安徽省级示范高中2023-2024学年高二年级下册春季联赛数学试题

安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高二下学期春季联

赛数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知a/eR,"4:=0”是“5储+「2=4+6”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知A3+CD=（3,4）,则BC+ZM=（）

A.（T,—3）B.（—3,-4）C.（4,3）D.（3,4）

3.在ABC中，已知sinA=2024sin3sinC,cosA=2024cosBcosC,贝！ItanA=（）

A.-2025B.-2024C.2024D.2025

4.在一组数3,3,8,11,28中插入两个整数机，n,使得新的一组数极差为原来极差的

两倍，且众数和中位数保持不变，则〃?+〃的最大值为（）

A.57B.58C.60D.61

5.设函数〃x）=cos3xcos4x的导函数为g（x）,则-（0）+g<0）=（）

A.-25B.-7C.7D.25

3

6.已知。=4tan-,4&=7,7。=12,贝1J（）

8

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

22

7.在平面直角坐标系xQy中，椭圆「：宗+方=1伍>6>0）的右焦点为尸，y轴右侧的两

点A,B在椭圆「上，且直线与圆0：-+>2=〃相切，若椭圆1的焦距为12,AAB/的

c-1D-i

8.函数〃工）的定义域为R,对于任意实数x,»都有〃x+y）+〃x-y）=2/a）/（y）,

则了⑴的值不可能是（）

A.-2B.卫C.1D.2

2

二、多选题

9.复数p,q,厂在复平面内对应的点分别为P,Q,R,下列说法正确的有（）

A.p2+q2+r2=0,贝ljp=4=r=。B.若—司=加+同，贝l]pq=O

C.若则p,Q,R三点共线D.若W则历|,|同，N成等比数列

10.在四棱锥尸—ABC中，底面ABCO是矩形，PA_L平面ABC。，E、产分别为棱48、PC

的中点，下列说法正确的有（）

A.PC±BDB.砂〃平面PAD

C.若AP=BC=2,则跖=0D.若平面尸CD,则上4=AD

11.已知“,4c为0ABe的三条边长，则下列结论正确的有()

A.(6z+Z?+c)2>3(^ab+bc+ca)B.2a+2b>2c

abc

C.sin+sinb>sincD.--------1---------1-------<2

b+cc+aa+b

三、填空题

12.在1aABC中，AB=5,AC=7,cosB=1,则以8、C为焦点，且过A点的双曲线的

离心率为.

13.曲线y=ln尤在点A（a,lna）,B0,ln6）处的切线分别与y轴交于点C（0,c）,D（0,d）.若

b

c,Ina,d成等差数列，则一=.

a

14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题.规

试卷第2页，共4页

则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题(即每名同学至少答对1题).若

每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3

的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作

考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为.

四、解答题

15.在一ABC中，。，瓦c分别是角AB,C所对的边，。为边BC上一点.

⑴试利用“通+配=*"证明:"ccos3+bcosC=a”；

(2)若A=1,8O=3,C£)=2,A£)_LBC,求，ABC的面积.

16.某品牌儿童玩具一箱80件，每箱玩具在出厂前都需要经过质检，如果质检不合格，则

立即更换.质检时，先从一箱玩具中任取8件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有

玩具进行检验，设每件玩具质检不合格的概率都为且各件玩具质检是否合格

相互独立.

(1)若p=g,求8件玩具中至少有一件质检不合格的概率；

⑵记8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为“0),求”0)的极大值点P0.

17.在矩形A3C。中，BC=2AB=2,取边上一点将沿着AM折起，如图所示

形成四棱锥S-AMCD

(1)若M为2C的中点，二面角S-AM-B的大小为§,求AS与平面ABCD所成角的正弦值;

(2)若将△沿着AM折起后使得SD1AM,求线段MC的长.

18.设p为任意给定的大于1的整数，每个正整数w均可以唯一地表示成

kkl

f(n,p)=akp+%p+-+alp+a0,qe{0,1,2,…,0-1}(i=0,1,2,…,左)，我们将

(%4-i称为"的p进制表不，将Sp(〃)=%+q+a2H-----\-ak称为〃在p进制下的数

字和.例如：由2025=2><36+2*35+34可知2。25=(221。。。。)3，S3(2025)=2+2+l=5.

⑴请给出2024的三进制表示；

(2)若々,=$2；求4+%+…+j.

19.在平面直角坐标系xOy中，抛物线「：V=4x的焦点为凡点片，P2,乙在抛物线「上,

直线《巴，P2P3,△《的斜率分别为《，k2,k3.

⑴若尸为6△△的重心，求证：左K+%2%3+%勺为定值；

(2)若尸为62A的垂心，求证：晒+k2k3+k3kl为定富

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】取。=0，b<0,则可知由“仍=0”无法推出=4+6，，.

l

a,beR,1a+〃=a+b,两边平方化简得或=0;

22

则eR,“必=0”是“yja+b=。+匕”的必要不充分条件；

故选：B

2.B

【分析】根据向量线性运算化简求解即可.

【详解】BC+DA=BA+AC+DA=BA+DC=-AB-CD=(-3,^).

故选：B

3.D

【分析】利用两角和的余弦公式和三角形内角和定理，计算求得答案；

【详解】两式作差得，

cosA—sinA=2024cosBcosC-2024sin3sinC=2024cos(B+C)=-2024cosA,

所以sinA=2025cosA,BPtanA=2025.

故选：D

4.C

【分析】由题意可得插入的两个数不可能都是3；可得一个为3,另一个数不小于8,由极

差加倍，则另一个数为53,若插入的两个数是不等的且不是3,8,11,28,且极差为50,

进而可得加，〃，进而可求〃?+”的最大值.

【详解】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是3"，或是“一个为3,另

一个不是3"，

或是“两个不等的且不是8,11,28”.

①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是3；

②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为3,另一个不是3"，则一个为3,另一个数不

小于8,

又因为极差加倍，则另一个数为53,此时m+“=56；

答案第1页，共14页

③若插入的两个数是不等的且不是3,8,11,28,且极差为50,中位数保持不变,

则两个数可以为

m=7\m=6\m=5m=4\m=2\m=ljm=0

〃

n=53"]=53'\n=53n=53"\n=52"\n=51f|n=50

所以，机+〃的最大值为60.

故选：C.

5.A

【分析】利用导数的运算法则求出ra),g"),再求出函数值即可.

【详解】函数/(%)=cos3xcos4x,求导得g(x)=/'(%)=-3sin3xcos4x-4cos3xsin4x,

g'(%)=—9cos3xcos4%+12sin3xsin4x+12sin3xsin4x—16cos3xcos4x

=24sin4xsin3x-25cos3xcos4x,

所以八0)+5(。)=。—25=—25.

故选：A

6.C

33

【分析】利用放缩法可得，大，作差可比较。力的大小.

22

JT1

【详解】令/(尤)=1缺工一天(0<无<$,求导得/(无)=9--1>0,所以f(x)>〃0),

2cosx

JI

所以tan%>x(0<x<—),

333113

〃=4tan—>4,一=—,b=log7=—log7<—log8=—,所以

882422222

Inl21n4-(ln7)2/Inl2+ln4)2-4(ln7)2Jln49)2-4(如71二0所

c-Z?=log12-log7=

74In71n441n71n441n71n4

以cvb.

所以cvb<a.

故选：C.

7.D

【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记42与圆。：/+丁=62相切于点Q,A（xl,yl）,

3（孙％），（%，々＞°），即可推出|A0+|AF|=a,从而得到△ABF的周长为2a,即可求出。、

c,从而求出离心率.

答案第2页，共14页

22

【详解】首先证明椭圆［+当=1(a>b>0)上任意一点尸(x,y)到左、右两焦点耳、工

ab

的距离|*=。+%,|*(焦半径公式)；

证明：因为耳(一。,0)、鸟(G。)，

所以|尸团=J(x+c)2+y2=J(x+c)2+/1i—点］

同理可得I尸耳I=，(x-c)2+y2=a-^X;

根据椭圆方程知，-e(0,1),Ix|<«^>«>-Ixl,gp(7±-x>0,

aaa

22

故椭圆马+与=i两个焦半径为|尸凰=。+/,|尸用=〃-£尤；

abaa

记AB与圆。:/+丁=82相切于点。，A(&%),B(x2,y2),%>0),

所以|AQ「=|1一靛卜;=e%,则恒@=%，\AF\=a--xl=a-ex1,

所以|42|+|AF|=a,同理可得忸0+怛司=a,故△ABE的周长为2a.

所以2。=15,贝壮=容又焦距2c=12,所以c=6,

_c_6_4

所以离心率'=£=适=二.

2

故选：D

8.A

答案第3页，共14页

【分析】采用“赋值法”为突破口，确定了（X）的取值范围，可得答案.

【详解】令x=y=o,则2〃0）=2[〃01,解得/（0）=0或"0）=1

令x=y=；,则/⑺+"0）=2>0,

所以/（心一〃心一1

故BCD皆有可能.

故选：A

9.CD

【分析】取P=4=l,r="，可判断A；取。=1,q=i,可判断B；两个复数相除为实

qr

数”可知，实部与虚部比值相等，可判断C；由已知可得3=一,可判断D.

pq

【详解】对于A：取p=4=l,厂=03满足=0,但不满足P=4=r=。，故A

错误.

对于B,取。=1,q=i,可得lp-gHl-止应，|p+0|=|l+i|=啦,故B错误.

对于C,由“两个复数相除为实数”可知，实部与虚部比值相等，进而得到两点间的斜率相等，

故P,Q,R三点共线，故C正确.

对于D,'，则|p|，\q\,成等比数列，故D正确.

故选：CD.

10.BCD

【分析】若PCLBD,可得BD工平面PAC,进而可得比>_LAC,可判断A；E4=,CD=,

2

可得EF〃平面PAD,可判断B；EF=^AP+BC）,两边平方可求EF=应，判断C；由

已知可得侬上平面PCD,从而可得上4=AT>,可判断D.

【详解】选项A：PAL平面ABC。，平面ABCD,则2，3D,若PCLBD,

又PAAC=A,PAACu平面ABCD,所以应>1平面PAC,又ACu平面PAC,

进一步有3D，AC,而底面ABCD是矩形，不能保证3D_LAC,故A错误.

答案第4页，共14页

选项B：取尸。中点M,则应1=：。=五加，所以四边形£7544,所以所=AM，

因为EF<Z平面PAD,AMu平面PAD,所以EF〃平面尸AD,故B正确.

选项C：因为E是AB的中点，所以匹=g（AP+BC）,

2

所以砂2=；（A尸2+24.用8日）=：（++2）=,

所以EF=逝,故C正确.

由B可得A〃〃EF,若£F2平面PCD,则上平面PCD,又PDu平面PCD,

所以AW_LPD,又M是PD的中点，所以R4=AZ）,故D正确.

故选：BCD.

11.AD

【分析】利用作差法判断A选项；特殊值法判断B,C选项；利用不等式性质判断D选项；

【详解】选项A：（a+6+c）~—3a6—3bc-3ca=g（a-6）~+：（6-c）~+g（c—a）?20,故A正

确；

选项B：取a=3,b=4,c=5,则2"+2&<2°;故B错误；

选项C：取.=6=4,c=lf贝ljsina+sinZ?<0vsinc,故C错误；

,a2ab2bc2c

选项D：由---<-------,----<-------,-----<-------

b+ca+b+cc+aa+b+ca+ba+b+c

_.，一ahc

.…7-+——+--<2.故D正确；

b+cc+aa+b

故选：AD

12.3

BC

【分析】先用余弦定理求3C,用《二五「后可求双曲线的离心率.

AC—AJD\

1

【详解】根据余弦定理得AC?=Bfic+BC2-2BABCCOSB^49=25+BC2Q-2X5BCX-,

所以BC2_2gC_24=0n（3C_6）（3C+4）=0nBC=6

答案第5页，共14页

BC6

所以e=3

AC-AB2

故答案为：3

13.e2

【分析】分别求出曲线＞=lnx在点A（a/na）,5伍处的切线方程，分别代入两点

坐标，再由等差中项的性质求解即可.

【详解】由y=ln无，得,'=工，

曲线yTnx在点A（Q,1HQ）处的切线方程为：y-ina=^（x-a）,

代入C点坐标得：lna-c=l；

同理得：]nb—d=1.

由于c,Ina,d成等差数列，得：21na=c+d=lna-l+ln〃一1,

b

BP]nb—lna=2,即In—=2,

a

/日b

得：一二e2.

a

故答案为：e2.

一365

14.-----

729

【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第〃次由甲

组答题的概率为乙，由全概率公式得到只+1与2的递推公式，根据递推公式求数列｛2｝的通

项公式，令〃=7,可得问题答案.

【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为4，％,则占，芳《｛123,4,5,6｝

当（占,%）«（1,2）,（1,5）,（2,1）,（2,4）,（3,3）,（3,6）,（4,2）,（4,5）,（5,1）,（5,4）,（6,3）,（6,6）｝时,

%%是3的倍数,

121

故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为百0两位同学答对的题数之和不是3

的倍数的概率为；0.

1?

记第W次由甲组答题的概率为《，则由乙组答题的概率为1-匕，。,+1=§月,+§（1-1），即

答案第6页，共14页

进一步有之

X--=l--=-

A1222

所以数列｛匕-g,是以T为首项，以-g为公比的等比数歹人

所以

令n=7,

365

故答案为:

729

【点睛】关键点点睛：设匕表示第”次由甲组答题的概率，由全概率公式得

1o1o

匕M=：月,+1（1-匕）=只包=-（匕+：,得到数歹£匕｝的递推公式是解决该题的关键.

15.（1）证明见解析

⑵15

【分析】（1）根据题意，得到3C=AC-A2,两边同时点乘8C，化简得到

tz2=abcosC+accosB，进而证得结论；

兀32

（2）^ABAD=a,ACAD=/3,AD=x,得到a+/?='且tana=2,tan4二一，结合两角和

4xx

的正切公式，列出方程，求得兄=6,结合的面积公式，即可求解.

【详解】（1）在ABC中，由向量的线性运算法则，可得5C=AC-A3,

UUUUL1UUL1UUUUUUUUUU

两边同时点乘3C,^^BCBC=BCAC-BCAB，

所以〃2=abcosC-accos(兀一B)=abcosC+accosB,

两边同时约去"，可得Q=Z?COSC+CCOS5,即证毕.

(2)如图所示，ABAD=a,ACAD=[3,AD=x,

因为所以a+£=：,又因为所以tanajtan—,

32

L—、r兀,小tancr+tan+

所以tan：=tan(^+y0)=-----------------=

41—tanatanp可‘

化简得了2_5x_6=0,解得％=6或%=—1（舍去），所以AD=6,

答案第7页，共14页

所以ABC的面积S=J2C-AO=LX5X6=15.

22

【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解.

（2）利用独立重复实验的概率计算公式写出于⑺的解析式，再利用导数求函数的极大值点.

【详解】（1）因为8件玩具质检都合格的概率为［工］=」一，

256

1255

所以8件玩具中至少有一件质检不合格的概率为1-.

256256

（2）8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为C初2（1-06,即

/（PNC；/。-4=28p2（l-p）6,

因为-5）=28［2p（］_p）6+p2x6（］_p）5x（_］,=56（］_2）50（］_4同，pe（0,l）.

由广（P）>0=>1_4P>0=p<；.

所以“0）在上单调递增,在上单调递减，

故P=；为〃。）的极大值点，即Po=；.

17.（1）逅；（2）

42

7T

【分析】（1）通过二面角的定义得NBHS=1,再通过线面角的判断来确定AS与平面ABCD

所成角的正弦值为逅，也可用向量法求解.

4

3

（2）通过证明三点共线，以及相似三角形得对应边成比例关系，得解MC=2C-2M=x.

2

【详解】解：（1）法1：

答案第8页，共14页

取AM中点为“，连结HS,HB,

jr

因为—且AB=8M=1,所以△ABM为等腰直角三角形，同理AASM也为等腰直角

2

三角形，HS,82均垂直AM于心所以AM,平面BSH,

TT

所以二面角S-AM-B的平面角为N2HS=§

因为SH=BH=叵,所以三角形SH2为正三角形，

2

取的中点。，连结SQ,则S。垂直与BH,得膻=逅

4

因为AM_L平面BSH,所以AM垂直于SQ,又SQLBH,

所以5。垂直于底面A8CD,

连结AQ,N&4Q为AS与平面ABC£>.所成角，

因为AS=1,sinZSA<2=^=—

AS4

所以AS与平面ABC。所成角的正弦值为逅

4

法2：取AM中点为X,连接M,BH,因为和AAMB均为等腰直角三角形，所以

SH,8H均垂直于AM,所以AM_L平面BSH..

以X为坐标原点，HB,分别为无轴，y轴建系如图：则点s在坐标平面无Oz内，设其

坐标为S(a,0,c),(«>0,O0)由△AMS为等腰直角三角形且AS=1,

得M(0,"0)A(0,-立，0),

22

答案第9页，共14页

贝UAS=（〃，——，c）,AM=（0,亚,0）

2

因为|AS|=1,所以。2+c2=g①，

设平面ASM的法向量为m=（%,y,Z）,

fV2

则J2,所以m=（—C,0M）

m-AM=-Jly=0

取平面A5M的法向量为n=（0,0,1）,

TT

因为二面角B-AM-S的大小为

J.

所以cos＜加,工

7a+c2

[&

CL=----

4

由①②得＜l，所以AS=

V6

c=—

4

设AS与平面ABC。所成的角。的正弦值为

所以AS与平面A3。所成角的正弦值为?

（2）

法1:在平面SAM内作SH_LAM连结BH,DH,则BH±AM,

又因为SO_LAM、,AM_L平面SHD

所以AALLQH,又因为•.NM,BH,0H都在平面ABCD内.

所以2,H,。三点共线

AMLBD,因为矩形中，BC=2AB=2

AABM与&D4B相似

答案第10页，共14页

ARAT)1&

'：——=——，解得所以

BMAB22

法2：作出/_LAM于H,则SH_LAAf所以AM_L平面BSH

以H为坐标原点，HB,分别为x轴，y轴建系如图：则点s在坐标平面xOz内，

设其坐标为S(a,0,c),设。(x,j,0),则£>S=(a-x,-y,c)

取AM的方向向量为〃=(0,1,0).

因为SO_LAM所以。S-p=-y=O,得y=0,

即。在x轴上，所以B,H,D三点共线

AM±BD,因为矩形ABCD中，BC=2AB=2

"：△ABM与ADAB相似

,/——=——，解得BA/=±,所以MC=2C-2M=—.

BMAB22

【点睛】对二面角以及线面角的定义要掌握，会在题中找出二面角的平面角以及线面所成的

角，空间向量的办法在证明时要求建立直角坐标系，准确写出点的坐标，还得准确计算.

18.⑴2024=(22022221

(2)4+b2H-----卜=m(m+2).

【分析】(1)由2024除以3,取商继续除以3,直到商小于余数，化为题设结构特征即可；

?5w+1

⑵由等比数列的前几和可知力—1=1+2+…+2"、则2“—2/=2/+2-i+…+21，而会3•可

m2m3m4m

通过除法进行因式分解得—=i-2+2-2+2f故—可表示为

2m+l2机+1

+…+4P+%的结构形式进而得出(以矶…4%)p即可求解.

【详解】(1)由2024=3x674+2,674=3x224+2,224=3x74+2,

24=3x8+0,8=3x2+2,2=3x0+2,

答案第11页，共14页

故2024=2x36+2x35+0x34+2x33+2x32+2x3+2

故2024的三进制表示为2024=(22022221；

(