陕西省铜川市2024届高三年级下册第三次模拟考试 数学（理）含解析

铜川市2024年高三年级第三次模拟考试

数学（理科）试题

注意事项：

1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.己知集合2={12机},8={x|2x—3<0},若AuB=B,则实数机的值可能是（）

A.OB.lC.2D.3

2.设复数z满足z（i-l）=4i,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知双曲线C：/+21=1（机wo）的一条渐近线方程为>=则C的焦点坐标为（）

A.（±V3,0）B.（0,±V3）C.（±l,0）D.（O,±l）

4.己知甲种杂交水稻近五年的产量数据为9.8,10.0,10.0,10.0,10.2,乙种杂交水稻的产量数据为

9.6,9.7,10.0,10.2,10.5,则下列说法错误的是（）

A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差

B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数

C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数

D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差

（3a—l）x+2a,x<1,

5.若函数〉=。）在R上单调递减，则实数。的取值范围是（)

logax,x...1

]_]_D.|,1

abC.

-O4-O4553

6.已知cos(o—]J—cosa=,则sin12a+Ej=()

7.己知a,b为正实数，贝1|“幺＜1”是“的()

bbb+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知函数/(%)=5由2%-(：052%，则下列说法中不正确的是()

Aj(x)的最小正周期为兀

B./(x)的最大值为夜

JTJT

Cj(x)在区间-77上单调递增

9.己知函数/⑴是定义域为R的偶函数，且/(x+1)为奇函数，若/(0)+/⑶=3,则()

A./(x-l)=/(x+l)B./(2025)=3

C.函数/(x)的周期为2D./(2024)=3

10.在正方体4BC。—中，£,E,G分别为5C,CD,£)A的中点，若48=4,则平面EFG截正

方体所得截面的面积为()

A.672B.6V3C.12V2D.12V3

11.桦卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重

量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得樟卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种

简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木檄、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边

形48。是边长为2的正方形，且ANQEQBC户均为正三角形，EF〃CD,EF=4,则该木楔子的外

接球的体积为()

64兀

D.——

3

22

12.已知片、片为椭圆C：=+与=1（。〉6〉0）的左、右焦点，点尸在C上且位于第一象限，圆&与线段

ab~

公户的延长线、线段产鸟以及x轴均相切，△尸片鸟的内切圆的圆心为。2•若圆01与圆。2外切，且圆a与

圆。2的面积之比为9,则椭圆。的离心率为（）

百

A1B2ND

2522

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每

个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有种.

14.已知点O为△48C外接圆的圆心，且次+砺+函=0，则cos（ZC,BC〉=.

15.已知△4SC的内角4民。所对的边分别是见，点。是4g的中点.若2a+b=2ccos8,且

AC=1,CD=—，则"=

2

InY

16.若函数/（x）=ax2+—有两个极值点，则实数。的取值范围为.

X

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

已知数列｛4｝满足：%+4%+…+4"%“=©4",〃eN*.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

1111

（2）若——+——+••-+------<—,求正整数机的最大值.

a2a3amam+l"

18.（本小题满分12分）

学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.

决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得-5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获

得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6,各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠

军的概率分别记为月,夕2・

（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（若加「夕2卜―0+0],则认为甲、乙获得冠军

的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；

（2）用X表示教师甲的总得分，求X的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥尸-48CD的底面是正方形，尸。，平面48。，点£是上4的中点，厂是线段P8上

（包括端点）的动点，PD=AD=2.

（1）求证：PC〃平面£8。；

PF

（2）若直线与平面P3C的夹角为60°，求不荔的值.

20.（本小题满分12分）

过抛物线C:「=2/（夕〉0）焦点厂的直线/交C于〃,N两点，若直线/垂直于x轴，则AOMN的面积

为2,其中O为原点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）抛物线C的准线上是否存在点尸，使得当时，AOMN的面积为2夜.若存在，求出点尸

的坐标；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数/（%）=—+—+ax--.

xxe

（1）当a=l时，求曲线＞=/（x）在点（1J（1））处的切线方程；

（2）若函数/（x）存在零点，求实数。的取值范围.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x=5cosa+4,

在平面直角坐标系xQy中，曲线。的参数方程为｛「.一（。为参数），以原点。为极点，1轴

y=5sina+3

正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设是曲线。上的两点，且(WLON,求AOMN面积的最大值.

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x—l|+2]x+2|.

(1)求不等式/(X),,9的解集；

123

(2)记函数/(x)的最小值为“，若正数“c满足一+：+—=M+5,证明：3a+2b+c...2+43.

abc

铜川市2024年高三年级第三次模拟考试

数学(理科)试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.A【解析】依题意8={x|—l<x<3},由幺。8=8,可得加当加=0时，符合题意，应选A

项；当加=1或2时，不符合集合中元素的互异性，从而排除B,C项；当机=3时，从而排除D

项.

2.D【解析】复数z=-,.、=2-2i,.•.复数z在复平面内对应的点位于第四象限.故选

1-1(-1+1)(-1-1)

。项.

3.A【解析】易知加<0,令丁+乙二。，解得y=故=也，即加=一2,从而

m

C=V1+2=A/3;从而。的焦点坐标为卜6,0).故选/项.

4.D【解析】10.2-9.8=0.4,10.5-9.6=0.9>0.4,故N正确；

后=-x(9.8+10.0+10.0+10.0+10.2)=10.0,力=-x(9.6+9.7+10.0+10.2+10.5)=10.0=,

故8正确；甲种的样本中位数为10.0,乙种的样本中位数为10.0,故C正确.

2_(9.8-10)2+(10.2-10)2

§甲二5，

2_(9.6-10)2+(9.7-10)2+(10.2-10)2+(10.5-10)2

殳=5'

显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故。错误.

(3a-l)x+2a,x<1.

5.C【解析】・.•函数,在R上单调递减，

logflx,x..1

3ci—1<0,

「.<0<<2<1,解得一”。<一.故选C项.

r1cli53

3a-l+2a...log1,

V3

V3.1,71

6.A【解析】a.•COsf6Z-y-cosa=——sma——cosa=sma——

226

7171兀=l-2sin2卜一看

sin2«+—=sin2a--+—=cos2a--.故选A.

66262

7.C【解析】若:<1,根据糖水不等式可得，〈炉，充分性得证;

bbb+1

若9<"I,则即a<6,故@<1,必要性得证.

bb+1b

8.C【解析】依题意/（x）=J^sin2x—：,则函数/（x）的最大值为夜，最小值正周期为兀，从而

可排除A,B选项.

兀71r兀兀jr兀

「<一士/-1，/，故/（x）在区间—『4上不可能

单调递增，应选C项.

行sin2x71:=J^sin12x—]J=—J^cos2x为偶函数，从而

4

，从而可排除。选项.

9.D【解析】・・・/(x+l)为奇函数，二./(—%+1)=-/(%+1),

又/(x)为偶函数，x+l)=/(xT),，/(xT)=-/(x+l),故/项错误.

即/(X)=_/(X+2),,/(X+4)=_/(X+2)=/(X),.•.函数/("的周期为4,即C项错误.

由/(-x+1)=—/(%+1),令x=0,得

/(1)=0,/(3)=/(-1)=/(1)=0,.-./(2025)=/(l+506x4)=/(1)=0,即8项错误.

又/（0）+/（3）=3,.・./（0）=3,;./（2024）=/（0+506X4）=/（0）=3,故选。项.

10.D【解析】如图，过点G作环的平行线交5用于点J,过点，作尸G的平行线交4月于点/,

过点/作跖的平行线交4。于点〃，易知点〃都在截面EEG内，且都是其所在棱的中点，从而

所得截面是边长为2也的正六边形，所求面积5=6x11x2V2x2V2xsin60。）=12G.故选D.

ll.c【解析】如图，分别过点48作的垂线，垂足分别为G,〃，连接。G,S,则

4-7______________

EG==1,故AGZAE?-EG。=也2—丁=百.

取/£）的中点。，连接GO',

又AG=GD,:.G（y：LAD,则GO=JzG?—J=也.

由对称性易知，过正方形48。的中心01且垂直于平面48CD的直线必过线段跖的中点Q，且所求

外接球的球心。在这条直线上，如图.

设球O的半径为R,则氏2=。。；+2。：，且氏2=。。；+£第，

从而00；=0。；+2,即（。«+。。2）（。°1一。。2）=2，

当点O在线段。1。2内（包括端点）时，有。。1+。。2=G0'=应，可得。。。2=C，

从而。。1=后，即球心O在线段跖的中点，其半径R=2.

当点O在线段。1。2外时，。1。2=行，（、汇+。。2『=。。；+2,解得。。2=0（舍）.

故所求外接球的体积V=471g=些.故选c项.

33

12.A【解析】由已知及平面几何知识可得圆心。卜。2在/尸原"的角平分线上.

如图，设圆。i、Q与x轴的切点分别为48,由平面几何知识可得，直线因为两圆的公切线，公切点。

也在NP7祀的角平分线上，则忸叫=闺可=2c,

由椭圆的定义知耳|+|P月|=2。，则|Pg|=2a—2c,

:.\F2D\=^\PF2\=a-c,:.\F2A\=\F2B\=\F2D\=a-c,

.,.闺H=17^7^|+1gH=2C+Q_°=Q+C,

\FXB\=2c-（a-c）=3c-a.

又圆。1与圆Q的面积之比为9,，圆。i与圆Q的半径之比为3,

EB\\OB\故椭圆C的离心率0=’.

*.*OyB//。/,••—\—2r，

2毕Ia+c32

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.240【解析】先从5名学生中选2人组成一组，有C；=10种方法，

然后将4组学生分配到4个景点，有=24种方法，

由分步计数原理知共有10x24=240种不同的游玩方式.

14.—g【解析】由次+南+力=0，得厉+砺=反，由O为A48C外接圆的圆心，得

|al|=|O5|=|oc|,如图，结合向量加法的几何意义知，四边形CMC8为菱形，且/。。=60°，故

ZACB=120。.故cos（就灰）=—〈.

15.V?【解析】*•*2a^b-2ccos5,/.2siib4+sin5=2sinCcosjB,

又丁siib4=sin（5+C）=sinScosC+cosSsinC,

/.2sinScosC+siiiS=0,.,.cosC=--.

2

•.•CD为ANBC的一条中线，.•.丽=，（田+赤），

CD=—^CA+CB+2CA-CBj,即7=7]+/+2xlxtzx1—5],解得a=2,或tz=—l

(舍).

由余弦定理得ZB=c='片+万—2abeosC=,22+T—2>1>2)]—

【解析】/'(x)=2ax+^^,

令/''(x)=o，得a=31.

2x

/、lnx-1，/、4-31rw

令Ag(")=W]，则8⑺=2..

令g'(Xo)=O,则31nx0=4,即1%)=3，即x；=e，

当0<x</时，g'(x)>0,g(x)单调递增;当x〉/时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

a

・■)"8(*=要=%=*

又当x->0+时，g(x)f-“；当xf+e时，g(x)->0+,

方程。=生?有两个正根，从而函数/(x)有两个极值点.

.•・当0<Q<64时，

2x

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第11〜21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.解：(1)当〃=1时，%=4=4,

1

当n...2时，t/j+4a。H—+4"cin=n'4",

%+4a2+•••+4”—2anl=(«-1)-4”。

两式相减，得4"T%=«-4"-(n-l)-A=4"1.(3/7+1),

/.an=3〃+l,

显然q=4也符合上式，

数列｛4｝的通项公式为an=3〃+1.

i=iJ/i______LJ]

（2）由⑴知金册+]（3机+1）（3机+4）3v3m+l3m+4J'

1111（111111、

------1-------F•••H----------=---------1---------F•••H--------------------

多出a2a3amam+\3<477103m+13m+4J

—J,

3（43m+4）13

解得机<16.

正整数机的最大值为15.

18.解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为48。，

则教师甲获得冠军的概率Pi=P（ABC）+P（1BC）+P（ABC）+P（ABC

=0.4x0,6x0.6+0.6x0,6x0.6+0.4x0,4x0.6+0.4x0,6x0.4=0.552,

则教师乙获得冠军的概率2=1—Pi=0448,

:.\Pl-p2\=0.104,J—;~~-+0.1。0.376,

■■\Px-P^<^---------+0-1，

..•甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.

（2）易知X的所有取值为一15,0,15,30,

P（X=-15）=0.6x0.4x0.4=0,096,

P（X=0）=0.6x0.4x0.6+0.6x0.6x0.4+0.4x0.4x0.4=0.352,

p（X=15）=0.4x0.6x0.4+0.4x0.4x0.6+0.6x0.6x0.6=0.408,

P（X=30）=0.4x0.6x0.6=0.144,

则X的分布列为：

X-1501530

P0.0960.3520.4080.144

=-15x0.096+0x0.352+15x0.408+30x0.144=9.

19.解：（1）证明：如图，连接ZC交8。于点O,连接EO,

•••四边形48CD是正方形，为ZC的中点，

,.•£是？4的中点，，£0〃尸。,

•••EOu平面EBD,PC平面EBD,PC//平面EBD.

(2)易知。4DC,。尸两两垂直,

以。为原点，尸分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则B（2,2,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,E（l,0,l）.

...C8=（2,O,O）,P5=（2,2,—2）,PE=（1,O,—1）,

设方=4而，则0”A,1.

=PF=2（2,2,-2）-（1,0,-1）=（22-1,22,1-22）.

设平面P5C的法向量为万=(x,y,z),

n-CB=0,2x-0,/、

则_即〈⑵+2—z=0,Q=葭则万=（。，­

n-PB=0,

n-EF11

/.cos<n.EF>=

\n\\EF\V2x7（22-l）2+（22）2+（l-22）22&外—4/U1

又直线EF与平面PBC的夹角为60°，

1

解得

"2A/622-42+1

■\BF\2,

20.W：(1)根据抛物线概念易知尸go，

•••直线/垂直于x轴,

不妨设M”，N外。,代入/=2/(P〉0),可得|%)|=?，

:.\MN\=2p.

11n

■■■SMMN=-\OF\\MN\=-x^x2p=2,解得夕=2.

，抛物线C的方程为/=4x.

（2）由（1）易知抛物线C的准线方程为x=-l,尸（1,0）,

设点尸（-1,加）也（西,必）,,

当直线/的斜率等于0时，不符合题意；

故可设直线/的方程为：X=ty+1,

y2=4x,,

联立,消去x得/―时―4=0,

x=ty+l,

A=16r+16>0;得/eR,

由韦达定理得%+%=47,%%=一4,

•/PM±PN,PM-PN=(%]+1,%—机)•(％+1,,2—机)=0，

(演+1)(々+1)+(%-加)(歹2-加)

=玉%2+玉+%2+1+%>2—机(必+>2)+机之

2

="哈)+%；+jf)+l+j1j2-m(j1+j2)+m

m2

=+：1(%+%y―2%>2+1+必％一加(％+y2)+

164L」

=1+；[(4/)2+8^|+1-4-4mt+m2

=At2-4mt+加2=(2t-m)2=0,

/.2t=m.

,/\MN\=,1+J-y2\=Jl+/x，(必+%y-4必%=Jl+/xJ16/+16=4(1+J卜

l-ll

原点O到直线/的距离

Vi+/2

/.m=±2.

•・•存在点尸(-1,±2),符合题目要求.

Y13

21.解：(1)当Q=1时，f(x)=—+-+X——,

xxe

.•/(“=—粤+1.

X

a

e

3

••・所求切线方程为y-/(l)=(x—1),即y=x+l__.

e

inri3

(2)函数/(x)存在零点，等价于方程一+—+ax-—=0有正根,

xxe

13]

lux—x+1/々刀

n即ne有解，

—a=----------------

,3,3

人lux—x+1-x-21nx-l

令g(x)=^^则，(、

g(x)=e

332

令//(%)=—x-21nx-l,则hf(x\=------,

eex

令=2——=0,得%=—,

ex3

2e

当0<x<3-时，〃'(x)<0,/z(x)单调递减;

2

当x〉§e时，Ar(x)>单调递增；

当xf0+时，/z(x)—+e；当L+8时，/z(x)—+e,

又〃L=l—21吟<0,〃⑴=3—1〉0,

二.存在1<西<X2，使得力(%)=%(％2)=0.

33

/.一/一21iiX1—1—0,即In%]—Xj+1——liiX],

ee

.,.当0<》<七时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当西<》<》2时，g'(x)<0,g(x)单调递减;

当x〉当时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

又g(xj=

当x.0+时，g(x)-＞一0°;当Xf+e时，g(x)f(T,

一。＜0,即Q＞0.

•1.实数。的取值范围为(0,+").

(-)选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计

分.

x=5cosa+4,

22.解：(1)曲线。的参数方程为《(。为参数)，