2024年江苏省淮安市中考数学模拟试卷 答案解析

2024年江苏省淮安市淮安经济技术开发区中考数学模拟试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.-3的相反数是（）

C.-3

2.新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗俣险的参保人数由5.4亿增加到

13.6参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为（）

A.136x10HB.1.36x10HC.1.36x109D.13.6xIO9

3.下列运算正确的是（）

4.同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9,7,10,8,10,9,10,这组数据的众数为（）

A.10B.9C.8D.7

5.若△ABC与△OEF的相似比为1:2,若8C=2,则EF的长是（）

A.y/2B.2C.4D.16

6.平面直角坐标系中，点（-2,3）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（-2,3）B.（-2,-3）C.（2,-3）D.（2,3）

7.如图，以0为圆心，任意长为半径画瓠，与射线0A交于点B,再以B为圆心，B0长为半径画弧，两弧

交于点C,画射线0C,则sin/AOC的值为（）

A

a①

8.如图，在中，N4C3=9O°，Z4=30°»8c=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB

于点D;再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作瓠，两弧相交于点E,作射线CE交AB于

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点F,则AF的长为（）

二、填空题:本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.使，5二方有意义的x的取值范围是.

10.甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是128分，方差S甲2=2.2,S乙2=6.6,S内2=7.4,

2

Sr=10.8,则这四名学生的数学成绩最稳定的是.

11.方程==1的解为_____.

12.若二次函数y=琥2_0_1的图象经过点（2,1）,则2024+2°—，）=_____.

13.已知一组数据：4,5,5,6,5,4,7,8,则这组数据的众数是

14.比较大小：._____乌填,“<”或“二"）.

231

15.“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将

边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A?。。，形成一个“方胜”图案，则

点之间的距离为.

16.如图，在用ZUSC中，N84C=90°.,48=3.8C=5,点P为BC边上任意一点，连接PA,以PA,

PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ长度的最小值为________.

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三，计算题：本大题共1小题，共6分。

17.(1)计算：回—441160：+(3-7)°；(2)化简：(1+-^)+/^.

四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.(本小题8分)

2z-l,

解不等式组：5,并写出它的正整数解.

2(x-2)<3r

19.(本小题8分)

如图，矩形ABCD，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且EF=BC求证：△/ISEgZXDCF.

20.(本小题8分)

某同学家准备购买一辆新能源汽车.在预算范围内，收集了A,B两款汽车在2022年9月至2023年3月期

间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下:

2022年9月至2023年3月A、B两款2022年9月至2023年3月A、B两款

新能源汽车月倘售量图)统计图新能源汽乍网友坪分散据统计图

74

9月ionnnunm2月3月

.…AB□AOB

(1)数据分析:

①B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数为;

②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能，售后服务四项评分数据按1：3:3:3的比例统计，求A款新

能源汽车四项评分数据的平均数.

(2)合理建议:

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请你按照第（1）问中四项评分数据的比例，并结合销售量，在A.B两款汽车中给出你的推荐，并说明理由.

21.（本小题8分）

如图，在DABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：

22.（本小题8分）

某校数学兴趣小组为了测量建筑物CD的高度，先在斜坡AB的底部A测得建筑物顶点C的仰角为31。，再

沿斜坡AB走了261n到达斜坡顶点B处，，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为53。，已知斜坡AB的坡

（1）求点B到地面的高度；

（2）求建筑物CD的高度.

23.（本小题8分）

如图，以府的直角边AC为直径作30,交斜边AB于点D,E为BC边的中点，连0£

（1）请判断DE是否为•。的切线，并证明你的结论.

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(2)当.40：=9：16时，DE=8cmBf,求的半径r.

24.(本小题8分)

某商场销售一种小商品，进货价为40元/I牛.当售价为60元小时，每天的销售量为300件.在销售过程中发

现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件.设销售价格上涨x元牌(工为偶数)，每天的销售量

为y件.

(1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为______件.

(2)请写出y与x的函数关系式.

(3)设每天的销售利润为*元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最

大，最大利润是多少？

25.(本小题8分)

如图，AB是的直径，.48=18,延长0A至点C,使.动点P从点A出发，沿圆周按顺时针

方向以每秒7个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接0P,作息C关于直线0P的对称点D,

连接0D、BD、PC、PD.

(1)当，=3时.

①求/4O。的度数；

②判断直线PC与的位置关系，并说明理由；

(2)若80=9裾，求t的值.

26.(本小题8分)

如图，将一张三角形纸片48c(其中/478=90。，乙4BC=30。，＜。=1)的边CB与直线1重合放置.现

将三角形纸片ABC的直角顶点沿CB方向，从点C向终点B移动，移动过程中始终保持点A的对应的H落

在边AB上，记点C、点B的对应点分别为C'、8',连接

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B'

A

CCB

(1)当A8'〃8c时，Z4VC=,AAf=.

⑵设点4'、0'到直线BC的距离分别为a、b,求a?与〃满足的数量关系；

(3)运动过程中乙4'88'的度数是否为一个定值？如果是请求出这个定值，如果不是请说明理由；

(4)当点C'从点C运动到点B时，A*的中点P运动的路径长为.

27.(本小题8分)

抛物线y=a?+船•+「的顶点为P,作MN〃二轴交抛物线于点M、N(A/在N的左侧)，交抛物线的对称

轴于点H,且PH=1,则称△PMN为该抛物线的顶端三角形.

(1)求抛物线y=的顶端三角形的面积；

•/

(2)下列说法正确的有；(填序号)

①抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形：

②当。＜()时，若点P的纵坐标为k,则点H的纵坐标为k+1；

③当。＞()时，若点P的纵坐标为k,则点H的纵坐标为A+L

(3)抛物线!/=&?+h+。的顶端三角形面积为；

(4)已知抛物线y=a?+h+c的顶端三角形△PMN面积为2,且点K(L1)在aPA/N的内部(含边界),

求a的值及b、c的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，

特别地，0的相反数还是()・

【详解】根据相反数的定义可得：-3的相反数是3,

故选D

本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键.

2.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的

表示形式：“axUP中a的范围是n是正整数”是解题的关键.

【详解】解：13.6亿=136x1()9,

故选C

3.【答案】D

【解析】【分析】此题主要考查了同底数寨的乘法运算、赢的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算

法则是解题关键.直接利用同底数寨的乘法运算法则、募的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进

而判断得出答案.

【详解】解：与〃，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；

B.(〃F)3=〃a，故此选项不合题意；

C.”「与np不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；；

D.m2m3=m5,故此选项符合题意.

故选：D.

4.【答案】A

【解析】【分析】根据众数的定义“一组数据中出现次数最多的数”即可求解.

【详解】解：在9,7,10,8,10,9,10这7个数据中，10出现的次数最多，

.・.这组数据的众数是10.

故选：A.

本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.

5.【答案】C

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【解析】【分析】直接利用相似三角形的性质得出EF的长.

【详解】解：・「△4SCsAOEF,相似比为1:2,

BC1

/£F=2，

vBC=2,

/.EF=4.

故选：C.

此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边的比值是解题关键.

6.【答案】C

【解析】【分析】根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得出结果.

【详解】解：•.•两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反，

・••点(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2.-3),

故选：C.

本题考查直角坐标系中点的特征，熟练掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反是解题的关键.

7.【答案】D

【解析】【分析】根据作图的方法得出△08C是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案.

由题意可得：OB=OC=BC,

则△03C是等边三角形，

故ainZ.AOC=sin600=

2

故选。.

此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△O8C是等边三角形是解题关键.

8.【答案】B

［解析I详解】试题分析：连接CD，•「在AA/C中，ZACB=9r,Z4=3()°,8C=4,A8=2BC=8.

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•.,作法可知0C=CD=4,CE是线段BD的垂直平分线,，.•.CD是斜边AB的中线,，「.BQ=4。=4,

8尸=。F=2,AF=4。+0尸=4+2=6.故选8.

考点：作图嚏本作图；含30度角的直角三角形.

9.【答案】N22

【解析】略

10.【答案】甲

【解析】【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一人量.方差越大，则平均值的

离散程度越大，稳定性也越差：反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

根据方差的意义求解可得.

【详解】解：因为甲、乙、丙、丁四名学生最近4次数学考试平均分都是128分，

2

方差S甲2=2.2,S乙2=6.6,S内2=7.4,ST=10.8,

所以甲的方差最小，

所以这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，

故答案为：甲.

11.【答案】x=-l.

【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可.

【详解】解：==1

x-ro

两边同时乘以N+3,得：1一工=1+3,

移项得：一1-1=-1+3,

合并同类项得：-2工=2,

化系数为1：T=-1,

经检验，1=-1是原方程的解.

故答窠为：］=-1.

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12.【答案】2025

【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，将点（2,1）代入可得2°一。=1,

进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键.

【详解】解：依题意得：1=

即：2a-b=1,

2024+2a-6=2024+1=2025,

故答案为：2025.

13.【答案】5

【解析】【分析】根据众数的定义求解即可.

【详解】解：这组数据中5出现3次，次数最多，

所以这组数据的众数是5,

故答案为：5.

本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.熟练掌握众数的定义是解题的关键.

14.【答案】>

【解析】【分析】根据实数大小比较解答即可.

-T>T,

故答案为：>•

此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答.

15.【答案】（2\/2-

【解析】【分析】根据正方形的性质、勾股定理求出BD,根据平移的性质求出8斤，计算即可.

【详解】解：根据题意得：BB1=lan,AB=AD=2cin,Z4=90c,

/.BD=AB^4-AD^=+2?=2x/2rrn»

B'D=BD-BB1=（2>/2-l）crn,

即点D,犷之间的距离为（2方

故答案为：（2v^-l）em.

本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，根据平移的性质求出3方是解题的关键.

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16.【答案】f/2.4

【解析】【分析】利用勾股定理得到BC达的长度，根据平行四边形的性质，得知0P最短即为PQ最短，

利用垂线段最短得到点P的位置，再证明△CABsACP。利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到

PQ的长度.

【详解】解：..N8，C=9O°,4B=3,8C=5,

AC=x/BC2-AB2=4,

•.•四边形APCQ是平行四边形，

：.PQ=QO,CO=AOf

・•・PQ最短也就是PO最短，

.•.过0作BC的垂线OP,

Z.ACB=NPCONCPO=Z.CAB=90。，

COOP

，BC=~AB1

2OP

•5=_3-，

5

.,.则PQ的最小值为=,

5

故答案为：y.

考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短

求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题.

17.【答案】(1)解：v/12-4siu60°4-(3-TT)°

y/3

=2vr/3-4x-y+1

=1,

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0-1+3.(a+2)(a-2)

a-1'(a-I)2

a+2(a-

a-1(a+2)(a—2)

a-1

【解析】【分析】(1)根据二次根式的计算，特殊角三角函数值，零指数冢，即可求解，

(2)先通分，再分解因式，根据分式除法的运算法则，即可求解，

本题考查了特殊角三角函数值，零指数第，二次根式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是：熟练

掌握相关运算法则.

(唳~①

18.【答案】解：

(2(1-2)VXr②

解不等式①：

2x-1>-10

-3x>-9

解不等式②：

2(x-2)<3x

2x-4<3a-

x>-4

故不等式组的解集为：-4</W3,

正整数解为：1,2,3.

【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组并求出其整数解，正确求出每一个不等式解集是基础,

熟记“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的方法是解答此题的关键.再求出每个

不等式的解，再求出解集，然后再找到对应的整数解即可.

19.【答案】证明：•.•四边形ABCD是矩形，

/.AB=CD.Z.ABC=Z.DCB=90°,

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.・.Z.ABE=ZDCF=90°,

•・・EF=BC,

.・.BC-EC=EF-EC即BE=CF,

在△HOE和ADCF中，

AB=DC

<ZABE=ZDCF,

BE=CF

：.LABE^LDCF(SAS).

【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，由矩形的性质可得.48=00,

Z4BC=ZDC^=90°,根据EF=BC,得到BE=CF由SAS即可得出结论.

20.【答案】(1)①将B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量排序为：

1563,2248,3279,4667,4922,8153,8840,

处于中间位置的是4667,故中位数为1667.

故答案为：4667

三72x1+70x3+67x3+64x3-

②”---------3+3+3--------------=67.5

••.4款新能源汽车四项评分数据的平均数为67.5分.

1力.〃款新能源汽车四项评分数据的平均分为宣=70,1+7；：：：；黑3+—3=eg*分)，

.・.8主平均分高于A车的平均分，

又A主销量一直下滑，

我推荐B车.

【解析】【分析】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策.

(1)①根据中位数的定义求解；

②根据加权平均数的计算方法求解即可；

(2)计算B车的平均分，比较两车的平均分与近期销量，即可解答.

21.【答案】证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

..AB=CDfAB//CD,

/.ZB=ZDCF.

在△HOE与ADCF中

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AR=CD

<ZR=ZDCF,

(BE=CF

：,LABE^LDCF(SAS).

【解析】【分析】据平行四边形的性质得出.48=。。，AB//CD,进而得到NB=NOCF,然后再利用

全等三角形的判定的“SAS”来解答即可.

本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定.根据平行四边形的性质得自.48=。。，｛3〃CD是解

答关键.

22.【答案】(1)如图所示，作8E14O于E点，

•・•斜坡AB的坡度i=1：2.4,

..tan/B4E=A=3

BE5

根据正切函数的定义：tanZB/lE=4E=12,

设0E=5z,4E=12t,

在RtAZSE中，AB2=AE2^-BE2,

.•.(502+(12x)2=262,

解得：1=2,

.-.BE=10,.4E=24,

.•.点B到地面的高度为10m；

(2)作“F_LCD于F点，则四边形BEDF为矩形,

由题意，ZCHF=53c,

CF_4

在RtACSF中，tanZ.CBF=7JF=3,

/.设BF=ED=3o，则CF=4a,

AO=4E+ED=24+3。，C"=C尸+F0=4n+10,

在RtAACD中，由题意，£CAD=31c,

小…CD3

tanZC/ID=-77:=7»

AD5

4«+103

即：ni!Q

244-M-v5>

解得：〃=2,

经检验，〃=2是上述分式方程的解，且符合实际意义,

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.•.C7)=4x2+10=18,

・•・建筑物CD的高度为18m.

【解析】【分析】(1)作8E14O,利用坡度的定义求解BE即可；

(2)在(1)的基础之上，作EF1C。，利用三角函数求解CF的长度即可.

本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题关

键.

23.【答案】(1)解：DE是的切线，

证明：连接0E,0D,CD,如图所示：

是圆的直径，

/.Z4DC=ZBDC=9()C,

在RtACOS中，E为BC边的中点,

.\CE=DEt

在AOEC和AOED中,

OE=OE

CE=DE,

(OC=OD

：.△OECgAOED(SSS),

：.ZGDE=ZOCE=90°,

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Q/?是・O的切线；

⑵解:连接CD,如图所示:

/ADC=90°,

/.Z.BDC=90c,

•・・E为BC的中点，

.1.BC=2DE=16crn,

Z.BDC=£ACB,ZB=ZB,

BCBD

,~AB='BCy

/.DC2=DDAD,

设40=9icm(x>0),BD=IGxcin,

/.162=25jrl(kr,

「.t=：或丁=一，(负值舍去)，

/.AB=9上+16x=25x=20cm,

在胸△48C中，£ACB=9()°,AB=20e/n,BC=16cm,则由勾股定理可得.4C=12cm,

.・.⑥。的半径A=6cm.

【解析】【分析】(1)连接0E,0D,CD,根据全等三角形的判定，易得△OECg^OED进而可得

LODE=LOCE=9()c,故DE是。。的切线；

(2)连接CD,证明△BCOsAZMC,由相似三角形的性质得到第=盥，设4。=9加琬(工〉。)，

BD=16^n,代入数据可得关于x的方程，解可得答案.

本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线

的判定是解题的关键.

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24•【答案】【详解】(1)解：•.・销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件，

.•.当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为300-?><20=200(件)，

故答案为：200

(2)设销售价格上涨x元/(牛，

•・•销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件.

.,.其销售量y=顺一20乂1=9一io；

⑶依题意可得每天的销售利润为"=(300-10x)(60-40+x)=-10(x-5)2+6250,

故当工=5时，最大值3=6250,

但为偶数，.•.当1=4或上=6时，有最大利润，

为了让利于顾客，

.•.1=4,符合题意，此时“=6240.

此时销售单价为60+4=6*元)，

・・.每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元.

【解析】【分析】(1)根据销售单价每上泮2元，每天的销售量就减少20件即可得到答案;

(2)根据销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件可得到y与x的函教关系式；

(3)先求出利润w关于x的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可.

此题主要考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列函数解析式是解题的关键.

25.【答案】(1)解：①•.•人/?是。。的直径，.40=18，

OA-OB-9,

设/4OP=c,当，=3时，.4〃=3万=蒜万、9

loll

n=60°,即：Z.AOP=60°；

②PC与相切，理由如下：

连接AP,

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D

由①可知，Z.AOP=6()c,04=OP=9,

.•.△40P为等边三角形，则/H4O=60°=/C+/4PC,.4尸=04=9,

又•.AC=0A=9,

AC=APt则/C=/4PC,

ZC=Z.APC=30c,则ZCPO=180°-ZC-ZAOP=90c,

.•.PC与。O相切；

(2)由(1)可知，OC=AC^OA=18t03=9,

由轴对称可知，0D=0C=18,2cop="OP,

在△800中，0/32+0^2=^+i8?=(96);BD2=

,\OB2^OD2=BD\

：.Z.BOD=/.AOD=90c,则NC"=Z.DOP=45°,

【解析】【分析】本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握

相关图形的性质是解决问题的关键.

(1)①由题意可知，。4=。8=9,根捱弧长公式，设/4OP=c,当t=3时，4P=3万=就万x9,

求解即可；

②连接AP,由①可知，Z.AOP=6()c,04=OP=9,可知△AOP为等边三角形，则

Z.PAO=6()°=ZC+Z4PC,再证.4。=从尸，则/C=/4PP,ZC=Z.APC=30°,即可求得

Z.CP0=9()c,可证得PC与­()相切；

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（2）由（1）可知，OC=AC^OA=18,08=9,由轴对称可知，OP=0C=18,ZCOP=ZDOP,

根据勾股定理的逆定理可证明=2400=90°,则NCOP=N0O0=45°,再由弧长公式得

4509

・42=回=际k、9,即可求得,

26.【答案】（1）解：过点A作4E1/3C1于点E,如图所示：

/LACB=90°,Z4HC=30°,.4C=1,

ZBAC=90°-30°=60°,AB=2AC=2t

根据题意可得:ZB/4/C*=ZB4C=60°,Z4®。=N4BC=30°,Z4VB*=ZACB=90°,

4V=4C=1,

2BCB=/4叱=30°,

Z.ACC=180°-90°-3(r=6()。，

A!E=MC1xsin600=1x乎=苧，

VZ^BE=30c,£A!EB=90°,

A!B=2A!E=瓜,

,\AA=AB-A,B=2-\/3;

(2)解：过点A作.4'EJ_8C‘于点E,过点B'作"DU于点D,如图所示:

CECBD

则/AE8=AffDC=90°,

根据题意可得：HE=。，B'D=b,

•//.ABC=30c,

/.BE=从脑=，=>/3a

tan30瓜,

~3~

NA'B'C'=30°,/AC®=90c,

第19页，共26页

•tim3o0=W=乎’

・•LACE+ZB'C'D=ZACE+ZE.4V=90c,

•.LtiCD=ZE.4V,

.•NA'EB=/&/"=9()。，

•.△4£CsAC/Q8',

AE_ECA!C_\/3

•西=苑=而=丁’

,,

•.CD=\Z3A'E=v/3n,BD=y/3ECf

EB=CD=>/3a,

•.EB-CB=CD-C'B,

•.EC=BD,

.•B,D=\/3EC,=\/3BD.

\EC=BD=

A!E2EC2=ATC12>

\a2

即/+#=L

(3)解：根据解析(2)可知，

•「ZB'DB=90c,

WD

血】/89。=前=>/5,

ZB'BD=60。，

Z/1BC=30c,

•「乙ACB'=/AG*=90,，A8'=A8=2,

第20页，共26页

..DP=PC=\A!D'-1,

・•.点C'从点C运动到点B时，AZ'的中点P在以点B为圆心1为半径的圆上，

当点C'在点C时，^。与△A8C重合，此时点P在AB的中点上，当点C'在点B时，△4斤。的位

置，如图所示：

,

/AC=l=^ABt

•.A"的中点P运动的路径为从")的长，

.•点P为A3’的中点，

•.BP=BA,.

.­=6()。，

•.△W8P为等边三角形，

•./.ABP=6()。，

•.A"的中点P运动的路径长为"二=1

【解析】【分析】(1)过点A作4E1BC于点E,根据AB7/BC，得出=30°,求出

乙4'UC=180°—90°—30。=60。，解直角三角形得出AE=ACxsiu60。=1x匹=@,根据直角三

22

角形的性质求出A8=2,4'E=，5,即可得出答案；

DE-x/3a

⑵解直角三角形得出ta'nE®尸v/3,证明△HECsACTW,得出

3

"=%=丝=@,求出，S4'E=B'D=《EC,得出

CDB'DBC3

EC=BD=D=,根据勾股定理得出NU+Edn/fCH得出滔+

nfn

,

(3)根据解析(2)可知，BD=y/3BDt也据/"。/3=90°,求出lanNU勿O=彷=得出

£ffBD=60°,求出Z.A!Bff=180°-3()°-60°=90°即可;

第21页，共26页

(4)连接(TP=8P,证明O『一F(r=：卬加一1,说明点C'从点C运动到点B时，43’的中点P在以

点B为圆心1为半径的圆上，根据当点。在点C时，△A"。与△/I8C重合，此时点P在AB的中点上,

证明为等边三角形，得出/WBP=60°,求出的中点P运动的路径长即可.

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质,

弧长公式，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是画出图形，数形结合，息练掌握相关的判定和性质.

27.【答案】(1)解：抛物线y=的顶点P的坐标为(0.-1),

•「PH=1,

..//(0.0),

・•・直线MN此时与x轴重合，

在y=中，当y=1=0时，*=士3,

Jif

.-.A/(-3,0),N(3,0),

.・.MN=6,

SAPA/N=7/NOP=：x6xl=3,

故答案为：3；

(2)解：•.」/%〃.丁轴交抛物线于点M、在N的左侧)，

.•・点M和点N关于对称轴对称，

.・.PM=PN,

・•・抛物线的顶端三角形一定是等腰三角形，故①正确；

当。<()时，由于〃工轴交抛物线于点M、N(JW在N的左侧)，

.・.MN一点在定点P的下方，

=点P的纵坐标为k,

.•.点H的纵坐标为1,故②错误；

当“>()时，由于〃工轴交抛物线于点M、N(M在N的左侧)，

・・・MN一点在定点P的上方,

=点P的纵坐标为k,

.•.点H的纵坐标为k+1,故③正确；

故答案为：@@；

(3)解：•点P是抛物线|/=。上2+如+「的顶点，

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b4ac-P

.,.点P的坐标为

_2如。一招+1

当“>()时，由(2)的结论可得，点H的坐标为

2a4a

Aac-tr

.•.点M和点N的纵坐标为+1♦

4ac—62i4ac-/1

设“m'-^T+l，Nn，F—+1

4础-br

令y=ar2+bi+o

4ac—&

：.ax2++c--1=0,

「.24-6J：+—-1=0,

bb2-4a

/.rn+n=-,inn=—―r—

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/.(n-m)2=(m+n)2—4mn

trFE2—4A

=而一一

4

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：.n-m=-----,

S^PMN=〈MN-PH=1x1-1^2.—3.

IZaa

b^ac—P

1

(Fla.-4ia--------

.•.点M和点N的纵坐标为则二一1,

4a

Q,HU4；-U,

令Ay=ax+hr+c=——---------1,

4n

2,4ac-ft2六

ar"+。上+c--------------F1=0,

4(i

ax2+6J-4--+1=0,

第23页，共26页

bb>2+4a

mn=