解三角形（原卷版）-2023年中考数学二轮复习（上海专用）

⑤要点归纳

解直角三角形的知识分布在二模考卷的各个部分，集中体现在21,23以及压轴题中，一旦出现三角比，就

需要灵活使用解直角三角形的方法来研究线段和角度的关系.

解直角三角形，主要是找到合适的直角三角形，如果不存在，应该在合适的位置构造垂线并且将构造的三

角形与其他条件联合起来找出题目的最优解.

此外，熟练记忆关键角度（30。、45。和60。）以及一些相关角度（15。、75。和36。）的三角比，能够有效

提高解题速度并减少思考强度.

解一般三角形：

1.首先确立一个思想：当一个三角形有三个独立的条件时，即满足

①已知三条边（边边边）；

②已知两边及其夹角（边角边）；

③已知两角及一边（角角边或角边角）.

（这里所说的已知角可以是已知角度，也可以是已知该角的某三角比.边边角型较复杂，需要分类讨

论）

这三种情况之一时，此三角形唯一确定.那么，该三角形其他要素也一定唯一确定，原则上都可以通

过计算求得，但是，由于三角比的复杂性，在求的时候还是有些技巧的.

2.其次，对于一般三角形，重在构造直角三角形.

构造的方法主要是通过添加高等方法将原三角形分割成直角三角形.

3.最后问题转化为解直角三角形.

观察该直角三角形里，有没有两个独立的条件

①如果有，利用勾股定理和锐角三角比直接解——直接法.

②如果没有，而只给出一个条件，则可设一个元素为x,这时，该直角三角形中的边和角都可以用x表

示出来，此时必定还有一个条件没有用到，利用这个条件列方程——间接法，其中含有方程思想.

小贴士：①解直角三角形出现在二模的第21题中，会与比例线段或者相似三角形综合；

②解直角三角形出现在二模的第22题中，是一道应用题；

③在二模的压轴题中，会有解三角形的思想在里面.

★★☆☆☆

【例题1】已知△A5C中，

⑴当NA=30。，ZB=45°,AB=2时，求AC、BC；

4?

⑵当sinA=—,tanB=-,AB=5时，求AC、BC；

53

⑶当AB=4,BC=5,AC=6时，求cosA,S^BC.

★★☆☆☆

【例题2】如图，ABCD是正方形，E为BC上一点.将正方形折叠，使A点、E点重合，折痕为MN.若

tanZAEN=-,DC+CE=10.求sin/硒B的值.

3

★★★☆☆

【例题3]如图，在△ABC中，ZA=45°,CB=5,BD=3,CD=7,。在边/IB的延长线上，求

和AC的大小.

★★★☆☆解直角三角形与比例线段

【例题4】如图，在△ABC中，NA=30。,E为AC上一点，且AE:EC=3:1,EFLAB于点F,联结

FC,

求tan/CFB的值.

★★★☆☆

如图，已知点。是自△/"(?的斜边上的一点，tanB=1,BC=3BD,CE±AD,

【例题5】

2

则*

★★★★☆

【例题6】在血AABC中，ZC=90°,点。在AC上，DEYAB,E为垂足，AE=3,tanZ£)BE=1,

ZSDC=45°,求AABD的面积.

★★★★☆解直角三角形与相似三角形

【例题7】如图，过锐角AABC的顶点A作DE/ABC,AB恰好平分NO4C,AF平分NEAC交的

延

长线于点尸.在AF上取点使得AM=LAF,联结CM并延长交直线DE于点若

3

AC=2,"2"的面积是工，则——1——的值是________.

12tanZACH

DAHE

BCF

★★★★★解直角三角形与相似三角形

【例题8】已知：在AlBC中，AB=AC,点。为BC边的中点，点F是的边上一点，点E在线段所

的延长线上，ZBAE=ZBDF,点M在线段所上，ZABE=ZDBM.

⑴如图，当N4BC=60。时，则线段钻、之间的数量关系为：.

⑵在⑴的条件下延长3M到尸，使MP=BM,连接CP,若/W=7,AE=2币，求tanNAC尸

的值.

AA

1.（2022秋.上海黄浦•九年级统考期中）已知：在-ASC中,N3=45o,A3=2,AC=6,贝！|8C的值()

A.只有1个B.可以有2个C.可以有3个D.无数个

2.（2022秋.上海崇明・九年级校考期中）如果直线〉与x轴正半轴的夹角为锐角a,那么下列各式正

确的是（）

1111

A.sina=—B.cosa=—C.tana=—D.cota=一

2222

3.（2022秋.上海松江.九年级校考期中）下列说法正确的是（）

A.在RtZXABC中，锐角A的两边都扩大2倍，那么cosA的值也扩大2倍

B.若。力均为非零向量，且同=2恸，贝IJ有a=2b或°=-26

C.若NA=30。，则它的邻边和对边的比值为名

D.a//b贝！始（攵为实数）

4.（2022秋•上海九年级校考期中）在RtZXABC中，ZC=90°f若AC=6,BC=8f那么下列等式中正

确的是（）

4343

A.sinA=—B.tanA=—C.cotA=—D.cosB=—

5435

5.在四边形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AB=4,BC=4fAD=1（如图）.点。是边上一

点，如果以。为圆心，0D为半径的圆与边3C有交点，那么0D的取值范围是（）

B.吗。。二

92

D.也V。以史

926

6.（2022秋.上海青浦.九年级校考期中）在二ABC中，若AB=AC=2,BC=2豆，贝UZA=_________度.

7.（2022春・上海•九年级校考阶段练习）如图，在ABC中，点。在边BC上，ADLAC,NBAD=/C,

|^=1,那么37ZBAD的值是.

4

8.（2022•上海杨浦・统考一模）如图，在AfiC中，AD1BC,sinB=-,3c=13,AD=12,贝UtanC的

值______.

A

9.（2022秋•上海黄浦•九年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD中，AB//CD,OE平分ZADC,交

3

BC于点、E,AE±DE,AB=4,AE=3,sinZCDE=-,那么CD=.

10.（2022春.上海・九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A、2均在y轴上，

点C在x轴上，将ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C'落在y轴上，点A的对应点H落在反比例函

数y=&在第一象限的图像上，如果点8、C的坐标分别是(0,-4)、(-2,0),且/54C=45。那么发的值是

x

11.(2022.上海杨浦・统考一模)如图，已知ABC是等边三角形，AB=6,点。在AC上，AD=2CD,CM

是NAC8的外角平分线，连接并延长与CN交于点E.

A

(1)求CE的长；

(2)求/EBC的正切值.

12.(2022・上海青浦•校考一模)如图，在直角梯形ABCD中，ABDC,ZDAB=90°,AB=8,CD=5,

BC=3亚.

(1)求梯形A5CD的面积；

(2)联结3。，求“3C的正弦值.

13.(2022秋•上海黄浦・九年级校联考阶段练习)如图，在ABC中AB=AC=4,cosN3=],点。是边

4

延长线上过的点，点E是边3C上一点(不与端点重合)，连接。石交AC于点尸，连接OC,且。E=OC,

设=x,EC=y,

D

A

B

E

⑴求证：

（2）求y关于x的函数关系式及其定义域;

（3）连接AE,当△AEF与相似时，求AD的长.

14.（2023春・上海•九年级名校校内测）如图，等边AABC内接于。。，尸是AS上任一点（点尸与点A、B

重合），连接AP、BP,过点C作CM〃B尸交E4的延长线于点M.

⑴求NAPC和/8PC的度数;

(2)求证：4ACM"/\BCP；

（3）若以=