南宁二中、柳州高中高三第二次调研新高考数学试卷及答案解析

南宁二中、柳州高中高三第二次调研新高考数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40 B．-20 C．20 D．402．已知三棱柱()A． B． C． D．3．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．4．的展开式中的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．305．设、，数列满足，，，则（）A．对于任意，都存在实数，使得恒成立B．对于任意，都存在实数，使得恒成立C．对于任意，都存在实数，使得恒成立D．对于任意，都存在实数，使得恒成立6．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于()A． B． C． D．07．已知直线，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．9．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．10．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．11．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是A．10 B．9 C．8 D．712．若为纯虚数，则z＝（）A． B．6i C． D．20二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为____.14．若、满足约束条件，则的最小值为______.15．下图是一个算法流程图,则输出的的值为__________．16．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．（1）当直线的倾斜角为时，求线段AB的中点的横坐标；（2）设点A关于轴的对称点为C，求证：M，B，C三点共线；（3）设过点M的直线交椭圆于两点，若椭圆上存在点P，使得（其中O为坐标原点），求实数的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，将曲线（为参数）通过伸缩变换，得到曲线，设直线（为参数)与曲线相交于不同两点，.（1）若，求线段的中点的坐标；（2）设点，若，求直线的斜率.19．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．20．（12分）已知函数f(x)=ex-x2-kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数k的取值范围；（2）证明：f(x)的极大值不小于1．21．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.（1）求的值及该圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.22．（10分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项==-40+80=402、C【解析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝3、D【解析】

构造函数，利用导数求得的单调区间，由此判断出的大小关系.【详解】依题意，得，，.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以，且，即，所以.故选：D.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.4、C【解析】

由知，展开式中项有两项，一项是中的项，另一项是与中含x的项乘积构成.【详解】由已知，，因为展开式的通项为，所以展开式中的系数为.故选：C.【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.5、D【解析】

取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.【详解】取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，因为当时，数列单调递增，则；当时，数列单调递减，则；所以要使，只需要，故，化简得且.故选：D．【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．6、B【解析】

根据复数除法的运算法则，即可求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.7、C【解析】

先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.【详解】直线，，的充要条件是，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．8、A【解析】

求出集合，然后进行并集的运算即可.【详解】∵，，∴.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.9、A【解析】

根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减时，单调递增又且，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.10、D【解析】

求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.【详解】的定义域为，，当时，，故在单调递减；不妨设，而，知在单调递减，从而对任意、，恒有，即，，，令，则，原不等式等价于在单调递减，即，从而，因为，所以实数a的取值范围是故选：D.【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.11、B【解析】

根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【详解】由抛物线标准方程可知p=2因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知所以因为为线段长度，都大于0，由基本不等式可知，此时所以选B【点睛】本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题．12、C【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.【详解】∵为纯虚数，∴且得，此时故选：C.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、28【解析】

将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.【详解】，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，展开式中的系数为故答案为：28.【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.14、【解析】

作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，解得，即点，平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故答案为：.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题.15、3【解析】

分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论.【详解】解:初始,第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;经判断,此时跳出循环,输出.故答案为:【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题的关键是对算法语句的理解,属基础题.16、【解析】

由三角函数图象相位变换后表达函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式，进而由三角函数值域求得最大值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则所以，当函数最大，最大值为故答案为：【点睛】本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)AB的中点的横坐标为；（2）证明见解析；（3）【解析】

设.（1）因为直线的倾斜角为，，所以直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理，得，则，故线段AB的中点的横坐标为．（2）根据题意得点，若直线AB的斜率为0，则直线AB的方程为，A、C两点重合，显然M，B，C三点共线；若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，联立方程组，消去并整理得，则，设直线BM、CM的斜率分别为、，则，即=，即M，B，C三点共线．（3）根据题意，得直线GH的斜率存在，设该直线的方程为，设，联立方程组，消去并整理，得，由，整理得，又，所以，结合，得，当时，该直线为轴，即，此时椭圆上任意一点P都满足，此时符合题意；当时，由，得，代入椭圆C的方程，得，整理，得，再结合，得到，即，综上，得到实数的取值范围是．18、（1）；（2）.【解析】

（1）由l参数方程与椭圆方程联立可得A、B两点参数和，再利用M点的参数为A、B两点参数和的一半即可求M的坐标；（2）利用直线参数方程的几何意义得到，再利用计算即可，但要注意判别式还要大于0.【详解】（1）由已知，曲线的参数方程为（为参数），其普通方程为，当时，将（为参数）代入得，设直线l上A、B两点所对应的参数为，中点M所对应的参数为，则，所以的坐标为；（2）将代入得，则，因为即，所以，故，由得，所以.【点睛】本题考查了伸缩变换、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程的几何意义等知识，考查学生的计算能力，是一道中档题.19、（1）（2）【解析】

(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出，得到，所以，代入韦达定理即可求解.【详解】（1）设，，则，设，由得．又由于，化简得的轨迹的方程为．（2）设直线的方程为，与的方程联立，消去得，，设，，则，，由已知，，则，故直线．，令，则，由于，，．所以，的取值范围为．【点睛】此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.20、（1）；（2）见解析【解析】

（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果；（2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可.【详解】（1），由，记，，由，且时，，单调递减，，时，，单调递增，，由题意，方程有两个不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为，记，则，因为，所以，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即函数的极大值不小于1.解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为，因为，，所以.即函数的极大值不小于1.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.21、（1），圆的方程为：.（2）答案见解析【解析】

（1）根据题意，可知点的坐标为，即可求出的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，与抛物线联立方程组，根据，求得，化简解得，进而求得点的坐标为，分别求出，，利用向量的数量积为0，即可证出.【详解】解：（1）易知点的坐标为，所以，解得.又圆的圆心为，所以圆的方程为.（2