北京市西城区2024届十校联考最后数学试题含解析

北京市西城区北京师范大附属中学2024届十校联考最后数学试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，将一副三角板如此摆放，使得3。和CD平行，则NAOO的度数为（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

2,若2V&—2V3,则a的值可以是（)

1613

A.-7B.c.—D.12

T2

3.以x为自变量的二次函数y=x2-2（b-2）x+b2-1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）

A.b>1.25B.b>l或bW-1C.b>2D.l<b<2

4.如图，在△ABC中，AB=AC=3,BC=4,AE平分/BAC交BC于点E,点D为AB的中点，连接DE,贝!BDE

的周长是（）

5.如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将AADE沿AE折叠至△AD'E处，AD，与CE交于点F,若

NB=52。，ZDAE=20°,则NFED，的度数为（）

6.一组数据8,3,8,6,7,8,7的众数和中位数分别是（)

A.8,6B.7,6C.7,8D.8,7

7.如图，直线a〃b,一块含60。角的直角三角板ABC（NA=60。）按如图所示放置.若Nl=55。，则N2的度数为（）

C.115°D.120°

8.下列四个多项式，能因式分解的是（）

A.a—1B./+i

C.x2~4yD.x2—6x+9

9.下列计算正确的是（）

A.后B.（-a2）3=a6C.百—亚=1D.6a2x2a=12a3

10.如图，已知N1=N2,要使AABD丝Z\ACD,需从下列条件中增加一个，错误的选法是（）

A.ZADB=ZADCB.ZB=ZCC.AB=ACD.DB=DC

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3h,若静水时船速为26km/h,水速为2km/h,则A

港和B港相距_____km.

12.如图的三角形纸片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿过点3的直线折叠这个三角形，使点。落在A5边

上的点E处，折痕为BD,则AADE的周长为.

13.计算：673-07=

AD2

14.如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB和AC上，且一=一,DE〃BC,设OB=b、OC=C>

AB5

那么DE（用Z?、c表示）.

15.据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学计数法表示，可记

为.

16.因式分解：a2（a-Z?）-4（a-Z?）=__.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）先化简,再求值：1+工+（1-v）,其中x=2cos30°+tan45°.

x2-JX+1

18.（8分）某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之

后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率.

19.（8分）雅安地震，某地驻军对道路进行清理.该地驻军在清理道路的工程中出色完成了任务.这是记者与驻军工

程指挥部的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的道路清理任务的？

指挥部：我们清理600米后，采用新的清理方式，这样每天清理长度是原来的2倍.

通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天清理道路的米数.

20.（8分）某校在一次大课间活动中，采用了四钟活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏.全校学生都

选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的

统计图.

请结合统计图，回答下列问题：

⑴这次调查中，一共调查了多少名学生？

⑵求出扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数，并补全条形图；

⑶若该校有2000名学生，请估计选择“A：跑步”的学生约有多少人？

21.（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线,

两直线相交于点E.求证：四边形OCED是矩形；若CE=1,DE=2,ABCD的面积是.

22.（10分）如图，6x6网格的每个小正方形边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.已知和a△MG

的顶点都在格点上，线段A片的中点为。.

（1）以点。为旋转中心，分别画出把BBC顺时针旋转90。，180。后的△g与G，AB2AC3；

（2）利用（1）变换后所形成的图案，解答下列问题：

①直接写出四边形CCQ2G，四边形ABB]B?的形状；

q

②直接写出四边形ABB向的值;

,四边形CGC2c3

③设的三边5C=a,AC=b,AB=c,请证明勾股定理.

23.（12分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD,连接BE、CF并延长，交于点G,GB=GC.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

(1)若AGEF的面积为1.

①求四边形BCFE的面积；

②四边形ABCD的面积为

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解题分析】

根据题意可知，NAOB=NABO=45。，ZDOC=30°,再根据平行线的性质即可解答

【题目详解】

根据题意可知NAOB=NABO=45。，ZDOC=30°

VBO/7CD

/.ZBOC=ZDCO=90°

.,.ZAOD=ZBOC-ZAOB-ZDOC=90o-45o-30o=15°

故选B

【题目点拨】

此题考查三角形内角和，平行线的性质，解题关键在于利用平行线的性质得到角相等

2、C

【解题分析】

根据已知条件得到4<a-2V9,由此求得a的取值范围，易得符合条件的选项.

【题目详解】

解：・・・2V力―2<3,

.\4<a-2<9,

A6<a<l.

又a-2>0,即a>2.

Aa的取值范围是6<a<l.

观察选项，只有选项C符合题意.

故选C.

【题目点拨】

考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用夹逼法.

3、A

【解题分析】

•••二次函数7=好一23—2)x+加一1的图象不经过第三象限，。=1>0,...AWO或抛物线与x轴的交点的横坐标均大于

等于0.

当AWO时，[-2(6-2)]2-4(62-1)<0,

解得b>1

当抛物线与X轴的交点的横坐标均大于等于0时，

设抛物线与X轴的交点的横坐标分别为XI,X2,

则/+刈=23—2)>0,J=[-2(Z>-2)]2-4(Z>2-1)>0,无解，

,此种情况不存在.

•-4

4、C

【解题分析】

根据等腰三角形的性质可得BE=1BC=2,再根据三角形中位线定理可求得BD、DE长，根据三角形周长公式即可求

得答案.

【题目详解】

解：•在AABC中，AB=AC=3,AE平分NBAC,

1

/.BE=CE=-BC=2,

2

又是AB中点，

13

，BD=-AB=-,

22

ADE是小ABC的中位线，

13

.\DE=-AC=-,

22

33

/.ABDE的周长为BD+DE+BE=-+-+2=5，

22

故选C.

【题目点拨】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.

5、B

【解题分析】

由平行四边形的性质得出NO=N3=52。，由折叠的性质得：ZD'=ZD=52°,ZEAD'=ZDAE=20°,由三角形的外角性

质求出NAE歹=72。，与三角形内角和定理求出NAEZT=108。，即可得出NbEZT的大小.

【题目详解】

四边形ABCD是平行四边形，

ZD=ZB=52°,

由折叠的性质得：ZD'=ZD^52°,ZEAD'=ZDAE=2Q°,

ZAEF=ZD+ZDAE=520+20°=72°,ZAED'=i800-ZEAD'-NZ>'=108°,

:.ZFED'=108°-72°=36°.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质

和折叠的性质，求出NAEF和NAEZT是解决问题的关键.

6、D

【解题分析】

试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.把这组数据从小到大排列：3,6,7,7,8,8,8,

8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7,则这组数据的中位数是7

考点：（1）众数；（2）中位数.

7、C

【解题分析】

如图，首先证明NAMO=N2,然后运用对顶角的性质求出NANM=55。；借助三角形外角的性质求出NAMO即可解决

问题.

【题目详解】

如图，对图形进行点标注.

1•直线a〃b,

/.ZAMO=Z2；

VZANM=Zl,而Nl=55°,

/.ZANM=55°,

.*.N2=NAMO=NA+NANM=600+55°=115°,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

8、D

【解题分析】

试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可.

试题解析：x2-6x+9=(x-3)2.

故选D.

考点：2.因式分解-运用公式法；2.因式分解-提公因式法.

9、D

【解题分析】

根据平方根的运算法则和事的运算法则进行计算，选出正确答案.

【题目详解】

=|a|>A选项错误；(-a?)3=-a3B错误；g-a=3-般,C错误；.6a2x2a=12a3,D正确；故选：D.

【题目点拨】

本题考查学生对平方根及易运算的能力的考查，熟练掌握平方根运算和易运算法则是解答本题的关键.

10、D

【解题分析】

由全等三角形的判定方法ASA证出△ABDg4ACD,得出A正确；由全等三角形的判定方法AAS证出

△ABD^AACD,得出B正确；由全等三角形的判定方法SAS证出△ABD丝AACD,得出C正确.由全等三角形的

判定方法得出D不正确；

【题目详解】

A正确；理由：

在4ABDfllAACD中，

VZ1=Z2,AD=AD,NADB=NADC,

/.△ABD^AACD(ASA)；

B正确；理由：

在小ABD^DAACD中，

VZ1=Z2,NB=NC,AD=AD

/.△ABD^AACD(AAS)；

C正确；理由：

在AABD^AACD中，

VAB=AC,Z1=Z2,AD=AD,

/.△ABD^AACD(SAS)；

D不正确，由这些条件不能判定三角形全等；

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的

关键.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1.

【解题分析】

根据逆流速度=静水速度-水流速度，顺流速度=静水速度+水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程,

求出方程的解问题可解.

【题目详解】

解：设A港与B港相距xkm,

根据题意得：

Xx

+3=

26+226-2

解得：x=l,

则A港与B港相距1km.

故答案为：L

【题目点拨】

此题考查了分式方程的应用题，解答关键是在顺流、逆流过程中找出等量关系构造方程.

12、7cm

【解题分析】

由折叠的性质，可知：BE=BC,DE=DC,通过等量代换，即可得到答案.

【题目详解】

•.•沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为BD，

/.BE=BC,DE=DC,

/.AADE的周长=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=AB+BC+AC-BC-BE=8+6+5-6-6=7cm,

故答案是：7cm

【题目点拨】

本题主要考查折叠的性质，根据三角形的周长定义，进行等量代换是解题的关键.

13、373

【解题分析】

按照二次根式的运算法则进行运算即可.

【题目详解】

673-727=6A/3-3^=3A/3

【题目点拨】

本题考查的知识点是二次根式的运算，解题关键是注意化简算式.

22

14、——b+—C

55

【解题分析】

Ar)2

根据丁=M，DE〃BC,结合平行线分线段成比例来求DE.

AB5

【题目详解】

AD2,,

-----=—,DE〃BC,

AB5

AE2

/.—=-,

AC5

.AEDE_2

"AC"BC"5"

•：OB=b，OC=C

：•BC=OC-OB=C-Z>

,\DE=-(C-&).

5

2

故答案为：DE=-(C-Z^).

【题目点拨】

本题考查的知识点是平面向量，解题的关键是熟练的掌握平面向量.

15、3.86X108

【解题分析】

根据科学记数法的表示(axlOl其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少

位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值21时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数)形式

可得：

3.86亿=386000000=3.86x108.

故答案是：3.86X108.

16、(a+2)(a—2)

【解题分析】

分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可.

详解：a2(a-b)-4(a-b)

=(a-b)(a2-4)

=(a-b)(a-2)(a+2),

故答案为：(a-b)(a-2)(a+2).

点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、3+/

3

【解题分析】

先化简分式，再计算X的值，最后把X的值代入化简后的分式，计算出结果.

【题目详解】

原式"JIX,U

1(X+l)(x-1)x+1

=1+XX+J

G+i)(x・〃*x

=1+J_

X-1

当x=2cos300+tan45°

=2XA/3+1

2

=4+1时.

N=币+1g

口丁=1+H

【题目点拨】

本题主要考查了分式的加减及锐角三角函数值.解决本题的关键是掌握分式的运算法则和运算顺序.

18、25%

【解题分析】

首先设这两年中获奖人次的平均年增长率为x,则可得八年级的获奖人数为48(1+*),九年级的获奖人数为48(l+x)2；

故根据题意可得48(1+X)2=183,即可求得x的值，即可求解本题.

【题目详解】

设这两年中获奖人次的平均年增长率为X,

根据题意得：48+48(1+x)+48(1+x)2=183,

..113

解得：xi=—=25%,X2=------(不符合题意，舍去).

44

答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为25%

19、1米.

【解题分析】

试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，然后解分式方程，即可得到结论.

试题解析：解：设原来每天清理道路x米，根据题意得：

6004800-600

----+--------------=9n

x2x

解得，x=l.

检验：当x=l时，2*加，.*.x=l是原方程的解.

答：该地驻军原来每天清理道路1米.

点睛：本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确分式方程的解答方法，注意分式方程要验根.

20、（1）一共调查了300名学生；（2）36。，补图见解析；（3）估计选择“A：跑步”的学生约有800人.

【解题分析】

（1）由跑步的学生数除以占的百分比求出调查学生总数即可；

（2）求出跳绳学生占的百分比，乘以360。求出占的圆心角度数，补全条形统计图即可；

（3）利用跑步占的百分比，乘以2000即可得到结果.

【题目详解】

⑴根据题意得：1204-40%=300（名），

则一共调查了300名学生；

⑵根据题意得：跳绳学生数为300-（120+60+90）=30（名），

30

则扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数为360°x—=36°,

⑶根据题意得：2000x40%=800（人），

则估计选择“A：跑步”的学生约有800人.

【题目点拨】

此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键.

21、（1）证明见解析；（2）1.

【解题分析】

【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可;

（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答.

【题目详解】（1）•••四边形ABCD是菱形，

/.AC1BD,

.•.ZCOD=90°.

VCE/7OD,DE/7OC,

二四边形OCED是平行四边形,

又NCOD=90°,

.••平行四边形OCED是矩形；

(2)由(1)知，平行四边形OCED是矩形，贝!|CE=OD=1,DE=OC=2.

•••四边形ABCD是菱形，

/.AC=2OC=1,BD=2OD=2,

，菱形ABCD的面积为：-AC«BD=-xlx2=l,

22

故答案为L

【题目点拨】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.

22、(1)见解析；(2)①正方形；②g；③见解析.

【解题分析】

(1)根据旋转作图的方法进行作图即可；

(2)①根据旋转的性质可证AC=BC产BIC2=B2c3,从而证出四边形CGC2c3是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是

正方形即可作出判断，同理可判断四边形ABB1B2是正方形；

②根据相似图形的面积之比等相似比的平方即可得到结果；

③用两种不同的方法计算大正方形的面积化简即可得到勾股定理.

【题目详解】

VAABC^ABBiCi,

:.AC=BC1,BC==B1C1,AB=BB1.

再根据旋转的性质可得：BC产B1C2=B2c3,

B2c产B2c2=AC3,

BBI=BIB2=AB2.

.*.CCI=CIC2=C2C3=CC3

AB=BBI=BIB2=AB2

四边形CGC2c3和四边形ABB1B2是菱形.

,.,ZC=ZABBj=90°,

二四边形CGC2c3和四边形ABB1B2是正方形.

②,:四边形CCiC2c3和四边形ABB1B2是正方形,

二四边形CGC2c3s四边形ABBIB2.

AB,

口四边形cqc2G

VAB=Vw,CCi=3后,

.S四边形.瓦斗、/10、_5

S四边形cqc2G469

22O7

③四边形CC1C2c3的面积==（a+。）=a+2ab+b，

四边形CC1C2c3的面积=4AABC的面积+四边形ABB1B2的面积

122

=4x—ab+=2ab+Q

A（2+2ab+lj=2ab+（j2,

化简得：a+b2=c-

【题目点拨】

本题考查了旋转作图和旋转的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键.

23、（1）证明见解析；（1）①16；②14；

【解题分析】

⑴根据平行四边形的性质得到AD〃BC,AB=DC,AB〃CD于是得到BE=CF,根据全等三角形的性质得到NA=ND,

根据平行线的性质得到NA+ND=180。，由矩形的判定定理即可得到结论；

SEF