微专题02 平面向量的基本定理（四大题型）（解析版）

微专题02平面向量的基本定理【题型归纳目录】题型一：平面向量基本定理的理解题型二：利用基底表示向量题型三：平面向量坐标化题型四：等和线【典型例题】题型一：平面向量基本定理的理解【例1】（2024·高一课时练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；故选：C.【变式1-1】（2024·江苏苏州·高一江苏省震泽中学期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【解析】对于A，因为，所以和共线，则这组向量不能作为平面内的一组基底，故A正确；对于B，假设和共线，则，故，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则和能作为平面内的一组基底，故B错误；对于C，假设和共线，则，即，由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则和能作为平面内的一组基底，故C错误；对于D，假设和共线，则，即，由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则和能作为平面内的一组基底，故D错误.故选：A.【变式1-2】（2024·高一课时练习）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【解析】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，都可作为平面向量的基底，而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底.故选:D.题型二：利用基底表示向量【例2】（2024·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意三点共线，所以存在，使得，同理三点共线，所以存在，使得，由平面向量基本定理可得，解得，所以.故选：C.【变式2-1】（2024·天津·高一天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连接并延长交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下图所示：因为，则，所以，，，所以，，因此，，故选：D.【变式2-2】（2024·高一课时练习）已知分别为的边上的中线，设，,则＝（

）

A．＋ B．＋C． D．＋【答案】B【解析】分别为的边上的中线,则,,由于，，所以,故解得故选：B【变式2-3】（2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】过点分别作交于点，作交于点，已知，，，则和，则：且，即：且，所以，则：，所以，解得：，同理，和，则：且，即：且，所以，则：，即，所以，即，得：，解得：，四边形是平行四边形，由向量加法法则，得，所以.故选：B.题型三：平面向量坐标化【例3】（2024·安徽马鞍山·高一统考期末）正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则，所以，因为三点共线，所以存在唯一实数，使，所以，因为三点共线，所以存在唯一实数，使，所以，所以，解得，所以，设，则，所以，所以，故选：A【变式3-1】（2024·全国·高一专题练习）若是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底下的坐标为，则向量在另一组基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，得；设，即,,,,，则，解得，故选：．【变式3-2】（2024·全国·高一专题练习）若向量，是一组基底，向量，则称为向量在基底，下的坐标．现已知向量在基底，下的坐标为，则向量在另一组基底，下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知条件知,，即，设，则，所以，解得：，向量在基底，下的坐标为：．故选：D．题型四：等和线【例4】（2024·山西太原·高三太原五中校考阶段练习）如图，腰长为4的等腰三角形中，，动圆的半径，圆心在线段（含端点）上运动，为圆上及其内部的动点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当点取圆与交线上的点时，由平面向量基本定理可知：，故排除，.当点与点重合，且点取圆与的交线上最靠近的点时，如图所示：，，，，故排除故选：A【变式4-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量（，为实数），则的最大值是（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【解析】由，根据题设，，又，当且仅当时等号成立，所以，即，如上图知：当圆心在上运动时，有，此时共线，所以，当且仅当时等号成立，故．故选：C【变式4-2】（2024·福建莆田·高一仙游一中阶段练习）在平行四边形中，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为(

)A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】由，，，得，所以∠ABD=∠CDB=90°，故圆C与BD相切于点D，如图，又，所以.所以.△ABC中，由余弦定理可得：，，据此可得，当与方向相同时，取得最大值：，所以的最大值是3.故选：D.【过关测试】一、单选题1．（2024·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】只要两向量不共线便可作为基底，故对于A选项，，共线，不满足；对于B选项，，共线，不满足；对于C选项，共线，不满足；对于D选项，与不共线，故满足.故选：D.2．（2024·福建福州·高一校联考期中）平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】点为线段的中点，，即①，，，即②，由①②得，，故选：A．3．（2024·全国·高一专题练习）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】连接，，三点共线，可设，则，；三点共线，可设，则，；，解得：，，即.故选：B.4．（2024·江苏盐城·高一统考期末）已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则故选：D5．（2024·四川遂宁·高一统考期末）在对角线相等的平行四边形中，，，为上一点，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题及图形可知，，又，则.故选：C6．（2024·山东日照·高三阶段练习）一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中，,，则λ的值为()

A． B． C． D．【答案】A【解析】过点作交于，则是的中点，且，所以则的值为，故选：.7．（2024·河北衡水·校考一模）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由平行四边形法则得以及题设条件化简得，由E，M，F三点共线，得出2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即可求解的值.因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1即2λ－5μ＝1，.故选：A8．（2024·全国·高一专题练习）在平面直角坐标系中，，分别是与轴、轴方向相同的单位向量，已知，，，若与共线，则实数的值为（

）A．4 B．1 C．3 D．2【答案】A【解析】根据题意，，，；，；与共线；；解得．故选：A．9．（2024·安徽安庆·高一统考期中）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量，则等于

A．－ B．－＋C．－＋ D．＋【答案】B【解析】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，由题意，得∠ACD＝90°，CF＝BE＝FD＝，∴＝＋(－)＝－＋，故选B.10．（2024·山西·统考一模）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设，，则向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-【答案】C【解析】平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，则有，如图，所以＝＝(＋)＝＝-＋.故选：C11．（2024·全国·高一专题练习）如图，在矩形中，，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆的半径为，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、、，，，，由，得，所以，，解得，因此，.故选：B.二、多选题12．（2024·河南洛阳·高一栾川县第一高级中学校考阶段练习）如果是平面内两个不共线的向量，那么选项中正确的是（

）A．可以表示平面内的所有向量B．对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个C．两向量共线，则有且只有一个实数，使得D．若存在实数使得，则【答案】AD【解析】由平面向量基本定理可知，AD是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当时，不存在这样的，故选A，D.故选：AD.13．（2024·全国·高一专题练习）下列说法中正确的有（

）A．已知是平面内两个非零向量，对于实数，，一定在该平面内B．已知，是平面内的一组基底，若实数，使，则C．已知是平面内两个非零向量，若实数，，，使，则，D．已知，是平面内的一组基底，对平面内任一向量，使的实数，有且只有一对【答案】ABD【解析】对于，是平面内两个非零向量，对于实数，，由向量运算法则得一定在该平面内，故正确；对于，，是平面内的一组基底，若实数，使，则由基底的定义得，故正确；对于，是平面内两个非零向量，若实数，，，使，则由向量相等的定义得，不一定成立，故错误；对于，已知，是平面内的一组基底，对平面内任一向量，由共面向量基本定理得使的实数，有且只有一对，故正确．故选：．14．（2024·高一课时练习）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（

）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使【答案】AB【解析】根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.15．（2024·浙江丽水·高一统考期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，是的中点，则下列关系式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A，因为，因为，所以，所以A正确；对于B，因为，而，代入可得，，所以B正确；对于C，因为，而，代入得，，C正确；对于D，因为，而，所以，所以D不正确；故选：ABC．16．（2024·山东威海·高三校考期中）四边形中，，则下列表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A：，故A不正确；对于B：故B正确；对于C：，故C不正确，对于D：，故D正确；故选：BD17．（2024·江苏苏州·高一苏州中学校考阶段练习）如图1，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点在“六芒星”上（内部以及边界），若，则的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】如下图所示，求的最大值，只需考虑下图中以为起点，个顶点为终点向量即可，讨论如下：当，此时；当，此时；当，此时；当，此时；当，此时；当，此时；所以的最大值为，根据其对称性，可知的最小值为，则的取值范围为，由选项判断可知，选项BC正确，故选：BC.三、填空题18．（2024·河南·高一校联考期中）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则．【答案】【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，

记小正方形的边长为1，则，，．因为，所以，解得．故答案为：.19．（2024·全国·高三专题练习）若是一组基底，向量(x，y∈R)，则称(x，y)为向量在基底下的坐标，现已知向量在基底，下的坐标为(－2，2)，则在另一组基底下的坐标为．【答案】(0，2)【解析】先求出的坐标，再设，即可建立方程组求出.因为在基底下的坐标为(－2，2)，即，令，所以，即，所以在基底下的坐标为(0，2)．故答案为：(0，2).20．（2024·湖北荆州·高三阶段练习）在平行四边形中,点是的中点,与相交于点,若,则的值为；【答案】【解析】平行四边形中考点：向量加减法点评：向量加法减法可利用三角形法则求加法，有向线段首尾相接，由最初的起点指向最后的中点，减法，起点放在一起连接中点，方向指向被减向量21．（2024·山东菏泽·高一统考期中）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，设向量