福建省厦门市2016届高三第二次(5月)质量检测理数试题含解析

福建省厦门市2016届高三第二次（5月）质量检测

理数试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若集合4={刈工<4取£7},5={X|X2-2X>0},则Afl5=（）

A.(2)B.{3}C.{2,3}

D.{3,4}

【答案】B

【解析】

试题分析：因4={0,1,2,3,},8=5|了<0或1>2},故4。8={3},所以应选B.

考点：集合的交集运算.

2.“互联网+”时代，全民阅读的内涵已然多元化，提倡读书成为一种生活方式，某校为了解

中学学生的阅读状况，拟采纳分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的

样本进行调查，已知该校有高一学生600人，高二学生400人，高三200人，则应从高一学

生中抽取的人数为（）

A.10B.20C.30

D.40

【答案】C

【解析】

600=60x■?■=30,故应选C.

试题分析：因60x

600+400+2002

考点：抽样方法及运用.

3.已知命题尸：Vx£（0,—）,sinx<x,则（)

A.p是真命题，一1P:(0,£),sinx?x

2

B.p是真命题，一iPHxow(O,/),sinx0之拓

C.p是假命题，一»P:Vxw(0,'),sinx>x

I),p是假命题，「PH/w(O,£),sinXo2%

2

【答案】B

【解析】

试题分析：设f(x)=sinx-因f'(x)=cosx-1<0,故/*(x)=sinx-x在上单调递减,

所以/(x)</(O)=0,即sinx<工恒成立,故p是真命题，而该命题的否定应为存在型命题,

故应选B.

考点：含一个量词的命题的否定.

4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()

D.I

【解析】

试题分析：因8s2乃=1»8S^^=—.cos^-^=——.cos~Lcos=——»cos—=—,cosO=1,故当

32323232

i=T输出s,其值为1,所以应选D.

考点：算法流程图的识读和理解.

5.在AABC中，一记A后=〃，AC=b,则PQ二()

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

试题分析：因

......—♦I—♦I■）—♦I..I-♦I-♦

PQ=AQ-AP=AB+BQ-AP=a一一a-^--BC=-a+-（AC-AB）=-a-^--b,故

333333

应选A.

考点：向量的几何运算.

6.从6名女生中选4人参与4x100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参赛，假如甲、乙

两人同时参赛，她们的接力赛依次就不能相邻，不同的排法种数为（）

A.144B.192C.228

D.264

【答案】D

【解析】

试题分析：当甲乙两人都入选时，再在4人中选人，有或-6,这两人排定再将甲乙插空有d-4种可

能，共有4x6=24种可能；当甲乙两人有一人当选时，其它人从剩余的5个人中选排，共有点4=240种

可能，综上共有240+24=264种排法种数,故应选D.：

考点：排列组合数公式及运用.

7.将函数（。＞0）的图象向右平移土个单位，所得的图象经过点，则。的最小值是（）

4

1八5

A.-B.1C.-

33

D.2

【答案】D

【解析】

试题分析：因/（%）=sin⑷，向右一个单位平移后得，故，所以，即g=2%,当2=1时，3取

4

最小2,故应选D.

考点：三角函数的图象和性质.

8.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视

图如图所示，的视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）

A.2B.4+2&C.4+4返

D.6+4夜

正视图侧视图

（第8题图）

【答案】C

【解析】

试题分析：从三视图所提供的数据信息可以看出该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰三角形的斜边长为

2,腰长为夜，棱柱的高为2的直三棱柱.所以其侧面积为S=2x2+2^x2=4+4®,故应选C.

考点：三视图的识读和侧面积的计算.

【易错点晴】几何体的三视图是从正面、侧面、上面三个方向对一个几何体的全方位透视，因

此解答这类问题的关键是依据三视图所供应的图形信息弄清晰该几何体的形态和有关数据，

然后再选择运用相应的体积或面积公式进行求解.本题是一道供应了新概念信息的信息迁移

题，解答时要细致阅读和理解“堑堵”这一条件信息，充分利用这一信息推断出该几何体的底

面为等腰直角三角形的直三棱柱.最终运用矩形面积公式求出侧面积.

9.已知满意，若不等式公-yNl恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.B.C.D.[2,+oo）

【答案】A

【解析】

试题分析：画出不等式组表示的区域,如图,直线ar-y-1=0过定点A（O-l）,从图中可以看

出:当动直线在过点的直线上方时符合条件，因此动直线的斜率。必需满意

,故应选A.

考点：线性规划的学问及运用.

【易错点晴】本题考查的是线性规划背景的前提下不等式恒成立的条件下，参数的取值范围问

题.其目的是检测数学中的数形结合的数学思想及函数最值的求解问题.解答时要充分借助题

设中的条件画出不等式组表示的平面区域，运用数形结合的思想，考查目标函数y=ax-1的

特点是过定点A(O-l)的动直线.结合图形不难看出目标函数y=ox-1过点且取其上方的部

分的点的坐标时恒成立,所以其斜率必需满意,从而使问题获解.

10.直线/:>=质与曲线C：y=d-4/+3x顺次相交于三点，若|A8|=|BC|,则

k=()

A.-5B.——C.--

92

D.1

2

【答案】B

【解析】

通分析：联立>=辰和+可得X(J?-4X+3-后=0,所以x=O或x2-4x+3-左=0,

因此不妨设A0.0),巩%A,R),其中孙巧是方程，-4x+3-左=0的两个根且

XJ+XJ=4^X2=3-左，由题设可知/C=2JJ,即巧=2%代入均+Xj=4可得巧=pXj=g'再

代入巧•天=3-h可得左=一，，故应选B・.

考点：函数与方程的运用.

11.已知点M(l,0),A8是椭圆上的动点，旦M4・M8=0,则的取值范围是()

2

A.[y,l]B.[1,9]C.D.

【答案】B

【解析】

试题分析：设4与J。),因加血=该画+而)=疝2=(%-1)2+对且尤=1一?君，故

4

-3.542

MABA=^-2^+2(-l<^<V),所以(M4物)由==乂大-2乂：+2=1,

4493

-3

(MABA)m==又4-2(-2)+2=9,故应选艮

4

考点：椭圆的几何性质及向量的数量积公式.

【易错点晴】本题以圆锥曲线中的椭圆为背景，考查的是向量的数量积的取值范围问题，其目

的是检测数学中的函数思想及函数最值的求解问题.解答时要充分借助题设中的条件

MA^MB=O,运用向量的数量的乘法运算建立目标函数

44=三年一2%+2(-1«/V1),但要特殊留意函数的定义域.最终借助椭圆的范围

4

求出该函数的最大值和最小值,从而使问题获解.

12.已知平面四点A8,。,。满意AA=8C=C£>=2,AD=20设丛瓦),ABC。的面

积分别为$42,贝i」S：+S；的取值范围是()

A.(8x/3-12J4]B.(8x/3-12,8>/3]C.(12,14]

D.(12,28]

【答案】A

【解析】

试题分析：设/BAD=a,/BCD=。,则由余弦定理得

BD2=4+4-2x2x2cos^=8-8cos/7.因

BD2=12+4-2x2x2V3cosa=16-873cosa,可得cos0=y/3cosa-1.乂

=12sin2a,

,S；=—x4x4sin2p=4sin2/3=4-4cos2P=4-12cos?a+86cosa-4,故

S；+S；=12-12cos2a-12cos2a+86cosa=-24cos?a+84cosa+12,令

t=cosajG(0,1)所以h(t)=S；+S；=-24/+g®+12,对称轴,故时，人⑺^=14,当

r=i时,

//⑴=86一12,故应选A.

考点：余弦定理及面积公式的运用.

第n卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每题5分，满分20分.)

13.若复数z满意(l-z)z=2Z,则z在复平面内对应的点在第象限.

【答案】二

【解析】

试题分析：因z=二=2l(1+l)=-\+i,所以在复平面上对应的点在其次象限.

1-/2

考点：复数的概念及运算.

14.若函数/*)=t，X£(Y0/)US+2,+OO)是奇函数，则〃+)=_______.

2x-1

【答案】-1

【解析】

试题分析:因函数.”€(9：垃11@+2：+0。)是奇函数,故乃+2=0,则6=-1,故由奇函数

2x-1

的定义/(-2)+〃2)=0,由此可得。=0,故。+b=-1.

考点：函数的奇偶性及运用.

15.已知双曲线C：5-[=l(a〉0/>0),以C的一个顶点为圆心，〃为半径的圆被C截

ab

24

得的劣弧长为一4,则双曲线。的离心率为

3

【答案】

【解析】

试题分析：设圆M与双曲线的在第一象限的交点为4,因圆与双曲线都是关于x轴对称的图

形,故由题设可知ZAMx=60°,故点A的坐标为,代入双曲线方程病整理得舫2=3a2,由此

可得

5c2=8］,所以离心率.

考点：双曲线与圆的几何性质.

【易错点晴】本题以圆锥曲线中的双曲线为背景，考查的是双曲线的几何性质和综合运用所

学学问去分析问题和解决问题的实力.解答时充分运用题设中供应的信息，数形结合推断出三

角形的形态是等边三角形,从而进一步确定交点A的坐标点为,这是解答本题的关键,通

过将该点的坐标代入双曲线的标准方程,从而求出该双曲线的离心率为.

16.已知等边三角形A8C的边长为46，加,77分别为4氏4。的中点，沿MN将AABC折

成直二面角，则四棱锥A-的外接球的表面积为.

【答案】52〃

【解析】

试题分析：设外接球的球心为。，四边形MNCB的外接圆的圆心为。］：点到平面MNCB的距离为d,即

。。1=d,设等边三角形的高与MN的交点为P,则PA_L平面MNCB，且ZP=3,,如图，故

及2=（3-d）2+9,又因四边形MNCB的外接圆的圆心。】是BC的中盘则产=舒+已,联立

改2=<3-+9与髀=箫+12可得d=l：R=屈，所以四棱锥的外接球的面积S=4乃x13=52芥.

考点：多面体的几何性质与外接球面积的计算.

［易错点睛】多面体的外接球的体积面积问题始终以来都是教与学的难点.解答这类问题的关

键是求半径，也是解答这类问题的难点值所在.本题在解答时充分借助题设条件，先搞清晰了

四边形MNCB的外接圆的圆心01的位置,再求出外接圆的半径.再结合球心与截面圆的半径

之间的关系,建立了方程组

,求出了外接球的半径R=V13最终运用球的面枳公式求出了外接球的面积为524.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知等比数列｛4｝的各项均为正数，前〃项和为S”，S3=14,4・6=8%，数列｛2｝〃

项和为（，

♦+么+i=log2ab

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

（2）求凡.

2

【答案】⑴％=2”；（2）T2n=n.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件建立方程组求解；（2）借助题设条件和等差数列的求和公式求解.

试题解析：

解法一：（1）<=曷=阻,4>

丹=8,

88

又用=6+勺+8=14,・•.q+%=—j+—=6,

qq

2

解得：q=2或（舍去），

所以q=个广、2。

n

（2）=log2=log22=n,

••岂#=（4+3）+色+&）+----

=1+3H-----卜（2n-1）=n2.

解法二：（1）由已知得，

解得或（舍去），

所以《=q/T=2”.

（2）同解法一.

考点：三等比数列的通项和前〃项和公式等有关学问及运用.

18.（本小题满分12分）

如图，等腰梯形ABC。的底角4等于60,其外接圆圆心。在边AO上，直角梯形尸D4Q

垂直于圆。所

在的平面，ZQAD=ZPDA=90,且4O=2AQ=4.

（1）证明：平面ABQJL平面P3O；

（2）若二面角。一尸B—C的平面角等于45，求多面体PQA3CO的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用空间向量的知识求解.

试题解析：

解法一：（1）证明：由题可知：皿，区0,

•・•梯形P04D垂直于圆。所在的平面，ZPDA=90\

・・・产。，平面加。），.,.45_1尸2）,

又,.且011加=「，.••加，平面尸班），

,.•/5（=平面加0,，平面幺50_1平面尸血）.

（2）如图，过点B作射线BZ//OP,8A8。,8Z两两垂直，

以B为原点，BA,BD,BZ所在直线分别为x,y,z轴建立坐标系,

设尸。=力，则以0,0。,。电动。,尸@动㈤，

从而起=(TW,O),方=电2瓜用,

设平面PBC的一个法向量为3=(%y.z),

rfBC，即『:"，=°,取则（同-华）,

.I；___.=07=1,7=

FfBP=Q2x/3j+Az=0«

由(D已证3/_L平面加，则平面尸即的一个法向量为瓦i=Q.0»0),

.*.cos<ntBA>=_?■>解得：h=屈,

多面体PQABCD是由三棱锥P-JCD和四棱锥3-3。构成的组合体,

f^-BCD=§•方•m=6,

・•・多面体PQABCD的体积P=羯5+竽.

解法二：(1)同解法一

(2)如图，在平面ABCD中过点。作A3的垂线OX,

过。作射线OZ//OP,OX,OZ),OZ两两垂直.

以。为原点，OXQDQZ所在宜线分别为x,y,z轴建立坐标系,

设ED=方，则以fA-L0)Q(020),P@2㈤C(一力,L0)，

从而而=(020),而=(右：0㈤，

设平面PBC的一个法向量为n=(xj：z),

.n^BC=Q辰：二二晨取则占必亭,

7•丽=0

平面PBD的一个法向量为BA=(^-1:0),

.**五n^BAW咚解得:

..cos<n>JoA>=f-==F-=——।____

g3l2出卷

下同解法一.

解法三：

(1)同解法一.

(2)取BO中点E,过E作炉垂直于P8交线段PB于点尸，连接CE,CF,

可证CE平面尸8。，，P3JLCE,

又•；EFLPB,EFCCE=E,；,PB工平面CEF,/.PBLCF,

・•・NC而为二面角D-PB-C的平面角，

即/CFE=4S,EF=CE=l,

由RtABEFs&APBD,可求得ED=J£

以下同解法一.

考点：空间线面的位置关系和空间向量的有关学问及运用.

【易错点晴】立体几何是中学数学的重要内容之一，也历届高考必考的题型之一.本题考查是

空间的平面与平面的垂直问题和点与一个多面体的体积的计算问题.解答时第一问充分借助

已知条件与直线与平面的判定定理、平面与平面判定定理进行推证.其次问求多面体

PQABCD的体枳的问题最终仍旧转化为求点P到平面PBC的距离的问题,解法一是运用空

间向量的学问进行求解的.解法二则是运用平面几何的学问求解.

19.（本小题满分12分）

2024年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2024年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥

会）在北京和

张家口两个城市举办，某中学为了普及冬奥会学问，实行了一次奥运学问竞赛，随机抽取

20名学生的成

绩（满分100分）如下：

男生93919086838076696765

女生96878583797877747368

（1）依据两组数据完成男、女生成果的茎叶图，并比较男、女生成果的平均值及分散程度;

（2）从成果80分以上（含80分）的学生中抽取4人，要求4人中必需既有男生又有女生,

用X表示所

选4人中男生与女生人数的差，求X的数学期望.

【答案】（1）茎叶图见解析，男生的成果比较分散，女生的成果比较集中：（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件及平均数和茎叶图求解；（2）借助题设条件和数学期望公式求解.

试题解析：

（1）茎叶图如图所示，

男生女生

57968

6798743

0368753

01396

男生的平均成绩为

%="(3x90+3x80+70+3x60+1+3+3+6+6+5+7+9)=80

女生的平均成绩为

-1

>=±(90+3x80+5x70+60+6+7+5+3+9+8+7+4+3+8)=80

所以男、女生的平均成绩一样.

由茎叶图可以看出，男生的成绩比较分散，女生的成绩比较集中.

（2）成果在80分以上（包括80分）的学生共有10人，其中男生6人，女生4人,

X的全部可能取值为-2,0,2,

二12

P(X=-2)=

十屐《十-97

45

p(X=0)=

c：c；+c：c：+CC97

CC=40

P(X=2)=

C：C+C；C：+C；G97

口……、c12c45c4056

所以E（X）=-2x---1-OxF2x—=—.

97979797

考点：平均数、方差和数学期望等有关学问及运用.

20.（本小题满分12分）

已知直线4："a+了一2相一2二0,4：工一加）'+2加-2=0,4与y轴交于4点，4与4轴

交于8点，/,

与4交于。点，圆。是△A3。的外接圆.

(1)推断AA8O的形态并求圆C面积的最小值；

(2)若。,E是抛物线f=2py与圆C的公共点，问：在抛物线上是否存在点P使得APDE

是等腰三角

形？若存在，求点尸的个数：若不存在，请说明理由.

【答案】(1)2%；(2)共有4个满意条件的P点.

【解析】

试题分析：(1)借助题设建立函数求解3(2)借助题设条件和抛物线的方程求解.

试题解析：

(1)由于所以A①。是直角三角形，

蜀),2m+2)1(2-2风0),。(2.2),

则LABD外接圆圆心直径是AB,\AB\1=8(加1+1),

要使AX5D外接圆C面积最小，贝力4512als=8,当且仅当初=0时成立，

所以外接圆C面积的最小值为271.

(2)由。(2,2)点在抛物线，=2刀上，则/=2y,

圆C过原点，则抛物线与圆的公共点是与Q：2),E(0：0),

假设存在点P(%J。)满足条件，则君=2%，

(1)当是底时，DE中点0QD，中垂线方程：y=r+2,代入抛物线d=2y,

得：，+2%一4=0,A=20>0,所以存在两个满足条件的P点.

(2)当尸E是底时，PE中点，则DM_L尸石，

即3(92)+为仔-2)=0,*-4/-16=0,

设/")二/一4工一16'/(x)=3x2-4,

则/(%)在，递增,在递减,

因为，/(0)=-16<0,/(3)=-1<0,/(4)=32>0,

所以f(x)在(3,4)有唯一零点，存在一个满意条件的P点.

(3)当PD是底时，PD中点M粤+L粤+D，则

22

前=《声吟+D，丽=5-2必-2),EN^DP=O,

即(空X飞-2)+(空J*。-2)=0,

所以=则*_4=0或*+8=0,

只有1解%=—2.

综上所述：以上零点不重复，共有4个满足条件的尸点.

考点：直线的方程、抛物线和圆的位置关系等有关学问及运用.

21.(本小题满分12分)

设函数/(x)=adnx+m曲线y=/(%)在(1"⑴)处的切线方程为

y=(l+e-,)x-l-2e",.

(1)求；

(2)求证：/(x)>-l-2e-2.

【答案】(1)。=1/=一1；(2)证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件建立方程求解；(2)借助题设条件和导数的学问求解.

试题解析:

(1)依题意，/(%)定义域为(0,十8),fXx^a(\+\nx)-be~v,

/(l)=-e-',/⑴=1+/,解得。=1g=一1.

(2)由⑴知，f(x)=xlnx-e~l,/(x)=e-x+lnx+l,

.1c'—X

设氟工)=，、+比尤+1,则gOO=-cT+-=———,

xxe

设M%)=cx-x,贝1用'(/=/一1>0,所以力(工)在(0：加)上单调递增,

所以双x)>0,g\x)>Qf所以g(x)在(QXO)上单调递增，

又因为以小〉=产>0,g(。-")=T<0,即6。-】屈。々)<0,

所以g@)恰有一个零点与€(C“：，】)3

艮口以不)=©-"+近％+1=0,即一c"=ln与+1,

当XE(O,不)时，双力<o,，a)单调递减，

当尤£〈飞,丑0)时，g(X)>0,/《力单调递增，

所以〃力之〃%)=/btt%%In%+111%+1,

设奴x)=xlnx+lnx+l,因为XE(1,二),

所以0(%)=14-lnx+—>l—2+e>0,

x

2}22

所以例》)在(e-ye-)上单调递增，所以°(%)>(p(e-)=-l-2e-f

所以f(x)>f(x0)=。(%)>—1-21,

综上可知，f(x)>—1—2.e~~.

解法二：

(1)同解法一.

(2)由(1)知/(x)=xlnx-e-*,f(x)=e~x+\nx+\,

设g(x)-"X+lnx+l,则g(x)=-e~x+—=-------，

xxex

^h(x)=e'-x,贝ij"(力所以应力在(0,丑o)上单调递增，

所以方S)>o,g'Q)>o,所以展力在(0,m)上单调递增，

又因为乐/】)=，］>0,爪，2)=，,一1<0,即爪/)爪,2)<0

所以以力恰有一个零点为£(0-2,/】).

即g(F)=c"+厄与+1=0，艮「”"=1。与+1,

且当儿£《()»%))时，爪为<0,/(")单调递减，

当”£(如田)时，以力>0,“X)单调递增，

所以=%1口与+111%+1,

设吠X)=R1HX+1HX+1,因为JCW(c々:c"),

所以。'(%)=1+也%+」，

x

igw(x)=l+lnx+-,贝iji/(只=1-4=^1,

XXXX

所以当工£(0J)时，«(x)<0,武力单调递减，

当％E(L"D)时，«(x)>0,火力单调递增，

所以箕@)2徂⑴=2>0,即d(力>。.

所以火力在35-1)上单调递胤则吹为)吠1)=-l-2e-2,

所以之〃为)=吠F)>-1-〃-2,即，f(x)>-l-2e-2.

考点：导数在探讨函数的单调性和最值中的运用.

【易错点晴】导数是中学数学的重要内容之一,也是探讨函数的单调性和最值问题的有效工具

之一.本题考查的是函数的零点的个数问题和不等式的证明问题.解答这类问题时经常要运用

转化与化归的数学思想将其进行等价的化归和转化.如第一问中的零点问题就是要探讨清晰

函数在定义域中的单调性,从而确定了函数零点的个数.如其次问不等式的证明问题就是通过

构造函数探讨函数的最小值问题.通过构造函数将不等式的证明问题转化为求其最小值为

一1一26々的问题.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.

解答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，分别是A46C的中线和高线，PRPC是A43C外接圆O的切线，点E是

PA与圆。的

交交

（1）求证：AC^CD=AF^PC；

（2）求证：0c平分NAOE.

（第22题图）

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助题设相似三角形相似推证；&）借助题设条件和圆幕定埋推证.

试题解析：

（1）由PC为圆。切线，知NC4F=NDCP,

••.两,PC是圆。的切线，。为3c中点，

，。，。,尸三点共线，且。P_L8C,

：.ZAFC=ZCDP=9Q\M尸CsACD产，

,gpAC^CD=AF^CP.

ACCP

（2）\CF1AB,D为BC中点，

：.FD=-BC=DC=DB,ZDFB=ZDBF,

2

,AF_FDFA_CA

..就=m'于1E^=而'

又.ZED