2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第6节因式分解2（含答案）

第6讲因式分解2（学生版）目标层级图课前检测1．已知，，则的值是A．100 B．110 C．120 D．1252．已知三角形的三边，，满足，则是A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形3．若实数满足，则的值为A． B． C． D．4．分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）课中讲解一、十字相乘法（1）二次项系数为11．定义：对于的因式分解则．这就是说，对于二次三项式，如果常数项可以分解为的积()，并且有，那么，这就是分解因式的十字相乘法．2．方法：特征是“拆常数项，凑一次项”①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．例1．将下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）过关检测1．将下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）例2．分解因式（1）（2）（3）（4）过关检测1．分解因式（1）（2）（3）（4）（2）二次项系数不为11．定义：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数，，使得：，，，注意：若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解2．方法：它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．注意：不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式

．例3．分解因式（1）（2）（3）（4）过关检测1．分解因式（1）（2）（3）（4）例4．分解因式（1）（2）过关检测1．分解因式（1）（2）二、分组分解法1.定义：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解．2.方法：一般对于四项多项式，且各项没有公因式时，可想到用分组分解法进行因式分解，但要注意分组的合理性。可能是二、二分组，也可能是一、三分组．3.因式分解的一般解题步骤：（一提二用三分组）（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式法或十字相乘法；①如果多项式有两项，应考虑用平方差公式；②如果多项式有三项，应考虑用完全平方公式或十字相乘法；③如果多项式超过三项，应考虑分组分解；（3）分解因式时必须要分解到不能再分解为止．例5．分解因式（1）（2）（3）（4）过关检测1．分解因式（1）（2）（3）（4）例6．分解因式（1）（2）（3）（4）过关检测1．分解因式（1）（2）（3）（4）例7．分解因式（1）（2）（3）（4）过关检测1．分解因式（1）（2）（3）三、综合应用例8．（1）若，，则代数式的值为．（2）已知，则的值为．过关检测1．已知，，则的值为．2．已知，，（1）求的值（2）求的值（3）求的值．例9．（1）若实数满足，则．（2）已知，则．过关检测1．如果，那么代数式的值为A．6 B．8 C． D．2．已知，求的值．例10．（1）化简：，结果是．（2）运用因式分解简便计算．（3）过关检测1．利用因式分解计算：（1）（2）（3）例11．（1）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状．（2）若的三边长分别为，，．满足条件，则判断的形状．过关检测1．已知，，是的三边，且满足，则的形状是．2．已知、、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状．例12．（1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，，因此的最小值是2，这时相应的的的值是-1．尝试探究并解答：①求代数式的最小值，并写出相应的值．②求代数式的最大值，并写出相应的的值．（2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．过关检测1．（1）代数式的最小值是，这时相应的的值是；（2）代数式的最大值是，这时相应的的值是．（3）求多项式的最大值．学习任务1．分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2．已知，，求代数式的值．3．已知，求：的值．4．利用因式分解进行简便计算：（1）（2）5．已知，，是三角形三边长，且，试判断三角形形状．6．当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．第6讲因式分解2（解析版）目标层级图课前检测1．已知，，则的值是A．100 B．110 C．120 D．125【解答】解：，，．故选：．2．已知三角形的三边，，满足，则是A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形【解答】解：，，，，则或，则或，故是等腰三角形或直角三角形．故选：．3．若实数满足，则的值为A． B． C． D．【解答】解：故选：．

4．分解因式（1）【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式；（3）【解答】解：原式；（4）【解答】解：原式；（5）【解答】解：原式．（6）【解答】解：原式；课中讲解一、十字相乘法（1）二次项系数为11．定义：对于的因式分解则．这就是说，对于二次三项式，如果常数项可以分解为的积()，并且有，那么，这就是分解因式的十字相乘法．2．方法：特征是“拆常数项，凑一次项”①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．例1．将下列各式分解因式：（1）【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式；（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1．将下列各式分解因式：（1）【解答】解：原式．（2）【解答】解：原式．（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例2．分解因式（1）【解答】解：原式．（2）【解答】解：原式．（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式过关检测1．分解因式（1）【解答】解：原式．（2）【解答】解：原式．（3）【解答】解：原式．（4）【解答】解：原式（2）二次项系数不为11．定义：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数，，使得：，，，注意：若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解2．方法：它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．注意：不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式

．例3．分解因式（1）【解答】解：原式．（2）【解答】解：原式．（3）【解答】解：原式．（4）【解答】解：原式．过关检测1．分解因式（1）【解答】解：原式．（2）【解答】解：原式．（3）【解答】解：原式．（4）【解答】解：原式．例4．分解因式（1）【解答】解：原式．（2）【解答】解：原式．过关检测1．分解因式（1）【解答】解：原式．（2）【解答】解：原式．

二、分组分解法1.定义：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解．2.方法：一般对于四项多项式，且各项没有公因式时，可想到用分组分解法进行因式分解，但要注意分组的合理性。可能是二、二分组，也可能是一、三分组．3.因式分解的一般解题步骤：（一提二用三分组）（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式法或十字相乘法；①如果多项式有两项，应考虑用平方差公式；②如果多项式有三项，应考虑用完全平方公式或十字相乘法；③如果多项式超过三项，应考虑分组分解；（3）分解因式时必须要分解到不能再分解为止．例5．分解因式（1）【解答】解：原式．（2）【解答】解：原式．（3）【解答】解：原式．（4）【解答】解：原式过关检测1．分解因式（1）；【解答】解：原式；（2）【解答】解：原式．（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例6．分解因式（1）【解答】解：原式．（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式．过关检测1．分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）【解答】解：原式（4）【解答】解：原式例7．分解因式（1）【解答】解：原式（2）【解答】解：原式（3）．【解答】解：原式．（4）【解答】解：原式．过关检测1．分解因式（1）．【解答】解：原式．（2）．【解答】解：原式．（3）【解答】解：原式

三、综合应用例8．（1）若，，则代数式的值为．【解答】解：，，，，．故答案为：．（2）已知，则的值为4．【解答】解：，．故答案为：4．过关检测1．已知，，则的值为．【解答】解：，，，故答案为：．2．已知，，（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．例9．（1）若实数满足，则．【解答】解：，，，，，，故答案为：．（2）已知，则2012．【解答】解：，．故答案是：2012．过关检测1．如果，那么代数式的值为A．6 B．8 C． D．【解答】解：由得，，，，，．故选：．2．已知，求的值．【解答】解：，，．例10．（1）化简：，结果是．【解答】解：原式．（2）运用因式分解简便计算180000．【解答】解：原式故答案为：180000（3）．【解答】解：原式．答：原式．过关检测1．利用因式分解计算：（1）（2）（3）．【解答】解：（1）原式（2）原式；（3）原式．例11．（1）已知，，为的三边，且满足，试判定的形状．【解答】解：，，，，得：或，即为直角三角形或等腰三角形．

（2）若的三边长分别为，，．满足条件，则判断的形状．【解答】解：，，，，，，，，，，是直角三角形．过关检测1．已知，，是的三边，且满足，则的形状是等腰三角形．【解答】解：，，因式分解得：，，，是的三边，，，，是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．2．已知、、是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状．【解答】解：且即，故该三角形是等边三角形．例12．（1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，