云南省楚雄州姚安县一中高三下学期一模考试新高考数学试题及答案解析

云南省楚雄州姚安县一中高三下学期一模考试新高考数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若单位向量，夹角为，，且，则实数（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－12．如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足，则等于（）A．2 B． C． D．3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（）A． B． C． D．4．关于函数有下述四个结论：（）①是偶函数；②在区间上是单调递增函数；③在上的最大值为2；④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④5．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为()A． B．0 C． D．6．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．7．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（）A． B． C． D．8．已知集合，则为（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]9．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．复数在复平面内对应的点为则（）A． B． C． D．11．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________.14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝OC，则△ABC面积的最大值为_______．15．的展开式中的系数为____.16．的展开式中的系数为__________（用具体数据作答）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.18．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．19．（12分）已知等比数列中，，是和的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.21．（12分）三棱柱中，平面平面，，点为棱的中点，点为线段上的动点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的正切值.22．（10分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为其中，为参数，为常数．（1）写出与的直角坐标方程；（2）在什么范围内取值时，与有交点．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求得实数的值.【详解】由于，所以，即，，即，解得或.故选：D【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.2、D【解析】

选取为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．【详解】由题意是的重心，，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．3、C【解析】

利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因为，所以，从而，故④正确.故选：C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.4、C【解析】

根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.【详解】的定义域为.由于，所以为偶函数，故①正确.由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误.当时，，且存在，使.所以当时，；由于为偶函数，所以时，所以的最大值为，所以③错误.依题意，，当时，，所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.综上所述，正确的结论序号为①④.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5、D【解析】

运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的对称轴的方程为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，，所以，当时，的最小值，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6、A【解析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.7、C【解析】

在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.，又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..，注意到故的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.8、B【解析】

先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，所以，则，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.9、B【解析】

或，从而明确充分性与必要性.【详解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.10、B【解析】

求得复数，结合复数除法运算，求得的值.【详解】易知，则.故选：B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.11、B【解析】

根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.【详解】由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示复数对应的点与点间的距离，又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，所以.故选：B【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.12、C【解析】

如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示：切点为，连接，作轴于，，故，在中，，故，故，，根据勾股定理：，解得.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【详解】设抽取的样本容量为x，由已知，，解得.故答案为：【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题.14、【解析】

先根据点共线得到，从而得到O的轨迹为阿氏圆，结合三角形和三角形的面积关系可求.【详解】设B，O，E共线，则，解得，从而O为CD中点，故.在△BOD中，BD＝2，，易知O的轨迹为阿氏圆，其半径，故．故答案为：.【点睛】本题主要考查三角形的面积问题，把所求面积进行转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15、28【解析】

将已知式转化为，则的展开式中的系数中的系数，根据二项式展开式可求得其值.【详解】，所以的展开式中的系数就是中的系数，而中的系数为，展开式中的系数为故答案为：28.【点睛】本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幂的形式转化为可求的二项式的形式，属于基础题.16、【解析】

利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为，令，故，故的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2).【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18、（Ⅰ）,曲线（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）消去参数可得直线的直角坐标系方程，由可得曲线的直角坐标方程；（2）将（为参数）代入曲线的方程得：，，利用韦达定理求解即可.试题解析：（1），曲线，（2）将（为参数）代入曲线的方程得：.所以.所以.19、（1）（2）【解析】

（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（2）把（1）中求得的结果代入bn＝an•log2an，求出bn，利用错位相减法求出Tn．【详解】(1)设数列的公比为，由题意知：，∴，即.∴，即.(2)，∴.①.②①－②得∴.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题．20、（1）；（2）【解析】

（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用求得圆的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.【详解】（1）由题意得：，：因为曲线和相切，所以，即：；（2）设，所以所以当时，面积最大值为【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.21、（1）见解析；（2）【解析】

（1）可证面，从而可得.（2）可证点为线段的三等分点，再过作于，过作，垂足为，则为二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求.【详解】证明：（1）因为为中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，故，又因为，所以，则，又，故面，又面，所以.（2）由（1）可得：面在面内的射影为，则为直线与平面所成的角，即.因为，所以，所以，所以，即点为线段的三等分点.解法一：过作于，则平面，所以，过作，垂足为，则为二面角的平面角,因为，，，则在中，有，所以二面角的平面角的正切值为.解法二：以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点，由得：，即，，，点，平面的一个法向量，又，，设平面的一个法向量为，则，令，则平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，则，即，所以二面角的正切值为.【点睛