点睛】思路点睛：D项，先化简函数表达式，进而根据已知得出。的大致范围，进而结

合正弦函数的图象与性质，列出关系式，求解即可得出。的取值范围.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.基函数y=x"'的图象过点Pi，则函数/(x)=log“(x+m)恒过定点

【答案】(-2,0)

【解析】

【分析】根据基函数过点求出团，再由对数函数的性质求出所过定点.

【详解】因为基函数y=x'"的图象过点Pi,

所以，=1_L],解得小=3,

8⑵

即/(x)=log"(x+3),当/=—2时,/(-2)=0,

所以函数/(x)=log,,(x+恒过定点(-2,0).

故答案为:(-2,0)

14.若cos[x+g=亭，则。。$(2%一鼻)=.

【答案】-

3

【解析】

兀\711

【分析】因为2x—3=2x+?—兀，根据诱导公式可得

cos(2x-1J=—cos2(x+]J,然后根据二倍角的余弦公式展开，即可得出答案.

兀I71I

[详解]因为2x—]=2卜+1―兀，

所以，cos(2x-1)=cos[2(x+g-7t=-cos2(x+g)

故答案为：

3

15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.

明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m的

筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m,每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛

水筒尸(视为质点)从水中浮现(图中点A)时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P到水

面距离y(m)表示为时间f(s)的函数y=/"),则/«)=.

【答案】6sin^—Z--j+3(Z>0)

【解析】

【分析】根据三角函数的周期求出角速度，再利用正弦函数求圆上点的纵坐标即可得出.

2TT71

【详解】由题意周期7=2x60=120秒，所以角速度—=—(rad/s),

12060

当经过时间，秒。20),质点P从A运动到如图M所在位置，如图，

7T

此时ZMOA=a)t=—t,

60

因为水车半径Q4=6米，水车中心离水面距离AC=3米，

Ji717r

所以NAOC=—,ZMOB=—t一一，

6606

兀兀、(71兀、

-t--+AC=6sin-t--+3,

(60071606/

即/⑺=6sin[Wj+3c

故答案为：6sinI—?——j+3(Z0)

1606)

16.定义在R上的函数/(x)满足〃x+2)=；/(x),且当xe［0,l］时，

/(l-x)=/(x)；当xe［0,2］时，/(2-x)=-/(%)；当xe0,1时，

/(x)=⑹-L若对Vx目也”)，都有则加的取值范围是.

【答案】；H>5-^-log23

【解析】

【分析】根据已知可得出函数在区间［0,1］以及区间［0,2］上的对称性，进而可作出函数的

图象.根据图象设以及|,5.进而根据已知条件，推出函数/(x)在

'911

-,5内的解析式，进而求解/(x)=—即可得出毛的值，进而得出加的取值范围.

_2_2

【详解】由当xe［0,l］时，/(1-x)=/(%),可得/(X)的图象在该区间内关于直线

X=—对称；

2

由当x«0,2］时，/(2-x)=-/(%),可得"X)的图象在该区间内关于点(1,0)对称.

结合已知条件，作出函数/(X)的部分图象如下图

由图象可设人底,；)，且x>x()时，都有"xkfaohg，且马^1,5

设;4x41,则0W1—xW；,/(l-x)=161-A-l.

因为，当xe[O,l]时，/(l-x)=/(x),所以/(x)=/(l-x)=16i-l,^<x<\.

当无€-,5时，x-4e-,1,所以/(%_4)=161Tl)—1=16j-L

又函数/(x)满足/(x+2)=g/(x),

所以，/(x-4)=2/(x-2)=4/(x),

所以，/(力=止刊=更

」\)44

令〃x)J''T=_L,解得x=5—4log,3,即A(5-!log,3，!1.

'/424I4

所以，/?2>5--^-log23.

故答案为：in5——log,3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及

演算步骤.

17.已知关于x的方程3/-2"+。=0，aeR.

(1)当a=l时，在复数范围内求方程的解：

(2)已知复数z=2a+i,若方程3/一2以+4=0有虚根，求z的模的取值范围.

【答案】(l)x=」±^i

33

(2)1<|z|<A^7

【解析】

【分析】(D代入。=1,配方得到x--\=—*,开方即可得出答案；

I3J9

(2)由已知可得A<0,求解得出。的取值范围，进而得出l<|z『<37,开方即可得出答

案.

【小问1详解】

当a=l时，方程为3万2一2%+1=0，

(JY2

配方可得，x—乙

I3J9

两边开方可得，x--=±—i.

33

所以，方程的解为％=2■土变i.

33

【小问2详解】

要使方程3/一26+a=0有虚根，则△=（一2。『—4x3。=4/一12a<0,

所以0<a<3,所以0<Q2<9.

又忖2=4片+1,所以1<，<37,

所以，1<目<后.

18.为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）

划出一块面积为100平方米的矩形区域ABC。修建一个羊驼养殖场，规定A8C。的每条边

长均不超过20米.如图所示，矩形E尸G”为羊驼养殖区，且点A,B,E,尸四点共线，阴

影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB=x（单位：米），养殖区域EFGH的面积为S（单位：

平方米）.

DC

IIG

AEB

//777/7//7////7/777/"

（1）将S表示为x的函数，并写出函数的定义域;

（2）当AB为多长时，S取得最大值？并求出此最大值.

【答案】（l）S=102-------x,定义域为［5,20］；（2）当AB=10五米时，S取得最大值,

X

最大值为102—20血.

【解析】

【分析】（1）由已知得到AO=U也，进一步得到的长度用x表示，即可得到S；

X

（2）利用基本不等式即可求得最大值

【详解】解：(1)因为所以AZ)=W2,EF=X-2,FG=—~\,

XX

…100200

所以S=a-2)(--1)=102-——-X,

XX

因为0Vg20,0<—<20,解得53020,

x

200

所以S=102一x,定义域为［5,20J.

x

,、200I~200r-

(2)5=102-------烂102—2x-----=102—20血，

xVx

当且仅当尤=10血e［5,20］时取等号，

答：当AB=10亚米时，S取得最大值，最大值为102—200.

19.如图，在四边形AC8O中，AB与8交于点M,且CO=xC4+yC3.

(1)若CD=3CM，求x,y的值；

Q)若CB=2,C4=4,ZAC£>=45°,NBCD=60°,求V满足的等量关系.

【答案】(l)x=l,y=2

(2)2\［2x=#)y

【解析】

2212

【分析】(1)根据已知条件可推得，AM^-CB——CA,进而得出CM=-CA+—C3.

3333

根据CD=3CM，即可得出工，^的值；

(2)根据数量积公式，求出CA-C8=20-2遥.进而求出

CACD=16x+(20-2佝y,又根据数量积公式有。-。=2两回，即可得出

「4=4屈+(1-6卜洞理可得出［4=(20-26卜+分，联立即可得出关系式.

【小问1详解】

由已知可得，AB=CB-CA

又AM=2MB，所以AM

2212

所以，CM=CA+AM=C4+-CB■■—CA=-CA+-CB.

3333

又CD=3CM，所以CD=3(；CA+：C月)=C4+2CA.

又CO=xC4+yCB,所以x=l,y=2.

【小问2详解】

由已知可得，NAC6=105°,

则cosNAC8=cosl05。=cos(45°+60°)

=cos45°cos60°—sin45。sin60。=一V，

4

(rz_

则C4-CB=|C4MCOSNACB=4X2X-VV-=2夜-2后

k4，

则CACD^CA-(xCA+yCB)=xCA：+yCA.CB=16x+偿血-2⑹y,

又CA•CO=|C41cqeosNACO=4x〔CD卜母=2^|co|,

所以，2夜|cr)|=16x+(2&-2#)y,则口耳=4屈+(1—6)y.

CBCD=CB-(xCA+yC8)=xCACB+yCIi'=(272-2遥)x+4y.

又C6•CD=|叫C4cos/BCD=2X|CD|X|=|CD|,

所以，国=（2痒2旬x+4y.

所以，有（2/-2^）x+4y=40x+（l-石）y,

整理可得，2瓜=&.

20.函数/（x）=4sin（0x+o）［A>O,eo>O,O<o<5）在一个周期内的图象如图所示,

与为该图象上两点，且函数/（力的一个零点为".

⑴求“力的解析式;

（2）将y=/（x）的图象向左平移$个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为

6

原来的g,得到＞=g(x)的图象.令产(x)=/(x)g(x)，求*x)的最大值，若尸(X)取

得最大值时X的值为%,求tan4x0.

【答案】⑴/'Q)=3sin(2x+U

9

(2):，-Jj

4

【解析】

【分析】(1)求出对称轴可得出函数周期，由周期求出。，再由过点(胃,0)求出夕，代入

求4,即可得出函数解析式；

(2)根据图象平移得出g(x)解析式，利用三角恒等变换化简F(x),即可得出最大值及对应

的自变量，再求出对应正切即可.

【小问1详解】

件|)知X、为函数的对称轴,

由图象过与

T5兀7171

所以一=------=—即T=兀，

41264

2兀2兀

所以刃=一=一=2,

Tn

又函数图象经过穹,o],所以Asin(2x=+e]=0,即sin卷+夕]=0,

又o＜e＜《，所以*=工，

26

因为图象过点(0,T]，所以3=Asin解得A=3,

所以函数解析式为/(x)=3sin(2x+F).

【小问2详解】

N=/(x)的图象向左平移彳个单位长度可得)'=3sin[2x+]]=3cos2x,

得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的g,得到y=g(x)=cos2x,

所以F(x)=f(x)g(x)=3sin[2x+-^jcos2x=3sin2xcos2x+—cos22x

2

7

3

-sin4x+-cos4%+-=-sin4