2024年湖北省利川市中考模拟数学试题（解析版）

秘密★启用前

2024年初中学业水平考试三月模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形

码粘贴在答题卡上指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目

要求）

3

1.在1,-2,0,5这四个数中，绝对值最大的数是（）

3

A1B.-2C.OD.-

.2

【答案】B

【解析】

【分析】根据绝对值的定义求出每个数的绝对值，再比较大小即可.

【详解】解：・・・川=1,|-2|=2,|0|=0,|||=|,

0<1<-<2,

2

:.绝对值最大的数是-2.

故选:B.

【点睛】本题考查了绝对值以及有理数大小比较，解决本题的关键是明确绝对值的定义.

2.下列几何体中，主视图是（）

【答案】A

【解析】

【分析】找到从正面看所得到的图形即可.

【详解】解：从正面看，左边是一个矩形，右边是一个正方形.

故选：A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.下列说法正确的是（）

A.为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式

B.一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5

C.投掷一枚硬币CO次,一定有50次“正面朝上”

D.若甲组数据的方差是0.03,乙组数据的方差是01，则甲组数据比乙组数据稳定

【答案】D

【解析】

【详解】为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取抽样调查的方式，故选项A错误，

把数据1、2、5、5、5、3、3从小到大排列1、2、3、3、5、5、5；所以中位数为：3：

5出现的次数最多，所以众数是5,故选项B错误，

投掷一枚硬币100次，可能有50次“正面朝上”，但不一定有50次“正面朝上”，故选项C错误，

若甲组数据的方差是0.03,乙组数据的方差是0.1,则甲组数据比乙组数据稳定，故选项D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查全面调查与抽样调查、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确它们各自的含义.

4,下列计算正确的是（）

A.b3+b3=2b3B.b3-b2=b6

C.b()^b2=b3D.

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数昂的乘法，除法，弃的乘方法则，逐一进行计算,

判断即可.

【详解】解：A、正确；

B、原选项计算错误;

C、/+/=/，原选项计算错误;

D、(/)2=万6,原选项计算错误;

故选：A.

5.直角三角板48c与直角三角板。即按如图放置，其中NA4C=/皮下=90。，NE=45。,

ZC=30°,箱BC//EF、则N1的度数为()

A.95°B.85°C.75°D.65°

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据平行线的性质得出NE4M=NC=30。，然后根据三角形的外角定理可求出NEMC的

度数.

【详解】解：设QE与4C相交于点如图：

・♦・ZfJM=ZC=30°,

又4=45。，

・•・/EMC=/EAM+NE=300+45°=75°.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的是准诵识图，熟练掌握平行线的性

质及三角形的外角性质.

6.一个扇形的面积是60461?,圆心角为150。，则此扇形的弧长是（)

A.30;rcmB.104。加C.15〃cmD.20^cm

【答案】B

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式，可以求得该扇形所在圆的半径，然后再根据弧长公式，即可计算出该扇形

的弧长.

nrcr1

【详解】解：:一个扇形的面积是60乃cn?,圆心角为150。，S扇形

360

1504产

604=

360

解得一=12,

150万乂12

「•此扇形的弧长为:=10乃(cm),

180

故选：B.

【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长的计算，解答本题的关键是根据扇形的面积求出扇形所在圆的半

径.

7.象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏.如图是一

局象棋残局，己知表示棋子“焉”和“白巾”的点的坐标分别为（3,2）,（-1,-1）,则表示棋子“炮”的点

•(0，2)C.(2,0)D.(1,3)

【注】B

【解析】

【分析】本题考查了坐标确定位置，建立坐标系找到坐标系的原点是关键.

根据表示棋子“，禹”和“凯1”的点的坐标分别为（3,2）,可得到表示棋子“卒”的位置是直角坐

标系的原点，继而求得棋子“炮”的点的坐标即可.

【详解】解：•••表示棋子“焉”和“削J”的点的坐标分别为（3,2）,（-1,7）,

・••表示棋子“卒”的位置是直角坐标系的原点，

・•・表示棋子“炮”的点的坐标为（0,2）.

故选：B.

8.某容器由上下两段圆柱体组成（如图①），现以速度u（单位：cm3/s）匀速向容器注水、直至注满为

止，图②是注水全过程中容器的水面高度〃（单位：cm）与注水时间（单位：s）的函数图象，根据图象信

息，上面小圆柱体与下面大圆柱体的半径之比是（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了函数图像的应用，根据容器容积=注水速度X注满容器的时间建立等量关系式并求解

是解题的关键.

先设出未知数，再根据圆柱的体积公式列出方程，再化简.

【详解】解：设上面小圆柱体与下面大圆柱体的半径分别为xcm,广m,

则：叫七生，

ny~a32y

故选：A.

9.以。为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的。刻度线与斜边48重合.点。为斜

边48上一点，作射线CO交于点E,如果点E所对应的读数为50。，且/乂=45。，那么N8QE的大小

为（）

C.120°D.130°

【W】B

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是运用圆周角定理得出N4OE与N/1CE的关系.由圆周

角定理得出/力CE=25。，进而得出N3CE=65。，再由外角的性质得出N8O£=N8CE+NCBZ),代入

计算即可得出答案.

【详解】解：如图，连接OE,

丁点上所对应的读数为50°,

ZAOE=50°,

•.T5为直径，ZACB=90°,

•・•点。在。。上，

/.Z.ACE=-NAOE=-x50°=25°,

22

・•./BCE=90°-25°=65°,

•「N5OE是△BOC的外角，

NBDE=4BCE+ZDBC=65°+45°=110°,

故选：B.

10.如图是抛物线必=欠2+加+《。工0)图象的一部分，抛物线的顶点是A,对称轴是直线x=l,且

抛物线与x轴的一个交点为8(4,0)；直线48的解析式为%=必+〃(加工0)，下列结论：

①2。+6=0；②。6。＞0；③方程ad+bx+c=加,丫+〃有两个不相等的实数根；④抛物线与工轴的另一

个交点是(-2,0).其中正确的是()

A.①®@B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与K等式的关系等知识，灵活利

用函数图象的性质成为解答本题的关键.

先确定抛物线对称轴为x=l,则-g=l,即2。+6=0可判①；先根据抛物线的开口方向、对称轴位置

2a

以及抛物线与轴交点的位置，确定的正负，进而判定“从的正负，可判②；运用函数确定方程的根的情况,

即可判定③先确定8点的横坐标，然后杈据二次函数图像的对称性求得与X轴的另一个交点的横坐标，即

可判定④.

【详解】解：①因为抛物线对称轴是直线x=l,贝卜2=1,2。+6=0,

2a

故①正确：

②.•.抛物线开口向下，故。＜0,

:对称轴在歹轴右侧，故人＞0,

••・抛物线与y轴交于正半轴，故。＞o,

abc＜0，

故②错误，不符合题意；

③从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程於2+灰+《=/冰+〃有两个不相等的实数根，故③正确,

符合题意：

④因为抛物线对称轴是：x=l,5(4,0),

所以抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0),

故④正确，符合题意.

故选：C.

二、填空题(共5题，每题3分，共15分)

11.区式分解：2/-50=.

【答案】2(x+5)(x-5)

【解析】

【分析】先根据提公因式法分解因式，然后根据完全平方公式分解运算即可

【评解】解：原式=2(/-25)=2(X+5)(X—5)

故答案为:2(x+5)(x-5)

【点睛】本题考查了综合运用提公因式法和公式法分解因式，分解要彻底是解题的关键.

12.在人体血液中，每立方亳米血液里有5000000个红细胞.数据5000000用科学记数法表示为.

【答案】5xl0*6

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大数字时，一般形式为4X10",其中IWIHVIO,〃为整数，且〃比原来的整

数位少1,据此判断即可求解.

【详解】整数5000000共计7位,采用4X10”表达,则有0=5,〃=7-1=6,

即：5000000用科学记数法表示为5x106,

故答案为：5xl06.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为4X10”，准确确定纵〃的值是解答本

题的关键.

13.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文

化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是

【答案】7

6

【解析】

【分析】本题考查列表法求概率.根据题意列表表示事件出现的等可能性，继而求出本题答案.

【详解】解：由题意得：

一本

《论语》《孟子》《大学》《中庸》

第二

《孟子》《大学》《中庸》

《论语》

《论语》《论语》《论语》

《论语》《大学》《中庸》

《孟子》

《孟子》《孟子》《孟子》

《论语》《孟子》《中庸》

《大学》

《大学》《大学》《大学》

《论语》《孟子》《大学》

《中庸》

《中庸》《中庸》《中庸》

通过列表可知共有12种等可能情况，其中有2种符合本题情况，

・•・抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率：-=

126

故答案为：7-

14.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两

支脚Q7二0=12分米，展开角NCOO=60。，晾衣臂。1=12分米，晾衣臂（04）撑开时与支脚

（0C）的夹角N40C=105。，则点力离地面的距离力M为分米.（结果保留根号）

【答案】（60+6石）##倒6+6码

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问

题.如图，作。尸_LC。于P,O0_L川必于。，解直角三角形求出A/Q，力。即可求出4”.

【详解】解：如图，作。尸_LCO于P,。。，力加于0,

pn

♦：AMLCD,

NQMP=ZMPO=ZOQM=90°,

••・四边形O0M尸是矩形，

:.QM=OP,

•：OC=OD=V2,NCOO=60。，

.••△COZ）是等边三角形，

-OPLCD,

...ZCOP=-ZCOD=30°,

2

QM=OP=OC-cos30°=6A/3（分米），

vZ^0C=105°,NQOP=90。,

ZAOQ=105°+30°-90°=45°,

•••力。=0力7足45。=60（分米），

力〃=4Q+MQ=（60+66）分米.

故答案为：（6>/2+6>/3）.

15.如图，等腰直角-8C中，乙4cB=90。,AC=BC=2五,。。_143于点。，E为平面内一动

点，且N4E8=90。，尸为力E中点,连接。尸，则的最大值为.

般

【答案】V5+1

【解析】

【分析】连接。尸，设40的中点为。，连接OF,先求出<8=4,则。=4。=8。=2,证DF为

的中位线，则NAFQnNXEBngO。，进而得。产=04=。4=1,则点尸始终在以。为圆心以

。4=1为半径的圆上运动，连接OC,51JOC=4s^根据“两点之间线段最短“得：CFWOC+OF,

即。尸《石+1，由此可得出C尸的最大值.

【详解】解：连接。尸，设力。的中点为O,连接

如图1所示：

在中，AC=BC=2式，

由勾股定理得：AB=>lAC2-vBC2=4«

；AC=BC,CDLAB于点、D,

，点。为46的中点，

，CD=4D=RD=LR=2,

2

丁点尸为4E中点，

..DF为A/BE的中位线,

DF//BE,

vZJ£^=90°,

/AFD=NAEB=90°,

在RtAUED中，4。=2,点。为力。的中点，

：.OF=OA=OA=-AD=\

2t

点尸始终在以0为圆心以=1为半径的圆上运动,

连接。C,如图2所示：

由勾股定理得：OCTCD?+0D?=5

。。+。产=石+1，

根据“两点之间线段最短”得：C/WOC+OF,

即C广工石+1，

，C户的最大值为遥+1.

故答案为：V5+1.

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理

等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，灵活运用勾股定理进行

计算是解决问题的关键，确定点F的运动轨迹是解决问题的难点.

三、解答题(共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.计算：椁-2卜存'+(-2)2一网.

【答案】

【解析】

【分析】本题考查了实数的混合运算，根据绝对值的性质、二次根式的性质、乘方运算、立方根的定义分

别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=2-百一3+4-2

=2-3+4-2-73，

=1-.

17.已知：如图，在RtZ\48C中，4cB=90。，CQ是-8C的角平分线，DEIBC,DF1AC,

垂足分别为“、F.求证：四边形是正方形.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质和矩形的判定，要注意的一个四边形是正方形，必须

先证明这个四边形为矩形或菱形.

要证明四边形CE。尸是正方形，则要先证明四边形。EC『是矩形，已知CO平分

DEA.BC,DF1AC,故可根据由三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判定

四边形CE。厂是正方形.

【详解】证明：・・・CO平分DEIBC,DF1AC,

:,DE=DF，ZDFC=90°,N£）EC=90。，

又•・•=90°,

，四边形OEC尸是矩形，

•：DE=DF，

・•・矩形CEO户是正方形.

18.中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一.而电商行业的繁荣也推动了快递行业的

高速发展.其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形.《九章算

术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所

需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2

倍，求规定时间.

【答案】9天

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列H分式方程是解题的关键.

根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为卜+3）天，快马所需的时间为

（工一3）天，利用速度=路程+时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得

解.

【详解】解：设规定时间为x天，根据题意得：2><粤=粤，

解得：x=9.

经检验x=9是原分式方程的解.

答：规定时间为9天.

19.为促进学生健康成长，帮助家长解决按时接送学生困难的问题，认真落实全国教育大会精神，某校结

合自身情况，在开展中学生课后服务工作方面做了全面规划，并且落到实处.在不加重学生课业负担的前

提下，学校在托管时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根

据自己的喜好，自主选择.学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活

动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题:

（1）求出本次调查中，随机抽取的学生人数；

（2）补全条形统计图；

（3）求出“其他”所对应的圆心角的度数；

（4）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有多少人.

【答案】（1）240A

（2）见解析（3）36°

（4）126人

【解析】

【分析】（1）根据喜爱体育的人数和所占的百分比，可以计算出本次被调查的学生有多少名;

（2）根据（1）的结论可得喜爱艺术的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

（3）根据“其他”所占比例即可求出计算;

（4）用样本估计总体列式解答即可.

木题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

【小问1详解】

解：随机抽取的学生人数为：108・45%=240（人）:

【小问2详解】

72（人），

【小问3详解】

阅读体6之术他活动

解：“其他”所对应的圆心角度数为二乂360。=36。；

240

【小问4详解】

解：840x—=126（人），

240

二•选择”阅读”的学生大约有126人.

20.如图，已知OO的直径为48,ACLAB于点A,8C与。O相交于点。，£0与相切于点

D,交4C于点及

（1）求证：ED=EA；

（2）若。4=6,4E=8,求8c的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）20

【解析】

【分析】（1）连接0。，由切线的性质得出/。。£=90。，证出=则可得出结论;

OEAO1

（2）证明得出力=—=-,由勾股定理可得出答案.

BCAB2

【小问1详解】

证明：连接。。，如图,

・•・NOOE=90。，

:.NODA十乙4DE=900.

又力C_L43,

・•・ZODE=ZOAE=90°.

・•・ZOAD+ZDAE=90°.

又OA=OD,

・•・Z.OAD=ZODA,

・••AEAD=/EDA,

：.EA=ED.

【小问2详解】

解：・：OA=OD,ED=EA,

J.OELAD.

,：AB是直径,

・•・403=90。，

即ECLAD.

:.OE//BC,

・•・AAOEs“BC.

OEAO1

''BC~AB~2,

在RtZXZOE中，0E=JoT+力6=io,

・•・BC=20.

【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以

上知识是解题的关键.

k

21.如图，一次函数歹=r+3的图象与反比例函数>=一（左。0）的图象交于点力与点8（氏一1）.

X

（1）求反比例函数的关系式；

（2）若点P是第二象限内双曲线上的点（不与点4重合），连接0P,且过点尸作y轴的平行线，与直线

48相交于点C,连接。。，若4。。。的面积为3,求点尸的坐标.

4

【答案】（1）y=一一

x

（2）P（-2,2）

【解析】

【分析】本题考查了反比例困数和一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的

方法和步骤.

（1）先求出点8的坐标，再把点8的坐标代入丁二：（女声0）,求出左的值，即可得出反比例函数解析式;

（4、4

（2）设点。w,---,则。（加/-川+3）,得出尸C=----（一加+3）.进而得出

m

144

SAOPC=彳（一加）-----（一〃7+3）=3.然后进行分类讨论①当一一>一”+3时，即根2一3加一4<0,

ztnm

4

②当---<-m+3时机>4或〃2«即可解答.

m

【小问1详解】

解：由题可知一1=—。+3,

•••a=4,

又点3（4,-1）在J=4（«H0）上,

JC

二人二-4.

4

•••反比例函数为y=一-.

X

【小问2详解】

解：如图，

设点尸则—利+：3），

km）

4

..PC=-----（一〃z+3）.

m

；(-m)----(—m+3)=3.

m

4

①当--->一加+3时，即一3加一4<0,

m

••--1</H<4,

m2-3m+2=0

:tn=1或2,

又加<0,

此种情况不存在.

4

②当<一加+3时机>4或〃7<—1,m2—3m-10=0，

tn

••・加=5或一2.

又m<0,

m=-2.

综上，P（-2,2）.

22.某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的

关系如图中的折线48C所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）.

（1）直接写出歹与K的函数关系式;

（2）若日销售单价x（元）为整数，则丝日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最

大利润是多少;

（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围.

_-10x+450(25<x<35)

【答案】（1）'-[-4x+240(35WO)

（2）当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元

(3)40<x<45

【解析】

【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函

数解析式是解题的关键：

（1）分2段，待定系数法求出函数解析式即可；

（2）设销售利润为沙元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，利用二次函数的性质，求最

值即可；

（3）根据该商品每天的销售利润不低于1200元，列出不等式，利用图象法解不等式即可.

【小问1详解】

设48段的解析式为：y=kx+h,

由图可知:图象经过（25,200）,（35,100）,

25%+6=200(k=-\0

则:35〃+b=100'解得：j6=450

/.^=-10x+450：

设6c段的解析式为：y=mxi〃，

由图可知:图象经过(50,40),(35,100),

50/w+〃=40(m=-4

则：|35/n+/z=100,解得：L=240,

y=-4x+240

_-10x+450(25<x<35)

-4x+240(35«xW50)，

【小问2详解】

设销售利润为田元，则

①当25WXK35时，^=(X-25)(-10X+450)=-10(X-35)2+1000,

，X=35时，叫11ax=100°元.

②当35«XW50时，r=(x-25)(-4x+240)=-4(x-42.5)2+1225,

•・“为整数，

・・・x=42或43时，力取最大值，Kax=1224.

V1224>1000,

・•・当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元.

【小问3详解】

由（2）知，当254x（35时，该商品每天的最大销售利润为1000元；

・•・只有在35KXV50时，每天的销售利润才可能不低于1200元；

二-4（x-42.5）2+1225>1200,

当-4（x—42.5『+1225=1200,解得：X）=40,x2=45,

*/-4<0,

・•・-4（x-42.5）2+1225之1200的解集为404x445.

23.定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形.

（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是；

（2）如图1,在正方形力8c。中，点E,F,G分别在40,AB,8c上，四边形OEFG是垂等四边形，且

/EFG=90°,AF=CG.

①求证：EG=DG；

②若8C=〃・4G,求〃的值；

J

（3）如图2,在RfZXNBC中，一=2,AB=B以48为对角线，作垂等四边形力C8Z）.过点0作

BC

。的延长线的垂线，垂足为E,且△力。与△O4E相似，求四边形4C8O的面积.

【答案】（1）矩形；（2）①见解析；②”=g；（3）四边形48。的面积为布或马管口

【解析】

【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析：

（2）①通过△//）产经△COG的性质推知。尸=OG；然后根据四边形OEFG是垂等四边形的性质知EG=

DF；最后由等量代换证得结论；

②如图1,过点G作垂足为从首先证明△5FG为等腰直角三角形，则NGF8=45°；然后证

得△力EF为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：BC=3AE,BG=

24七.代入求值即可；

（3）解：如图2,过点。作。FJ_XC,垂足为凡构造矩形CEDF.在RZX/BC中，利用勾股定理求得

AC=2,BC=1.再由垂等四边形四边形NC8O的性质知48=CO=J?.

分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由

S四边形/aDuS&tcD+SzwcB求得结果：当&4CBsADEB时,利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理

求得相关线段的长度,由S四边形4c8D=S&co+S/!j）C8求得结果.

【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形的垂等四边形.

故答案是：矩形；

（2）①证明：.••四边形力8co为正方形，

:・AD=CD,ZJ=ZC.

又,：AF=CG,

:.△ADF/ACDG（网S）,

:,DF=DG.

•・•四边形DEFG是垂等四边形，

:・EG=DF,

：,EG=DG.

②解：如图1,过点G作G〃_L4O,垂足为，，

图1

・•・四边形为矩形，

：.CG=DH.

由①知EG=DG,

：.DH=EH.

由题意知N/=N8=90°,AB=BC=CD=AD,AF=CG,

：.AB-AF=BC-CG,

即BF=BG,

:.丛BFG为等腰直角三角形，

:・NGFB=45°.

又・・・NEFG=90°,

/.Z£E4=180o-90°-45°=45°,

・••△ZM为等腰直角三角形，

,AE=AF=CG,

：.AE=EH=DH,

:.BC=3AE,BG=2AE.

,:BCfBG,

BC3

♦.〃=---=一•

BG2

(3)解：如图2,过点。作。F_L4C,垂足为尸,

AC.

■:——=2,

BC

：,AC=2BC.

在双△48C中，AB=垂,

根据勾股定理得，AC\B0=AB),即(2BC)?H?C7=5,

：.AC=2,BC={.

•・•四边形力C8O为垂等四边形，

:.AB=CD=B

第一种情况：

AQBE

当△/C8SZ\8E。时，——=——=2,

BCDE

设OE=x,则8E=2x,

：.CE=1+2x.

在RiACDE中,根据勾股定理得，CR+DR=Ca,

即(H-2x)2+N=5,

々=-2f—2(舍去),

:,DE=2娓-2,CE=DF=l+2x=^^~

55

4+122

••s^mACBD=S^cD+S„DCB=-x2x^+lxlx^~=V6;

2525

第二种情况:

ACDE

当△XCBSAOEB时，——=——=2,

BCBE

设8七=歹，MDE=2yf

：.CE=\+y.

在RtACDE中,根据勾股定理得，次+。不=。£>2,

即(1切)2+(2y)2=5,

[

解得乂=驾三1,y2=~^-(舍去),

：-CE=DF=\+y=^+4，DE=2y=2V2T-2

5

，S四边形“B产S“0+SMkL2x巨T+klx汉正L组9.

25255

综上所述，四边形4c8。的面积为几或2历+3.

【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性

质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方

程思想的应用.难度较大.

24.如图，抛物线与x轴交于4(—2,0),8(4,0),与歹轴交于点C(0,4).

(2)P是直线8c上方的抛物线上的一个动点，设