2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第8节分式方程（含答案）

第8讲分式方程（学生版）目标层级图课前检测1．（1）当为何值时，方程会产生增根．（2）当为何值时，方程无解．（3）已知关于的方程的解为正数，求的取值范围．2．解方程：（1）（2）课中讲解一、分式方程的定义及解法1．分式方程的定义：含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边且的未知数的值，这个值叫分式方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程的步骤①去分母（即在方程两边都乘，把分式方程化为）；②求出整式方程的解；③检验（验根，把整式方程的根代入最简公分母；①→是原方程的根；②→是原方程的）．增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．④得出结论．例1.下列各式中分式方程有个．（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．以上都不对过关检测1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

例2．解方程：（1）（2）（3）（4）（5）过关检测1．解方程：（1）（2）（3）（4）（5）二、分式方程含参例3．（1）若关于的方程有增根，则的值是A． B． C．3 D．（2）若分式方程有增根，则实数的取值是A．0或2 B．4 C．8 D．4或8（3）若方程有增根，则它的增根是A．0 B．1 C． D．1和过关检测1．关于的方程有增根，则方程的增根是A． B．4 C． D．22．关于的方程有增根，则A．或6 B．或 C．或6 D．或或63．分式方程有增根，则的值为A．0和3 B．1 C．1和 D．3例4．（1）若关于的方程无解，则的值是A． B．2 C． D．3（2）若关于的分式方程无解，则的值为A． B．1 C．或2 D．或过关检测1．若关于的分式方程无解，则的值是A．或 B． C． D．或2．若关于的分式方程无解，则．例5．（1）已知关于的方程有解，则的取值范围是．（2）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是A．或B． C． D．且（3）若分式方程有正数解，则的取值范围是．过关检测1．已知关于的方程有解，则的取值范围是．2．已知关于的分式方程有解，则应满足的条件是A．且 B． C．或 D．或3．若关于的分式方程，有负数解，则实数的取值范围是．例6．若关于的方程有整数解，则整数．过关检测1．若关于的分式方程有整数解，整数的值是．2．已知关于的方程只有整数解，则整数的值为．三、分式方程的应用列分式方程解应用题步骤（1）审（审题，明确已知量和未知量）（2）设（设出未知数）（3）列（找出等量关系，列出分式方程）（4）解（解这个分式方程）（5）验（检验根是否满足原分式方程且符合题意）（6）答（写出答案并作答）例7．（1），两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程A． B． C． D．（2）在临桂新区建设中，需要修一段全长的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路，则根据题意可得方程．过关检测1．，两地相距，新修的高速公路开通后，在，两地间行驶的长途客车平均车速提高了，而从地到地的时间缩短了．若设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为A． B． C． D．2．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是元，则可列方程．例8．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？例9．某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？过关检测1．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．（1）甲商场将该商品提价后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为元；（2）乙商场将该商品提价后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？（3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是，第二次提价的百分率是；乙商场：两次提价的百分率都是，，．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．2．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的型车数量相同，则今年6月份型车销售总额将比去年6月份销售总额增加．，两种型号车的进货和销售价格表：型车型车进货价格（元辆）11001400销售价格（元辆）今年的销售价格2400（1）求今年6月份型车每辆销售价多少元；（2）该车行计划7月份新进一批型车和型车共50辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？学习任务1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有①；②；③；④；⑤；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．解关于的方程不会产生增根，则的值是A．2 B．1 C．且一2 D．无法确定3．若关于的分式方程有增根，则的值是．4．当时，方程无解．5．要使方程有正数解，则的取值范围是．6．若关于的分式方程有整数解，整数的值是．7．甲、乙两地相距，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为，根据题意可列方程为．8.解分式方程：（1）（2）（3）（4）9．为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？第8讲分式方程（解析版）目标层级图本章节涉及知识内容分四个板块：方程定义、方程解法、方程含参、方程应用。方程定义、判定：学期中会考选择题，中考不考。方程解法：中考16题计算常考6分去分母，得：————核心步骤，学生最容易出错，强调不可跳步骤去括号，得：移项，合并，得：系数化为1，得：经检验，当x=。。。时，。。。≠0，即x=。。。是原分式方程的解所以原方程的解是x=。。。．方程含参：增根问题、无解问题、有解问题、正负数解问题、整数解问题增根问题：——增根首先得是方程的根，即可以使方程左右两边相等，简称“根性”；其次增根还有“增性”，即该根会使分母为0。“根性”是前提，才有讨论“增性”的资格，因此不是所有使分母为0的数都是增根，因为它虽具有“增性”但不一定有“根性”。所以结果须检验，具体看例3（3）题。①只有唯一的“增性”x取值：它必是增根。例3（1）②有2个及多个“增性”x取值，且经检验都符合“根性”。例3（2）③有2个及多个“增性”x取值，但部分不符合“根性”。例3（3）无解问题：首先“增根”必然是无解的一种，且一定存在增根；其次，去分母后转换出的整式方程可能无解——一元一次方程一次项系数含参且系数为0时，一元二次方程根的判别式△＜0时，也是一种“无解”有解问题：“无解”的补集即是“有解”的答案。即需要保证①没有增根②转化的整式方程有解。正负数解问题：前提是有解，其次解为正、负数。需要保证①没有增根②转化的整式方程有解③解为正、负数。整数解问题：注意剔除增根，易忘！！求整数解的方法：若则：，且方程有整数解，．解得：，．四、方程应用：期末考会有2、3题考分式方程应用题——①A卷选择题第9题左右会考一道“列”方程的题，②A卷19题左右会考一道完整的分式方程应用题，③B卷26题左右会考一道完整的分式方程应用题.注意：应用题的重点在“列”不在“解”，帮助学生梳理等量关系是重点，很多学生从初一到初三遇到的应用题问题都是同一个——不会提炼等量关系式，建议专题化讲解经济利润、工程、行程问题的提炼方法课前检测1．（1）当为何值时，方程会产生增根．（2）当为何值时，方程无解．（3）已知关于的方程的解为正数，求的取值范围．【解答】解：（1）方程会产生增根，，，分式方程化为整式方程后得，，当时，；当时，；当或时，方程会产生增根；（2）分式方程化为整式方程后得，，整理得，，当时，，经检验是分式方程的增根，当时，方程有无数个解，当时，方程无解；（3）分式方程化为整式方程后得，，整理得，，，关于的方程的解为正数，且，，且，的取值范围，且；

2．解方程：（1）；（2）．【解答】解：（1）去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解；（2）去分母得：，整理得：，解得：，经检验是增根，分式方程无解．课中讲解一、分式方程的定义及解法1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．3．解分式方程的步骤①去分母（即在方程两边都乘最简公分母，把分式方程化为整式方程）；②求出整式方程的解；③检验（验根，把整式方程的根代入最简公分母；①最简公分母→是原方程的根；②最简公分母→是原方程的增根）．增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．④得出结论．例1.下列各式中分式方程有个．(分式方程的判定，易错：π在分母、无理方程、分母字母的身份是参数而非未知数）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．以上都不对【解答】解：（1）不是等式，故不是分式方程；（2）是分式方程；（3）是无理方程，不是分式方程；（4）是分式方程．故选：过关检测1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：关于的方程②，③中，分母中都含有字母，都是分式方程；关于的方程①，④中，程分母中不含未知数，故不是分式方程．综上所述，是分式方程的有②、③，共2个．故选：．例2．解方程：（解分式方程步骤：去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，检验，结论）（“去分母”这步是分式方程与整式方程最大的区别，最核心、易错的步骤，很多娃娃就只错这一步，所以要严禁学生在这步跳步骤）（1）；（2）（3）（4）（5）【解答】解：（1），解得，经检验是方程的根．（2）解得经检验：是原方程的根原方程的解是．（3）解得检验：把代入到中，得：原分式方程无解．（4），解得，经检验是方程的增根．方程无解．（5）原方程可变形为：，左右两边分别通分得：，整理得：，去分母得：，解得：．检验：将代入．得：是增根，原方程无解．过关检测1．解方程：（1）（2）（3）．（4）．（5）【解答】解：（1）去分母，得：，去括号，得：，移项，合并，得：，系数化为1，得：，经检验，当时，，即是原分式方程的解，所以原方程的解是．（2）去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解．（3）去分母得：，解得：，经检验是分式方程的增根，原分式方程无解．（4）方程两边同乘得，，解这个方程，得，把代入原来的分母，有一个分母等于0，所以不是原分式方程的解，即是原方程的增根，原方程无解．（5）方程两边同乘，得：，整理解得．经检验是增根，故原方程无解．分式方程含参（增根：前提具有“根”性——使方程左右两边相等，其次具有“增”性——使分母为0）例3．（1）若关于的方程有增根，则的值是（只有唯一增根可能性，直接带入即可）A． B． C．3 D．【解答】解：由得，关于的方程有增根，，当时，，解得，故选：．（2）若分式方程有增根，则实数的取值是（有2种增根可能性）A．0或2 B．4 C．8 D．4或8【解答】解：方程两边同乘，得，由题意得，分式方程的增根为0或2，当时，，解得，，当时，，解得，，故选：．（3）若方程有增根，则它的增根是（有2种增根可能性，但其中一个不符合“根”性，舍去）A．0 B．1 C． D．1和【解答】解：方程两边都乘，得，由最简公分母，可知增根可能是或．当时，，当时，得到，这是不可能的，所以增根只能是．故选：．过关检测1．关于的方程有增根，则方程的增根是A． B．4 C． D．2【解答】解：由分式方程有增根，得到，解得：．故选：．2．关于的方程有增根，则A．或6 B．或 C．或6 D．或或6【解答】解：原方程去分母得：因为分式方程的増根为，所以或得或．故选：．3．分式方程有增根，则的值为A．0和3 B．1 C．1和 D．3【解答】解：分式方程有增根，，，，．两边同时乘以，原方程可化为，整理得，，当时，代入得：，当时，代入得：，当时，方程为，此时，即方程无解，时，分式方程有增根，故选：．（无解包含两种情况：增根，去分母后的整式方程无解——一次项系数含参时系数取0）例4．（1）若关于的方程无解，则的值是（只包含增根一种情况）A． B．2 C． D．3【解答】解：方程无解，是方程的增根，，（一次项系数不含参）．故选：．若关于的分式方程无解，则的值为（既有增根，又有一次项系数含参）A． B．1 C．或2 D．或【解答】解：方程两边都乘以得：，即，（一次项系数含参数）分两种情况考虑：①当时，此方程无解，（一次项系数为0）此时，②关于的分式方程无解，（增根）或，即，，当时，代入①得：，解得：此方程无解；当时，代入①得：，解得：，的值是或，故选：．过关检测1．若关于的分式方程无解，则的值是A．或 B． C． D．或【解答】解：去分母得：，由分式方程无解，得到或，把代入整式方程得：；把代入整式方程得：．故选：．2．若关于的分式方程无解，则或6或1．【解答】解：（1）为原方程的增根，此时有，即，解得．（2）为原方程的增根，此时有，即，解得．（3）方程两边都乘，得，化简得：．当时，整式方程无解．综上所述，当或或时，原方程无解．（有解：与“无解”互补，有2个要求——剔除增根，去分母后整式方程一次项系数含参的话要保证系数不为0）例5．（1）已知关于的方程有解，则的取值范围是．（只剔除增根）【解答】解：去分母得：，，，，（一次项系数步含参）关于的方程有解，，，，解得：，故答案为：．（2）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（同时剔除增根、保证一次项系数不为0）A．或 B． C． D．且【解答】解：，去分母得：，去括号得：，移项，合并同类项得：，（一次项系数步含参）关于的分式方程有解，，且，（一次项系不为0）即，系数化为1得：，且，（剔除增根）即，，综上所述：关于的分式方程有解，则字母的取值范围是，，故选：．（3）若分式方程有正数解，则的取值范围是且．（有解且解为正数——剔除增根，保证一次项系数不为0，保证根大于0）【解答】解：去分母得：，解得：，（找到根的表达式——系数不含参）由分式方程有正数解，得到且，（保证根大于0，剔除增根）解得：且，则的取值范围是且；故答案为：且．过关检测1．已知关于的方程有解，则的取值范围是．【解答】解：去分母得：，，，，关于的方程有解，，，，解得：，故答案为：．2．已知关于的分式方程有解，则应满足的条件是A．且 B． C．或 D．或【解答】解：方程两边同时乘以得：，解得：，分式方程有解，，且，故选：．3．若关于的分式方程，有负数解，则实数的取值范围是且．【解答】解：，分式方程去分母得：，移项合并得：，解得：，分式方程的解为负数，且，解得：且．故答案为：且．例6．若关于的方程有整数解，则整数或．（找到根的表达式，找到整数解，剔除增根——易忘）【解答】解：去分母得：．去括号得：．解得：．，且方程有整数解，．解得：，．，．经检验：，都是原方程的解．故答案为：或．过关检测1．若关于的分式方程有整数解，整数的值是4或3或0．【解答】解：，，，而分式方程有整数解，，，，，但是时，，是分式方程的增根，不合题意，舍去，，，，，．故答案为：，，．2．已知关于的方程只有整数解，则整数的值为，0或4．【解答】解：方程两边同乘以，得：，解得：，方程只有整数解，或1或或，当，即时，，检验，将代入，故是原分式方程的解；当，即时，，检验，将代入，故是原分式方程的解；当，即时，，检验，将代入，故是原分式方程的解；当，即时，，检验，将代入，故不是原分式方程的解；整数的值为：，0或4．故答案为：，0或4．三、分式方程的应用列分式方程解应用题步骤（1）审（审题，明确已知量和未知量）（2）设（设出未知数）（3）列（找出等量关系，列出分式方程）（4）解（解这个分式方程）（5）验（检验根是否满足原分式方程且符合题意）（6）答（写出答案并作答）（列方程——提炼等量关系）例7．（1），两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程A． B． C． D．【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：．所列方程为：．故选：．（2）在临桂新区建设中，需要修一段全长的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路，则根据题意可得方程．【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：，故答案为：．过关检测1．，两地相距，新修的高速公路开通后，在，两地间行驶的长途客车平均车速提高了，而从地到地的时间缩短了．若设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为A． B． C． D．【解答】解：设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为：．故选：．2．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是元，则可列方程．【解答】解：方程为：，故答案为：．

例8．为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．（应用题的重点在“列”不在“解”，帮助学生梳理等量关系是重点，很多学生从初一到初三遇到的应用题问题都是同一个——不会提炼等量关系式，建议专题化讲解经济利润、工程、行程问题的提炼方法）（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，．答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）设安排甲队工作天，则安排乙队工作天，根据题意得：，解得：．答：至少安排甲队工作10天．例9．某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．（1）今年5月份款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？（3）如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？【解答】解：（1）设今年5月份款汽车每辆售价万元．则：，解得：．经检验，是原方程的根且符合题意．答：今年5月份款汽车每辆售价9万元；（2）设购进款汽车辆．则：．解得：．的正整数解为6，7，8，9，10，共有5种进货方案；（3）设总获利为万元，购进款汽车辆，则：．当时，（2）中所有方案获利相同．此时，购买款汽车6辆，款汽车9辆时对公司更有利．过关检测1．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．（1）甲商场将该商品提价后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为1元；（2）乙商场将该商品提价后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？（3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是，第二次提价的百分率是；乙商场：两次提价的百分率都是，，．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．【解答】解：（1）（元；（2）设该商品在乙商场的原价为元，则，解得．经检验：满足方程，符合实际．答：该商品在乙商场的原价为1元．（3）由于原价均为1元，则甲商场两次提价后的价格为：．乙商场两次提价后的价格为：．．乙商场两次提价后价格较多．2．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的型车数量相同，则今年6月份型车销售总额将比去年6月份销售总额增加．，两种型号车的进货和销售价格表：型车型车进货价格（元辆）11001400销售价格（元辆）今年的销售价格2400（1）求今年6月份型车每辆销售价多少元；（2）该车行计划7月份新进一批型车和型车共50辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？【解答】解：（1）设去年6月份型车每辆销售价元，那么今年6月份型车每辆销售元，根据题意得，解得：，经检验，是方程的解．时，．答：今年6月份型车每辆销售价2000元．（2）设今年7月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元，根据题意得，解得：，，随的增大而减小，当时，可以获得最大利润．答：进货方案是型车17辆，型车33辆．学习任务1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有①；②；③；④；⑤；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：①是一元二次方程，②，是数字不是未知数，是一元一次方程；③是分式方程；