24.1.4 圆周角（第1课时） 教学设计

24.1.4圆周角（第1课时）教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用在学习了圆的基本概念、性质以及圆心角概念、性质等相关知识的基础上，本节学习圆周角的概念及其圆周角定理。圆周角与圆心角的关系在圆的有关证明、计算中应用比较广泛。圆周角内容既是前面所学知识的延续，又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带。概念解析圆周角指的顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角。因此圆周角的两个的特征：（1）顶点在圆周上；（2）角的两边与圆相交。这就意味着角的边与圆有除顶点外的还有另外一个交点。同时圆周角与同弧所的圆心角之间存在不变的数量关系，这种数量关系能够深刻反映与圆有关的几类特殊的角之间的相互联系。思想方法通过对同一圆弧所对的圆周角进行分类讨论、探究证明，体会到特殊到一般思想、转化与化归数学思想。圆周角定理的“探索——证明”过程能培养学生几何学习中严谨的思维品质，同时让学生掌握从特殊到一般、分类讨论的等思维方法。圆周角知识揭示了几何领域中“位置关系与数量关系”的辩证统一，蕴含着“变中不变”的思想，即在变化过程中把握不变的规律（位置变化、结论不变）。知识类型圆周角的概念属于概念性知识，圆周角定理是关于原理与规则的知识。由知识类型所决定，教学中要突出圆周角定理的发现与证明过程。教学重点本节课的教学重点是圆周角的概念和圆周角定理的发现与证明。教学目标解析教学目标：1．理解圆周角的概念；2．理解并证明圆周角定理；3．能运用圆周角定理进行简单的证明和计算。目标解析：达成目标1的标志是能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；达成目标2的标志是能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，并能证明一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；达成目标3的标志是能在具体问题中运用圆周角定理进行简单的证明和计算。教学问题诊断分析具备的基础学生已经学习了“圆心角”等概念知识，学生对于圆的相关内容有一定的了解，对探究具体的几何图形的性质与判定已具备了一定的思维经验。与本课目标的差距分析由于一条固定的弧所对的圆周角有无限多个，如何让学生将“无限个”转化成“有限个”来研究，这种理解的难度较高。存在的问题：对圆周角定理的证明要对所有情况进行分类，对每类加以讨论，再概括得出一般结论。这种分情况证明命题的方法学生还不熟悉。同时，先证明分类中最为特殊情况的正确性，再将其它较为复杂的情况转化这种特殊情形加以解决，这种从特殊到一般的数学思想方法对于学生而言也具有相当的难度。应对策略：教学时要注重在直观认识圆周角的基础上进行归纳，要关注将弧的度数向圆心角、圆周角迁移，将弧与之所对的圆心角、圆周角作多维联系、多向思考。通过动手、观察、类比、猜想、合作交流等方式，加强直观感知的过程。适当借助信息技术，动态地展示圆周角的数量关系与位置关系，帮助学生更好地理解。教学难点本节课的教学难点：圆周角定理的探究与证明。教学支持条件分析探索圆周角定理时，为了将抽象问题直观化，可以利用几何画板的动画功能，让学生通过一个圆周角的顶点在圆上旋转，发现与另一个圆周角之间的关系，让两上知识的产生非常自然；再利用动画功能，将圆周角所对的弦特殊化（经过圆心），让学生观察发现此时圆周角的特殊性。教学过程设计课前检测1．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧2．如图，在⊙O中，若点C是劣弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=（）A．40°B．45°C．50°D．60°3．如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠AEO的度数是__________．设计意图：检查学生对圆心角概念和性质的掌握程度，如果学生对于第1题做得不好，则需要复习圆和等弧的概念；如果学生对于第2、3题做得不好，则需要回顾圆心角的概念和性质定理。课堂引入问题1上节课，我们研究了“圆心角”，下面请同学们在下图中画出一个圆心角。根据画出的说出“圆心角”的概念，并说明“圆心角”的性质?问题2现在将图中的圆心角∠AOB的顶点O移到圆周上，点A、B不变，此时记这个角为∠ACB，则∠ACB有什么特征?师生活动设计：学生画图、回答、交流，教师评价。设计意图：通过画图，复习圆心角的概念，并回忆“圆心角”的性质，为下面研究“圆周角”的概念与性质作铺垫。让学生通过观察图形，得到这个角有“顶点在圆周上”和“角的两边都和圆相交”这两个特点。问题3：如果我们把“像上图中的∠ACB”这样的角叫“圆周角”，那么你能给“圆周角”下个定义吗?(圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。)追问：根据圆心角的学习过程，我们将从哪几个方面来研究“圆周角”?师生活动设计：教师引导学生思考问题，学生回答问题并交流。设计意图：让学生根据图形特征，说出“圆周角”的概念，培养学生的归纳能力和语言表述能力。追问则进一步强化研究几何问题的“定义——判定——性质——应用”研究过程。问题4对的，我们还要继续研究圆周角的判定条件、性质和应用。那么如何判定一个角是圆周角呢?下面这些角是圆周角吗？师生活动设计：教师要启发引导学生利用“定义法”判定圆周角。设计意图：让学生想到用“定义法”作出判定，这是对图形作判定的通法。测评1找出图中的所有圆周角______________.设计意图：检测目标（1）是否达成．若测评不合格，则回到圆周角概念教学环节。合作探究问题5：下面，我们来探究一下圆周角的性质。一条弧所对的圆周角有多少个?请你在图中画图并尝试。这个问题与上节课学习的一条弧所对的圆心角有什么不同?追问1：同一条弧上的无数个圆周角，你认为可以用什么思想方法来研究?追问2：同一条弧上的圆周角可分成几种情况?用什么分类标准对同一圆弧所对的圆周角进行分类?设计意图：通过画图、观察，感受一条弧所对的圆周角有无数个，而一条弧所对的圆心角只有一个，并产生认知冲突，为下面将“无限型”问题转化成“有限型”来研究作铺垫。让学生感悟当研究对象的数量为无数个时，一般可以运用分类的方法来研究问题，从而让学生用类比的思维方式得到要研究这无数个圆周角的性质，就必须用分类的思想方法。问题6：如何研究这三类圆周角的性质?在分类讨论基础上，以情形1为例进行具体研究。情形1：圆心O在∠BCA的一边上（特殊情形）针对情形2、3，引导学生发现通过添加辅助线CD，可以将问题转化为情形1的基本图形，从而让学生体验转化的数学思想。情形2：圆心O在∠BCA的内部情形3：圆心O在∠BCA的外部证明完毕后，小结得到分类讨论问题的一般步骤，以及圆中的常见辅助线添加方法。追问：从对上述关于圆周角的三类问题的解决中，你可得到什么结论?圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半。设计意图：要研究这三类圆周角的性质，就可以先从最为特殊的“圆心在圆周角的一边上”这个问题开始，然后再去研究其他两种情况，即运用“从特殊到一般”的方法来解决问题。追问的目的是让学生明晰研究路径，小结探究结论和解决问题的探索经验，为后续学习提供学习经验。巩固练习1.如图1，A、B、C是圆上的点，且∠C=70°，则∠AOB=__________，∠OAB=__________．2.如图2，A、B、C、D是圆上的点，∠BPD=70°，∠A=40°，则∠D=__________．问题：圆周角定理联系的是哪两类角？在圆中求角的大小，一般可以从哪几个角度切入？回答：根据同一圆弧联系圆心角和圆周角。可以从圆心角（圆周角）——弧——圆周角（圆心角）进行研究。师生活动设计：学生回答问题并交流，教师反馈、小结。设计意图：通过练习，让学生体会在解决与圆有关的问题时，要牢牢抓住圆中出现的弧，找到同弧所对的圆周角或圆心角，再利用它们之间的关系解决问题。测评2在圆O中，弦AB所对圆心角度数为40°.其中点C在圆上，则∠ACB的度数为__________.设计意图：检测目标（2）是否达成.若测评不合格，则讲解测评2，完成后再测（测评3）.测评3在圆O中，C是弧AB上的一点，∠AOB=n°，求∠ACB的度数.测评4如图，在圆O中，∠AOC=140°，∠ACB=50°，求∠BAC的度数.设计意图：检测目标（1）（3）是否完成.若测评不合格，则讲解测评4，完成后再测（测评5）测评5已知：如图，CD，AB是圆O的两条弦，且弧AD=弧BC.求证CD∥AB.课堂小结问题1本节课学习了那些新知识？问题2我们是怎么探索并证明圆周角定理的？问题3圆周角定理的探索与证明过程体现了哪些数学思想方法？师生活动设计：师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题。设计意图：梳理本节课学习的内容、方法、思路，养成系统整理知识的良好习惯，加强学习反思，进一步提高学习效果。目标检测设计1．下列说法正确的是（）A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半2．如图，在⊙O中，∠BOC=50，则∠BAC=()A.50°B.25°C.30°D.65°3．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）A．相等B．互补C．相等或互补D．都不对4．如图，AB和CD都是⊙O的