福建省福州市2023-2024学年高三年级下册4月末质量检测数学试卷及其详细解析

（在此卷上答题无效）

2023—2024学年福州市高三年级4月末质量检测

数学试题

（完卷时间120分钟；满分150分）

友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合M=」一贝比"=（）

x+1

A.B.{x[x<-1|C.|x|x>-1|D.

dh

2.设a,Z)GR,则“a3<0”是“占+!=0”的(）

l«lH

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.等轴双曲线经过点（3,-1）,则其焦点到渐近线的距离为（)

A.2A/2B.2C.4D.yf2

4.若sin(a+工]=4，则sin2a=()

I4j4

V15V1577

A.--------B.------C.----D.-

8888

5.已知非零复数z满足|z—l|=|z—i],则三=（）

z

A.1B.-1C.iD.-i

6.（1—X）5（I+2X）4的展开式中一的系数为（）

A.-14B.-6C.34D.74

7.数列｛4｝共有5项，前三项成等差数列，且公差为d,后三项成等比数列，且公比为q.若第2项等于

2,第1项与第4项的和等于10,第3项与第5项的和等于30,则卜-同=（）

A.1B.2C.3D.4

8.四棱锥£-ABCD的顶点均在球0的球面上，底面ABCD为矩形,平面BEC1平面ABCD,BC=45,

CD=CE=1,BE=2,则。到平面的距离为（）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是()

甲乙

87909691869086928795

A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差

B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数

C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差

D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数

10.已知函数/(x)=sin(2x+9)满足+=,且万)，则()

.1「.1

AA.sm^=—B.sin-

C.y=/(x)的图象关于点肛o]对称D./(x)在区间单调递减

11.已知函数/(%)="(6"+『")一6'+-“恰有三个零点为，X2,X3,且为<工2<工3，则()

A.x1+x2+x3=0B.实数a的取值范围为(0,1]

C.%+1>0D.ax3+a>l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若向量2=(3,-4)在向量3=(-2,1)上的投影向量为4,则％等于.

13.倾斜角为:的直线经过抛物线C：/=12%的焦点厂，且与。交于/,5两点，。为线段45的中

点，P为。上一点，贝用+|PQ|的最小值为.

14.如图，六面体48CD4GA的一个面48CD是边长为2的正方形，AAl,CQ,。口均垂直于平面

ABCD,且44]=1，CG=2,则该六面体的体积等于_____—,表面积等于______

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

已知数列｛4｝满足q=2,an=an_x+In（«>2）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）记数列的前〃项和为J,证明：<1.

16.（15分）

甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布N（0,0.22）,规定Xe（-0.2,0.2）的零件为优等品,

Xe（-0.6,0.6）的零件为合格品.

（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；

（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2

个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非

优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测.求这批

零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）.

（附：若随机变量4~N（〃,cr2）,则尸（〃—0<J<〃+b）=0.6827,尸（〃—2b<J<〃+2b）=0.9545,

尸（〃一3CT<J<〃+3（r）=0.9973）

17.（15分）

如图，以正方形45CD的边48所在直线为旋转轴，其余三边旋转120。形成的面围成一个几何体

ADF-BCE.设P是CE上的一点，G,H分别为线段4P,斯的中点.

（1）证明：G7Z〃平面BCE；

（2）若求平面APD与平面5R4夹角的余弦值.

18.（17分）

22

点尸是椭圆£：三+标=1（a>b>0）上（左、右端点除外）的一个动点，片（―c,0）,鸟（c,0）分别

是£的左、右焦点.

(1)设点P到直线/：x=J的距离为d,证明」为定值，并求出这个定值；

cd

(2)△口；巴的重心与内心(内切圆的圆心)分别为G,I,已知直线/G垂直于x轴.

(i)求椭圆£的离心率；

(ii)若椭圆£的长轴长为6,求被直线/G分成两个部分的图形面积之比的取值范围.

19.(17分)

记集合170rCD=|/(x)=Ax+Z)(xeR)|VxeD,/(%)</(x),J13xoeZ),/(r0)=Z仅())}，集合

7/(x2={/(x)=^+，(xeR)MxeD,/(x)2/(x),53Xoe。,/(x())=/卜。)卜若,⑴4(x),e

则称直线y=/(x)为函数/(x)在。上的“最佳上界线”；若/(x)e〃⑴包，则称直线y=/(x)为函数

/(x)在。上的“最佳下界线”.

(1)已知函数/(x)=-/+x,Z0(x)=Ax+l.^Z0(x)eZ/^xsR,求左的值;

(2)已知g(x)=ex+l.

(i)证明：直线y=/(x)是曲线y=g(x)的一条切线的充要条件是直线y=/(x)是函数g(x)在R上的

“最佳下界线”；

(ii)若/z(x)=in(x—1)，直接写出集合4(,w,+8)nq+eR中元素的个数(无需证明).

2023〜2024学年福州市高三年级4月份质量检测

参考答案与评分细则

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分40分.

1.D2.C3.A4.C5.D6.B7.B8.A

二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题6分，满分18分.全部选对的得6分,

部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ABC10.BC11.ACD

三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分15分.

12.-213.814.6,22

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【考查意图】本小题主要考查递推数列与数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等;

考查分类与整合、化归与转化等思想方法；考查数学运算、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性.满

分13分.

解：⑴因为a“=a“_i+2〃，n>2,所以%

当〃之2时，%％_2)+…+(%—%)+%，

所以4=2〃+2〃一2H-----1-4+2,

所以所以n>2,

又因为q=2,所以％H€N*.

(2)由(1)可知％=/+〃=〃(〃+1),〃EN*,

所以,二111

n7/+1

…01111

所以=——+----+•••+；-----+-----

1x22x3(〃-+?

1_J£_1

n-1nn〃+1

1

所以S〃=l—

n+1

又因为〃21,所以'〈I.

16.【考查意图】本小题主要考查正态分布、全概率公式、条件概率等基础知识，考查数学建模能力、逻

辑思维能力和运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学建模、数据分析、数

学运算等核心素养，体现基础性、综合性和应用性.满分15分.

解：（1）依题意得，〃=0,cr=0.2,

所以零件为合格品的概率为P（―0.6<X<0.6）=P（〃—30<X<//+3（7）=0.9973,

零件为优等品的概率为0（―0.2<X<0.2）=P（〃—cr<X<//+（7）=0.6827,

所以零件为合格品但非优等品的概率为P=0.9973-0.6827=0.3146,

所以从该生产线上随机抽取100个零件，

估计抽到合格品但非优等品的个数为100x0.3146^31.

（2）设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件/,恰有1个优等品，1个为合格

品但非优等品为事件5,从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C,这批产品通过检测为事件。，

则。=4+5C,且/与5C互斥，

所以尸（0=尸（Z）+尸（8C）=P（N）+尸伊）尸（。阳

=Cfx0.6827?+C；x0.6827x0.3146x0.6827=1.6292x0.68272,

所以这批零件通过检测时，

检测了2个零件的概率为=―"生一——x0.61.

'1）P（D）1.6292xO.682721.6292

答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61.

17.【考查意图】本小题主要考查直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定与性质定理、平面

与平面的夹角、空间向量、三角函数的概念等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能

力等，考查数形结合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基

础性、综合性.满分15分.

解法一：（1）在正方形48所中，连接/〃并延长，交的延长线于点K,连接PK.

所以HF=HE,所以空RtAKEH,

所以4H=KH,所以GH〃PK.

又因为GW面BCE,PKu面BCE,所以G7Z〃面BCE.

（2）依题意得，48_L面又因为APu面5CE,所以

又因为ABC\AE=A,AB,4Eu面4BEF,

所以HP上面NAE/，

又BEu面ABEF,所以

所以HP,BE,氏4两两垂直.

以3为原点，BP,BE,8/所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示.

不妨设48=1,

"11一_,(也1

则尸(1,0,0),D—,——,1,5P=(1,0,0),BD=—,——,1

、22JI

7

设平面5尸。的法向量为加二(x,y,z),贝i"一一

BD,m=0,

x=0,

即,61取歹=2，得x=z—\,

——x——y+z=0,

122

所以平面瓦切＞的一个法向量是浣=(0,2,1),

又平面瓦乂的一个法向量为3=(0,1,0).

m-n

设平面BPD与平面BPA的夹角为9,则cos0=cos(m,

R

所以平面DBP与平面BPA夹角的余弦值为工2.

5

解法二：(1)证明：取8尸的中点。，连接GQ,EQ.

因为G,5分别为线段ZP,斯的中点,

所以GQ〃ZB,GQ=^AB,

又因为48〃£F,AB=EF,

所以GQ〃〃E,GQ=HE,

所以四边形G0E8是平行四边形，所以G8〃QE,

又因为GW面BCE,QEu面BCE,所以G7Z〃面BCE.

（2）同解法一.

解法三：（1）证明：取45的中点/,连接G/,HI.

因为G,H分别为线段4P,所的中点，

所以G/〃8尸，HI//EB,

又因为G/<Z面BCE,BPu面BCE,所以G/〃面BCE.

因为印①面BCE,BEu面BCE,所以印〃面5CE.

又因为G/n8Z=/,G/u面G/",HIu面GIH,

所以面G/H〃面BCE,又因为G7/u面G田，

所以G7/〃面BCE.

（2）同解法一.

18.【考查意图】本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知

识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与

整合思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分17分.

解法一：（1）依题意，b~+c2=a2.

22

设P（X。,九），则一+%—1»—Q<X。<Q,

2

所以|「闾=J(%02=J(X°一cj+i>21一再\_b}2~r

=1----T/一加/+b+。，

V1a

2

所以|尸鸟|二J——Xg—2cx0+=_%。-Q，

Vaa

2

cca

又a>c,所以a>—XQ,—>XQ，所以1PF?I—ci----XQ,d------

acac

ax

所\PF以IJo=「£,即\」PFI为定值，且这个定值为c二.

daada

x

co

(2)(i)依题意，G1寸，

设直线/G与x轴交于点C,因为/G，x轴，所以C?,0

所以闺C|-|gC|=(寸+c]-卜_1]=-x0,

因为△丑片片的内切圆与x轴切于点C,

所以|「制一|产山=E。|—Ec|=§x。，

又因为|「片|+|尸闾=2a,解得|「引=”.

由(1)得|夫居|=a-,所以a-❷/=a-血,

aa3

c1

所以椭圆£的离心率e=—=—.

c1

(ii)由2a=6,得〃=3,又一二—,所以c=l,b2=a2—c2=S,

a3

所以椭圆£的方程为工+匕=1.

98

根据椭圆对称性，不妨设点P在第一象限或歹轴正半轴上，即04%<3,0<j0<272,

又片(—1,0),凡(1,0),

所以直线/当的方程为y=」」(x+l),

工0+1

设直线/G与尸片交于点。，因为租=血，所以%=卫也士*

33(x0+1)

1"1]了。(.+3)

2[

5,3J3(%+1)(X°+3『

△片CD的面积E与APFF]的面积S之比为&=—~廿——U—L

S

2义2义比18(x0+l)

(x+3)2(x+3)(x-l)

令/(x)=(0<x<3),则r(x)=

18(x+l)18(x+l)2

当xe[O,l),/,(x)<0,当xe(l,3),/'(x)〉0,

所以函数/(x)在［0,1)单调递减，在(1,3)单调递增.

141

又因为“0)=5,"lb.，/(3)=屋

41-

，所以H，

所以/(x)的值域是9-2-

-

4

所以一＜<1,

5S-S,

根据对称性，△/与鸟被直线/G分成两个部分的图形面积之比的取值范围是

解法二：(1)同解法

(2)(i)依题意，G［寸,与"］，

设直线/G与x轴交于点C,因为/G，x轴，所以C?,0

所以闺C|—|gc|=|半+"-卜一半＞不。，

因为△?£鸟的内切圆与x轴切于点C,

2

所以|「制一|「用=内。卜艮。卜§飞,

附|=。+半

又因为|「制+|0闾=2°,得｛'

I明=”手

+C)+%2=。+幸4

所以4两式平方后取差，得4cx0对任意Xo成立,

)+%2="寸,

c|

所以椭圆£的离心率e=—二—

a3

(ii)同解法

解法三：(1)同解法

(2)(i)依题意，因为/G'x轴，设点/坐标为

可求直线PFX方程为y=上—(x+c),

x0+C

则点/到直线尸片的距离

化简得++c)—%=0,①

同理，由点/到直线尸层的距离等于M，可得乂/2+24牛—cj(%—C)—%]羡—cj=0,②

将式①一②，得2人|5=为：50,则/=—.

将1=々代入式①，得》+；11i+c](Xo+c)—1|L+C]=0,

化简得W+4=1,得9c2=4,

9c28c2

c1

所以椭圆£的离心率e=—=—.

a3

(ii)同解法

19.【考查意图】本小题主要考查集合、导数、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、

运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等,

考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分17分.

解：(1)依题意，因为总^^工/⑴糜3

所以VxeR，—x"+x<kx+1,且3XQeR,—x^~+Xg=kx0+1,

令=_/+(1—左