2024年中考数学复习：圆（解析版）

知识必备09圆

〕方廷清单

方法1：圆中最值问题

一.选择题（共2小题）

1.（2023•江南区校级三模）如图，正方形48CD的边长为5,以C为圆心，2为半径作OC.点尸为OC上的动点,

连接8P,并将8尸绕点3逆时针旋转90。得到3P,连接C尸.在点尸运动的过程中，C尸长度的最大值是（）

A.572+2B.372+2C.572-2D.372-2

【分析】连接尸PC,通过证明△PR4三AP3C可推出P的轨迹是以N为圆心，2为半径的圆上，从而求出PC

取到最大值时P的位置，结合勾股定理从而可求出PC的最大值.

【解答】解：连接尸'/,PC,

■：/ABC=ZP'BP=90°,

ZP'BA=NPBC,

■：BP'=BP,BA=BC,

△P'BA=\PBC（SAS）.

P'A=PC=2,

在以/为圆心，2为半径的圆上，

连接/C,则当P在C/的延长线上时，PC最长，

此时尸'C=P/+/C=2+j52+52=5夜+2,

故选：A.

【点评】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最大距离.本题的做题关键是通过全等来推出动点的轨迹.

2.（2023•明光市二模）如图，正方形的边长为2,点尸是射线/D上一个动点，点0在AP上，且满足

NBCQ=NBPC,则线段C。的最小值为（）

A.V2B.1C.V5-1D.272-1

【分析】根据已知证明ABCQ^ABPC,再证出NABQ^\PBA,NAQB=90°,说明点。的运动轨迹是在以48为直

径的圆上，再根据点圆关系求出最值即可.

【解答】解：如图，连接

•••NBCQ=NBPC,且ZCBQ=NPBC,

NBCQ^ABPC,

BQ:BC=BC:BP,

•••AB=BC,

BQ\AB=AB\BP,

NABQ=NPBA,

,AABQs"BA,

:.NAQB=NBAP=90P,

.•.点。的运动轨迹是在以A8为直径的圆上，

如图，取48中点。，连接。C交。。于Q,则CQ此时最小,

OC=712+22=V5,

故选：C.

【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质等知识点的应用，点圆关系取最值的应用是解题关键.

二.填空题(共6小题)

3.(2023•南海区校级模拟)如图，点M的坐标为(3,4),点4的坐标为(-2,0),点N、点8关于原点对称，点尸是

平面上一点，且满足尸/，尸3,则线段尸”的最小值为3.

y.

■.M

P.

A~OBx

【分析】根据直径所对的圆周角是直角，作出以48为直径作。。，连接0M与。。交于点尸，此时的值最小,

再根据点州的坐标求出OM的长，即可得到答案.

【解答】解：如图，以48为直径作。O,连接0M与。。交于点尸，过点M作轴于点。，

此时满足PAVPB,PM的值最小，

•.•点M的坐标是(3,4)，

OM=4?+4。=5,

•.•点/的坐标为(-2,0),

04=2,

OP=OA=2,

:.PM=OM-OP=5-2=3>.

故答案为:3.

【点评】本题主要考查了点和圆的位置关系，准确找到点尸的位置是解题的关键.掌握：直径所对的圆周角是直角.

4.（2023•红旗区二模）如图，四边形Z4CQ中，AB//CD,ABAD=ZABC=60°,AD=BC=CD=4,点〃是

四边形45CQ内的一个动点，满足//MQ=90。，连接MC、MB,贝（JAM5C面积的最小值为_6百-4_.

DC

【分析】取4D的中点O.连接(W,过点M作于点£,过点。作。尸，5C于点尸，交于点G,则

OM+ME...OF,根据垂线段最短可知，当O,£三点共线时，ME的值最小，从而求得AA山。面积的最小值.

【解答】解：取4。的中点连接。河，过点M作于点£,过点。作。尸，6C于点尸，交于点G,

贝！J(W+ME...Ob，

/AMD=90。，AD=4,OA=OD,

/.OM=-AD=-x4=2，

22

AB//CD,

ZGCF=/B=60°,

/./DGO=/CGF=30。,

•・•AD=BC,

/DAB=/B=60°,

:,ZADC=ZBCD=12O°,

/./DOG=ZDGO=30°,

/.DG=DO=2,

•・•CO=4,

CG=2,

.•.OG=2。。cos30。=2^，GF=43,OF=30

/.ME...OF-OM=3y/3-2,

.•.当0,M,£三点共线时，ME的值最小，最小值为3旧-2,

AM3C面积的最小值是：gx4x（3百-2）=6百-4.

故答案为：6A/3-4.

【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线段最短，以及解直角三角形，解题的关键是学会用转化思想思

考问题.

5.（2023•浙江模拟）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为12cm,8为母线OC的中点，点/在底面圆周上，元的长为4/c机，则蚂蚁从点N

爬行到点3的最短路径长为_6拒_cm（结果保留根号）；

（2）如图②中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成，点4在圆柱的底面圆周上，点8在母线OC上，当蚂

蚁从点/以最短路径爬行到点2时与圆锥底面交于点E.若母线长为12c机，圆柱的高为6c/，AD的长为15c机，

港的长为9”?,08=4也则蚂蚁从点/爬行到点8的最短路径长为cm（乃取3）.

①②

【分析】（1）先判断出AO4C为等边三角形，进而得出上等边三角形的高，即可得出结论;

（2）根据题意画出示意图，分别求出/G和8G的长，然后再求4B得长.

【解答】解：⑴如图③，将圆锥的侧面展开，连接/。，AC,AB.设N/OC=〃。.

②

AC的长为4%cm，

n7ix12

二4〃，，〃=60,

180

ZAOC=60°,

•・,OA=OC,

AAOC是等边三角形，

•/OB=BC=6cm，

/.ABLOC,

AB=yJOA2-OB2=V122-62=6V3(cm).

最短的路径是线段/B,最短路径的长为6心机.

故答案为：643；

(2)将圆锥与圆柱的侧面展开蚂蚁从点/爬行到点8的最短路径的示意图如图④，最短路径为线段N8.

设与圆柱的展开图的上边的交点记作点G,连接。G,并过G点作G尸，ND,垂足为尸，

由题可知，GF=6cm,OB=4A/2C»I,

AD的长为15。加,

二.展开后的线段4。=15c加.

•・,母线长为12的，设NC'OG=a,

a»xl2八

,------二9,

180

?.a=45

/.ZCOG=45°,

作BELOG,垂足为E,

•/OB=4yf2cm，

OE=BE=4cm，

GE=12-4=8(cm),

/.BG=不BE?+EG?=4&(cm),

•・•AF=AD-CG,

AF=6cm，

AG=ylAF2+FG-=V62+62=6®cm),

AB=AG+BG=(6五+4^5)cm.

故答案为：672+475.

④

【点评】此题考查了平面展开-最短路径问题，弧长公式，勾股定理，圆柱和圆锥的侧面展开图，等边三角形的判

定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键.

6.（2023•西峡县一模）如图，点E是正方形边3c上一动点（点E不与点3、C重合），连接DE,过点/

作/£交CD于尸，垂足为尸，连接尸C,已知正方形的边长为2,则尸C的最小值为_石-1

【分析】以/。为直径作连接CH,交0H为点P,根据点圆最值的性质，则尸C为最小距离，再根据勾股

定理计算即可.

【解答】解：

.•.点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上一段圆弧上，

如图，取。中点〃，连接S,交0H为点P,则尸C为所求,

•.•正方形的边长为2,

:.DC=2,DH=\,

CH=722+12=45,

­,•HP=\,

：.CP=4S-I.

故答案为：V5-1.

【点评】本题考查了正方形的性质的应用，点圆最值的应用是解题关键.

7.（2023•龙岗区校级模拟）如图，在矩形48CD中，48=3,BC=4,£为边5c上一动点，/为NE中点，G为

DE上一点，BF=FG,则CG的最小值为_而-2

【分析】如图1,连接/G,证明/尸=FG=£F,则N/GE=N/GD=90。，根据圆周角定理可知：点G在以/。为

直径的圆上运动，取4D的中点O,当。，G,C三点共线时，CG的值最小，由此可解答.

【解答】解：如图1,连接/G,

图1

•.•四边形是矩形，

ZABC=ZBCD=ZADC=90°,DC=AB=3,

•.•尸是/£的中点，

:.BF=~AE=AF=EF,

2

BF=FG,

AF=FG=EF,

ZAGE=ZAGD=90°,

.•.点G在以NO为直径的圆上运动，取NO的中点O,连接OG,

当。，G,C三点共线时，CG的值最小，如图2所示，

oc7展+¥=而,

CG的最小值为Jl5-2.

故答案为：V13-2.

【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，圆周角定理，线段的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造动点G的轨迹来解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

8.（2023•雁塔区校级四模）如图，在矩形/BCD中，AB=6,BC=5,点、E在BC上,且CE=43E,点”为矩

形内一动点，使得NCWE=45。，连接NW,则线段的最小值为_5-2五

【分析】作AWC的外接圆。O,连接4。，当点M是/O与。。的交点时，最小.

【解答】解：如图，作AEMC的外接圆O。，连接Z。，CO,EO,作。尸_L/8,ON1BC,

-：BC=5,点E在8C上，J!LC£=4BE,

BE=\,EC=4,

•••ACME=45°,

NEOC=90°,

OE=OC=2V2,ON=EN=CN=2,

BN=OF=3,AF=6-2=4,

在RtAAFO中，40=V32+42=5,

当点M是CM与O。的交点时，NM最小，

AM的最小值=OA-OE=5-2>/2.

故答案为：5-272.

【点评】本题考查了点圆位置关系求最值，解题的关键是构造辅助圆.

三.解答题（共4小题）

9.（2023•竞秀区二模）已知，在半圆。中，直径48=10,点C,D在半圆。上运动，弦CD=5.

（1）如图1,当就'=前时，求证：\CAB=KDBA；

（2）如图2,若NDAB=225。,求图中阴影部分（弦/£＞、直径N3、弧如围成的图形）的面积;

（3）如图3,取CZ）的中点Af，点C从点/开始运动到点Z）与点2重合时结束，在整个运动过程中：点M到48

的距离的最小值是_*6_.

图1图2图3

【分析】（1）分别说明=,ZCAB=ZDBA,AB=BA成立,用S4s（证明AC45二AQA4；

（2）将阴影面积分割：S阴影部分=S扇形008+；

c/T

（3）先得到点〃在以。为圆心，—为半径的圆弧"例〃上运动，然后计算点C从点A开始运动时〃到AB的

2

距离.

【解答】（1）证明：・・・8=。。，

ZCAD=ZDBC,

•・•AC=BD,

ZDAB=ZCBA,AC=BD,

?.ACAD+/DAB=ZDBC+ACBA,

ACAB=/DBA,

又AB=BA,

ACABADBA(SAS)；

(2)解：过。作。于H,连接O。，如图2:

・・•半圆。中，直径45=10,

OA=OD=5,

•・•/DAB=22.5°,

/DOB=45°，

收八5A/225Tl

...DH=-OD=S扇形。08

22~T~

S"08=筝

25〃25c

一S阴影部分二S扇形30B+SMOD=-----+

84

(3)连接。M，OC,

是CD的中点，

/.OM1CD,CM=-CD=-,

22

:.OM=VOC2-CM2=^52-(1)2=乎，

5A

.•.点M在以。为圆心，为半径的圆弧上运动,

2

过AT作MW_L48,垂足为N,

5

sinZAOM'=^-=^-=-,

0A52

MN=OM'-sinZAOM'=—x-=,

224

.•.点M到AB的距离的最小值是2若，

4

故答案为：-V3.

4

图Iffl2图3

【点评】本题考查了圆的性质、三角形全等的判定、与圆有关的面积计算、隐圆问题等知识点，对于(2),关键

是确定点河在以。为圆心，壬为半径的圆弧“胡〃上运动.

2

10.(2023•大兴区二模)在平面直角坐标系中，已知点4-jO),8(厂,0).点尸为平面内一点(不与点/,点8重

合)，若A48尸是以线段A8为斜边的直角三角形，则称点尸为线段N8的直点.

(1)若r=1,

①在点吗,-；)，鸟(0,1),粗-1,-1)这三个点中，点—巴—是线段"的直点;

②点尸为线段48的直点，点。(-1,1),求CP的取值范围；

(2)点。在直线y=上，若点。的横坐标马满足2<x0<4,点尸为线段A3的直点，且。尸=1,直接写出r

的取值范围.

y

【分析】(1)①按所给点尸，逐个计算OP,再根半径比较即可;

②连接。尸作直线，交。。于W、N,则CN是CP的最小值，CN是C尸的最大值，再分别计算CM、CN即可;

(2)若点。在(2,1)处和若点。在(4,3)处时，分别求出当。尸=1时的。尸长即可.

【解答】解：(1)①若r=l,

则4(-1,0),5(1,0).

以。为圆心，1为半径作圆，

则线段AB的直点满足在。。上,

,不在OO内，

不是线段的直点;

•••巴(0,1)，

OP2=],

在°。上，

二巴是线段的直点；

6(-1,-1)>

22

OP3=Vl+1=V2>1,

.•.用在。。外,

，月不是线段的直点;

故答案为：p2.

②如图，作直线C。，交O。于“、N,则CM是。尸的最小值，CN是CP的最大值,

•.,点。(-1,一1),

oc=#+i2=6，

CM=42-1,CN=41+\,

A/2-L,OP、,V2+1,

(2);D在直线y=x-l上且满足2<4,

若点。在(2,1)处，。£>=#+22=&

连接OD交。。于P,

当。P=1时，。？=百-1,

即r=A/5—1,

若点。在(4,3)处，0口=打+4。=5,

连接。。交。。于P,

当。P=1时，0P=5+1=6,

即r=6,

.J的取值范围石-16.

当r<0时，

即V5—1<—r<6,

r的取值范围-6<r<-V5+1.

【点评】本题考查了点圆最值的应用解答，一次函数性质及勾股定理的计算是解题关键.

II.(2023•南海区一模)如图1,在矩形中，40=12,=8,点£在射线上运动，将A4ED沿ED翻

折，使得点/与点G重合，连接/G交。石于点尸.

(1)【初步探究】当点G落在8C边上时，求2G的长；

(2)【深入探究】在点E的运动过程中，8G是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理

由；

(3)【拓展延伸】如图3,点尸为3G的中点，连接/P,点E在射线上运动过程中，求/P长的最大值.

【分析】(1)由翻折得：DG=4。=12翻艮据勾股定理可得CG=-CD?=J12?-8?=4石，再由8G=8C-CG,

即可求得答案；

(2)以。为圆心，4D长为半径作。D,可得点G在0。上运动，当点G在线段3。上时，2G最小，此时，

BG=BD-DG,由勾股定理可得,即可求得3G的最小值为4而-12；

(3)以。为圆心，/D长为半径作。D,延长R4至〃，使4"=民4=8,连接G",根据三角形中位线定理可得

AP=-GH,则/尸最大时，GH最大,由于点G在。。上运动，当HG经过点。时，GH最大,即可求得答案.

2

【解答】解：(1)当点G落在8C边上时，如图1,

图1

•.•四边形43c。是矩形，

：.BC=AD=n,CD=AB=8,ZB=ZC=90°,

由翻折得：DG=AD=12,

在RtACDG中，CG=y]DG2-CD2=V122-82=46,

BG=BC-CG=\2-4A/5;

(2)如图2,以。为圆心，ND长为半径作0D,

由翻折得：DG=AD=\2,

.,.点G在0。上运动，

当点G在线段2D上时，8G最小，此时，BG=BD-DG,

在RtAABD中，BD=NAB?+心=弁+12、=4标,

BG=BD-DG=45-12,

故在点£的运动过程中，8G存在最小值，8G的最小值为4布-12；

(3)如图3,以。为圆心，长为半径作OD,延长84至“，使/H=R4=8,连接，

图3

•••AH=BA,

:.点、4是BH的中点，

■:点、P为BG的中点，

AP是ABGH的中位线，

AP=-GH,

2

则4P最大时，GH最大,

由翻折得：DG=AD=12,

.,.点G在。。上运动，

当"G经过点。时，G”最大，如图4,

E

在RtAADH中，HD=AH2+AD2=782+122=4713,

GH=HD+DG=4V13+12,

AP=-GH=2s/13+6,

2

故点E在射线48上运动过程中，4P长的最大值为2&5+6.

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，圆的有关

性质，点到圆上各点距离的最大值和最小值的应用，解决问题的关键是运用三角形中位线定理和圆中的最值.

12.(2023•北京一模)在平面直角坐标系x/中，。。的半径为1,“为。。上一点，点N(0,-2).

对于点尸给出如下定义：将点P绕点/顺时针旋转90。，得到点P,点P关于点N的对称点为。，称点0为点产

的“对应点”.

(1)如图，已知点”(0,1),点尸(4,0),点。为点尸的“对应点

①在图中画出点。；

②求证：OQ=COM；

(2)点P在x轴正半轴上，且。尸=W>1),点。为点尸的“对应点”，连接尸。，当点M在O。上运动时，直接

【分析】(1)①根据定义，先确定点P的位置，再得出点。的位置；

②过点P作PE_Ly轴于点E,利用44s证明三△尸河。，设。(x,y),利用中点坐标公式可求得0(1,-1),

再运用两点间距离公式可求得。。，即可证得结论；

(2)尸点绕。点顺时针旋转90。后得到点G,可求得GP=亚，则尸'在以G为圆心，夜为半径的圆上，设G点

关于N点的对称点为X,则8(0,4),求得QH=6,则。点在以X为圆心行为半径的圆上，再根据点到圆上

各点距离的最大值和最小值即可求得答案.

【解答】(1)①解：如图，点。即为所求;

/.M0=\,。尸=4,

由旋转得：MP=MP,ZPfMP=90°,

ZPMO+AP'ME=90°,

•・•/PEM=/POM=90°，

ZMPrE+ZPrME=90°,

/./MPE=APMO，

△MPEtAPMO(AAS),

P,E=MO=\,ME=OP=4,

:.OE=ME-OM==3,

设。(xj)，又点N。-2),

,・•点P关于点N的对称点为。，

..q=o,g=_2,

22

解得：x=1,y=-\,

・•・2(1,-1)，

由两点间距离公式可得：。。=7(1-0)2+(-1-0)2=V2,

OQ=41OM；

(2)解：P点绕。点顺时针旋转90。后得到点G,

设当点M在第四象限时，过点M作班，x轴于过点P作P尸，ME于尸,

贝(JZPEM=/MFP=/PMP=90°,MP=MP,

•・•ZPME+ZMPE=90°,ZPME+AP'MF=90°,

ZMPE=NPMF,

APME=△MPF(AAS),

：.MF=PE=t-a,PF=EM=—b,

P'(a—b,a+b—/)，

GP=yj2(a2+b2),

•：M(a,b)在OO上，

a1+b2=\,

GP=JI,

在以G为圆心，血为半径的圆上，

设G点关于N点的对称点为X,则8(0,7-4),

QH=y]2(a2+b2)=V2,P/f2=(Z-0)2+(0-f+4)2=2Z2-8/+16,

.•.0点在以〃为圆心后为半径的圆上，

PQ的最大值为PH+42,PQ的最小值为PH-41-

PQ长的最大值与最小值的积为(PH+6(PH-6)=2r-8?+14,

故答案为：2〃-8/+14.

【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，两个相交圆的性质，图形旋转的性质，弄清

定义，并能够判断出P、。点的运动轨迹是解题的关键.

方法2：定点定长构造辅助圆

选择题（共1小题）

I.（2023•张家口一模）在A48c中，要判断々和NC的大小关系（NB和NC均为锐角），同学们提供了许多方案，

老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2）

①以点A为圆心,AB长为半径作①作边BC的垂直平分线EF；

I②观察点C与®A的位置关系即可。,I②观察EF与边AC是否有交点位置关系即可。J

图1图2

对于方案I、II说法正确的是（）

A.I可行、II不可行B.I不可行、II可行

C.I、II都可行D.I、II都不可行

【分析】根据作图得出AB=4P,根等边对等角得出=根据N4P3=NC+NP4C即可判断方案I；根

据垂直平分线的性质可得8。=。。，则NC=NQ2C,根据NN8C>NQ8C即可判断方案H.

【解答】解：方案I：

由作图可知：AB=AP,

NB=ZAPB,

•••NAPB=ZC+APAC,

ZAPB>ZC,

ZB>ZC,

故方案I可行，符合题意;

方案II：

•・•跖垂直平分8C,

BQ=CQ,

ZC=ZQBC,

■：NABC>ZQBC,

NABC>ZC,

故方案n可行，符合题意;

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握等腰三角

形等边对等角；垂直平分线上的点到两端距离相等.

二.填空题（共1小题）

2.（2023•营口一模）如图，等边三角形N8C和等边三角形/DE■，点N,点M分别为8C,。石的中点，48=6,

/D=4,ZUDE绕点/旋转过程中，血W的最大值为_56

【分析】分析题意可知，点M是在以为半径，点/为圆心的圆上运动，连接/N,AM,以为半径，点/

为圆心作圆，反向延长/N与圆交于点AT,以此得到M、/、N三点共线时，"N的值最大，再根据勾股定理分

别算出NA/、/N的值，则血皿的最大值M火=4%+㈤1/，=/%+/河.

【解答】解：连接/N,AM,以4W为半径，点/为圆心作圆，反向延长NN与圆交于点AT,如图，

M'

VMDE绕点、A旋转,

，点M是在以4W为半径，点N为圆心的圆上运动,

•：AM+AN..MN,

当点〃■旋转到AT,即V、4、N三点共线时，"N的值最大，最大为ATN,

AABC和AADE都是等边三角形，

点N,点”分别为3C,DE的中点，AB=6,AD=4,

ANVBC,AMLDE,BN=3,DM=2,

在RtAABN中，由勾股定理得AN=』AB。-BN?=3百,

在RtAADM中，由勾股定理得AM=yjAD2-DM2=273,

根据旋转的性质得，AM，=AM=2也,

M'N=AN+AM'=573,即的最大值为56.

故答案为：56.

【点评】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，解题关键在于确定点M是在以为半径，

点/为圆心的圆上运动.

三.解答题（共1小题）

3.（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.

（1）已知：如图1,OA=OB=OC,请利用圆规画出过/、B.。三点的圆.若乙408=70。，则乙4。3=_35。_.

如图，RtAABC中，AABC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

（2）已知，如图2.点尸为/C边的中点，将/C沿氏4方向平移2个单位长度，点N、尸、C的对应点分别为点。、

E、F,求四边形8。尸。的面积和/BEA的大小.

（3）如图3,将/C边沿8C方向平移。个单位至。尸，是否存在这样的°,使得直线。尸上有一点。，满足

480/=45。且此时四边形A4D尸的面积最大？若存在，求出四边形尸面积的最大值及平移距离.，若不存在,

说明理由.

【分析】（1）利用圆的定义知N,B,C三点共圆，再利用圆周角定理求解.

（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解.

（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出。点能够向右移动的最大距离，求出

四边形的最大面积.

【解答】（1）以。为圆心，。/为半径作辅助圆，如图，

ZAOB=70°,

ZACB=35°,

故答案为35。.

(2)连接P8，PE,如图,

RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA=30°,48=2.

:.AC=4,ABAC=60°,BC=273.

P为RtAABC斜边NC中点，

:.BP=-AC=2,

2

线段NC平移到。尸之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

，四边形NBPE为菱形，

ABAC=60°,

ZBEA=30°,

CF/IBD,且N48c=90°,

二.四边形3D尸C为直角梯形，

:.S=；(BD+CF)xBC=gx6x2小=6小,

(3)如图所示，以48为斜边在48的右侧作等腰直角三角形OAB,以。为圆心，。/为半径作。0,

当AC边沿BC方向平移a个单位至DF时，

满足N3a=45。且此时四边形氏4£）尸的面积最大，

，直线DF与。。相切于点。，

连接。。交于G,过点。作。于”，

则ZAHO=ZOHG=ZDQG=90°,ZOAH=45°,ZGDQ=30°,

■：ZABC=90°,NBCA=30°,AB=2,

SC=273,OA=OB=OQ=y/2,

AH=OH=\,HG=—,OG=—,

33

GQ=41-^-,r>G=2GQ=2后一殍，

AD=AH+HG+GD=1+—+272-述=1+2应-6，

33

.,.q=l+2^/2—>/3,

此时直角梯形45即的最大面积为：

5'=1x（5F+^r>）xy45=1x（2V3+l+2V2-A/3+l+2>/2-V3）x2=4V2+2.

【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解.

方法3：定弦定角构造辅助圆

选择题（共1小题）

1.（2023•肇东市校级模拟）如图，是。。的直径，AB=4,C为套的三等分点（更靠近/点），点尸是。。上

个动点，取弦/尸的中点D,则线段CD的最大值为（）

A.2B.V7C.2拒D.V3+1

【分析】如图，连接。。，OC,首先证明点。的运动轨迹为以/。为直径的OK,连接CK,当点。在CK的延长

线上时，CO的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.

【解答】解：如图，连接OC,

AB

\D\^/

P

■：AD=DP,

ODYPA,

ZADO=90°,

.•.点。的运动轨迹为以/。为直径的OK,连接CK,AC,

当点。在CK的延长线上时，CD的值最大，

•••C为翁的三等分点，

ZAOC=60°,

AAOC是等边三角形，

CK1OA,

在RtAOCK中，­■•ZCOA=60°,OC=2,OK=1,

:.CK=JOC'-OQ=V3,

■：DK=-OA=\,

2

CD=V3+1,

r.CO的最大值为6+1,

故选：D.

【点评】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点。的运动轨

迹，学会构造辅助圆解决问题.

二.填空题（共2小题）

2.（2023•利州区模拟）如图，正方形48C。中，45=4,动点£从点/出发向点。运动，同时动点尸从点。出

发向点C运动，点E、尸运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段/尸、2E相交于点尸，

M是线段3C上任意一点，则“D+MP的最小值为_2而

【分析】首先作出点。关于8c的对称点。从而可知当点P、M、。在一条直线上时，路径最短，当点£与点D

重合，点尸与点C重合时，尸G和G。均最短，即最短，然后由正方形的性质和轴对称图形的性质可知：PG=2,

GD'=6,最后由勾股定理即可求得尸。的长，从而可求得MO+MP的最小值.

【解答】解：如图作点。关于8c的对称点连接P。，

\1

由轴对称的性质可知：MD=D'M,CD=CD'=4,

PM+DM=PM+MD'=PD'

过点尸作尸E垂直。C,垂足为G,

易证/FLBE,故可知P的轨迹为以A8为直径的四分之一圆弧上，当点E与点。重合，点尸与点C重合时，PG

和G。均最短，

此时，尸。最短.

•.•四边形ABCD为正方形，

PG=-AD=2,GC=-DC=2.

22

GD'=6.

在RtAPGD，中，由勾股定理得：PD'=ylPG2+GD'2=物+6?=2A/W.

故答案为：2回.

【点评】本题主要考查的是最短路径问题，由轴对称图形的性质和正方形的性质确定出点尸的位置是解题的关键.

3.（2023•定远县校级一模）如图，半径为4的00中，CD为直径，弦48，且过半径OD的中点，点£为0。

上一动点，CFLAE于点、F.当点E从点2出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长为—冥玩

一3

建C

D

【分析】由N//C=90。，得点/在以/C为直径的圆上运动，当点E与3重合时，此时点尸与G重合，当点E与

。重合时，此时点尸与“重合，则点E从点3出发顺时针运动到点。时，点F所经过的路径长为/G的长，然后

根据条件求出NG所在圆的半径和圆心角，从而解决问题.

【解答】解：••・C/•L/E,

ZAFC=90°,

.•.点尸在以NC为直径的圆上运动，

以/C为直径画半圆/C,连接ON,

当点E与3重合时，此时点尸与G重合，

当点£与。重合时，此时点产与/重合，

.•.点E从点B出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长为AG的长,

•.•点G为。。的中点，

OG=-OD=-OA=2,

22

OG1AB,

ZAOG=60°,NG=，

OA=OC,

:.ZACG=30°,

:.AC=2AG=4y/3,

N言所在圆的半径为2百，圆心角为60。,

，〃的长为^2岳

3

2乖）兀

故答案为:

3

【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，定角对定弦，弧长公式等知识，确定点尸的运动路径是解题的关

键.

三.解答题（共2小题）

4.（2023•满桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，AA8C为等腰三角形，ZC=120°,AC=BC=S,D是4B上

一点，且CD平分A48C的面积，则线段CD的长度为4.

MC

B

图①图②图③

问题探究：（2）如图②，A48C中，ZC=120°,45=10,试分析和判断A48C的面积是否存在最大值，若存在，

求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划

一个四边形花圃N8CD,满足BC=600米，。=300米，ZC=60°,乙4=60。，主办方打算过的中点”点（入

口）修建一条径直的通道建（宽度忽略不计）其中点E（出口）为四边形N2C。边上一点，通道旌把四边形NBC。

分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏.问是否存在满足上述条件的

通道ME?若存在，请求出点/距出口的距离/E的长；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由题意可知，CD是A48c的中线，利用等腰三角形的性质推出利用三角函数求解即可解

决问题；

（2）当A48c的边上的高CD最大时，三角形48C的面积最大，即CO过圆心。，连接求出的最大

值即可得出答案；

（3）连接。河，BD.首先证明48。。=90。，求出8。，推出ASDC的面积是定值，要使得四边形48CD的面积

最大，只要A/tBZ）的面积最大即可，因为瓦3为定值，为定角=60。，推出当是等边三角形时，求出四边

形/3CD的面积最大值，然后再求出NMDE=90。，构建方程解决问题即可.

【解答】解：（1）如图①,

图①

•.・CD平分A43C的面积,

/.AD=DB,

3c=8,

CDVAB,ZACD=/BCD=-ZACB=60°，

2

CD=ACcosNACD=8cos60°=4,

:.CD的长度为4,

故答案为：4；

（2）存在.如图②，

图②

^5=10,N/C3=120。都是定值，

.•.点。在就上，并且当点C在叁的中点时，AA8C的面积最大;

连接OC交48于点。，则C0_L48,AD=BD=-AB=5,

2

ZACD=-ZACB=60°,

2

答：A48c的面积最大值是空8；

3

(3)存在.如图③，连接DM,BD,

图③

•・・M是5c的中点,

:.CM=-BC=300,

2

CM=CD,

又・・・NC=60。,

/.bCMD是等边三角形，

ZMDC=ZCMD=60°,CM=DM=BM,

ZCBD=ZMDB=30°,

NBDC=90°,

BD=CD-tan60°=30073米，

在A4a)中，5。=300G米，乙4=60。为定值,

由（2）可知当48=/。时，即AA8。为等边三角形时AAB。的面积最大,

此时也为四边形N2C。的最大值（ASDC的面积不变），

鼠=S谢0+S皿=300x30073+,(3006)2=112500^；

VAARD是等边三角形，

AADB=60°,

...ZADM=ZADB+ZBDM=90°,

1八]

-DEx300+—x3002=-x112500^,

242

解得：DE=22573,

AE=AD-DE=30073-22573=7573（米），

答：点N距出口的距离/£的长为756米.

【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题.

5.（2023•柯城区校级一模）如图，点/与点8的坐标分别是（1,0）,（5,0）,点P是该直角坐标系内的一个动点.

（1）使乙4PB=30。的点尸有无数个:

（2）若点尸在y轴上，且//尸8=30。，求满足条件的点尸的坐标；

（3）当点尸在y轴上移动时，乙4网是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时44PB最大的理由；若没

有，也请说明理由.

%

5-

4-

3-

2-

1-/B

I1I1一I!I1

-4-3-2-1012345X

-1-

-2-

-3-

-4-

【分析】（1）己知点/、点B是定点，要使N4P8=30。，只需点尸在过点/、点8的圆上，且弧所对的圆心

角为60。即可，显然符合条件的点尸有无数个.

（2）结合（1）中的分析可知：当点尸在y轴的正半轴上时，点尸是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、

等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点尸的坐标；当点尸在y轴的负半轴上时，同理可求出符

合条件的点尸的坐标.

(3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要N4P2最大，

只需构造过点/、点B且与〉轴相切的圆，切点就是使得44四最大的点尸，然后结合切线的性质、三角形外角的

性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题.

【解答】解：(1)以4B为边,在第一象限内作等边三角形

以点C为圆心，/C为半径作。C,交y轴于点片、P2.

在优弧上任取一点尸，如图1,

则ZAPB=-AACB=-x60°=30°.

22

使NAPB=