高等数学教案

《高等数学》教案第一章：函数与极限（18课时）第一节：映射与函数教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。1)2)元素与集合的关系：，一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作若作且则称A是B的真子集。全集I：AiSKIPIF1<0I（I=1，2，3，……..）。空集：。2、集合的运算并集：交集：差集：补集（余集）：I＼A集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律：结合律：，分配律：，对偶律：(笛卡儿积：A×B3、区间和邻域1）有限区间：开区间，闭区间，半开半闭区间。2）无限区间：（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。3）邻域：注：a邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为。二、映射映射概念定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作其中称为元素的像，并记作，即。注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。三、函数1、函数的概念定义设数集，则称映射为定义在D上的函数，记为。注：函数相等：定义域、对应法则相等。2、函数的几种特性1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值与的大小（注：与区间有关）。3）函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)，图形特点(关于原点、Y轴对称)。4)函数的周期性(定义域中成立：)函数与复合函数1）反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数。函数与反函数的图像关于对称。2）复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。3）分段函数：分段函数的统一表达式。结论：对于分段函数f（x）=SKIPIF1<0若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）=f2（a），则f（x）=f1[SKIPIF1<0（x+a-SKIPIF1<0）]+f1[SKIPIF1<0（x+a+SKIPIF1<0）]-f1（a）4、初等函数1）幂函数：2)指数函数：3)对数函数：4)三角函数：5)反三角函数：，以上五种函数为基本初等函数。6）双曲函数：，，注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式：7）反双曲函数：已知分段函数SKIPIF1<01）求其定义域并作图；2）求函数值SKIPIF1<0求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：y=10u，u=1+x2,y=arctanu2,u=tanv,v=a2+x2.求函数的反函数及反函数的定义域：y=x2,（0SKIPIF1<0x〈SKIPIF1<0），SKIPIF1<0作业：见课后各章节练习。第二节：数列的极限教学目的与要求：理解极限的概念，性质。教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。一、数列数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：缩写为例1数列是这样一个数列，其中，也可写为：可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为。限的定义，则称数列的极限为，记成也可等价表述：1）2）。极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理1如果数列收敛，那么它的极限是唯一。定理2如果数列收敛，那么数列一定有界。定理3如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时，。证明数列SKIPIF1<0的极限是1。作出数列SKIPIF1<0图形，讨论其极限值。作业：见课后各章节练习。第三节：函数的极限教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。一、极限的定义1、在点的极限1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：。2）如果自变量趋于时，相应的函数值有一个总趋势——以某个实数为极限，则记为：。形式定义为：2、的极限设，如果当时函数值有一个总趋势--该曲线有一条水平渐近线--则称函数在无限远点有极限。记为：。在无穷远点的左右极限：，关系为：二、函数极限的性质1、极限的唯一性2、函数极限的局部有界性3、限的局部保号性4、函数极限与数列极限的关系例1讨论函数SKIPIF1<0在xSKIPIF1<0的极限。求下面函数极限：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。作业：见课后各章节练习。第四节：无穷小与无穷大教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。一、无穷小定义定义对一个数列，如果成立如下的命题：则称它为无穷小量，即注：1）的意义；2）可写成；；3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码，相应的与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1在自变量的同一变化过程（或中，函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小。二、无穷大定义一个数列，如果成立：那么称它为无穷大量。记成：。特别地，如果，则称为正无穷大，记成。特别地，如果，则称为负无穷大，记成。注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理2在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且则为无穷大。即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有注意是在自变量的同一个变化过程中。四、无穷小的性质设和是无穷小量于是：1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：2）对于任意常数C，数列也是无穷小量：3）也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。4）也是无穷小量：5）无穷小与有界函数的积为无穷小。五、函数极限的四则运算1）若函数和在点有极限，则2）函数在点有极限，则对任何常数成立3）若函数和在点有极限，则4）函数和在点有极限，并且，则极限的四则运算成立的条件是若函数和在点有极限。定理3设函数是由函数与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，，且存在，当时，有，则下面函数在x趋向什么时是无穷小，又当x趋向什么时是无穷大：SKIPIF1<0SKIPIF1<0。例2求下面函数极限：作业：见课后各章节练习。第五节：极限存在准则两个重要极限教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用。定理1（夹逼定理）三数列、和，如果从某个号码起成立：1），并且已知和收敛，2），则有结论：定理2单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。Ⅰ极限SKIPIF1<0[sinx/x]=1OHYT该极限的证明，关键是证不等式:sinx<x<tanx(0<x<SKIPIF1<0/2).OHYT如图.设单位圆⊙O的渐开线为SKIPIF1<0.B若记∠TOA＝x，并过Ｔ作ＴＨB⊥Ｘ轴于Ｈ，ＴＢC切⊙Ｏ且交SKIPIF1<0ACX及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则Sinx=TH<AT<SKIPIF1<0=（x）=TB<TC=tanx我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”.因扇形面积ＯAT＝SKIPIF1<0x的求得，一般是n等分∠ＡＯT成n个等腰△AiOAi-1(i=1.2,…,n,a=a0,T=An)，则∑△AiOAi-1=∑SKIPIF1<0Sin（x/n）=SKIPIF1<0nSin（x/n）此时，扇形面积ＯAT=SKIPIF1<0∑△AiOAi-1=∑SKIPIF1<0Sin（x/n）=SKIPIF1<0xSKIPIF1<0[Sin（x/n）/（x/n）]显然当SKIPIF1<0[Sin（x/n）/（x/n）]=1时，扇形面积ＯAT＝SKIPIF1<0x，但令t=x/n，则该极限为要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。Ⅱ极限SKIPIF1<0（1+1/n）n=e设An=（1+1/n）n，利用算术和几何不等式关系，得：An=（1+1/n）（1+1/n）……（1+1/n）･1≦[（n（1+1/n）+1）/（n+1）]n+1即数列{An}单增。另外，设Ｂn＝n/（n+1），利用算术和几何不等式关系，得：Ｂn＝1-1/（n+1）>1-1/n=[（2･(1/2)+（n-2））/n]SKIPIF1<0[（1/2）2･1n-2]=（1/4）1/n则4SKIPIF1<0[（n+1）/n]=（1+1/n）n即数列{An}有上界。于是，极限Ⅱ存在，并记为数e。例1求下面函数极限：，，例2证明有界，并求的极限。作业：见课后各章节练习。第六节：无穷小的比较教学目的与要求：理解无穷小的比较概念。教学重点（难点）：熟练应用等价无穷小求极限。定义若为无穷小，且则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k阶、等价（～）1）若为等价无穷小，则。2）若～、～且存在，则：证明下面各无穷小量之间的关系：SKIPIF1<0与x（xSKIPIF1<0+）tanx-sinx与sinx（xSKIPIF1<0）。求下面函数极限：，，。作业：见课后各章节练习。第七节：函数的连续性与间断点教学目的与要求：利用定义判断连续或间断点。教学重点（难点）：判断函数连续。一、函数在一点的连续性函数在点连续，当且仅当该点的函数值、左极限与右极限三者相等：或者：当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值。其形式定义如下：函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间［a,b］连续时包括端点。注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)；2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。二、间断点若：中有某一个等式不成立，就间断，分为：1、第一类间断点即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。2、第二类间断点左极限与右极限两者之中至少有一个不存在。讨论函数在x=0处的连续性：SKIPIF1<0求下面函数的间断点，判断其类型：SKIPIF1<0SKIPIF1<0。作业：见课后各章节练习。第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性教学目的与要求：理解连续函数的性质和初等函数的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。教学重点（难点）：函数连续性判定。一、连续函数的四则运算1）且，2）且，3）且，二、反函数连续定理如果函数是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函数：也是严格单调增加（减少）并且连续。注：1）反函数的定义域就是原来的值域。2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成三、复合函数的连续性定理：设函数和满足复合条件，若函数在点x0连续；，又若函数在点连续，则复合函数在点连续。注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。求下面函数的连续区间：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。例2求下面函数极限：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。作业：见课后各章节练习。第九节：闭区间上连续函数的性质教学目的与要求：了解闭区间