陕西省西安市某中学2023-2024学年高三年级下册三模文科数学试卷

2024年陕西省西安一中高考数学三模试卷(文科)

1.已知集合M={0,1},则N={1,2},则MUN=()

A.0B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1}

2.已知复数z=2i,则z的实部是()

A.2B.0C.-2iD.2z

3.已知向量N=(3,-1),b=(l,x),且El反那么x的值是()

1

A.-3B.3C.Dl

4.设86(0,》则sin。+cos。的一个可能值是()

A.2B.1C.jD4

5.下列函数中,在区间(0,+8)上单调递增且是奇函数的是()

A.y=y/-xB.y=x2C.y=\x\Dn.y=x——1

/X

6.已知平面向量,=(sina,C),b=fcoscr,1),若应Zb,则cos2a=()

A.—B.0CgD.

7.卜图是国家统计局7〃发布的2021年6JIM2022年6〃规模以上I：业原煤产量增速的

月度走势,其中2022年1-2月看作1个月,现有如下说法:

①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势：

②2021年6月至2022年6月,规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9：

③从这12个增速中随机抽取1个，增速超过10的概率为

则说法正确的个数为()

第1页，共12页

8.设函数f㈤=鹰了：J。久＜。则"-3)+f⑴等于()

1113

A.yB.yC.4D.10

9.在△ABC中，已知A=30°,C=30°,AB=10cm,则AC=()

A.20yJ~3cmB.10y/~3cmC.10yJ~2cmD.10cm

10.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个()

11.已知F/,6是椭圆各一的两个焦点，尸是椭圆上一点，则仍尸小匹1的最大值是()

25

A.—B.9C.16D.25

4

12.若方程a/一in%=0在〃,+到上有两个不同的根，则。的取值范围为()

I1

A.〃点)B.「8康C.(1.e)D.(-^,2)

13.已知点4(8,-。与圆C：x2+y2=25,P是圆C上任意一点，则|2P|的最小值是.

14.《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十

日，问共织布尺.

15.若函数/⑶)=x-aln比的图象在x=1处的切线斜率为3,贝！|a=.

16.已知正方体的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为16兀，则正方体的表面积为.

17.在△ABC中，a,b,c分别为内角/,B,C所对的边，若力=半a2=(c-b)2+4.

(〃求△ABC的面积;

⑵求a的最小值.

18.某校在某次考试后，为了解高二年级整体的数学成绩，对高二年级学生的数学成绩进行了抽样调查，抽

取了一个容量为50的样本，将调查数据整理成如下频率分布直方

图，分段区间为[140,150](阜位:分).

(〃求样本中低于120分的人数；

⑵用样本估计总体，以频率作为概率，在高二年级中随机抽取一

名同学的数学成绩，若不低于130分称为优秀，求该同学成绩优90100110120130140150成绩/分

第2页，共12页

秀的概率.

19.如图，在三棱柱ABC—A/B/的中，侧棱力4ABC,AB1BC,。为NC的中点，力4=AB=2,BC=3.

0求三棱柱ABC-4/B/C/的表面积；

⑵求证：4巳〃平面BC/D

20.已知椭圆C:，+£=l(a>b>。经过点(0,2),(<~6,C).

⑺求椭圆C的方程；

⑵若直线/：y=久一2交椭圆C于4,2两点，。是坐标原点，求AAOB的面积S.

21.已知曲线y=f(x)=-ax2+bx+1在点(0,〃牡)处的切线的斜率为3,且当x=3时，函数/㈤取得极

值.

⑺求函数在点(0,打3处的切线方程；

⑵求函数的极值；

⑸若存在％e〃/人使得不等式打幻―mw。成立，求优的取值范围.

22.平面直角坐标系xOy中，曲线的的参数方程为｛:二:黑。/为参数/以原点。为极点，X轴的正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为p=履盍4.

⑺求曲线的的普通方程和曲线Cz的直角坐标方程；

⑵已知点P1—/,0),记C/和。2交于/、8两点，求高+焉的值.

23.已知0：|2久一5|W3,q：x2—(2a-2)x+a2—2a<0.

(〃若。是真命题，求对应x的取值范围；

⑵若P是4的必要不充分条件，求。的取值范围.

第3页，共12页

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：•.・集合M=[0,〃，N={1,2},

则MUN=〃,〃U{1,2}={0,1,2}.

故选：C.

直接利用并集运算求解.

本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型.

2.【答案】B

【解析】解：由复数z=2i,得z的实部是0.

故选：B.

根据复数实部的定义即可得出答案.

本题考查了复数的运算性质，是基础题.

3.【答案】B

【解析】【分析】

利用向量垂直的性质直接求解.

本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用.

【解答】

解：•.•向量往=(3,—〃，~b=(1.x),且彼，反

­•~d-b=3—x=0,

解得x=3.

故选B.

4.【答案】D

【解析】解：因为sin8+cos8=Qsin(e+99E(0,^),

所以9+36%上，苧<sin/+力=/,所以/<Csin(8+少

故选：D.

根据题意得到sin。+cos。=Csine+从而得到1<V-2sin(0+力4即可得到答案.

本题主要考查了辅助角公式及正弦函数的性质的应用，属于基础题.

第4页，共12页

5.【答案】D

【解析】解：对于/,函数y=，子的定义域为/'。，+8),关于原点不对称,

故函数y=C为非奇非偶函数，故/不符题意；

对于3,函数y=/㈤=炉的定义域为凡

因为//-x)=x2=f(x),

所以函数y=必为偶函数，故8不符题意；

对于C,函数y="切=因的定义域为凡

因为"一切=|x|=f(x),

所以函数y=|x|为偶函数，故。不符题意；

1

对于D,函数y=f(x)=x-1的定义域为第H0},

1

因为/(一初=-x+-=-f(x),

所以函数/㈤为奇函数，

又因为函数y=x,y=—5在区间(0,+8)上都单调递增，

所以函数y=%-:在区间(0,+8)上单调递增,故D符合题意.

故选：D.

根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.

本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为方/仍，所以since=Icosa,即tana=

222

所以cos2a=cos2a—sin2a=cosa—sina1—tana1

sin2a+cos2atan2a+l3'

故选：A.

利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式求解.

本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意知,f(_3)+f(l)=log2a+3)+2=log2V+2=4.

故选：C.

运用分段函数求函数值,代入对应函数段的解析式即可.

本题主要考查函数的值,属于基础题.

第5页，共12页

9.【答案】B

【解析】解：因为4=30。，C=30°,AB=10cm,

所以B=180°-A-C=120°,

10x苧

所以由正弦定理当=与，可得AC=空哭=10/3.

s\nBsinesineI

2

故选：B.

由已知利用三角形的内角和定理可求2的值，进而根据正弦定理即可求解/C的值.

本题主要考查了三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，

从上面看为正方形，下面看是正方形，

并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，

故这个三视图是四棱台.

故选A

根据主视图、左视图、俯视图的形状，将它们相交得到几何体的形状.

本题考查几何体的三视图与直观图之间的相互转化.

11.【答案】D

【解析】解：由题意,\PF!\+\PF2\=10,

•••\PP1\+\PP2\>2JIPF/IPFzl，

•••10>2j|PF川当且仅当IPF/I=\PF2\=5时，等号成立，

•••|PF7|-|PF2|<25,

\PFj\•IPF2I的最大值是25.

故选：D.

利用椭圆的定义可得|PF/|+\PF2\=10,再利用基本不等式,即可求得|P尸小的最大值・

本题考查椭圆的定义，训练了利用基本不等式求最值，是基础题.

12.【答案】A

【解析】解：由题意可知，当时，a=譬有两根,

令9切=x>1,可得y=a与g(x)=翳,x>/的图象有两个不同交点,

则9'(x)==舞,%>I，

第6页，共12页

当工€(7,时，g/(x)>0,g㈤单调递增；

当久+时，g/(x)<0,g㈤单调递减，

所以当％=7"^时，g㈤取得极大值，也是最大值，为9"0=今

则自㈤的大致图象如图所示，

当汽t+8时，g(x)t0,所以Ovav瓦，

所以a的取值范围为(0,*).

故选：A.

由题意可知，当%>/时，a有两根，令g(x)=詈,％>1,根据函数有两个不同零点，可得y=a与g(x)=

久>/的图象有两个不同交点，对g(幻求导，判定其单调性，得出最值，画出大致图象，结合图象，即

可得出结果.

本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了转化思想和数形结合思想，属中档题.

13.【答案】5

【解析】解:点40,-。与圆C的圆心(0,0)的距离等于J(8-0)2+(-6-0)2=10,

故⑷P|的最小值是10减去半径5,等于5,

故答案为：5.

求出点4(8,-。与圆C的圆心(0,0的距离，用此距离减去半径即为所求.

本题考查点与圆的位置关系，圆外一点与圆上的点间的最小距离等于点与圆心的距离减去半径.

14.【答案】90

【解析】解：每日织布数可看作等差数列，其中％=5,a30=l,

故30天共织布S30==15x6=90尺.

故答案为：90.

每日织布数看作等差数列，利用等差数列求和公式计算出答案.

本题主要考查了等差数列的求和公式，属于基础题.

第7页，共12页

15.【答案】-2

【解析】解：由/与=x-almc,得/''⑴=/一7.

由题意可得，f(1)=1—^=3,得a=—2.

故答案为：-2

求出原函数的导函数，得到函数在久=/处的导数值，则答案可求.

本题考查导数的概念及其几何意义的应用，是基础题.

16.【答案】32

【解析】解：易知该球的直径即为正方体的体对角线，

设正方体的棱长为I,球的直径d=I2+I2+I2=

因为球的表面积为兀d?=/6兀，所以d=4=C/,1=竽，

所以正方体的表面积为612=32.

故答案为：32.

根据正方体外接球的直径为正方体的体对角线建立半径和棱长的方程，代入正方体表面积公式即可求解.

本题考查正方体的表面积的求法，考查运算求解能力，属基础题.

17.【答案】解：由余弦定理，a2=b2+c2-be,又a?=(c—bp+4

所以/+c?—be=(c—b)2+4,

整理可得儿=4,根据三角形的面积公式有，

1.173

SMBC=^besin力=x4x2=73.

⑵由⑺知6c=4,

根据基本不等式，a2=b2+c2~be>2bc-be=4,当b=c=2时取等号，

所以。的最小值是2.

【解析】勾利用余弦定理结合题干条件可推出儿=4,然后由三角形的面积公式求解；

⑵结合⑺中推出的条件和基本不等式进行求解.

本题考查了余弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，属于中档题.

18.【答案】解：⑺由频率分布直方图可知：

(2m+0.01+0.014+0.03+0.034)x10=1,

解得m=0.006,

则50X(0.006+0.01+0.03)x10=23,

第8页，共12页

样本中低于120分的人数为23.

⑵样本中不低于130分的人数为:

50x(0.014+0.006)X10=10,

•••该同学成绩优秀的概率为P=|§=0.2.

【解析】。根据各矩形面积之和为1,求出加的值，根据频数的计算能求出答案；

⑵求出不低于130分的人数，根据古典概型的概率公式能求出该同学成绩优秀的概率.

本题考查频率分布直方图、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

19.【答案】解：⑺因为侧棱44/，底面N3C,

所以三棱柱ABC-4/B/C/为直三棱柱，

所以侧面BCC/巳，BAAJBJ,C44/C/均为矩形，

因为力B1BC,

所以底面力声箱/均为直角三角形，

因为44/=4B=2,BC=3,

所以4C=VAB-+BC2=yj22+32=

所以三棱柱ABC-4/B/C/的表面积为留B+BC+AC)-AA1+2X^AB-BC

l1

=(2+3+y/73)x2+2X]X2x3

=76+2VT5;

⑵证明：连接B/C交BC/于点。，连接OD,

因为四边形BCC/B/为矩形，

所以。为8/C的中点，

因为。为/C的中点，

所以。DZ648/,

因为力B/C平面BC/D,ODu平面BC/D,

所以4B/〃平面BC/D,得证.

【解析】⑺分别求三棱柱每个面的面积相加即可；

⑵利用线面平行的判定定理证明即可.

本题考查了三棱柱表面积的求法以及线面平行的判定，考查了数形结合思想，属于中档题.

第9页，共12页

20.【答案】解：因为椭圆C.•胃+翕=〃a>6>0)经过点〃2>,

所以匕=2,

将点N7,，可的坐标代入方程1+9=1,

此时刍+,=/，

az4

解得a=2，7,

所以椭圆C的方程为圣+£=/;

0若直线/：y=x—2交椭圆。于4,5两点，

'y=x—2,

联立/产_，消去y并整理得/-3x=o,

fc+T=A

解得x=0,y=-2=3,y=1,

不妨设力(0,-2),B(3,l),

11

则S=右。4x3=x2x3=3.

【解析】。根据椭圆经过的两点可求a,b,即可求椭圆方程；

⑵联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.

本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力.

21.【答案】解：由题得：f/(x)=x2-2ax+b,

结合题意可得，'仞="=3,

[f,(3)=-6a+b+9=0

解得£经检验符合题意，

3=3

故/肉=呆3-2x2+3x+1,f(0)=1,

所以在点(0,"3处的切线方程为y=3x+l.

0由0知//㈤=/-4%+3.

令f'(x)>0,解得％>3或%<1,

令广(x)<0,解得/v%<3,

故/㈤在(-8,〃，(3,+8)上单调递增，在〃,3/上单调递减，

所以"初的极大值为7•⑺=P

/同的极小值为"3)=1；

第10页，共12页

⑸/㈤在〃,3/上有极大值，无极小值，

又因为"0=1,f(3)=1,所以f㈤min=1，

所以要使不等式/切-m<0能成立，则/切minsm.

所以m>1,

故m取值范围是〃,+8).

【解析】0利用题中条件解出a,b的值，即可求解；0利用导数考查函数的单调性，求出极值点，进一步

计算即可；印求出函数"到的最小值即可.

本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于中档题.

22.【答案】解：⑺曲线的的参数方程