安徽省皖豫联盟与安徽卓越县中联盟2024届高三联考5月三模数学 含解析

豫名校联盟&安徽卓越县中联盟2024年高三联考

数学试卷

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置，

2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他标号，回答非选择题时，将写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数X近似服从正态分布

N(105,100),据此估计，该市二模考试数学分数X介于75到115之间的人数为()

参考数据：若x"A，吟,则

P(/z-<7<X<A+CT)a0.6827,P(/z-2cr<X<〃+2cr)土0.9545,P(//-3cr<X<//+3cr)®0.9973

A.13272B.16372C.16800D.19518

【答案】C

【解析】

【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解.

【详解】依题意1(75<X<115)x0口827；。9973=。,故所求人数为20000*0.84=16800.

故选：C.

2.若复数z满足z+3=(,贝U|z|=()

36「375D.述

A.-B.--

5555

【答案】D

【解析】

【分析】先求得Z,然后求得|z|.

【详解】依题意，2iz+6i=z,故2=——=——

l-2i5

故选：D

3.在椭圆C的4个顶点和2个焦点中，若存在不共线的三点恰为某个正方形的两个顶点和中心，则椭圆

。的离心率为()

A.显一

B.1---

422

【答案】c

【解析】

【分析】分析这三个点一定构成等腰直角三角形，所以只可能是两种特殊情形，由于结果都是满足b=c,

所以只可求出一个离心率.

【详解】根据题意，只需要这三个点构成等腰直角三角形，所以这三个点只可能是“短轴的两个端点和一个

焦点”或“两个焦点和短轴的一个端点”，

可设椭圆C的长半轴长为a(a>0),短半轴长为匕3>0),半焦距为c(c>0),

这两种情况都满足b=c,所以e=£=/£=1c2_1c2_口_血

lb2+c2\c2+c2~h~29

即椭圆C离心率为近，

2

故选：C.

4.记数列｛4｝的前几项和为5“若q=l,S"+.2

Sn+l=3n+2n+l,则邑。二()

A.590B.602C.630D.650

【答案】A

【解析】

+。"+2=6(〃+1)-1，再计算出4+。2，即可得到

【分析】根据%=-S"作差得到an+｝

%+4+I=6"—1，再利用并项求和法计算可得.

【详解】因为S"+S1+I=3〃2+2〃+1,

所以S“+]+Sn+2=3(〃+Ip+2(〃+1)+1,

两式相减可得a”+]+an+2=6〃+5=6(〃+1)—1.

2

由q=l,Sr+S2=3xl+2xl+l=6,解得a2—4,

所以4+4=5,满足上式，故％,+a“+i=6〃-1,

所以S20=(%+2)+(/+&)++(%9+。2。)

10x(5+113)

=5+17+29++113=——-----=590.

2

故选：A

5.已知正方体的棱长为1,若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成体积为;的四面

体的概率为（）

1236

A.——B.—C.—D.—

35353535

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查排列组合与古典概型概率计算.

【详解】设正方体为ABCD-\BXCXDX,则满足体积为;的四个顶点只有“AC四,。”和

八21

£D,4,G”两种情况满足，故所求概率尸=E=4.

故选：A

.3

2x3

m1c~+4x,x>~,

6.已知函数二3的图象关于直线x=］对称，则加i+加2+%=（）

3-2x

2e+m2x+多,％<-1

、2

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

【解析】

33

【分析】利用/a）的图象关于直线％=5对称，可知向左平移5个单位为偶函数，再利用g（-九）=g（x）恒

成立，知对应待定系数相等，即可解决问题.

m^x+4x+6,x>0,

【详解】依题意，g（x）=/（x+|

_3为偶函数,

2x

2e+m2x-\--m2-\-m3,x<0

C.x2<x3<玉D.x2<x1<x3

【答案】A

【解析】

【分析】求出和々，退，构造函数〃力=*2-1—21HX,利用导数研究单调性，比较出马>々，构造函数

g(x)=1皿-11-1,比较出々〉石，即可求解.

2迤._____(1、

【详解】依题意-----=e2=71+^=1-05,贝|]玉=21—；^,%=21nl.O5,M=L052—l.

2—%I1.05)

令〃%)=£_1_21.，故广(力=2(1)(%+1),

故当X>1时，/''(£)>0"(九)在(1,+8)上单调递增,

故/(1.05)>0,则%,〉％.令g(x)=lnx—]l—1,

则g'(%)=W，故当%>1时，且'(力>。超(力在(1,”)上单调递增，

则g(1.05)>0,则々>为.

综上所述：X3>%2>%!.

故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=2sin13x—：J,贝i]()

A.小-7]=〃力

B.“X)的图象关于直线x=-5对称

27r

c./(x)在—,n上单调递增

3Jr

D.函数y=/(x)+5在一§,0上有2个零点

【分析】连接E0,若SB//平面AEC,证得SB//EO,得到。E=！S。，与题设矛盾，可判定A错

2

误；过点E作EFLSC,根据线面垂直的判定定理，证得所上平面S5C,得到直线CE与平面S5C

所成的角为NEB,可判定B正确；将平面&43翻折至与平面S5C共面，连接AC,结合

AP+CP>AC,可判定C正确；根据/_SAC=K-ESC，求得高人可判定D错误.

【详解】对于A中，连接班),交AC于点。，连接EO,如图所示，

若SB//平面A£C,因为平面SBDr平面人£。=0石，且S6u平面SBD,

所以SB//EO,因为。为5。的中点，所以DE=^SD,

2

又因为E为棱SD上靠近。的三等分点，所以矛盾，所以A错误；

对于B中，过点E作EPLSC,垂足为口，

因为平面ABCD,且BCu平面ABCD,所以SDL6C,

又因为四边形ABC。为正方形，所以CDL5C,

因为SOCD=D,且SRCDu平面SCD,所以6C1平面SCD,

又因为所u平面SCD,所以BCLEF,

因为SCc5C=C,且SC,3Cu平面S5C,所以石户上平面S5C,

则直线CE与平面SBC所成的角为NECE,

由题可知

cos/DCE————,sin/DCE——,sin/ECF—sin(451/DCE)——-^―xI——-----I—-以B

正确；

对于c中，将平面出出翻折至与平面sec共面，且点Ac在直线SB的两侧，

连接AC,则AP+CP之AC=2x^*2=2#,所以C正确；

3V3

对于D中，设点E到平面S4c的距离为〃，

则/2

zl—oAC=-3-5.„d,A„C./2=-3x—4x(\3V2)/x/2=y.A-_zidC=-3X-2X2X3X3,

解得/?=豆3,所以D错误.

3

故选：BC.

11.已知抛物线£：y2=0x（0〉O）和C2：y2=2px的焦点分别为片，工，动直线/与G交于

M（%,%）,N（X2，%）两点，与02交于。（%3，%），。（工4，丁4）两点，其中%，%>°，％，丁4<0，且当/过

点B时，y3y4=-4,则下列说法中正确的是（）

A.G的方程为y2=2x

B.已知点AQB）,则|MA|+pW国的最小值为3

%%为%

\MP\

D.若太谷=2,则△AMB与然片的面积相等

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,设/:x=/ny+^,联立抛物线。2的方程，结合韦达定理求出。即可判断；对于B,结

合抛物线定义、三角形三边关系即可判断；对于C,设/:工=阳+7,分别联立抛物线方程，结合韦达定

理即可判断；对于D,由C选项分析可得&MP\

%-%,结合%-XT=2以及韦达定理即

%一为NQ\

可得出两个三角形的高相等，显然三角形同底，由此即可判断.

「,Dx=my-\——，0

当/过点工时，设/:x=nzy+人，联立，2,可得y-2pmy-p=0,

2[y2=2px

△=402疗+4°2>0,

故y3y4=-。2=-4,解得夕=2,则G:y2=2羽。2：V=4x,故A正确；

过点M,A向G的准线引垂线，垂足分别为3,C,

点A到C1的准线的距离d=2,

2

由抛物线定义可知\MA\+\MFl\=\MA\+\MB\>\AB\>\AC\=d=^,

等号成立当且仅当点M为AC与抛物线的交点，故B错误；

,ix=my+t.

设/:x=zny+。，由〈、",可得厂一2my-2t=0,

y=2x

A；=4m2+8f〉0,%+%=2根,%%=—2t,

x=my+t.

由〈2，可得»-4w:y-4/■=(),

y"=4x

2

A2=16m+16/〉0,%+%=4m,%%=一由，

11m11m

故—+—=--7，同理可得—+—=一-T，故C正确;

%为t%%/

1+±=±+±«AZA=AZA(故一%-M

X%%%%%%%‘％为%%

-4t

X------C2

%一JMP可得口=—多=々=

注意到M-=2,2

\NQ

%-%

%

所以血=|以|，从而△/耳鸟与二处;g的面积相等，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出|弘|=|%]，由此即可顺利得解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={42,—1},3=b|y=若的所有元素之和为⑵则实数4=

【答案】-3

【解析】

【分析】分类讨论4是否为L-2,进而可得集合2,结合题意分析求解.

【详解】由题意可知：Xw—1且4/2,

当x=4,贝！Jy=42；当x=2,则y=4；当％=—1,贝Uy=l；

若彳=1,则6={1,4},此时的所有元素之和为6,不符合题意，舍去；

若4=—2,则6={1,4},此时的所有元素之和为4,不符合题意，舍去；

若几21且2,则5={1,4,下},故>[2+4+6=12,解得4=—3或4=2(舍去)；

综上所述：2=-3.

故答案为：-3.

13.已知圆C:(x—1)2=4的圆心为点C,直线/：%=阳+2与圆C交于M,N两点，点A在圆C

上，且C4//儿W,^AM-AN=2>贝1"N卜.

【答案】

【解析】

【分析】设弦肱V的中点为8,得到3CLAC,化简AM-AN=2R2—即可求解.

【详解】由圆C:(x—iy+丁=4,可得圆心C(1,O),半径为R=2,设弦"N的中点为B,

因为CA〃MN,BCLMN,所以3C，AC,

且A"=A8+8%AN=AB+BN=AB—BM,

所以AM.AN=|AB『-|§M2=IAB|2--|M2V|2=7?2+|CB|2--IW2

12121212

22

(R2TMM_(1阿=R--^\MN\=8-||MA^|=2,

解得|MN|=26.

14.已知cos|/+2a)+4sin2:—a-£J=(sin£-cos夕)2+1,其中a+仕eZ),且

tana+3tan尸=4夜-2tan(a+力)，则tan2a=.

【答案】2拒

【解析】

【分析】由第一个已知条件得sin2a+sin2/=2sin（21+2/7）,结合二倍角公式进一步得出

tanatan夕=g,结合第二个已知条件可得关于tana的方程，由此即可求解.

【详解】依题意,

=sin2a+2-2cos表(2a+20=sin2a+2-2sin(2a+2〃),

(sin/?-cos/?)2+1=2-sin2/?,

所以sin2a+sin2月=2sin(2a+2⑶，

所以sin2a+sin2£=sin[(a+/)+(a-〃)]+sin[(o+/)-(a-7?)]=2sin(a+/?)cos(a-/?),

而2sin(22+2/?)=4sin(c+/?)・cos(a+/?),

因为a+(kEZ),故sin(a+/?)wO,

则cos(cr-/7)=2cos

则3sin(zsin/7=costzcos/7,

即tanatan尸=g,

八/c八c八2tana+2tan£

贝Utana+2tan(a+〃)+3tanp=tana+3tanpH--------------------

'1-tanortan/?

=4tan。+6tan/?=4tanorH--------=4五,

tan。

解得tana=更，故tan2”=[=20

21一2

故答案为：2夜.

【点睛】关键点点睛：关键是得出tanitan〃=；,由此即可顺利得解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校为了给高三学生举办“18岁成人礼”活动，由团委草拟了活动方案，并以问卷的形式调查了部分同

学对活动方案的评分(满分100分)，所得评分统计如图所示.

(1)以频率估计概率，若在所有的学生中随机抽取3人，记评分在［50,70)的人数为X,求X的数学

期望和方差.

(2)为了解评分是否与性别有关，随机抽取了部分问卷，统计结果如下表所示，则依据a=0.01的独立

性检验，能否认为评分与性别有关?

男生女生

评分2703035

评分＜702015

(3)若将(2)中表格的人数数据都扩大为原来的10倍，则依据a=0.01的独立性检验，所得结论与

(2)中所得结论是否一致？直接给出结论即可，不必书写计算过程.

2

参考公式:/=n{ad-be)

(a+b)(c+d)(a+c)0+d)

参考数据:

a0.10.050.01

2a2.7063.8416.635

o63

【答案】⑴E(X)=记,。(X)=而；

(2)

不能认为评分与性别有关；

(3)不一致.

【解析】

【分析】(1)由题意可得X即可得X的数学期望和方差；

(2)求出力2的值，即可判断；

(3)将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后，求出力2的值，即可得结论.

【小问1详解】

解：由频率分布直方图可知评分在［50,70)的频率为2x0.015x10=0.3,

所以XBf3,^-1

所以£。)=3*』=2,。(乂)=3*2工工=包

'/1010v71010100

【小问2详解】

100x(30x15-35x20)2

解：依题意％2=»1.099<6.635,

65x35x50x50

故依据a=0.01的独立性检验，不能认为评分与性别有关.

【小问3详解】

解：将表中的人数数据都扩大为原来的10倍后,

，1000x(300x150-350x200)2

y---------------------------

650x350x500x500

_100x(30x15-35x20)2x100000

65x35x50x50x10000

I。,<100x(30>15-35x20)2

»10.99>6.635.

65x35x50x50

所以能认为评分与性别有关，

故所得结论与(2)中所得结论不一致.

16.如图，在三棱锥S—ABC中，5。，4。,$4=58=5。,","分别为棱54,5。的中点.

(1)证明：平面SAB_L平面ABC；

(2)若点S到底面ABC的距离等于35C,且AC=2BC,求二面角S——N的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】(1)取棱A3的中点。，连接OS,。。，分别证得和SOLOC和SOLAB,利用线面垂直的

判定定理，证得SO,平面ABC,进而证得平面1sA6,平面ABC；

(2)以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设6C=2,分别求得平面出出和血勿V的法向量

元=(1,2,0)和加=(0,2,1),结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：取棱A3的中点。，连接OS,OC,

因为&1=SB,所以

又因为C4LCB,由直角三角形的性质，可得AO=CO,

因为SA=SC,SO=SO,所以,SOA^SOC,

可得NSOA=/SOC=90，即SOLOC,

因为A5c0C=0,且AB,OCu平面ABC,所以SO,平面ABC,

又因为SOu平面SAB,故平面SAB,平面ABC.

【小问2详解】

解:以C为坐标原点，CA,C方所在直线分别为羽y轴，过点C垂直与平面ABC直线为z轴，建立空

间直角坐标系，如图所示，

不妨设BC=2,则AC=4,SO=6,

所以5(2,1,6),5(0,2,0),4(4,0,0),“(3,；,3：“1,别，

可得A3=(—4,2,0),AS=(—2,1,6),3"=13,—|,3)7VM=(2,0,0),

设〃二(%,%z)为平面£45的法向量，则〈，

n-AS=—2x+y+6z=0

取x=l,可得y=2,z=o,所以〃=(1,2,0),

m-NM=2p=0

设〃z=(p,%r)为平面加W的法向量，贝卜3

m•BM=3p-—q+3r=0

取〃=1,可得夕=0,9=2,所以加=(0,2,1).

m-n43

所以cos沆4=^0=',故二面角s——N的正弦值为一.

\m\\n\55

17.己知函数/(£)=/一区2,且曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为》一2丁一2=0.

(D求/(%)的极值;

故当2<f<4时，单调递增，当/〉4时，单调递减,

因此当/=4时，/X0max=/<4）=—,

e

故-%〈一4,则占一刀224,

故实数力的最小值为4.

22

18.已知双曲线。:三-4=1（°>0/>0）的离心率为2,动直线/：丁=履+〃2与。的左、右两支分别交于

ab

点、M,N,且当左=机=1时，OM-ON=-2（。为坐标原点）.

（1）求C的方程；

（2）若点。至！J/的距离为1,C的左、右顶点分别为A，4,记直线A"，4N的斜率分别为七求

"yl+，+

k.Mk.wk",,„,

AMA°N------的最小值

\MN\

2

【答案】（1）x2-^=l

3

G36+21百

4

【解析】

i，o2

【分析】（1）设。的半焦距为C,由题意得到/=3/,联立方程组得至|]%+9=1,%%2=—匕子-，

结合OM-ON=-2,列出方程求得/力？的值，即可求解；

（2）由点。至心的距离为1,得至卜7?2=公+1，联立方程组求得石+々,石々，求得人2<3,再由弦长公

冲戈俎kkkk小12"—/+3）473雨由

式，求得二~p一,-----=-^——丁，且氏一刈一~----------求得区一山仁--------y，再由

|MN|归-即1121|3-印陶213―

（1）得至ij3M&JV=-21—126,进而求得其最小值，得到答案.

【小问1详解】

解：设C的半焦距为c（c>0）,

由题意知禺心率e=£=J1=2，可得Z?2=3Q2,

y=kx+1

联立方程组％2y2,整理得2%2_2X—1—3/=0，

[a23a2

其中A=12+24Q2>0且玉+々=1,为％2=_1+；,

则OM-ON=石%2+%%=2为42+再+%+1=1—3a2=-2，

2

解得“=112=3,所以双曲线。的方程为f―21=1.

3

【小问2详解】

1ml

解：因为点。至心的距离为1,可得7^==1,则相2=公+].

1k+1

y=kx+m

联立方程组《整理得（3-左之）犬—2kmx—[jn1+3）=。,

3X2-/=3

其中3—左2w0,A=（—26）2+4（3—左2）（/+3）=48>0,

口2kmm2+3

且％+与=----MM;，

123—女212左2—3

n72-L3

因为直线/与C的左、右两支分别交于点M,N,可得勺上2<0,所以左2<3,

左2—3

4百〉4百

因为苏=A：?+1,左2<3,故人-司=%2

3—也一口-

由（1）可知A（―1，°），4（1，°），则鼠乂=，"A/=彳%]，

痂"t.』力左2XIX2+/〃（XI+X2）+7〃23仔一疗）力H

故A/AL&+1）&-厂中2+K-石）-1=/"+6—467-33,

/-鼠乂k总>-21-12.36+21^3

又由卜一引2—--，故上一司464，

3

即y尸的最小值为-"幽.

【点睛】方法策略：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：

（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图

形、几何性质来解决；

（2）函数取值法：若题目条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值

（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，

要特别注意自变量的取值范围；

3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，

合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.

19.定义1：若数列｛%｝满足①％=1,②V〃N2,%（a“—1）=0,则称｛%｝为“两点数列”；定义2：对

于给定的数列｛叫，若数列也｝满足①仇=1,②4+i=|%+i—2©。，则称也｝为｛4｝的“生成数

列”.已知｛4｝为“两点数列”，｛%｝为｛%｝的“生成数列”.

（1）若4J:严,求｛2｝的前〃项和5；

（2）设「：｛4｝为常数列，q：｛2｝为等比数列，从充分性和必要性上判断。是4的什么条件;

（3）求劣025的最大值，并写出使得4025取到最大值的｛%｝的一个通项公式.

n+3

2〒-3,〃为奇数,

【答案】（1）S"=

3・2，-3,〃为偶数

（2）0是q的充要条件.

1,“为奇数,

（3）4025的最