华师大中考数学总复习教案集一元一次不等式(组) 一元二次方程

第11课时一元一次不等式（组）一、知识导航图二、中考课标要求考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用一元一次不等式组理解并掌握不等式的性质，理解它们与等式性质的区别∨∨∨能用数形结合的思想理解一元一次不等式(组)解集的含义∨∨∨正确熟练地解一元一次不等式(组)，并会求其特殊解∨∨能用转化思想、数形结合的思想解一元一次不等式(组)的综合题、应用题∨∨∨三、中考知识梳理1.判断不等式是否成立判断不等式是否成立,关键是分析判定不等号的变化,变化的依据是不等式的性质,特别注意的是,不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,要改变不等号方向;反之,若不等式的不等号方向发生改变,则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数.因此,在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时,要认真观察不等式的形式与不等号方向.2.解一元一次不等式(组)解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应注意的是,不等式两边所乘以(或除以)的数的正负,并根据不同情况灵活运用其性质,不等式组解集的确定方法:若a<b,则有:(1)的解集是x<a,即“小小取小”.(2)的解集是x>b,即“大大取大”.(3)的解集是a<x<b,即“大小小大取中间”.(4)的解集是空集,即“大大小小取不了”.一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系，解决综合性问题。3.求不等式(组)的特殊解不等式(组)的解往往是有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解、非负整数解,要求这些特殊解,首先是确定不等式(组)的解集,然后再找到相应的答案.注意应用数形结合思想.4.列不等式(组)解应用题注意分析题目中的不等量关系,考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题.四、中考题型例析1．判断不等式是否成立例1(2004·陕西)如图,若数轴的两点A、B表示的数分别为a、b,则下列结论正确的是()A.b-a>0B.a-b>0C.2a+b>0D.a+b>0分析:首先由A、B两点在数轴上的位置分析出a、b的符号和绝对值的大小关系,再根据有理数法则进行选择.解:由点A、B在数轴上的位置可知:a<0,b>0,│a│>│b│.∴b>0,-a>0.∴b-a>0.故选A.答案:A2．在数轴上表示不等式的解集例2(2004·广州)不等式组的解集在数轴上应表示为()解析:在数轴上表示x<2的范围应不包括2向左,而x≥是包括向右,故选B.答案:B.3．求字母的取值范围例3(2004·重庆)如果关于x的不等式(a-1)x<a+5和2x<4的解集相同,则a的值为_____________.分析:2x<4的解集是x<2,故不等式(a-1)x<a+5的解集也是x<2,所以a-1>0,且=2,故解得a=7,因此答案填7.答案:7.4．解不等式组①②例4解不等式组①②分析:根据解不等式的步骤,先求两个不等式的解集,然后再取其公共部分.解:解不等式①,得x>-1.解不等式②,得x≤.∴不等式组的解集是-1<x≤.5．列不等式(组)解应用题例5(2004·广州)国际能源机构(IEA)2004年1月公布的《石油市场报告》预测,2004年中国石油年耗油量将在2003年的基础上继续增加,最多可达3亿吨,将成为全球第二大石油消耗大国.已知2003年中国石油年耗油量约为2.73亿吨,若一年按365天计,石油的平均日耗油量以桶为单位(1吨约合7.3桶),则2004年中国石油的平均日耗油量在什么范围?分析:本题特点是文字多,数据杂,综合了方程与不等式的知识,考生必须具有一定的阅读和分析能力.解本题的关键是把问题转化为不等式,故寻找不等量关系至关重要.解:设2004年中国石油的平均日耗油量为x万桶,则2004年中国石油年耗油量为365x万桶,根据题意,得解这个不等式组,得答:估计2004年中国石油平均日耗油量多于546万桶且不超过600万桶.基础达标验收卷一、选择题1.(2004.北京市海淀区)不等式组的解集为()A.x>-1B.x<2C.-1<x<2D.x<-1或x>22.(2004.四川)不等式组的最小整数解是()A.-1B.0C.2D.33.(2003.黄冈)在直角坐标系中,点P(2x-6,x-5)在第四象限,则x的取值范围是()A.3<x<5B.-3<x<5C.-5<x<3D.-5<x<-34.(2003.徐州)如果a+b<0,且b>0,那么a、b、-a、-b的大小关系为()A.a<b<-a<-bB.-b<a<-a<bC.a<-b<-a<bD.a<-b<b<-a5.(2003.北京)如果关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是()A.k<1B.k≠0B.k<1且k≠0D.k>1二、填空题1.(2004.天津)不等式5x-9≤3(x+1)的解集是________.2.(2004.上海)不等式组的整数解是________.3.(2003.宜昌)函数y=的自变量x的取值范围是________.4.(2003.重庆)关于x的不等式组无解,则a的取值范围是_____.5.(2003.四川)已知关于x的方程8+(m+1)x+m-7=0有两个负数根,那么实数m的取值范围是_________.三、解答题1.解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.2.(2004.南昌)已知关于x的方程-2(m+1)x+=0,当m取什么值时,原方程没有实数根.3.(2003.南京)一个长方形足球场的长为xcm,宽为70m.如果它的周长大于350m,面积小于7560,求x的取值范围,并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛.(注:用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间,宽在64m至75m之间.)能力提高练习一、学科内综合题1.已知方程组的解x、y,且2<k<4,则x-y的取值范围是()A.0<x-y<B.0<x-y<1C.-3<x-y<-1D.-1<x-y<1二、跨学科应用题.2.在一次爆破中,用1米的导火索来引爆炸药,导火索的燃烧速度为0.5cm/s,引爆员点着导火索后,至少以每秒多少米的速度才能跑到600m或600m以外的安全区域?三、分类讨论问题3.(2002,广州)当a取什么数值时,关于未知数x的方程a+4x-1=0只有正实数根?四、实际应用题4.(2004.南宁)某饮料厂为了开发新产品,用A、B两种果汁原料各19kg、2kg,试制甲、乙两种新型饮料共50kg,下表是试验的相关数据:饮料每千克含量甲乙A(单位:kg)0.50.2B(单位:kg)0.30.4(1)假设甲种饮料需配制xkg,请你写出满足题意的不等式组,并求出其解集.(2)设甲种饮料每千克成本为4元,乙种饮料每千克成本为3元,这两种饮料的成本总额为y元,请写出y与x的函数表达式.并根据(1)的运算结果,确定当甲种饮料配制多少千克时,甲、乙两种饮料的成本总额最少?答案:基础达标验收卷一、1.C2.A3.A4.D5.C二、1.x≤62.x=0,13.x≥-3且x≠-14.a≥35.m>7三、1.解:由3x+1≥2(x-1),得x≥-3.由2(x+1)>4x,得x<1.∴不等式组的解集为-3≤x<1.如图所示:2.解:△=[-2(m+1)]2-4m2=4(m2+2m+1)-4m2=4(∴m<-当m<-时,原方程没有实数根.3.解:根据题意,得解①,得x>105,解②,得x<108.∴105<x<108,∴这个球场可以用作国际足球比赛.能力提高练习1.B2.解:设引爆员速度为xm/s,由题意,得,∴x≥3.答:至少以3m/s的速度才能跑到安全区域.3.解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,∴x=(2)当a≠0时,△=42-4(a-1)=16+4a.令16+4a≥0,得a≥-4且a≠0时方程有两个实数根.①设方程的两个实数根为x1、x2.∵方程只有正实数根,∴由根与系数的关系,得x1·x2=->0,且x1+x2=>0.解之,得a<0.②由①、②可得:当-4≤a<0时,原方程有两个正实数根.综上讨论可知:当-4≤a≤0时,方程ax2+4x-1=0只有正实数根.另解:(1)当a≠0时,△=42-4a(-1)=16+4a.令16+4a≥0,得a≥-4且a≠0时方程有两个实数根.设方程的两个实数根为x1、x2,令x1=,若a>0,则>2,-(2+)<0,x2<0,不满足条件要求,舍去.若-4≤a<0,则0≤<2,2+>0此时,x1>0且x2>0,满足条件要求.(2)当a=0时,方程ax2+4x-1=0有正根x=.由(1)、(2)得:当-4≤a≤0时,原方程只有正实数根.①②4.解:(1)①②由①,得x≤30,由②得x≥28,∴28≤x≤30.(2)y=4x+3(50-x),即y=x+150.∵x越小,则y越小.∴当x=28时,甲、乙两种饮料的成本总额最少.第12课时一元二次方程一、中考知识导航二、中考课标要求┌───┬───────────┬────────────┐│││知识与技能目标││考点│课标要求├──┬──┬──┬───┤│││了解│理解│掌握│灵活应用├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤││了解一元二次方程的定义│∨││││││及双重性││││││一├───────────┼──┼──┼──┼───┤│元│掌握一元二次方程的四种││││││二│解法,并能灵活运用│││∨│∨││次├───────────┼──┼──┼──┼───┤│方│掌握一元二次方程根的判││∨│∨│∨││程│别式,并能运用它解相应│││││││问题││││││├───────────┼──┼──┼──┼───┤││掌握一元二次方程根与系│││││││数的关系,会用它们解决││∨│∨│∨│││有关问题││││││├───────────┼──┼──┼──┼───┤││会解一元二次方程应用题│││∨││└───┴───────────┴──┴──┴──┴───┘三、中考知识梳理1.灵活运用四种解法解一元二次方程一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)四种解法:直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,公式法:x=(b2-4ac≥0)注意:掌握一元二次方程求根公式的推导;主要数学方法有:配方法,换元法,“消元”与“降次”.2.根的判别式及应用(△=b2-4ac)(1)判定一元二次方程根的情况.△>0有两个不相等的实数根;△=0有两个相等的实数根;△<0没有实数根;△≥0有实数根.(2)确定字母的值或取值范围.应用根的判别式,其前提为二次系数不为0;考查时,经常和根与系数的关系、函数知识相联系、判别根的情况常用配方法.3.根与系数的关系(韦达定理)的应用韦达定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=-,x1·x2=.(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值;(3)已知两根求作方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数;(5)确定根的符号:(x1,x2是方程两根).有两正根有两负根有一正根一负根有一正根一零根有一负根一零根x1=x2=0应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x1、x2为根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系数的值时,需使二次项系数a≠0,同时满足△≥0;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和x1+x2,两根之积x1x2的代数式的形式,整体代入.4.一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.四、中考题型例析1.了解方程判定方程根的情况例1(2004·武汉)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是().A.有两个相等的实数根;B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根;D.没有实数根解析:因为△=32-4×4×(-2)>0,所以该方程有两个不相等的实数根.答案:B.2.由方程根的情况求字母系数的取值范围例2(2004·重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A.m>B.m<C.m>-D.m<-分析:因为该方程有两个不相等的实数根,所以应满足△>0.解:由题意,得△=12-4×1×(-3m)>0,解得m>-.答案:C.3.解一元二次方程例3(2004·四川)解方程:x2+3x=10.分析:根据方程的特点,可用公式法求解.解:原方程就是x2+3x-10=0,这里a=1,b=3,c=-10.b2-4ac=32-4×1×(-10)=49.∴x=.∴x1=2,x2=-5.点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.4.根据与系数的关系,求与方程的根有关的代数式的值.例4(2004·河北)若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是()A.B.C.D.7分析:本题解法不唯一,可先解方程求出两根,然后代入x12+x22,求得其值.但一般不解方程,只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式,再整体代入.解:由根与系数关系可得x1+x2=,x1·x2=,x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.答案:A.点评:公式之间的恒等变换要熟练掌握.5.一元二次方程的应用例5(2004·陕西)在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是()A.x2+130x-1400=0B.x2+65-350=0C.x2-130x-1400=0D.x2-64x-1350=0解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边,那么挂图的长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,由题意,可得(80+2x)(50+2x)=5400.答案:B.基础达标验收卷一、选择题1.(2004·武汉)一元二次方程x2-4=0的根为().A.x=2B.x=-2C.x1=2,x2=-2D.x=42.(2004.长沙)下列一元二次方程中,有实数根是().A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0；C.x2+x-1=0D.x2+4=03.(2004·河南)如果关于x的方程x2+mx+1=0的两个根的差为1,那么m等于().A.±2B.±C.±D.±4.(2004·安徽)方程x2-3x+1=0根的情况是().A.有两个不相等的实数根;B.有两个相等的实数根C.没有实数根;D.只有一个实数根5.(2004·云南)用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可变形为().A.(x-4)2=9B.(x+4)2=9;C.(x-8)2=16D.(x+8)2=576.(2004·黄冈)下列说法中正确的是()[可多选]A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2;B.方程2x2-3x-5=0的两实数根之积为-C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18;D.方程x2+3x-5=0的两实数根的倒数和为二、填空题1.(2004·天津)已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m的值为_______.2.(2004.沈阳)方程x2-2x-3=0的根是________.3.(2004,青海)方程x2+ax-1=0有_______个实数根.4.(2004.青海)以2+和2-为根的一元二次方程是_________.5.(2003.重庆)已知x1、x2是关于x的方程(a-1)x2+x+a2-1=0的两个实数根,且x1+x2=,则x1·x2=_________.三、解答题1.(2004.上海)关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.2.(2004.重庆)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的两个不相等的实数根为α、β满足=1,求m的值.3.(2004.南昌)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0.(1)当m取什么值时,原方程没有实数根.(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.能力提高练习一、学科内综合题1.(2004.沈阳)阅读下列解题过程:题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求的值.解:∵△=32-4×1×1=5=0,∴α≠β.①由一元二次方程的根与系数的关系,得α+β=-3,αβ=1.②∴==-3③阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.二、跨学科应用题2.队伍长skm.通讯员从排尾赶到排头后又立即返回排尾,这时队伍恰好前进了skm,假设这一过程中,队伍和通讯员的速度不变,求通讯员所走的路程.三、开放探索题3.(2004.四川)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0……①的两个不相等实数根中有一个根为0,是否存在实数k,使关于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0……②的两个实数根x1,x2之差的绝对值为1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.四、实际应用题4.(2004.广东)某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元,求3月份到5月份营业额的平均月增长率.答案:基础达标验收卷一、1.C2.C3.C4.A5.B6.B、C、D二、1.22.x1=3,x2=-13.24.x2-4x+1=05.-1三、1.解:由题意,得m≠0,而且△=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m=m∴m2-2m=0.∴m1=0(舍去),m2=2.将m=2代入原方程得2x2-5x+3=0.解得方程的根为x1=,x2=1.2.解:由△>0得(2m-3)2-4m2解得m<.∵=1,即=1,∴α+β=αβ.又α+β=-(2m-3),αβ=m2.代入上式得3-2m=m2,解之m1=-3,m2=1.∵m=1>故舍去,∴m=-3.3.解:(1)△=[-2(m+1)]2-4m2=4(m2+2m+1)-4m2=4(∴m<-.当m<-时,原方程没有实数根.(2)取m=1时,原方程为x2-4x+1=0设此方程的两实数根为x1,x2.则x1+x2=4,x1·x2=1.∴x12+x22=(x1+x2